1.2.2 矩形的性质与判定（第2课时）（培优教学课件）数学北师大版九年级上册

2.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 北师大版九年级数学上册 学习&目标 1.掌握矩形的判定方法，理解矩形的性质与判定的区别与联系. 2.会初步运用矩形的性质、判定等知识，解决简单的证明和计算，进一步培养学生的分析能力 . 3.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理（重点）． 4.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题（难点）. 情境&导入 有一个角是直角的平行四边形. 矩形的定义： 平行四边形 矩形 有一个角是直角 性质 边 角 对角线 矩形 矩形的对边平行且相等. 矩形的两条对角线相等且互相平分. 矩形的四个角都是直角. PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ Word模板：/word/ Excel模板：/excel/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ 个人简历：/jianli/ PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 3 情境&导入 思考 工人师傅在做门窗或矩形零件时，如何确保图形是矩形呢？现在师傅带了两种工具（卷尺和量角器），他说用这两种工具的任意一种就可以解决问题，这是为什么呢？ 这节课我们一起探讨矩形的判定吧. 探索&交流 矩形的判定 1— 如图，是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. （1）随着∠α的变化两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 探索&交流 （2）当两条对角线的长度相等时平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？ 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 探索&交流 已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.求证：□ABCD是矩形. 证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB, ∴ △ABC≌△DCB , ∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥CD, ∴∠ABC+∠DCB = 180°, ∴ ∠ABC = 90°, ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）. A B C D 探索&交流 ABCD AC = BD ABCD是矩形 矩形的判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言描述： 在平行四边形ABCD中，∵AC=BD， ∴平行四边形ABCD是矩形. A B C D 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例1.如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB∥CD且AB=CD，∠BAC=∠BDC. 求证：四边形ABCD是矩形. 探索&交流 证明：∵AB∥CD且AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，∠ABD＝∠BDC. ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵∠BAC＝∠BDC，∴∠ABD＝∠BAC. ∴OA＝OB.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形． 探索&交流 想一想 我们知道，矩形的四个角都是直角.反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论， 并与同伴交流. 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 探索&交流 已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 探索&交流 矩形的判定定理： 有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言描述： 在四边形ABCD中， ∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴四边形ABCD是矩形. A B C D 探索&交流 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？ 对角线相等的平行四边形是矩形. 议一议 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例2 如图在 □ ABCD 中，对角线 AC 和 BD 相交于点 O，△ABO 是等边三角形，AB = 4. 求 □ ABCD 的面积. 例题&解析 解: ∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA = OC,OB = OD. 又∵△ABO 是等边三角形， ∴OA = OB = AB = 4. ∴OA = OB = OC = OD = 4. ∴AC = BD = 2OA = 2×4 = 8. ∴□ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴∠ABC = 90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2+BC2 = AC2， ∴BC= ∴S□ABCD = AB·BC = 4× = . 例题&解析 例题欣赏 ☞ 例3.如图，在△ABC中, AB=AC,D为BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE,连接AD , EC. （1）求证：△ADC≌△ECD; （2）若BD=CD,求证：四边形ADCE是矩形. A D C E B 例题&解析 证明：（1）∵△ABC是等腰三角形, ∴∠B=∠ACB. 又∵四边形ABDE是平行四边形, ∴∠B=∠EDC,AB=DE, ∴∠ACB=∠EDC, ∴△ADC≌△ECD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∴∠ADC=90°. ∵四边形ABDE是平行四边形, ∴AE平行且等于BD,即AE平行且等于DC, ∴四边形ADCE是平行四边形. 而∠ADC=90°, ∴四边形ADCE是矩形. 练习&巩固 C 1.能够判断一个四边形是矩形的条件是( ) A．对角线相等 B．对角线垂直 C．对角线互相平分且相等 D．对角线垂直且相等 练习&巩固 2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的平分线,则四边形ABCD是 （ ） A.梯形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定 D E F M N Q P A B C C 练习&巩固 3. 如图，点 B 在 MN 上，过 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D.试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论. 练习&巩固 证明: ∵CD ∥MN , BC, BD 分别为∠MBA ,∠ABN 的平分线, ∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB, ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB, 且∠CBD ＝90°, ∴OC＝OB＝OD ＝OA ． ∵∠AOD ＝∠COB,∴△AOD ≌△COB, 则∠DAO＝∠OBC, AD ∥BC, AD ＝BC, ∴四边形 ACBD 为平行四边形． 又∵AB ＝ CD , ∴四边形 ACBD 为矩形． 小结&反思 1.矩形的判定方法： （1）矩形的判定与性质是互逆定理； （2）判定矩形的常见思路如下： 平行四边形 四边形 矩形 对角线 互相平分 有三个角是直角 有一个角是直角 对角线相等 EVCapture4.0.2软件录制 Lavf56.38.102 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制，www.ieway.cn $$