等比数列专项训练——2025届高三数学一轮复习

等比数列 一、单项选择题 1．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝－7，S6＝－63，则公比q＝(　　) A．－2　　 B．2　 C．－　　 D． 2．设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋a7＋a8＝(　　) A．12 　 B．24 C．30 　 D．32 3．已知递增的等比数列{an}中，前3项的和为7，前3项的积为8，则a4的值为(　　) A．2 　 B．4 C．6 　 D．8 4．数列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，则k＝(　　) A．2 　 B．3 C．4 　 D．5 5．已知{an}为等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，an＋1＝2Sn＋2，则a4的值为(　　) A．3 　 B．18 C．54 　 D．152 6．记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 　 B．85 C．－85 　 D．－120 7．音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位．一个八度音程为1 200音分，它们的频率值构成一个等比数列．八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列．已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m＝n，则k－l＝(　　) A．400 　 B．500 C．600 　 D．800 8．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，a1＝16，公比q＝，则Tn取最大值时n的值为(　　) A．3 　 B．6 C．4或5 　 D．6或7 二、多项选择题 9．Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在a，b，c∈R，使得Sn＝a·bn＋c，则(　　) A．a＋c＝0 　 B．b是数列{an}的公比 C．ac<0 　 D．{an}可能为常数列 10．(2024·重庆模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，且an＋1＝3an＋2n，则(　　) A．数列{an＋2n}是等比数列 B．数列是等比数列 C．an＝2×3n－2n+1 D．Sn＝2(3n－2n) 三、填空题 11．在正项等比数列中，a3与a8是方程x2－30x＋10＝0 的两个根，则lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝________． 12．已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋a，则a＝________，数列}的前n项和为________． 四、解答题 13．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，Sn＝2＋an＋1. (1)证明：数列{Sn－2}为等比数列； (2)记数列的前n项和为Tn，证明：Tn<2. 14．已知{an}为等差数列，{bn}为公比为2的等比数列，且a2－b2＝a3－b3＝b4－a4. (1)证明：a1＝b1； (2)求集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数． 参考答案 1．B　[法一：由等比数列的性质，得q3＝＝＝8，∴q＝2.故选B. 法二：由题得q≠1，∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S3＝－7，S6＝－63， ∴ 解得q＝2.故选B.] 2．D　[法一：设等比数列{an}的公比为q，所以＝＝q＝2，由a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝a1(1＋2＋22)＝1，解得a1＝，所以a6＋a7＋a8＝a1(q5＋q6＋q7)＝×(25＋26＋27)＝×25×(1＋2＋22)＝32.故选D. 法二：令bn＝an＋an＋1＋an＋2(n∈N*)，则bn＋1＝an＋1＋an＋2＋an＋3．设数列{an}的公比为q，则＝＝＝q，所以数列{bn}为等比数列，由题意知b1＝1，b2＝2，所以等比数列{bn}的公比q＝2，所以bn＝2n-1，所以b6＝a6＋a7＋a8＝25＝32.故选D.] 3．D　[由前3项的和为7，得a1＋a1q＋a1q2＝7， 前3项的积为8，得a1a2a3＝＝8，即a2＝2， 则a1＝，代入a1＋a1q＋a1q2＝7，得·q＋·q2＝7，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝2或q＝， 因为为递增的等比数列， 所以q＝2，则a1＝＝1， 所以a4＝1×23＝8.故选D.] 4．C　[∵a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，则an＋1＝a1an＝2an，∴{an}是以a1＝2为首项，2为公比的等比数列，∴an＝2×2n-1＝2n. 又∵ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25， ∴＝215－25， 即2k+1(210－1)＝25(210－1)， ∴2k+1＝25，∴k＋1＝5，∴k＝4.故选C.] 5．C　[因为{an}为等比数列，an＋1＝2Sn＋2， 所以a2＝2S1＋2＝2a1＋2， a3＝2S2＋2＝2(a1＋2a1＋2)＋2＝6a1＋6， 由等比数列的性质可得＝a1·a3， 即(2＋2a1)2＝(6a1＋6)·a1， 所以a1＝2或a1＝－1(舍)， 所以a2＝6，q＝3， 则a4＝a1·q3＝2×33＝54.故选C.] 6．C　[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则化简整理得所以S8＝＝×(1－44)＝－85.故选C. 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝.当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85.故选C.] 7．C　[由题意可知，1 200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音为a1，所以an＝a1()n－1，故m＝a1()k－1，n＝a1()l－1， 因为m＝n，所以＝＝()k－l＝⇒＝⇒＝⇒k－l＝600. 故选C.] 8．C　[an＝a1qn-1＝16×＝24×21-n＝25-n， 故Tn＝a1a2…an＝24×23×…×25-n ＝24+3+…+5-n＝＝＝， 因为n∈N*，所以当n＝4或5时，Tn取得最大值． 故选C.] 9．ABC　[设等比数列{an}的公比为q. 当q＝1，Sn＝na1，显然不是Sn＝a·bn＋c的形式，故不满足，D错误； 当q≠1，Sn＝＝·qn，所以c＝，a＝－，b＝q，即a＋c＝0，ac＝<0，所以ABC正确．故选ABC.] 10．ABD　[an＋1＋2n+1＝3an＋2n＋2n+1＝3an＋3·2n＝3(an＋2n)， 又a1＋2＝4≠0，＝3，故数列{an＋2n}是以4为首项，3为公比的等比数列，所以an＋2n＝4×3n-1，an＝4×3n-1－2n，Sn＝＝2(3n－2n)，故A正确，C错误，D正确； ＋1＝＋1＝＝，又因为＋1＝2≠0，故数列是以2为首项，为公比的等比数列，B正确．故选ABD.] 11．5　[因为a3与a8是方程x2－30x＋10＝0 的两个根，所以a3a8＝10，因为{an}为正项等比数列， 所以a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6＝10， 所以lg a1＋lg a2＋…＋lg a10＝lg (a1·a2·…·a10)＝lg (a3a8)5＝lg 105＝5．] 12．－1　　[设数列}的前n项和为Tn，因为Sn＝3n＋a，所以Sn－1＝3n-1＋a(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝2·3n-1(n≥2)，且S1＝a1＝3＋a.又数列{an}为等比数列，所以an＝2·3n-1且2＝3＋a，所以a＝－1．因为＝＝9且＝4，所以}是首项为4，公比为9的等比数列，所以}的前n项和Tn＝＝. ] 13．证明：(1)因为Sn＝2＋an＋1＝2＋(Sn＋1－Sn)，所以2Sn＝Sn＋1＋2，所以Sn＋1－2＝2(Sn－2)，因为S1－2≠0，所以Sn－2≠0，＝2，故数列{Sn－2}为等比数列，首项为S1－2＝1，公比为2. (2)由(1)可知Sn－2＝2n-1，所以＝<，所以Tn<1＋＋…＋ ＝＝2<2. 14．解：(1)证明：设等差数列{an}的公差为d， 由a2－b2＝a3－b3，知a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，故d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4，知a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝4d－(a1＋3d)，故a1＋d－2b1＝d－a1，整理得a1＝b1，得证． (2)由(1)知d＝2b1＝2a1，由bk＝am＋a1知b1·2k-1＝a1＋(m－1)·d＋a1， 即b1·2k-1＝b1＋(m－1)·2b1＋b1，即2k-1＝2m， 因为1≤m≤500，故2≤2k-1≤1 000，解得2≤k≤10(k∈N*)， 故集合{k|bk＝am＋a1，1≤m≤500}中元素的个数为9 学科网（北京）股份有限公司 $$