精品解析：河南省部分学校2025届高三7月联合质量检测数学试题

2025届新高三7月联合质量检测 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A. 与独立 B. 与独立 C. 与独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】计算各事件及相应交事件的概率，结合独立事件的定义，验证各选项. 【详解】， 有， 即两两独立，ABC正确； 但，故D错误. 故选：D. 2. 在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边的比例关系结合余弦定理，可直接求出角B. 【详解】因为，所以可设， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：D. 3. 下列对x的求导运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用常用函数求导法则进行求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：A 4. 若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用对数运算及等比数列性质求出. 【详解】数列中，由，知，则， 又，于是，而， 所以. 故选：A 5. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘方和乘法、除法运算法则计算得，由共轭复数的定义得，再利用复数的几何意义判断其在第几象限即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限． 故选：D． 6. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得，即可由同角关系可得，进而由正弦定理即可求解. 【详解】由题意，在中，由余弦定理，； 因为，所以， 在中，由正弦定理， 所以，解得， 故选：C 7. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，令，可求出进行判断，对于B，令，可求出进行判断，对于CD，令，可求出，从而可求出，进而可判断其奇偶性. 【详解】对于A， 令，则，得， 所以或， 当时，不恒成立，所以，所以A错误， 对于B，令，则，得， 所以，或， 由选项A可知，所以，所以B错误， 对于CD，令，则，由选项A可知， 所以，所以， 令，则， 所以为奇函数，即为奇函数，所以C错误，D正确， 故选：D 8. 设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 【答案】ABD 【解析】 【分析】由回归系数，可判定A正确；根据题意，求得新的经验回归方程为，可判定B正确；根据回归系数的含义，可判定C错误；根据新的回归方程，求得，结合残差的计算，可得判定D正确. 【详解】对于A中，由回归方程为，可得回归系数， 可得正数知变量具有正相关关系，所以A正确； 对于B中，将，代入，可得， 所以去除点和后，得到新的样本平均数， 因为得到的新的经验回归直线的斜率为3，所以， 所以新的经验回归方程为，所以B正确； 对于C中，经验回归直线的斜率为正数，变量具有正相关关系， 又去除两点后，斜率增大，随x值的增加，y值增加的速度变大，所以C错误； 对于D中，由回归直线方程，当时，可得， 所以样本点似残差为，所以D正确. 故选：ABD. 10. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，根据题目条件得到，AC正确；B选项，利用等比数列性质得到；D选项，根据等比数列的性质得到，，，从而D正确. 【详解】A选项，，，故或， 当时，由可知， 所以，但，互相矛盾，舍去， 当时，又，所以， 故满足要求，A正确； B选项，，B错误； C选项，因为，， 故当时，取最大值，C正确； D选项，由于，故当时， ， ， ， 使成立的最大自然数是4046，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 曲线关于直线对称 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：结合赋值法与函数奇偶性的定义计算；对于B：结合复合函数导数公式与对称性可判断；对于CD：借助赋值法结合周期性分析求解. 【详解】因为的定义域为， 对于选项A：令，可得，即， 令，可得，且不恒为零， 则，即， 所以是奇函数，故A错误； 对于选项B：令，可得， 即，即，可得， 令，可得，即， 当时，有， 所以； 当，有， 可得， 当，结合，有， 可得，所以； 综上所述：， 两边同时求导可得，可知曲线关于直线对称， 所以曲线关于直线对称，故B正确； 对于选项C：由选项B可知：， 若，即， 可得，可知为的周期； 若，即， 可得，可知为的周期； 综上所述：为的周期. 且，所以，故C正确； 对于选项D：由选项B可知：， 令，可得， 可得， 结合周期性可得，故D错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，） 支持 不支持 男生 女生 若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】66 【解析】 【分析】根据独立性检验公式列出不等式，进而求解即可. 【详解】因为有95%以上的把握认为“支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关”， 所以， 即， 因为函数在时单调递增， 且，，， 所以的最小值为16， 所以在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为. 故答案为：66. 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，将点代入得出方程，用公式求出离心率；第二空，画出图形，直角三角形中用等面积法求出内切圆半径即可. 【详解】第一空，将代入中，， 即，，则椭圆方程为， 离心率为：. 第二空，如图所示， 易得， 则，，， 因为(为三角形周长，为内切圆半径). 又，代入得，解得. 故答案为：；. 14. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有__________个零点. 【答案】6 【解析】 【分析】由的图象关于点对称得到是奇函数，由得到的图象关于直线对称，进而得到是函数的一个周期，由当时的解析式得到函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上，由上的草图结合周期性和对称性得到零点个数. 【详解】的图象关于点对称，函数是定义域为的奇函数，，且， 又，即函数的图象关于直线对称，且， ，是函数的一个周期，. 当时，，所以在上单调递增，且，， 函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上， 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点， 是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，， 函数的图象关于点中心对称，函数在区间上有且仅有2个零点， 函数在区间上没有零点，函数在区间上没有零点， 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面， 又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以， 又因为平面，，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化为证明，； （2）先用体积转化法求出点到平面的距离为，再根据求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设点到平面的距离为，与平面所成的角为， 由（1）可知，由题意可知，，， 则，， 由得， 所以，即与平面所成的角的正弦值为. 16. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） （3）X的分布列为： 1 2 3 … P … ，.【解析】 【分析】（1）借助概率乘法公式计算即可得； （2）借助全概率公式计算即可得； （3）求出的可能取值后计算其对应概率即可得其分布列，结合期望计算公式与数列中错位相减法即可得其期望. 【小问1详解】 由题意得这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率为： ； 【小问2详解】 记事件C：丁周六选择A健身中心，事件D：丁周日选择B健身中心， 则，，，， 由全概率公式得， 故丁周日选择B健身中心健身的概率为； 【小问3详解】 已知从全校学生中随机抽取1人，抽取到的学生是健身效果不佳的学生的概率为， 则的可能取值为， ，，，， ，， 则X的分布列为： 1 2 3 … P … 故， 又， 两式相减得， 所以. 17. 已知数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由与的关系，先判定是等比数列，再求出数列的通项公式. （2）根据（1）中的结果，表示出，结合二次函数和指数函数的单调性求最小值. 【小问1详解】 当时，. 当时，，且， 两式相减得：. 所以是以为首项，以为公比的等比数列. 所以 【小问2详解】 由（1）可知：， 所以. 所以当或时，相等且最小，为. 18. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 【答案】（1） （2） （3） 由题知,一个零点小于1,一个零点大于1，不妨设， 要证,即证， 因为,即证， 又因为,故只需证， 即证， 即证当时，有成立， 下面证明时，， 设， 则 ， 设， 所以，而， 所以，所以， 所以在单调递增， 即，所以， 令， ， 所以在单调递减， 即，所以； 综上, ，所以. 【解析】 【分析】（1）当时，只需分别求出即可得解； （2）由导数确定函数单调性及最值，即可得解； （3）利用分析法，转化要证明：当时，，再利用导数即可得证. 【小问1详解】 当，， ， 因为， 所以函数的图象在点处的切线方程为. 【小问2详解】 的定义域为，则， 令,得 当在上单调递减， 当在上单调递增， ， 若,则,即， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是将问题转换为：当时，，利用导数即可顺利得解. 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1），抛物线方程为. （2） 设直线的方程为：， 联立方程，消去得，， 由，得， 由韦达定理得， 根据抛物线定义：，可得， 此时，解得或， 设的中点坐标为，则， 可得的垂直平分线方程为：， 将代入整理得：， 故的垂直平分线过定点； （3） 【解析】 【分析】（1）将的坐标代入抛物线方程可求出的值，从而可求出的方程； （2）设直线的方程为：，将直线方程代入抛物线方程化简，再利用根与系数的关系，结合抛物线的定义和已知条件可得，再结合中点坐标公式可求出的垂直平分线方程，从而可求得答案； （3）利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，从而可表示出的面积，化简换元后利用导数可求出其最大值，从而可求出直线的方程． 【小问1详解】 将点代入抛物线方程，可得，解得， 所以抛物线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（1）可得， 且点到直线的距离， 则的面积为， 可得， 设，设，则 令，解得；令，解得； 则在上单调递增，在上单调递减． 所以当时，的面积取最大值，此时，即． 此时. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题求解方法：先把目标式表示出来，根据目标式的特点选择合适的方法进行求解，常用方法有：①二次函数法：利用换元法，目标式化成二次型，结合二次函数求解；②基本不等式法：把目标式化成能使用基本不等式的结构，利用基本不等式求解；③导数法：求解导数，利用导数求解最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届新高三7月联合质量检测 数学试卷 满分150分，考试用时120分钟 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知样本空间，事件，事件，事件，则下列选项错误的是（ ） A. 与独立 B. 与独立 C. 与独立 D. 2. 在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（ ） A. B. C. D. 3. 下列对x的求导运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若数列是公比为的等比数列，且，，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 5. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定的角度，比如在弯折位置通常采用等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了，如图，测得，若点恰好在边上，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，，则（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 为奇函数 8. 设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（ ） A. 1 B. C. D. 2 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 由一组样本数据得到的经验回归方程为，去除两个样本点和后，得到的新的经验回归直线的斜率为3，则此时（ ） A. 相关变量x，y具有正相关关系 B. 新的经验回归方程为 C. 随值的增加，值增加的速度变小 D. 样本点似残差为0.1 10. 设等比数列前项积为，公比为．若，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，取最大值 D. 使成立的最大自然数是4046 11. 已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（ ） A. 是偶函数 B. 曲线关于直线对称 C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 随着国家对中小学“双减”政策的逐步落实，其中增加中学生体育锻炼时间的政策引发社会的广泛关注.某教育时报为研究“支持增加中学生体育锻炼时间的政策是否与性别有关”，从某校男女生中各随机抽取80名学生进行问卷调查，得到如下数据（，） 支持 不支持 男生 女生 若通过计算得，根据小概率值的独立性检验，认为支持增加中学生体育锻炼时间的政策与性别有关，则在这被调查的80名女生中支持增加中学生体育锻炼时间的人数的最小值为__________. 附：，其中. 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 13. 已知分别为椭圆的左､右焦点，为上一点，则的离心率为__________，内切圆的半径为__________. 14. 已知函数的定义域为的图象关于点对称，且，都有．当时，，则函数在区间上有__________个零点. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 16. 近年来，某大学为响应国家号召，大力推行全民健身运动，向全校学生开放了A，B两个健身中心，要求全校学生每周都必须利用课外时间去健身中心进行适当的体育锻炼. （1）该校学生甲、乙、丙三人某周均从A，B两个健身中心中选择其中一个进行健身，若甲、乙、丙该周选择A健身中心健身的概率分别为，，，求这三人中这一周恰好有一人选择A健身中心健身的概率； （2）该校学生丁每周六、日均去健身中心进行体育锻炼，且这两天中每天只选择两个健身中心的其中一个，其中周六选择A健身中心的概率为.若丁周六选择A健身中心，则周日仍选择A健身中心的概率为；若周六选择B健身中心，则周日选择A健身中心的概率为.求丁周日选择B健身中心健身的概率； （3）现用健身指数来衡量各学生在一个月的健身运动后的健身效果，并规定k值低于1分的学生为健身效果不佳的学生，经统计发现从全校学生中随机抽取一人，其k值低于1分的概率为，现从全校学生中随机抽取一人，如果抽取到的学生不是健身效果不佳的学生，则继续抽取下一个，直至抽取到一位健身效果不佳的学生为止，但抽取的总次数不超过（足够大），求抽取次数X的分布列和数学期望. 17. 已知数列的前n项和，且满足． （1）求的通项公式； （2）记数列的前项乘积为，求的最小值． 18. 已知函数. （1）当，求函数的图象在点处的切线方程； （2）若恒成立，求a的取值范围； （3）证明：若有两个零点，则. 19. 已知点在抛物线上，为抛物线上两个动点，不垂直轴，为焦点，且满足． （1）求的值及的方程； （2）证明：线段的垂直平分线过定点； （3）设（2）中定点为，当的面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $