第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题（三大题型归纳+分层练）-2024年新高一数学暑假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019必修一）

第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 在R上的恒成立问题 2 题型02 在给定区间上恒成立的问题 4 题型03 简单的能成立问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 13 创新拓展 23 题型01 在R上的恒成立问题 【解题策略】 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例分析】 【例1】已知∀x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 【变式演练】 【变式1】若对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　) A．{m|m≥2} B．{m|0<m≤2} C．{m|0≤m≤2} D．{m|0≤m≤4} 【变式2】已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为________． 【变式3】定义运算＝ad－bc，若不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________. 题型02 在给定区间上恒成立的问题 【解题策略】 　在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例分析】 【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 【变式演练】 【变式1】命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 【变式2】若当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} 【变式3】对于∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 【变式4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 题型03 简单的能成立问题 【解题策略】 解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 【典例分析】 【例3】当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________________． 【变式演练】 【变式1】关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 【变式2】若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 【变式3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1,0)，且与反比例函数y＝交于点M(3,4)， (1)求二次函数与反比例函数的表达式； (2)若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求参数m的取值范围． 【夯实基础】 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•鄠邑区期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 2．（2023秋•大通县期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，或 D． 3．（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 二．多选题（共2小题） 4．（2023秋•湖北期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． （多选）5．（2023秋•南岗区校级月考）当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的范围可以是（　　） A．﹣13＜m＜﹣9 B．﹣9＜m＜﹣5 C．﹣5＜m＜﹣1 D．﹣1＜m＜3 三．填空题（共3小题） 6．（2023秋•汕尾期末）若对，恒成立，则实数的取值范围是 　 　． 7．（2023秋•丰台区期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为 　 　． 8．（2023秋•商丘期中）若不等式对一切正数恒成立，则实数的取值范围是 　 　 四．解答题（共2小题） 9．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围； （2）已知二次不等式的解集为，且，求的值． 10．（2023秋•宿州期中）已知命题“，都有成立”为真命题． （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【能力提升】 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•西湖区校级月考）“关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立”的一个必要不充分条件是（　　） A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣2＜a≤0} C．{a|﹣2＜a＜1} D．{a|a＜﹣2或a≥0} 2．设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4<0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|－2≤a≤2} C．{a|－2<a<2} D．{a|a<2} 4．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是(　　) A．a<－3 B．a<－4 C．a<0 D．a>0 二、填空题 5．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 三．解答题（共8小题） 6．（2023秋•西安期中）已知不等式． （1）当时，求不等式解集； （2）是否存在实数对所有的实数使不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 7．（2023秋•金溪县校级月考）已知关于的不等式的解集为或， （1）求，的值； （2）当，，求满足时，有恒成立，求的取值范围． 8．（2023秋•鼓楼区校级期中）设，． （1）若“，”是真命题，求实数的取值范围； （2）解关于的一元二次不等式． 9．（2023秋•迎江区校级月考）已知关于的不等式对于恒成立． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式． 10．（2023秋•大理市校级月考）（1）解这个关于的不等式； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 11．（2023秋•六盘水期中）（1）对于x∈R，ax2＜1﹣2ax恒成立，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式x2﹣a2＜2x﹣2a． 12．设函数f（x）＝x2﹣ax+b． （1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集； （2）若f（﹣2）＝8，m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，求实数m的取值范围． 13．已知命题：“∀x∈R，x2﹣x﹣m＞0恒成立“是真命题， （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 【创新拓展】 一、选择题（共1小题） 1．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．R B．{m|m<3} C．{m|m<1或m>2} D．{m|1<m<3} 一．填空题（共1小题） 2．已知a＜0，若（4x2+a）（2x+b）≥0在x∈（a，b）上恒成立，则0 　∉　（a，b）（用“∈”、“∉”、“关系不能确定”填空）；b﹣a的最大值为 　　． 二．解答题（共1小题） 3．已知关于x的函数f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1． （1）当a＝2时，求f（x）≥0的解集； （2）若不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0对满足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立，求x的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第16讲 重难点拓展：不等式恒成立、能成立问题 【人教A版2019必修一】 目录 题型归纳 1 题型01 在R上的恒成立问题 2 题型02 在给定区间上恒成立的问题 4 题型03 简单的能成立问题 6 分层练习 8 夯实基础 8 能力提升 13 创新拓展 23 题型01 在R上的恒成立问题 【解题策略】 转化为一元二次不等式解集为R的情况 ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立⇔ ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立⇔ 提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，则一定要讨论二次项系数是否为0. 【典例分析】 【例1】已知∀x∈R，不等式kx2＋2kx－(k＋2)<0恒成立，求实数k的取值范围． 解　当k＝0时，原不等式化为－2<0，显然符合题意； 当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－(k＋2)， ∵y<0恒成立， ∴其图象都在x轴的下方， 即开口向下，且与x轴无交点． ∴解得－1<k<0. 综上，实数k的取值范围是{k|－1<k≤0}． 【变式演练】 【变式1】若对于任意x∈R，都有意义，则m的取值范围是(　　) A．{m|m≥2} B．{m|0<m≤2} C．{m|0≤m≤2} D．{m|0≤m≤4} 答案　C 解析　令y＝， 当m＝0时，函数y＝，符合题意； 当m≠0时，mx2＋2mx＋2≥0恒成立， 则即解得0<m≤2， 综上，实数m的取值范围是{m|0≤m≤2}． 【变式2】已知∀x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围为________． 答案　{a|－6≤a≤2} 解析　原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0， ∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图象开口向上， ∴Δ＝a2－4(3－a)＝a2＋4a－12≤0， 即(a－2)(a＋6)≤0，∴－6≤a≤2， ∴实数a的取值范围为{a|－6≤a≤2}． 【变式3】定义运算＝ad－bc，若不等式<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是 ______________________. 答案　{a|－4<a≤0} 解析　原不等式为ax(x＋1)－1<0，即ax2＋ax－1<0，当a＝0时，不等式为－1<0，符合题意； 当a≠0时，有解得－4<a<0. 综上所述，a的取值范围是{a|－4<a≤0}. 题型02 在给定区间上恒成立的问题 【解题策略】 　在给定范围上的恒成立问题 (1)当a>0时，ax2＋bx＋c<0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0. (2)当a<0时，ax2＋bx＋c>0在x∈{x|α≤x≤β}上恒成立⇔y＝ax2＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0. 【典例分析】 【例2】当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围． 解　令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. 如图，可得 解得m<－5， ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}． 【变式演练】 【变式1】命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A．a≥4 B．a≥5 C．a≤4 D．a≤5 答案　B 解析　因为命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”是真命题， 所以当1≤x≤2时，a≥x2恒成立， 所以a≥4， 结合选项，该命题为真命题的一个充分不必要条件是a≥5. 【变式2】若当1≤x≤2时，x2－ax>0恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A．{a|a≥1} B．{a|a>1} C．{a|a≤1} D．{a|a<1} 答案　D 解析　x2－ax>0在1≤x≤2上恒成立等价于x－a>0在1≤x≤2上恒成立，故1－a>0，即a<1. 【变式3】对于∀x∈{x|2≤x≤3}，不等式mx2－mx－1<0恒成立，求m的取值范围． 解　由不等式mx2－mx－1<0，得m(x2－x)<1， 因为x∈{x|2≤x≤3}，所以x2－x>0， 所以m(x2－x)<1可化为m<， 因为x2－x＝2－≤6， 所以≥，所以m<. 即m的取值范围是. 【变式4】已知函数y＝mx2－mx－6＋m，若对于1≤m≤3，y<0恒成立，求实数x的取值范围． 解　由题意得y＝mx2－mx－6＋m<0， 即(x2－x＋1)m－6<0. ∵1≤m≤3， ∴x2－x＋1<恒成立， ∴x2－x＋1<，即x2－x－1<0， 解得<x<. ∴实数x的取值范围为. 题型03 简单的能成立问题 【解题策略】 解决能成立问题的方法 (1)结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决． (2)对一些简单的问题，可转化为m>ymin或m<ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范围． 【典例分析】 【例3】当1<x<2时，关于x的不等式x2＋mx＋4>0有解，则实数m的取值范围为________________． 答案　{m|m>－5} 解析　记y＝x2＋mx＋4，则由二次函数的图象(图略)知，不等式x2＋mx＋4>0(1<x<2)有解，即m＋5>0或2m＋8>0，解得m>－5. 【变式演练】 【变式1】关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立； 若a＝－1，不等式为2x－1≤0， 解得x≤，不符合题意． 当a2－1≠0时， 若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R， 则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0， 解得－≤a<1. 综上可得，实数a的取值范围是. 【变式2】若存在x∈R，使得≥2成立，求实数m的取值范围． 解　∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0， ∴4x＋m≥2(x2－2x＋3)能成立， ∴m≥2x2－8x＋6能成立， 又2x2－8x＋6＝2(x－2)2－2≥－2， ∴m≥－2， ∴实数m的取值范围为{m|m≥－2}． 【变式3】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A(1，－2)，B(－1,0)，且与反比例函数y＝交于点M(3,4)， (1)求二次函数与反比例函数的表达式； (2)若对∀x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求参数m的取值范围． 解　(1)∵点M(3,4)在反比例函数y＝的图象上， ∴4＝，解得k＝12， ∴反比例函数的表达式为y＝. ∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象过点A，B，M， ∴解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2－x－2. (2)由(1)知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2， 故有x2－x－2≥mx－3在R上恒成立， 即x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立， ∴Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3≤0， 解得－3≤m≤1. 即m的取值范围是{m|－3≤m≤1}． 【夯实基础】 一．选择题（共3小题） 1．（2023秋•鄠邑区期末）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是　　 A． B．， C．， D．， 【分析】由题意可知不等式恒成立，分和两种情况讨论，结合二次函数的性质求解即可． 【解答】解：不等式恒成立，即不等式恒成立， ①当时，不等式化为，显然恒成立，符合题意， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围是，． 故选：． 【点评】本题主要考查了不等式恒成立问题，属于基础题． 2．（2023秋•大通县期末）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是　　 A． B． C．，或 D． 【分析】由已知对进行分类讨论，然后结合二次函数的性质即可求解． 【解答】解：当 时，显然成立； 当 时，要使问题成立，则，解得， 所以实数的取值范围为． 故选：． 【点评】本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题． 3．（2023秋•朝阳区校级期中）已知不等式的解集为，且不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】由题意可知1和2是方程的两个根，进而求出的值，再结合二次函数的性质求解． 【解答】解：不等式的解集为， 和2是方程的两个根， ， ， 即不等式对于任意的恒成立， 当，即或6时， 若，则不等式化为，对于任意的恒成立，符合题意， 若，则不等式化为，解得，不符合题意，舍去， 当且时，则， 解得或， 综上所述，实数的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题主要考查了“三个二次”的关系，考查了不等式恒成立问题，属于中档题． 二．多选题（共2小题） 4．（2023秋•湖北期末）设，不等式恒成立的充分不必要条件可以是　　 A． B． C． D． 【分析】先求出不等式恒成立时的的范围，由题意可知所选不等式对应的集合应为的范围对应集合的真子集，结合选项即可判断出答案． 【解答】解：当时，不等式为，满足题意； 时，则必有且△， 解得， 故的取值范围为， 由题意知所选不等式恒成立的充分不必要条件中不等式相应集合应为，的真子集， 故选项，满足条件． 故选：． 【点评】本题考查一元二次不等式恒成立问题，考查充分不必要条件的应用，属于基础题． （多选）5．（2023秋•南岗区校级月考）当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的范围可以是（　　） A．﹣13＜m＜﹣9 B．﹣9＜m＜﹣5 C．﹣5＜m＜﹣1 D．﹣1＜m＜3 【分析】设f（x）＝x2+mx+4，由二次函数的性质可得，从而求出m的取值范围． 【解答】解：设f（x）＝x2+mx+4， ∵当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立， ∴， 解得m≤﹣5． 故选：AB． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，属于基础题． 三．填空题（共3小题） 6．（2023秋•汕尾期末）若对，恒成立，则实数的取值范围是 　　． 【分析】利用判别式小于0，即可求解． 【解答】解：由题意知：对，恒成立， 则△，解得， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查二次不等式的解法，属于基础题． 7．（2023秋•丰台区期末）能说明“关于的不等式在上恒成立”为假命题的实数的一个取值为 　0（答案不唯一）　． 【分析】根据“关于的不等式在上恒成立”为假命题，可知存在值，使不等式，从而利用二次函数的性质算出的取值范围，可得答案． 【解答】解：当“关于的不等式在上恒成立”为假命题时， 命题“存在，使不等式”为真命题， 记，则的最小值小于或等于0， 即，，整理得，即或， 因此，的取值范围是，，，符合题意的的一个取值为． 故答案为：0（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法、含有量词的命题及其否定、二次函数的性质等知识，属于基础题． 8．（2023秋•商丘期中）若不等式对一切正数恒成立，则实数的取值范围是 　，　 【分析】分离参数，得，利用基本不等式可求得，从而可得实数的取值范围． 【解答】解：不等式对一切正数恒成立， ， ， （当且仅当时取等号）， ， ， 故答案为：，． 【点评】本题考查一元二次不等式及其应用，考查分离参数法与基本不等式法的应用，属于中档题． 四．解答题（共2小题） 9．（2023秋•呼和浩特期末）（1）若关于的不等式对都成立，求的取值范围； （2）已知二次不等式的解集为，且，求的值． 【分析】（1）讨论时和时，利用判别式△求出的取值范围； （2）由题意知、是对应方程的实数根，利用根与系数的关系即可求出的值． 【解答】解：（1）时，不等式为，满足题意； 时，应满足，解得， 所以的取值范围是； （2）由题意知，、是方程的实数根，且， 由根与系数的关系知，， 因为，所以， 解得． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题． 10．（2023秋•宿州期中）已知命题“，都有成立”为真命题． （1）求实数的取值集合； （2）设不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【分析】（1）由△计算可得； （2）首先求出集合，依题意可得，从而得到或，解得即可． 【解答】解：（1），成立， △，即，解得， ． （2）由，即， ，解得或， 或， “”是“”的充分条件， ，或，即或． 实数的取值范围是，，． 【点评】本题考查二次不等式的解法，属于基础题． 【能力提升】 一．选择题（共4小题） 1．（2023秋•西湖区校级月考）“关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立”的一个必要不充分条件是（　　） A．{a|﹣1≤a≤0} B．{a|﹣2＜a≤0} C．{a|﹣2＜a＜1} D．{a|a＜﹣2或a≥0} 【分析】根据题意，先求出不等式恒成立的a的取值范围，再利用充分条件与必要条件的定义逐项判断． 【解答】解：当a＝0时，不等式ax2﹣2ax﹣2＜0，即﹣2＜0恒成立； 当a≠0时，要使不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立，则，解得﹣2＜a＜0， 综上所述，关于x的不等式ax2﹣2ax﹣2＜0恒成立的a的取值范围是{a|﹣2＜a≤0}． 所以，{a|﹣1≤a≤0}是{a|﹣2＜a≤0}的充分不必要条件，故A错误； {a|﹣2＜a≤0}是{a|﹣2＜a≤0}的充要条件，故B错误； {a|﹣2＜a＜1}是{a|﹣2＜a≤0}的必要不充分条件，故C正确； {a|a＜﹣2或a≥0}是{a|﹣2＜a≤0}的既不充分也不必要条件，故D错误． 故选：C． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式恒成立先求出a的等价条件是解决本题的关键． 2．设p：“∀x∈R，x2－mx＋1>0”，q：“－2≤m≤2”，则p是q成立的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵∀x∈R，x2－mx＋1>0， ∴Δ＝m2－4<0， ∴－2<m<2， ∴p：－2<m<2. 由集合间的关系可知，p是q成立的充分不必要条件． 3．若不等式(a－3)x2＋2(a－2)x－4<0对于一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　) A．{a|a≤2} B．{a|－2≤a≤2} C．{a|－2<a<2} D．{a|a<2} 答案　C 解析　当a－3＝0，即a＝3时，不等式化为2x－4<0，解得x<2，不满足题意； 当a≠3时， 需满足 解得 ∴－2<a<2. 综上，实数a的取值范围是{a|－2<a<2}． 4．对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件是(　　) A．a<－3 B．a<－4 C．a<0 D．a>0 答案　C 解析　因为x2－2x＋a<0， 所以a<－x2＋2x， 又因为－1≤x≤2， －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≥－3， 所以a<－3， 又因为求“对任意x满足－1≤x≤2，不等式x2－2x＋a<0成立的必要不充分条件”． 所以C正确． 二、填空题 5．关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R，则实数a的取值范围是________． 答案　 解析　当a2－1＝0时，a＝1或a＝－1， 若a＝1，不等式为－1≤0，恒成立； 若a＝－1，不等式为2x－1≤0， 解得x≤，不符合题意． 当a2－1≠0时， 若要不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1≤0的解集为R， 则a2－1<0，且Δ＝(a－1)2＋4(a2－1)≤0， 解得－≤a<1. 综上可得，实数a的取值范围是. 三．解答题（共8小题） 6．（2023秋•西安期中）已知不等式． （1）当时，求不等式解集； （2）是否存在实数对所有的实数使不等式恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当时，不等式为，即，从而即可求出该不等式的解集； （2）不等式恒成立，等价于函数的图象恒在轴下方，从而分类讨论和两种情况即可判断是否存在满足题意的实数． 【解答】（1）当时，不等式为，即，则解集为， （2）不等式恒成立，即函数的图象在轴下方． 当时，，则，不满足题意； 当时，函数为二次函数，其图象需满足开口向下且与轴没有公共点， 则，不等式组的解集为空集，即不存在． 综上，不存在这样的实数使不等式恒成立． 【点评】本题考查一元二次不等式的求解，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题． 7．（2023秋•金溪县校级月考）已知关于的不等式的解集为或， （1）求，的值； （2）当，，求满足时，有恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）由1和是方程的两个实数根，利用韦达定理列式计算即可； （2）由（1）得，利用基本不等式能求出的最小值，由此能求出结果． 【解答】解：（1）因为不等式的解集为或， 所以1和是方程的两个实数根，且， 所以， 解得，． （2）由（1）知， ，，， 记，则，解得， 当且仅当，即时，取等号， 的最小值为8， 满足时，有恒成立， 则，解得， 的取值范围是． 【点评】本题考查一元二次不等式的性质及解法、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 8．（2023秋•鼓楼区校级期中）设，． （1）若“，”是真命题，求实数的取值范围； （2）解关于的一元二次不等式． 【分析】（1）根据一元二次不等式的恒成立的求解方法求解； （2）利用含参一元二次不等式的解法，分类讨论求解． 【解答】解：（1）由题得，“，”是真命题， 若，则恒成立，满足题意； 若，要使“，”是真命题， 则必有，解得， 综上实数的取值范围是，． （2）因为是一元二次不等式，所以， 又由可得，， 方程的两个根为， 若，即时，原不等式的解为，，； 若，即时，原不等式的解集为； 若，即时，原不等式的解集为； 若，即时，原不等式的解集为； 综上，时，解集为；时，解集为，，；时，解集为；时，解集为． 【点评】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，也考查了字母系数的一元二次不等式解法与应用问题，是中档题． 9．（2023秋•迎江区校级月考）已知关于的不等式对于恒成立． （1）求的取值范围； （2）在（1）的条件下，解关于的不等式． 【分析】（1）讨论是否为0，可解． （2）根据，可得，又根据，讨论与的大小，从而可解， 【解答】解：（1）当时，不等式恒成立， 当时，若不等式对于恒成立．则，得， 综上，的取值范围为，． （2），且， ， 又， ①当，即时，则， ②当，即时，，无解， ③当，即时，则， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，属于中挡题． 10．（2023秋•大理市校级月考）（1）解这个关于的不等式； （2）若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）先求出方程的两个根为1，，再分类讨论的值即可． （2）把不等式对任意实数恒成立，转化为△，再解关于的不等式即可． 【解答】解：（1）方程的两个根为1，， ①若，或， ②若，， ③若，或， 综上：若时，不等式的解集为或， 若时，不等式的解集为或， 若时，不等式的解集为． （2）不等式对任意实数恒成立， △，， ． 实数的取值范围，． 【点评】本题考查含有字母系数的一元二次不等式的解法以及恒成立问题，考查了分类讨论思想，属于中档题． 11．（2023秋•六盘水期中）（1）对于x∈R，ax2＜1﹣2ax恒成立，求a的取值范围； （2）解关于x的不等式x2﹣a2＜2x﹣2a． 【分析】（1）由已知结合二次函数的性质即可求解； （2）先对已知不等式进行变形，然后结合二次不等式的求法可求． 【解答】解：（1）由题可得ax2+2ax﹣1≤0恒成立， 当a＝0时，﹣1≤0恒成立，则a＝0，满足题意； 当a≠0时，则，解得﹣1＜a＜0， 所以a的取值范围是{a|﹣1＜a≤0}． （2）由题可得x2﹣2x﹣a2+2a＜0，得（x﹣a）[x﹣（2﹣a）]＜0， ①当2﹣a＞a时，即当a＜1时，解得a＜x＜2﹣a； ②当2﹣a＝a时，即当a＝1时，原不等式无解； ③当2﹣a＜a时，即当a＞1时，解得2﹣a＜x＜a， 综上可得： 当a＜1时，原不等式的解集为{x|a＜x＜2﹣a}； 当a＝1时，原不等式的解集为∅； 当a＞1时，原不等式的解集为{x|2﹣a＜x＜a}． 【点评】本题主要考查了二次不等式恒成立求解参数范围，还考查了含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题． 12．设函数f（x）＝x2﹣ax+b． （1）若不等式f（x）＜0的解集是{x|1＜x＜4}，求不等式bx2﹣ax+1＞0的解集； （2）若f（﹣2）＝8，m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，求实数m的取值范围． 【分析】（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根，再由韦达定理求得a和b的值，再代入解不等式，即可； （2）由f（﹣2）＝8，可得2a+b＝4，再结合基本不等式推出ab≤2，然后由m2﹣3m﹣8≥（ab）max，解不等式即可． 【解答】解：（1）由题意知，1和4是方程x2﹣ax+b＝0的两根， 所以，解得a＝5，b＝4， 所以不等式bx2﹣ax+1＞0为4x2﹣5x+1＞0，即（4x﹣1）（x﹣1）＞0， 解得x或x＞1， 故不等式的解集为{x|x或x＞1}． （2）f（﹣2）＝4+2a+b＝8，即2a+b＝4， 所以ab•2a•b••2，当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立， 所以ab的最大值为2， 要使m2﹣3m﹣8≥ab对于任意的正数a，b恒成立，则m2﹣3m﹣8≥（ab）max＝2， 所以m2﹣3m﹣10≥0，即（m﹣5）（m+2）≥0， 解得m≤﹣2或m≥5， 故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）． 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，一元二次不等式的恒成立问题，基本不等式的应用等，有一定的综合性，考查转化思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 13．已知命题：“∀x∈R，x2﹣x﹣m＞0恒成立“是真命题， （1）求实数m的取值集合B； （2）设不等式（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＜0的解集为A，若A∪B＝B，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据根的判别式得到Δ＜0，解之即可； （2）讨论3a和a+2的大小关系，根据A是B的子集列不等式求出a的范围． 【解答】解：（1）因为“∀x∈R，x2﹣x﹣m＞0恒成立“是真命题， 所以Δ＝1+4m＜0，解得m， 即集合B＝（﹣∞，）； （2）解方程（x﹣3a）（x﹣a﹣2）＝0可得x＝3a或x＝a+2． ①若3a＜a+2，则A＝（3a，a+2）， 若A∪B＝B，即A⊆B，则，解得a＜1； ②若3a＝a+2，即a＝1，则A＝∅，显然A⊆B，符合题意； ③若3a＞a+2，则A＝（a+2，3a）， 若A⊆B，则，解得a＞1． 综上，a的取值范围是[，+∞）． 【点评】本题考查了集合的包含关系，一元二次不等式的解法，二次函数的性质，属于基础题． 【创新拓展】 一、选择题（共1小题） 1．如果不等式<1对一切实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　) A．R B．{m|m<3} C．{m|m<1或m>2} D．{m|1<m<3} 答案　D 解析　∵4x2＋6x＋3＝4＋ ＝42＋>0， ∴2x2＋2mx＋m<4x2＋6x＋3， 即2x2＋(6－2m)x＋3－m>0对∀x∈R恒成立， Δ＝(6－2m)2－2×4(3－m)＝4m2－24m＋36－24＋8m＝4m2－16m＋12<0， ∴1<m<3， 故m的取值范围为{m|1<m<3}． 一．填空题（共1小题） 2．已知a＜0，若（4x2+a）（2x+b）≥0在x∈（a，b）上恒成立，则0 　∉　（a，b）（用“∈”、“∉”、“关系不能确定”填空）；b﹣a的最大值为 　　． 【分析】假设0∈（a，b），从而可得ab≥0，0∈（a，b）矛盾，从而求得0∉（a，b），由恒成立得当x＝a时，（4a2+a）（2a+b）≥0，从而可得4a2+a≤0，即可得到，类似方法一求最大值即可． 【解答】解：假设0∈（a，b）， 则x＝0时不等式成立，即ab≥0， ∵a＜0，∴b≤0， 与0∈（a，b）矛盾，故0∉（a，b）； ∵（4x2+a）（2x+b）≥0在x∈（a，b）上恒成立， ∴当x＝a时，（4a2+a）（2a+b）≥0， ∵2a+b≤0，∴4a2+a≤0， 解得，∴， 当，b＝0时，等号成立， 即b﹣a的最大值为． 故答案为：∉；． 【点评】本题考查了不等式的综合应用，考查了逻辑思维及化简运算的能力，属于难题． 二．解答题（共1小题） 3．已知关于x的函数f（x）＝a2x2+2ax﹣a2+1． （1）当a＝2时，求f（x）≥0的解集； （2）若不等式a2x2+2ax﹣a2+1≥0对满足a∈[﹣2，2]的所有a恒成立，求x的取值范围． 【分析】（1）a＝2时不等式为4x2+4x﹣3≥0，求出解集即可； （2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1，a∈[﹣2，2]，问题化为g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，讨论x的取值范围，求出g（a）min，判断g（a）min是否大于或等于0，从而求出x的取值范围． 【解答】解：（1）a＝2时，函数f（x）＝4x2+4x﹣3，不等式f（x）≥0为4x2+4x﹣3≥0， 即（2x+3）（2x﹣1）≤0， 解得x或x， 所以不等式的解集为（﹣∞，]∪[，+∞）； （2）设g（a）＝a2x2+2ax﹣a2+1＝（x2﹣1）a2+2xa+1，a∈[﹣2，2]， 根据题意知，g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立， ①当x2﹣1＝0时，解得x＝±1， 若x＝1，则g（a）＝2a+1在[﹣2，2]上单调递增，且g（a）min＝g（﹣2）＝﹣3＜0，不合题意． 若x＝﹣1，则g（a）＝﹣2a+1在[﹣2，2]上单调递减，且g（a）min＝g（2）＝﹣3＜0，不合题意． ②当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1时，g（a）的图象为开口向下的抛物线，要使g（a）≥0在[﹣2，2]上恒成立，需， 即，解得，即x或x， 又因为﹣1＜x＜1，所以此时无解． ③当x2﹣1＞0，即x＜﹣1或x＞1时，g（a）为开口向上的抛物线，其对称轴方程为a， （i）当2，即1＜x时，g（a）在[﹣2，2]上单调递增，所以g（a）min＝g（﹣2）＝4x2﹣4x﹣3≥0，解得x或x， 因为，1，所以此时无解． （ii）当﹣22，即x或x时，g（a）在[﹣2，]上单调递减，在[，2]上单调递增， 所以g（a）min＝g（）0，此时无解． （iii）当2，即x＜﹣1时，g（a）在[﹣2，2]上单调递减，所以g（a）min＝g（2）＝4x2+4x﹣3≥0，解得x或x， 因为，1，此时无解． 综上，x的取值范围是∅． 【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是难题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$