1.3 一元二次方程的根与系数的关系（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（苏科版）

1.3 一元二次方程的根与系数的关系 学习目标 1. 了解一元二次方程的根与系数的关系； 2. 能用一元二次方程的根与系数的关系解决一些与一元二次方程的根相关的问题. 2 知识回顾 一元二次方程的一般形式是什么？ 一元二次方程的求根公式是什么？ 如何判断一元二次方程根的情况？ 1. 解下列方程： (5) x2－3x＝0. (1) x2－3x＋2＝0； (2) x2＋3x＋2＝0； (3) x2－5x＋6＝0； (4) x2－5x＋6＝0； x1＝1，x2＝2 x1＝－1，x2＝－2 x1＝2，x2＝3 x1＝－2，x2＝－3 x1＝0，x2＝3 观察一元二次方程的根与系数有什么关系吗？ 实践与探索 4 ax²＋bx＋c＝0 x²－3x＋2＝0 x²＋3x＋2＝0 x²－5x＋6＝0 x²＋5x＋6＝0 x²－3x ＝0 实践与探索 x1 x2 1 2 －2 －1 3 2 －2 －3 0 3 ＋0 x1+x2 x1x2 3 2 2 －3 6 5 －5 6 3 0 5 实践与探索 两根的积与常数项相等. 两根的和与一次项系数互为相反数. 6 实践与探索 2. 方程2x²－5x－3＝0的两根是x1＝3，x2＝－，这两根的和、两根的积与系数有什么关系？ x1＋x2＝， x1x2＝－. 实践与探索 2. 方程2x²－5x－3＝0的两根是x1＝3，x2＝－，这两根的和、两根的积与系数有什么关系？ 二次项系数是2，一次项系数是－5，常数项是－3. (－5)÷2=－ ， (－3)÷2=－ 实践与探索 3. 先求出方程3x²－7x＋4＝0的解，再验证这个方程的根与系数是否具有你刚刚发现的关系. x1＝，x2＝1 x1＋x2＝，x1x2＝ 4. 举例说明你的发现. 实践与探索 5. 能证明刚才的发现吗？请你试一试. 在一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)，如果b2－4ac≥0，那么它的两个根分别是 、. 于是可得 x1+x2 ＋ ； x1x2 . 新知归纳 方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两个根分别x1、x2， x1＋x2 ＝ x1x2 ＝ 一元二次方程的根与系数用有如下关系： 一次项系数 二次项系数 常数项 注意符号 注意：满足上述关系的前提条件： b2－4ac≥0 （也叫韦达定理） 例1 求下列方程两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5＝0； (2) 2x2＋x＝1. 解：(1) 设方程x2＋2x－5＝0 的两根分别是x1、x2 . ∵a＝1、b＝2、c＝－5， ∴x1＋x2＝－＝－2，x1x2＝＝－5. (2) 把方程化成一般形式，得2x2＋x－1＝0. 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a＝2、b＝1、c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝－. 新知应用 12 例题讲解 变式 求下列方程两根的和与两根的积： x2＋2x＋2＝0. 解：∵ a=1，b=，c=， b24ac=224×1×2=4＜0， ∴方程没有实数根，不存在方程两根之和与两根之积. 能直接用公式吗？ 13 归纳总结 确定一元二次方程两根和与积的方法： (2) 确定a、b、c的值； (3) 根据x1＋x2 ＝，x1x2 ＝时求两根的和与积. (1) 方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)； 注意： ①利用公式的前提条件为 b2－4ac≥0；②“－”不要漏写. 14 新知巩固 1. 求下列方程两根的和与两根的积： (1) x2－4x＋1＝0； (2) 2x2－3x＝2； 解：(1) 设方程x2－4x＋1＝0 的两根分别是x1、x2 . ∵a＝1、b＝－4、c＝1， ∴x1＋x2＝－＝4，x1x2＝＝1. (2) 把方程化成一般形式，得2x2－3x－2＝0. 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a＝2、b＝－3、c＝－2， ∴x1＋x2＝－＝，x1x2＝＝－1. 新知巩固 1. 求下列方程两根的和与两根的积： (4) 4x2＝1. (3) 3x2＋2x＝0； 解：(3) 设方程3x2＋2x＝0的两根分别是x1、x2 . ∵a＝3、b＝2、c＝0， ∴x1＋x2＝－＝－，x1x2＝＝0. (4) 把方程化成一般形式，得4x2－1＝0. 设它的两根分别是x1、x2 . ∵a＝4、b＝0、c＝－1， ∴x1＋x2＝－＝0，x1x2＝＝－. 新知巩固 2. 下列结论是否正确？ (1)设x1、x2是一元二次方程x2＋5x＋6＝0的两个根，则x1＋x2＝5； 解：(1) 错误，x1＋x2＝－＝－5； (2)设x1、x2是一元二次方程x2－3x＝1的两个根，则x1·x2＝1. (2) 错误，x1·x2＝＝－1. 17 尝试与交流 小明在一本课外读物中读到如下一段文字： 一元二次方程x2－ x ＝0的两根是2＋和 2－． 你能写出这个方程中被墨迹污染的一次项系数和常数项吗？ 解：∵ 2＝－b， ∴ b＝－4，c＝1. ＝c， ∴ 一次项系数是－4，常数项是1. 18 新知巩固 1. 已知关于x的方程2x2＋mx＋50＝0的一个根是10，求它的另一个根和m的值. 解：设方程的两根分别是x1、10. ∵ a＝2，b＝m，c＝50， ∴ x1＋10＝－ ＝－，10x1＝＝25. ∴ x1＝，m＝－25. 19 新知巩固 2. 已知关于x的方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是＋1和－1，求b、c的值. 解：∵ ＝－b， ∴ b＝－2，c＝1. ＝c， 20 思维提升 例2 已知x1、x2 是方程 x2＋x－1＝0的两个实数根，求下列各式的值： (1) (x1－x2)2； (2) (x1＋) (x2＋). 解：根据根与系数的关系，可得x1＋x2＝－2，x1x2=－ . (1) (x1－x2)2＝x12＋x22－2x1x2 ＝ (x1＋x2)2－4x1x2 ＝ (－2)2－4×(－ ) ＝10； (2) (x1＋) (x2＋) ＝ x1x2＋1＋1＋ ＝(－ )＋2＋ ＝－ . 21 思维提升 例3 已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (1)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； 解：(1)∵ 该方程有两个不相等的实数根， ∴ k≠0且(2k＋1)2－4k(k＋2)＞0， 解得k＜且k≠0. ∴ k的取值范围是k＜且k≠0. 22 思维提升 例3 已知关于x的一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2＝0. (2)若该方程的两根x1、x2满足＋＝－3，求k的值. (2)∵一元二次方程kx2＋(2k＋1)x＋k＋2的两个根是x1、x2， ∴ x1＋x2＝－ ，x1x2＝. ∵ ＋ ＝－3，∴ ＝－3， 即 ＝－3，解得k=－5. 经检验，k=－5是原分式方程的解且符合题意，故k的值为－5. 23 根与系数的关系 (韦达定理)的内容 确定一元二次方程两根和与积的方法 注意：运用一元二次方程的根与系数的关系解答一元二次方程相关问题的前提条件是 b24ac≥0 (a≠0). 课堂总结 当堂检测 基础过关 1.设x1，x2是一元二次方程2x2＋6x－1＝0的两个根，则x1＋x2的值是(　　) A. －6   B. －3  C. 3   D. 6 B 25 当堂检测 基础过关 2. 在下列方程中，以3、－4为根的一元二次方程是(　　) A. x2－x－12＝0   B. x2＋x－12＝0   C. x2－x＋12＝0   D. x2＋x＋12＝0 B 26 当堂检测 基础过关 3. 对于一元二次方程2x2－3x＋4＝0，则该方程根的情况为 ( ) A．没有实数根 B．两根之和是3 C．两根之积是 D．有两个不相等的实数根 A 27 当堂检测 基础过关 4. 已知x1、x2是一元二次方程x2－4x＋3＝0的两根，则x1＋x2－x1x2的值为________. 1　 5. 若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根是－2，则方程的另一个根及m的值分别是__________. 0，0 28 当堂检测 基础过关 6. 已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是4＋、4－，求b、c的值. 解：∵关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两根分别是4＋、4－， ∴4＋＋4－＝－b，(4＋)(4－)＝c， ∴b＝－8，c＝11. 29 当堂检测 综合提升 1. 关于方程(x＋1)(x－2)＋1＝0的根的情况，下列结论中正确的是(　　) A.两个正根 B.两个负根 C.一个正根，一个负根 D.无实数根 C 30 当堂检测 综合提升 2.已知关于x的一元二次方程x2－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为x1、x2，且＋＝5，则k的值是 ( ) D A.－2 B.2 C.－1 D.1 31 当堂检测 综合提升 3. 若m，n是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个实数根，则m2＋4m＋2n的值是________. －3 4. 已知关于x的一元二次方程x2＋2x－2m＋1＝0的两个实数根之积为负数，则实数m的取值范围是 ___________.  m＞ 　 32 当堂检测 综合提升 5. 已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n，求＋的值. 解：∵ 一元二次方程2x2－3x－1＝0的两根分别为m、n， ∴ m＋n＝，mn＝－. ∴ ＋＝＝＝＝－. 33 当堂检测 综合提升 6. 已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根. (1)求实数m的取值范围； 解：(1)根据题意，得b2－4ac＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0， 解得m＞. 34 当堂检测 综合提升 (2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值. (2)设x1，x2是方程的两个根，根据题意，得 x1＋x2＝4，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜， 所以m的取值范围为＜m＜， 所以m＝1或 m＝2. 当m＝2时，方程的两个根都不是整数，舍去； 当m＝1时，x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，符合题意. 所以整数m的值为1. 35 2021 Blues 4800.0 $$