2.1 二次函数 课件 2023—2024学年北师大版数学九年级下册

二次函数 北师版九年级下册数学 1、观察球的运行轨迹 4、观察隧道的顶部形状 3、观察桥的拉绳形状 2、观察跳水运动员的运动轨迹 函 数 变量间的关系 一次函数y=kx+b (k≠0) 直线 反比例函数 双曲线 二次函数 正比例函数y=kx(k≠0) 直线 温故知新 数学源于生活 例1：某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. 想一想 (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变 量？哪些是因变量？ (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y 与x之间的关系式. 实际问题数学化 若多种x棵树，则共有（100+x）棵橙子树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量是 你能根据表格中的数据作出猜想吗 y=(100+x)(600-5x)=-5x²+100x+60000. 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y /个 想一想 在种树问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？ x 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y 60420 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420 y=-5x²+100x+60000， 想一想 算数看“真经” 60455 60480 60495 60500 60495 60480 60455 60420 60420 你发现了吗？ 结论猜想 数学真奇妙 　　可以猜测：当x逐渐增大时，y也逐渐增大．当x取10时，y取最大值．x大于10时，y的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多． 6　　7　　8　　9　10　11　12　13　14 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，就是说，利率是一个变量. 在我国， 利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. ? 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税). y=100(x+1)²=100x²+200x+100. 想一想 身边的经济学 二次函数 y=-5x²+100x+60000， y=100x²+200x+100. 分析归纳 有何特点 y是x的函数吗？ y是x的一次函数吗？ y是x的反比例函数吗？ 定义： 一般地，形如y=ax²+bx+c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做x的二次函数. 二次函数 分析归纳 定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数. 提示: (1)关于x的代数式一定是整式，a，b，c为常数，且a≠0. (2)等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 例如：1、半径为r的圆的面积 S=πr2， 2、长为x、宽为（x+3）的长方形面积 S=x2+3x; 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 怎么判断 ? (3)y＝43+x2 (5)y＝2(x-3)²-2x². (6) v＝4πr². 随堂练习 实践感悟 （不是） （是） （不是） （是） （不是） （是） (1) y＝5x-2 (2) y＝4x2 2、圆的半径是1cm，假设半径增加x cm，圆的面积增加y cm2. （1）写出y与x的关系式； （2）当圆的半径增加1cm，2cm时，圆的面积各增加多少？ 随堂练习 实践感悟 ３.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S（m2）与矩形一边长a（m）之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 随堂练习 实践感悟 解：S=a( - a)=a(30-a) =30a-a² = -a²+30a . 是二次函数. (1)某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现：若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件；按每件25元销售时，每月能卖210件．假定每月销售的件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数． (1)试求y与x之间的函数关系式； (2)如果以每件x元销售时，每月可获得销售利润为w元，试写出w与x之间的关系式． 延伸拓展 延伸拓展 (1)y与x的函数关系式为 y＝－30x＋960； (2)w＝－30x2＋1440x－15360. 答案： 1、某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元．设矩形的一边长为xm，所花费用为y元． (1)请你写出y与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)估计当x取何值时，y有最大设计费用． 小试牛刀 心动不如行动 2、一个正方形的边长为12cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为(x＋1)cm的小长方形(0<x≤6)，则剩余部分的面积为y cm. (1)写出y与x之间的关系表达式，并指出y是x的什么函数； (2)当小长方形的长分别为2，4，6cm时，相应的剩余部分的面积是多少？ 小试牛刀 心动不如行动 定义中应该注意的几个问题: 回味无穷 1.定义：一般地，形如y=ax²+bx+c(a， b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠0) 的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0，b=0，c=0，). (2) y=ax²+c ------ (a≠0，b=0，c≠0). (3) y=ax²+bx ---- (a≠0，b≠0，c=0). 小结 拓展 定义中应该注意的几个问题: 2.定义的实质是：ax²+bx+c是整 式，自变量x的最高次数是二次， 自变量x的取值范围是全体实数. 小结 拓展 $$