甘肃省陇南市成县2023-2024学年八年级下学期质量监测数学试卷（四）

A B C D E F G 一、选择题（每小题 3分，共 30 分） 1. 下列各式中，一定是二次根式的是 A. - 3姨 B. 9 3 姨 C. a2 + 1姨 D. a - 1姨 2. 已知函数 y 越（m + 1）x ＋2是一次函数，则 m的值是 A. 1 B. ±1 C. - 1 D. 2 3. 三角形的三边长 a，b，c，满足 c2 =（a + b）2 - 2ab，则此三角形是 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 以上均有可能 4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交 CD于点E，AB = 7 cm，BC = 3 cm，则 DE 的长是 A. 3 cm B. 3.5 cm C. 4 cm D. 4.5 cm 5. A，B两名田径运动员进行了相同次数的 100 米跑测试，下列关于他们跑步成绩的平均数和方 差的描述中，能说明 A成绩较好且更稳定的是 A. xA > xB 且 sA2 > sB2 B. xA < xB 且 sA2 > sB2 C. xA < xB 且 sA 2 < sB 2 D. xA > xB 且 sA 2 < sB 2 6. 下列命题的逆命题为真命题的是 A. 如果 a > b，那么 a姨 > b姨 B. 全等三角形的对应角相等 C. 对顶角相等 D. 如果 a = b，那么 a2 = b2 7. 汽车油箱中有汽油 50 升，若耗油量为每千米 0.1 升，且不再加油，那么油箱中的剩余油量 y（升）随行驶路程 x（千米）变化的函数解析式是 A. y = 0.1x + 50 B. y = - 0.1x + 50 C. y = 0.1x - 50 D. y = 0.1x 8. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 的直线分别交 AD，BC 于点 E， F，AB = 2，BC = 3，则图中阴影部分的面积为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 9. 直线 y = kx + b 经过一、二、四象限，则直线 y = bx - k 的图象只能是图中的 A B C D 10. 如图 1，点 F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以 1 cm / s 的速度匀速运动到点 B， 图 2 是点 F运动时，△FBC 的面积 y（cm2）随时间 x（s）变化的关系图象，则菱形 ABCD 的周 长为 A. 3 5姨 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 4 5姨 cm 二、填空题（每小题 4分，共 32 分） 11. 若 x - 1姨 x - 1 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 _____________. 12. 若函数 y = - 7x + b - 7 是正比例函数，则 b的值为 _____________. 13. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90毅. 若 AC = 5，则正方形 ABDE 和正方形 CBGF 的面积差为 _____________. （第 13 小题图） （第 16 小题图） （第 18 小题图） 14. 在荀ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C = 1∶3∶1，则∠D的度数是 _____________. 15. 若直线 y = x - 1 向上平移 2个单位长度后经过点（2，m），则 m的值为 _____________. 16. 某校组织了“甘肃话·我来学”系列活动. 上面是小明、小华两位同学各项目的决赛成绩（单 位：分），若将讲甘肃话、说甘肃故事、唱甘肃歌按 4∶3∶3 的比例确定最后成绩，则最后成 绩高的同学为 _____________（选填“小明”或“小华”）. 17. 对于任意不相等的两个实数 a，b，定义运算※如下：a※b = a+ b姨 a- b ，如3※2= 3 +2姨 3 -2 = 5姨 . 那么 8※12 = _____________. 18. 如图，正方形 ABCD 中，点 E，F分别在边 CD，AD 上，BE⊥CF 于点 G，若 BC = 8，AF = 2，则 GF的长为 _____________. 三、解答题一（共 38 分） 19.（每小题 4分，共 8分）计算： （1） 3姨 × 8姨 - 6姨 - 2 3姨 ； （2） 2 5姨 + 1 - 10姨 ÷ 2姨 . 20.（本题 6 分）如图，阳光超市为了吸引顾客，在超市门口离地高 4.7 m 的 墙上，装有一个由传感器控制的门铃 A（AB = 4.7 m），人只要移至距该 门铃 5 m及 5 m以内时，门铃就会自动发出语音“欢迎光临”，一名身高 1.7 m 的学生走到 D处（CD = 1.7 m），门铃恰好自动响起，即 AC = 5 m， 则该学生此时与超市门口的水平距离长为多少米？ 八年级数学（人教版） （本试题满分 150分） 八年级数学（人教）（四） 第 1页（共 4页） GS2023 - 2024 学年第二学期质量监测（四） 八年级数学（人教）（四） 第 2页（共 4页） m A B CD E O y x O y x O y x y xO 姓名 讲甘肃话 说甘肃故事 唱甘肃歌 小明 80 85 90 小华 90 85 80 图 1 图 2 A B C D F O x / sa + 5姨a y / cm2 a A B C D E F G 4.7 m 门 A B C D A B C DE F O 21.（本题 8分）已知一次函数 y = - 1 2 x + b经过点 B（0，2），与 x轴交于点A. （1）求 b的值和点A的坐标并画出此函数的图象； （2）观察图象，当 0 < - 1 2 x + b < 2 时，x的取值范围是 _____________. （第 21小题图） （第 22小题图） 22.（本题 8 分）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 为 BC 边的中点，DF⊥AE 于点 F，G 为 DF 的中点，分别延长AE，DC交于点H，求证：CG⊥DF． 23.（本题 8分）为了解陇南某小区居民用水情况，小贤同学在五月抽取了 A，B两栋居民楼，并 在每栋楼随机抽取 25 户居民，得到他们五月份用水数据（单位：m3）. 整理数据：根据 A栋楼用水量绘制了如图所示频数分布图（每组包含最小值，不包含最大 值）. 其中，A栋楼第三组具体数据是：10.0，10.0，10.1，10.9，11.4，11.5，11.6，11.8. 分析数据：A，B两栋楼抽取的样本的平均数和中位数（单位：m3）如下： （1）根据以上信息可以得到 m = ____________；n = ____________； （2）记 A 栋楼样本数据中高于平均数的户数为 a，B 栋楼样本数据中高于平均数的户数为 b，请比较 a与 b 的大小，并说明理由； （3）如果 B 栋楼的总户数是一个奇数，用水量小于中位数的有 100 户，请估计 B栋楼五月 份总用水量约是多少？ 四、解答题二（共 50 分） 24.（本题 8分）如图，在平面直角坐标系 xOy中，点 A（- 1，0），B（0，3），点 C在 x轴上，且直线 BC 与直线 AB关于 y轴对称. （1）求直线 BC的函数解析式； （2）若在直线AB上存在点 P使 S△BCP = 1 2 ，直接写出点 P的坐标. 25.（本题 10 分）如图，菱形 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点 O，点 F 是 CD的中点，延长 OF至点 E，使 EF = OF，连接 CE，DE. （1）求证：四边形 DOCE 是矩形； （2）若 OE = 2，∠ABC = 120毅，求菱形ABCD的面积. 26.（本题 9分）阅读与思考： 【阅读理解】 爱思考的小利在解决问题：已知 a= 1 2 + 3姨 ，求 2a2 - 8a+ 1 的值.他是这样分析与解答的： ∵a = 1 2 + 3姨 = 2 - 3姨 （2 + 3姨 ）（2 - 3姨 ） = 2 - 3姨 ，a - 2 = - 3姨 ， ∴（a - 2）2 = 3，即 a2 - 4a + 4 = 3， ∴a2 - 4a = - 1， ∴2a2 - 8a + 1 = 2（a2 - 4a）+ 1 = 2×（- 1）+ 1 = - 1. 【任务】 请你根据小利的分析过程，解决如下问题： （1）计算： 1 2姨 + 1 = _________； （2）计算： 1 2姨 + 1 + 1 3姨 + 2姨 + 1 4姨 + 3姨 + … + 1 100姨 + 99姨 = _________； （3）若 a = 1 5姨 - 2 ，求 3a2 - 12a - 1 的值. 27.（本题 10 分）实验中学为做好绿化，改善育人环境，准备购买 A，B两种树苗在学校栽种. 已 知 1棵 A种树苗比 1棵 B种树苗贵 5元，用 400 元购买的A种树苗与用 300 元购买的 B种 树苗的数量相同. （1）求购买 1棵 A种树苗和 1棵 B种树苗各需多少元？ （2）若该校计划购买 A，B两种树苗共 150 棵，且 A种树苗的数量不少于 B 种树苗的一半， 则怎样购买可以使购买费用最低？最低费用为多少？ 28.（本题 13分）综合与实践： 【问题背景】： 如图 1，在正方形 ABCD 中，边长为 4. 点 M，N 是边 AB，BC 上两点，且 BM = CN = 1，连接 CM，DN，CM与 DN相交于点 O. 图 1 图 2 【探索发现】 （1）探索线段DN与 CM的数量关系和位置关系，并说明理由； （2）如图 2，若点 E，F分别是 DN与 CM的中点，连接 EF，计算 EF的长. 八年级数学（人教）（四） 第 3页（共 4页） 八年级数学（人教）（四） 第 4页（共 4页） 平均数 中位数 A栋楼用水量 10.8 n B 栋楼用水量 11.0 11.5 A 楼用水量频数分布图 频数（户） 用水量（m3）6 161412108 8 4 3 m O x y A B C D E F G H A B C D E FO x y A B C O A B CD O M N E F A B CD O M N GS2023 - 2024 学年第二学期质量监测（四） 八年级数学（人教版）参考答案 一、选择题（每小题 3分，共 30 分） 1 — 5 C A B C D 6 — 10 A B D B C 二、填空题（每小题 4分，共 32 分） 11、x > 1 12、7 13、25 14、135毅 15、3 16、小华 17、- 5姨 2 18、5.2 三、解答题一（共 38 分） 19、解：（1）原式 = 2 6姨 - 6姨 - 6姨 3 = 2 6姨 3 ； ……4分 （2）原式 = 2（ 5姨 - 1） （ 5姨 + 1）（ 5姨 - 1） - 5姨 = 2（ 5姨 - 1） 4 - 5姨 = 5姨 2 - 1 2 - 5姨 = - 5姨 2 - 1 2 . ……8分 20、解：如图，过点 C作 CE⊥AB于点 E， ……1分 ∴BE = CD = 1.7 m， ……2分 ∴AE = AB - BE = 4.7 - 1.7 = 3 m，AC = 5 m， ……3分 由勾股定理可得： BD = CE = AC2- AE2姨 = 52 - 32姨 = 4 m， ……5分 答：该学生此时与超市门口的水平距离长为 4米. ……6分 21、解：（1）∵一次函数 y = - 1 2 x + b经过点 B（0，2）， ∴2 = 0 + b； ∴b = 2， ……2分 ∴y = - 1 2 x + 2， 当 y = 0 时，- 1 2 x + 2 = 0， 解得 x = 4， ∴A（4，0）， ……4分 画图如下，直线AB即为所求； ……6分 （2）0 < x < 4 ……8分 22、证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = CD，AB∥CD， ∴∠B =∠HCE， ……1 分 ∵点 E为 BC边的中点，∴BE = EC， ……2 分 在△ABE与△HCE 中， ∠B = ∠HCE BE = EC ∠AEB = ∠HEC 扇 墒 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 ， ∴△ABE≌△HCE（ASA）， ……4分 ∴AB = CH， ∴DC = CH， ……5分 ∵G为 DF的中点， ∴CG 是△DFH的中位线， ……6分 ∴CG∥EH， ……7分 ∵DF⊥AE， ∴CG⊥DF. ……8 分 23、解：（1）25 - 3 - 4 - 8 - 3 = 7，故第二组数据的频数 m = 7，A楼 25 户居民用水量从小 到大排列，排在第 13 位的数是 10.1 立方米，即中位数 n = 10.1； 故答案为：7，10.1； ……2 分 （2）a < b，理由如下： A楼的样本数据中高于其平均数的有 12 户，故 a = 12， 因为 B 楼的平均数为 11.0，中位数为 11.5，所以 B 楼的样本数据中高于其平 均数的不少于 13 户，即 b≥13，故 a < b； ……5分 （3）100 + 1 + 100 = 201（户），201×11.0 = 2211（立方米）， 答：B栋楼五月份的总用水量约是 2211 立方米. ……8 分 四、解答题二（共 50 分） 24、解：（1）∵直线 BC与直线AB 关于 y轴对称，∴OA = OC， ……1 分 ∵A（- 1，0），∴C（1，0）， 设直线BC的函数解析式为 y = kx + b，把B（0，3），C（1，0）代入得： b = 3 k + b = 0 嗓 ， 解得 k = - 3 b = 3 嗓 ， ……3分 ∴直线 BC的函数解析式为 y = - 3x + 3； ……4 分 （2）点 P的坐标为（1 6 ，7 2 ）或（- 1 6 ，5 2 ）. ……8 分 25、（1）证明：∵点 F是 CD的中点，∴DF = CF， ……1 分 ∵EF = OF，∴四边形 DOCE 是平行四边形， ……2分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥BD，即∠DOC = 90毅， ……3分 ∴四边形DOCE 是矩形； ……4分 （2）解：∵四边形DOCE 是矩形，OE = 2，∴CD = OE = 2， ……5 分 ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，AB = BC = CD = 2， ……6 分 ∴∠CBO = 1 2 ∠ABC = 60毅，∴∠BCO = 90毅 - ∠CBO = 30毅， ∴OB = 1 2 BC = 1，OC = BC2 - OB2姨 = 3姨 ， ……8分 ∵AC = 2OC = 2 3姨 ，BD = 2OB = 2， ∴菱形 ABCD 的面积 = 1 2 BD·AC = 1 2 ×2×2 3姨 = 2 3姨 . ……10 分 八年级数学（人教）（四）参考答案 第 1页（共 4页） 八年级数学（人教）（四）参考答案 第 2页（共 4 页） 4.7 m 门 A B C D E O x y A B 26、解：（1） 2姨 - 1 ……2分 （2）∵ 1 2姨 + 1 = 2姨 - 1 （ 2姨 + 1）（ 2姨 - 1） = 2姨 - 1， 1 3姨 + 2姨 = 3姨 - 2姨 （ 3姨 + 2姨 ）（ 3姨 - 2姨 ） = 3姨 - 2姨 ， 1 4姨 + 3姨 = 4姨 - 3姨 （ 4姨 + 3姨 ）（ 4姨 - 3姨 ） = 4姨 - 3姨 ， …… ∴ 1 n + 1姨 + n姨 = n + 1姨 - n姨 ， ∴ 1 2姨 + 1 + 1 3姨 + 2姨 + 1 4姨 + 3姨 + …… + 1 100姨 + 99姨 =（ 2姨 - 1）+（ 3姨 - 2姨 ）+（ 4姨 - 3姨 ）+……+（ 100姨 - 99姨 ） = 100姨 - 1 = 10 - 1 = 9， 故答案为：9； ……5分 （3）∵a = 1 5姨 - 2 = 5姨 + 2 （ 5姨 - 2）（ 5姨 + 2） = 5姨 + 2， ∴a - 2 = 5姨 ， ∴（a - 2）2 = 5，即 a2 - 4a + 4 = 5， ∴a2 - 4a = 1， ∴ 3a2 - 12a - 1 = 3（a2 - 4a）- 1 = 3×1 - 1 = 2. ……9分 27、解：（1）设 1棵 A种树苗 x元，则 1棵 B种树苗（x - 5）元. 由题意，可列方程 400 x = 300 x - 5 ， ……1分 解得 x = 20. ……2分 经检验，x = 20 是原分式方程的解，且符合实际意义. ……3分 ∴x - 5 = 15. ……4分 答：购买 1棵 A种树苗需要 20 元，购买 1棵 B 种树苗需要 15 元. ……5分 （2）设购买A种树苗 m棵，则购买 B种树苗（150 - m）棵，购买费用为 w元. ∵购买的 A种树苗的数量不少于 B种树苗的一半， ∴m≥1 2 （150 - m），解得 m≥50. ……7分 由题意，得 w = 20m + 15（150 - m）= 5m + 2250. ……8分 ∵5 > 0，∴w随 m的增大而增大. ∴当 m = 50 时，w取得最小值，最小值为 5×50 + 2250 = 2500. ……9 分 此时 150 - m = 100. 答：购买A种树苗50棵，B种树苗100棵时，购买费用最低，最低费用为2500元. ……10 分 28、解：（1）CM = DN，且 DN⊥CM， ……1分 理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴在△BCM和△CDN中， BC = CD ∠B =∠NCD BM = CN 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 ， ∴△BCM≌△CDN（SAS）， ……2分 ∴CM = DN，∠BCM =∠CDN， ……3分 ∵∠BCM +∠MCD = 90毅， ∴∠CDN + ∠MCD = 90毅， ∴∠COD = 90毅， ……4分 ∴DN⊥CM， ∴线段 CM和 DN的关系为：CM = DN，且 DN⊥CM； ……5分 （2）连接 CE并延长交 AD于点 G，连接 GM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD = AB，∠A = 90毅，BC∥AD， ∴∠ENC = ∠EDG， ……6分 ∵点 E为 DN的中点，∴NE = DE， ……7 分 ∴在△CNE和△GDE中， ∠ENC = ∠EDG NE = DE ∠NEC = ∠DEG 扇 墒 设 设 设 设 设 缮 设 设 设 设 设 ， ∴△CNE≌△GDE（ASA）， ……8分 ∴CE = EG，GD = CN = 1， ……9 分 又∵点 F为 CM的中点， ∴MF = CF，∴EF = 1 2 MG， ……10 分 ∵正方形的边长为 4，BM = DG = 1， ∴AM = AG = 3， ……11 分 在 Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2 + AG2 = GM2， ∴32 + 32 = GM2， ∴GM = 3 2姨 ， ……12 分 ∴EF = 3 2姨 2 . ……13 分 八年级数学（人教）（四）参考答案 第 3页（共 4页） 八年级数学（人教）（四）参考答案 第 4页（共 4 页） G F M A B CD O N E