导数的概念及运算专项训练——2025届高三数学一轮复习

导数的概念及运算 一、单项选择题 1．已知某容器的高度为20 cm，现在向容器内注入液体，且容器内液体的高度h(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系式为h＝＋t2，当t＝t0时，液体上升高度的瞬时变化率为3 cm/s，则当t＝t0＋1时，液体上升高度的瞬时变化率为(　　) A．5 cm/s　　　　　 B．6 cm/s C．8 cm/s 　 D．10 cm/s 2．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x 　 B．y＝2x C．y＝x 　 D．y＝ex 3．已知函数f (x)＝2cos x－f ′sin x，则f ′＝(　　) A． 　 B．－ C．2 　 D．－2 4．已知直线y＝x是曲线f (x)＝ln x＋a的切线，则a＝(　　) A．－1　　 B．1 C．－2　　 D．2 5．若P为函数f (x)＝ex－x图象上的一个动点，以P为切点作曲线y＝f (x)的切线，则切线倾斜角的取值范围是(　　) A． 　 B． C． 　 D． 6．牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程f (x)＝0的根就是函数f (x)的零点r，取初始值x0，f (x)的图象在横坐标为x0的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x1，f (x)的图象在横坐标为x1的点处的切线与x轴的交点的横坐标为x2，一直继续下去，得到x1，x2，…，xn，它们越来越接近r.若f (x)＝x2－2(x>0)，x0＝2，则用牛顿迭代法得到的r的近似值x2约为(　　) A．1.438 　 B．1.417 C．1.416 　 D．1.375 二、多项选择题 7．已知函数f (x)及其导函数f ′(x)，若存在x0，使得f (x0)＝f ′(x0)，则称x0是f (x)的一个“巧值点”．下列选项中有“巧值点”的函数是(　　) A．f (x)＝x2 　 B．f (x)＝e－x C．f (x)＝ln x 　 D．f (x)＝tan x 8．已知函数f (x)＝ex＋2(e为自然对数的底数)，则下列结论正确的是(　　) A．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是－2 B．曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3 C．过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条 D．过点(1，4)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条 三、填空题 9．曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 10．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：记y＝f ′(x)为y＝f (x)的导函数，y＝f ′′(x)为y＝f ′(x)的导函数，则曲线y＝f (x)在点(x，f (x))处的曲率为K＝.曲线f (x)＝ln x－cos (x－1)在点(1，f (1))处的曲率为 ________． 四、解答题 11．已知两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线． (1)求a，b，c的值； (2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积； (3)若曲线y＝ln (bx－1)上的点M到直线2x－y＋3＝0的距离最短，求点M的坐标和最短距离． 12．已知函数f (x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)． (1)若函数f (x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值； (2)若曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围． 13．若过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则点(a，b)可以是(　　) A．(0，0)　　　 B．(1，1) C．(3，0) 　 D．(3，4) 参考答案 1．C　[由h＝t3＋t2，得h′＝t2＋2t. 当t＝t0时，h′＝＋2t0＝3，解得t0＝1(t0＝－3舍去)． 故当t＝t0＋1＝2时，液体上升高度的瞬时变化率为22＋2×2＝8 cm/s.故选C.] 2．A　[由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2， 设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)， 把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1， 解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A.] 3．B　[因为f (x)＝2cos x－f ′sin x， 所以f ′(x)＝－2sin x－f ′cos x， 故f ′＝－2sin －f ′cos ， 即f ′＝－f ′， 所以f ′＝－.故选B.] 4．B　[由f (x)＝ln x＋a，得f ′(x)＝，令直线y＝x与曲线f (x)＝ln x＋a相切的切点为(x0，ln x0＋a)，于是＝1且ln x0＋a＝x0，所以a＝x0＝1.故选B.] 5．D　[设P点坐标为(x0，y0)， 由f (x)＝ex－x，x∈R，得f ′(x)＝ex－， 则以P为切点的切线斜率为－>－， 令切线倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ>－， 则θ∈.故选D.] 6．B　[f ′(x)＝2x，而x0＝2，则f ′(x0)＝4，又f (x0)＝2，于是函数f (x)的图象在横坐标为x0＝2的点处的切线方程为y－2＝4(x－2)， 令y＝0，得x1＝，则f ′(x1)＝3，f (x1)＝－2＝， 因此函数f (x)的图象在横坐标为x1＝的点处的切线方程为y－＝3，令y＝0，得x2＝≈1.417，所以x2约为1.417.故选B.] 7．AC　[若f (x)＝x2，则f ′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，方程显然有解，故A符合要求；若f (x)＝e－x，则f ′(x)＝－e－x，令e－x＝－e－x，此方程无解，故B不符合要求；若f (x)＝ln x，则f ′(x)＝，令ln x＝，在同一直角坐标系内作出函数y＝ln x与y＝的图象(作图略)，可得两函数的图象有一个交点，所以方程f (x)＝f ′(x)存在实数解，故C符合要求；若f (x)＝tan x，则f ′(x)＝′＝，令tanx＝，化简得sinx cos x＝1，变形可得sin 2x＝2，无解，故D不符合要求．故选AC.] 8．BCD　[因为f (x)＝ex＋2，所以f ′(x)＝ex， 对于A，令f ′(x)＝ex＝－2，方程无解，所以曲线y＝f (x)的切线斜率不可以是－2，故A错误； 对于B，令f ′(x)＝ex＝3，解得x＝ln 3，所以曲线y＝f (x)的切线斜率可以是3，故B正确； 对于C，设切点＋2)，则切线方程为－2＝(x－x0)，因为点(0，2)在切线上， 所以－2＝(0－x0)，即＝，显然≠0，所以x0＝1， 故过点(0，2)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有1条，故C正确； 对于D，设切点＋2)，则切线方程为－2＝(x－x1)， 因为点(1，4)在切线上，所以－2＝(1－x1)，即＋2＝0， 令g(x)＝xex－2ex＋2，则g′(x)＝(x－1)ex，所以当x<1时g′(x)<0，当x>1时g′(x)＞0， 所以g(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝0，g(1)＝2－e<0，g(2)＝2，所以存在x2∈(1，2)使得g(x2)＝0， 所以方程＋2＝0有且仅有两个实数根， 所以过点(1，4)且与曲线y＝f (x)相切的直线有且只有2条，故D正确．故选BCD.] 9．5x－y＋2＝0　[因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0．] 10．0　[因为f (x)＝ln x－cos (x－1)， 所以f ′(x)＝＋sin (x－1)，f ′′(x)＝－＋cos (x－1)， 则f ′(1)＝＋sin 0＝1，f ′′(1)＝－＋cos 0＝0， 所以曲线y＝f (x)在点(1，f (1))处的曲率为K＝＝＝0．] 11．解：(1)由y＝x3＋ax，得y′＝3x2＋a，由y＝x2＋bx＋c，得y′＝2x＋b， 又两曲线y＝x3＋ax和y＝x2＋bx＋c都经过点P(1，2)，且在点P处有公切线， ∴解得a＝1，b＝2，c＝－1. (2)由y＝x2＋2x－1，得y′＝2x＋2，则y′|x＝1＝4， ∴y＝x2＋2x－1在点P(1，2)处的切线方程为y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 则两曲线的公切线方程为4x－y－2＝0，取y＝0，得x＝，取x＝0，得y＝－2. ∴公切线与坐标轴围成的三角形的面积S＝×2＝. (3)由y＝ln (bx－1)＝ln (2x－1)，得y′＝，由＝2，得x＝1. ∴y＝ln (2×1－1)＝0，即M(1，0)，点M到直线2x－y＋3＝0的最短距离为＝. 12．解：f ′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)． (1)由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. (2)因为曲线y＝f (x)存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－. 所以a的取值范围为. 13．C　[设切点坐标为(t，t2－2t), y′＝2x－2， 所以曲线y＝x2－2x在点(t，t2－2t)处的切线方程为y－(t2－2t)＝(2t－2)(x－t)，即y＝(2t－2)x－t2， 将点(a，b)的坐标代入切线方程可得 b＝(2t－2)a－t2，即t2－2at＋2a＋b＝0， 因为过点(a，b)可作曲线y＝x2－2x的两条切线，则关于t的方程t2－2at＋2a＋b＝0有两个不等的实数解，所以Δ＝4a2－4(2a＋b)>0， 即a2－2a－b>0，即b<a2－2a. 对于点(0，0)，0＝02－2×0，A不满足； 对于点(1，1)，1>12－2×1，B不满足； 对于点(3，0)，0<32－2×3，C满足； 对于点(3，4)，4>32－2×3，D不满足． 故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $$