2.2二次函数的图象与性质 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

二次函数的图象与性质 九年级下册数学（北师版） 学习目标 1.二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系 2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 3.二次函数y=ax2+bx+c的图象与a，b，c之间的关系 回顾旧知 y＝ax2 y＝a(x－h)2 ＋k 上正下负 左加右减 一般地，二次函数y＝a(x－h)2 ＋k与y＝ax2的________相同，_______不同. 形状 位置 1 二次函数y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k之间的关系 探究： 如何画出y＝ x2－6x＋21的图象呢？ 我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝ x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？ y＝ x2－6x＋21 配 方 y＝ (x－6)2＋3. 你知道是怎样配方的吗？ 3.“化”：化成顶点式. y＝ (x2－12x)＋21 y＝ (x2－12x＋36－36)＋21 y＝ (x－6) 2＋21－18 y＝ (x－6) 2＋3 1. “提”：提出 二次项系数； 2.“配”：括 号内配成完全 平方式； 求二次函数y=ax2＋bx＋c的顶点式？ 配方： 提取二次项系数 配方：加上再减去一次项系数绝对值一半的平方 整理：前三项化为平方形式，后两项合并同类项 化简：去掉中括号 所以y=ax2＋bx＋c的对称轴是： 顶点坐标是： 例1 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标. 解：把二次函数y=ax2+bx+c的右边配方，得 y=ax2+bx+c 因此，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直 线x= ,顶点坐标是 例2 把下面的二次函数的一般式化成顶点式：y＝2x2－5x＋3. 导引：一般式化为顶点式有两种方法，一种是配方法，另一种 是代入公式法． 解法一：用配方法： y＝2 ＋3，(将含x项结合在一起，提取二次项系数) (按完全平方式的特点， 常数项为一次项系数一半的平方) (应用完全平方公式) 解法二：用公式法： 设顶点式为y＝a(x－h)2＋k.∵a＝2，b＝－5，c＝3， 总 结 配方法在因式分解，整式运算及解一元二次 方程中有广泛的应用，它有助于提高数学能力， 而公式法简便易掌握． 若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位长度，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线的表达式应变为(　　) A．y＝(x－2)2＋3 B．y＝(x－2)2＋5 C．y＝x2－1 D．y＝x2＋4 1 C 在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点旋转180°得到抛物线y＝x2＋5x＋6，则原抛物线的表达式是(　　) A． B． C． D． 2 A 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 思考：1.你能画出　　　　　　 的图象吗？ 2.如何直接画出　　　　　　 的图象？ 3.观察图象，二次函数　　　　　　　 的性质是什么？ 如果直接画二次函数y＝ x2－6x＋21的图象，可按如下步骤进行． 由配方的结果可知，抛物线y＝ x2－6x＋21的顶点是(6，3)，对称轴是x＝6. 先利用图象的对称性列表： x … 3 4 5 6 7 8 9 … y＝ … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 … 然后描点画图，得到y＝ 的图象(如图)． 从图中二次函数y＝ x2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大． 探究：你能用上面的方法讨论二次函数 y＝－2x2－4x＋1的图象和性质吗？ 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 开口方向 向上 向下 顶点坐标 对称轴　 直线x＝－ 直线x＝－ 续表： 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 增减性　 当x＜－ 时，y随x的增大而减小； 当x＞－ 时，y随x的增大而增大 当x＜－ 时，y随x的增大而增大； 当x＞－ 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－ 时，y有最小 值，为 当x＝－ 时，y有最大 值，为 1 对于二次函数y＝－ x2＋x－4，下列说 法正确的是(　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 B 如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A(0，2)，B(1，0)，C(2，1)，若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分(含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是(　　) A．b≤－2 B．b＜－2 C．b≥－2 D．b＞－2 2 C 3 二次函数y=ax2 +bx+c的图形与a,b,c之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 a a＞0 开口向上 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c＝0 图象过原点 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 导引：∵抛物线的开口向上，∴a＞0. ∵对称轴为直线x＝－ ＞0，∴b＜0. 又∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上， ∴c＜0.∴abc＞0. ∵x＝－ ＞1，∴－b＞2a，即2a＋b＜0. ∵当x＝1时，抛物线上对应的点在x轴的下方，∴y＝a＋ b＋c＜0.综上所述，abc，2a＋b，a＋b＋c这3个代数式 中，值为正数的只有abc. 例3 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么abc，2a＋ b，a＋b＋c这3个代数式中，值为正数的有(　　) A．3个　　　B．2个 　C．1个　 D.0个 C 总 结 二次函数y＝ax2＋bx＋c的各项系数的符号与图象位置间的 关系： (1)a决定抛物线的开口方向，简记为“正上负下”； (2)c决定抛物线与y轴的交点位置，简记为“上正下负 原点0”； (3)a、b的符号共同决定对称轴x＝ 的位置，简记为： “左同右异y轴0”；可以由各项系数的符号来决定图象 的位置，也可以由图象的位置来判断各项系数的符号． 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列说法正确的是(　　) A．abc＜0，b2－4ac＞0 B．abc＞0，b2－4ac＞0 C．abc＜0，b2－4ac＜0 D．abc＞0，b2－4ac＜0 1 B 一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(　　) 2 C 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m(am＋b)＋b＜a(m≠－1)．其中结论正确的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3 C 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质 知识小结 开口方向：当a＞0时，开口向上； 当a＜0时，开口向下； 顶点坐标： 对称轴：直线x＝－ 函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 增减性　 当x＜－ 时，y随x的增大而减小； 当x＞－ 时，y随x的增大而增大 当x＜－ 时，y随x的增大而增大； 当x＞－ 时，y随x的增大而减小 最值 当x＝－ 时，y有最小 值，为 当x＝－ 时，y有最大 值，为 以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是(　　) A．b≥ B．b≥1或b≤－1 C．b≥2 D．1≤b≤2 易错点：不善于结合方程的根的知识而致错 易错小结 A $$