第13章 轴对称 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】—【冲刺满分】2024—2025学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．线段垂直平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．含30度角的直角三角形 七．轴对称的性质 八．轴对称图形 九．关于x轴、y轴对称的点的坐标 一十．坐标与图形变化−对称 一十一．作图−轴对称变换 一十二．轴对称−最短路线问题 考点精讲精练 一．线段垂直平分线的性质 · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1．（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在，，三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在　　 A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为　　 A． B． C． D． 3．（2024春•菏泽月考）如图，，若和分别垂直平分和，则等于　　 A． B． C． D． 4．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 5．（2024•鹤城区校级一模）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，的周长为，则的周长为 　　． 6．（2023秋•公主岭市期末）如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点．求的度数． 7．（2024春•永新县月考）在中，，点在上，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 8．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 二．等腰三角形的性质 · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 9．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 10．（2024•富平县二模）如图，在中，点在边上，连接，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 11．（2024•泰安二模）如图，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，若，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024•黔南州模拟）如图，在中，，，垂足为，，则点到直线的距离是　　 A．10 B．12 C． D． 13．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线 14．（2024•和顺县一模）如图，在中，，，三角板按如图方式放置，点落在上，，在同一直线上，则　　 A． B． C． D． 15．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 16．（2024•新华区校级模拟）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点不在上时，判断线段与的数量关系为 　　； （2）当时，若，，时，的长为 　　． 17．（2024•道外区二模）如图，在中，，点在边上，，点在上，，若，，则的面积为 　　． 18．（2024春•安源区校级月考）等腰三角形的顶角大于，如果过它的顶点作一直线能将它分成两个等腰三角形，则的度数为　 　． 19．（2024•湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 　　． 20．（2024春•松江区校级月考）如图，已知在中，，，，求的度数． 21．（2024春•南海区校级月考）如图，在中，，，点是边的中点，交于点，连接． （1）求的度数； （2），求的面积． 22．（2024•江门一模）如图，在中，，，平分交于点．求证：． 23．（2024春•大丰区校级月考）已知，的三边长为4，7，． （1）求的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求的值． 三．等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 24．（2024春•尤溪县月考）如图，在的正方形方格中，点，在格点（小正方形的顶点）上，若点也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点的个数是　　 A．2 B．4 C．5 D．6 25．（2024•辽宁模拟）如图，在中，，，．为线段上的一点，过点作，．若，则的长为　　 A． B．2 C． D． 26．（2024春•永新县月考）如图，，，，，求的长． 27．（2024春•西安期中）如图，在中，点是上一点，连接，的平分线交于点，．证明：是等腰三角形． 四．等腰三角形的判定与性质 · 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 28．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，为的中点，求的长． 29．（2024春•高碑店市月考）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 五．等边三角形的性质 · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 30．（2024•复兴区校级模拟）在等边中，、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点时，大小的变化情况是　　 A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 31．（2024•汉中二模）如图，在等边中，延长到点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D．3 32．（2024春•高碑店市月考）如图，，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形．若，则△的边长为　　 A．8 B．16 C．24 D．32 六．含30度角的直角三角形 · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 33．（2024•富顺县二模）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是 　　（用含的式子表示） 34．（2024•绥棱县校级一模）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为 　　． 35．（2024•鹰潭二模）如图，把一块含有角的直角三角板放在矩形纸片上，三角板顶点落在边上，，则的值为 　　． 36．（2023秋•文峰区期末）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，解决以下问题： （1）当为何值时，为等边三角形； （2）当为何值时，为直角三角形． 七．轴对称的性质 · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 37．（2024•石家庄校级模拟）已知等边三角形，边长为2，点在边上，点关于边，的对称点为，，线段的长范围为　　 A． B． C． D． 38．（2024•花都区模拟）如图，、分别是、上两点，点与点关于轴对称，，，，则　　． 39．（2024春•管城区校级月考）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 　　． 八．轴对称图形 · 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 40．（2024•禄丰市二模）下列交通标志中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 九．关于x轴、y轴对称的点的坐标 · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 41．（2024春•襄都区月考）若点与点是平面直角坐标系中关于轴对称的两个点，则下列说法正确的是　　 A．点与点横坐标相等 B．点与点横坐标互为相反数，纵坐标相等 C．点与点纵坐标互为相反数 D．点与点横坐标相等，纵坐标互为相反数 一十．坐标与图形变化−对称 · 坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 42．（2024•杜尔伯特县二模）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 　　． 一十一．作图−轴对称变换 · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 43．（2023秋•费县期末）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． （1）画出关于直线的轴对称图形△，并写出点，，的坐标． （2）直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． （3）在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为　　，　　（结果用含，的式子表示）． 44．（2023秋•松阳县期末）已知点，． （1）在如图所示的直角坐标系中分别画出点，，并作点关于轴的对称点． （2）是轴上的一动点，连结，，当取得最小值时，求点的坐标． 45．（2023秋•台州期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形△，并写出点，，的坐标； （2）请在轴上画出点的位置，使得最短，并直接写出点的坐标． 一十二．轴对称−最短路线问题 · 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 46．（2024•文山州一模）如图，在等边中，，平分，点是边的中点，点是线段上的动点，则的最小值为　　 A． B．3 C． D．4 47．（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 48．（2024•乐山模拟）如图，等腰中，，平分，点为上一点，点为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 　　． 49．（2023秋•东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 　　． 50．（2024•绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　． 第13章 轴对称 中档题拓展训练★★【12个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．线段垂直平分线的性质 1．（2024春•高碑店市月考）如图，政府计划在，，三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在　　 A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质解答即可． 【解答】解：小学到三个村庄的距离相等， 小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点， 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 2．（2023秋•碑林区校级期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点，为垂足，若，，，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用勾股定理解答即可． 【解答】解：连接，， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ， ， 是直角三角形， ， 由勾股定理可得：， 故选：． 【点评】考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．本题难点是添加辅助线构造直角三角形． 3．（2024春•菏泽月考）如图，，若和分别垂直平分和，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到，，再根据三角形内角和定理求得，再根据，据此求解即可． 【解答】解：、是线段、的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂直平分线，关键是垂直平分线性质定理的应用． 4．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可． 【解答】解：垂直平分交于点， ， 的周长为， 即， 故选：． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出解答． 5．（2024•鹤城区校级一模）如图，在中，的垂直平分线分别交、于点、点，连接．若，的周长为，则的周长为 　26　． 【答案】26． 【分析】根据线段垂直平分线性质求出，求出的周长即可． 【解答】解：是的垂直平分线， ， 的周长为， 故答案为：26． 【点评】此题考查线段垂直平分线性质的应用，解题关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等解答． 6．（2023秋•公主岭市期末）如图，在中，，，是线段的垂直平分线，交于点，交于点．求的度数． 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线得出，求出，相减即可求出答案． 【解答】解：，， ， 是线段的垂直平分线， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等． 7．（2024春•永新县月考）在中，，点在上，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，连接，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据等边对等角得到，，由题意得，即可证明； （2）连接，设，根据线段垂直平分线的性质得到，，从而表示出，，分别用勾股定理表示出，即可求解． 【解答】（1）证明：的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，， ，， ， ， ， ，即； （2）解：连接，如图， 设， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，，， ，， ，， ，， ，， ， 解得：， 即． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，灵活运用所学知识是关键； 8．（2023秋•金安区校级期末）如图所示，若和分别垂直平分和． （1）若的周长为12，求的长； （2），求的度数． 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出的周长，代入数据进行计算即可得解； （2）根据等边对等角的性质可得，，根据三角形内角和定理求出，再求解即可． 【解答】解：（1）和分别垂直平分和， ，， 的周长， 的周长为12， ； （2），， ，， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质是解题的关键． 二．等腰三角形的性质 9．（2024春•未央区月考）若一个等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等边对等角，可知两个底角相等，再根据三角形内角和定理，可计算出答案． 【解答】解：该等腰三角形的顶角为， 底角为， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 10．（2024•富平县二模）如图，在中，点在边上，连接，，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等角对等边求得，进而可求得，再根据等角对等边及三角形内角和即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理及外角的性质，再根据等角对等边及三角形内角和即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 11．（2024•泰安二模）如图，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，若，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：，， ， ， ， 故选：． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答． 12．（2024•黔南州模拟）如图，在中，，，垂足为，，则点到直线的距离是　　 A．10 B．12 C． D． 【答案】 【分析】通过，，，算出的长度；再利用面积法求出点到直线的距离． 【解答】解：，，， ，， 设点到直线的距离为， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用等面积法得出点到直线的距离是解题的关键． 13．（2023秋•南召县期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆上一点往地面拉两条长度相等的固定绳和，当固定点、到脚杆的距离相等，点、、在同一直线上时，电线杆就垂直于，工程人员这种操作方法的依据是　　 A．等边对等角 B．垂线段最短 C．等腰三角形的三线合一 D．是的垂直平分线 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， 工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的三线合一， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，①等腰三角形的两个底角相等，简称等边对等角；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”；熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 14．（2024•和顺县一模）如图，在中，，，三角板按如图方式放置，点落在上，，在同一直线上，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 15．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据三角形中角的关系，平行线的性质即可求解． 【解答】解：是等腰三角形， ， 如图所示，三角尺与直尺的交点为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角板中角度的计算与平行线的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 16．（2024•新华区校级模拟）已知和都为等腰三角形，，，． （1）当时，如图2，当点不在上时，判断线段与的数量关系为 　　； （2）当时，若，，时，的长为 　　． 【答案】（1）； （2）5或． 【分析】（1）依题意得和均为等边三角形，则，，，，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形性质可得出线段与的数量关系； （2）依题意得和均为等腰直角三角形，则，，，，分两种情况讨论如下：①当点在的外部时，先证明，，则，由此可得，再证得，，由此得，进而在中由勾股定理得，则，，据此可得的长；②当点在的内部时，过点作于，先证明，同理得，则，由此可得，则，然后在中由勾股定理即可求出的长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：（1）线段与的数量关系为：， 连接，如图1所示： ，，， 当时，和均为等边三角形， ，，，， ， 即， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：． （2），，， 当时，和均为等腰直角三角形， 则，，，， 若，，时，有以下两种情况： ①当点在的外部时，如图2所示： ， 即， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ； ②当点在的内部时，过点作于，设与交于点，如图3所示： ， ， ， ， 同理：， ， ， 为等腰直角三角形，且， 由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：． 综上所述：的长为5或． 故答案为：5或． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，理解等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 17．（2024•道外区二模）如图，在中，，点在边上，，点在上，，若，，则的面积为 　　． 【答案】． 【分析】作于，交于，利用等腰三角形三线合一的性质得出，，设，则，，在中，，解直角三角形得到，进一步得到，即可求得，解直角三角形求得，则，解得，从而求得，，利用三角形面积公式求解即可． 【解答】解：如图，作于，交于， ，， ， 设，则，， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， 在中，， ， ， ，解得， ， ，， ， 的面积． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积，求得的长度是解题的关键． 18．（2024春•安源区校级月考）等腰三角形的顶角大于，如果过它的顶点作一直线能将它分成两个等腰三角形，则的度数为　　． 【分析】根据等边对等角，得到，，，根据三角形中一个外角等于与它不相邻的内角和，得，再利用三角形内定理建立方程求出为，进而求出顶角的度数． 【解答】解：如图，，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及三角形外角性质的综合运用．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 19．（2024•湖南）若等腰三角形的一个底角的度数为，则它的顶角的度数为 　100　． 【分析】根据等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 等腰三角形的一个底角的度数为， 这个等腰三角形的另一个底角的度数为， 等腰三角形的顶角的度数为：． 故答案为：100． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键． 20．（2024春•松江区校级月考）如图，已知在中，，，，求的度数． 【答案】． 【分析】根据等腰三角形性质可得，再根据平行可得，即可得出答案． 【解答】解：， ， 在中， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质． 21．（2024春•南海区校级月考）如图，在中，，，点是边的中点，交于点，连接． （1）求的度数； （2），求的面积． 【答案】（1）；（2）的面积为． 【分析】（1）设的度数为，则，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形的内角和定理得出，再求出即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出，求出，求出，再根据直角三角形的性质和三角形面积的计算公式得出即可． 【解答】（1）解：设的度数为，则， ， ， 在中，， ， 解得：， ； （2）证明：点是边的中点，，， ， ， 又， ， ， ， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形内角和定理等知识点，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键． 22．（2024•江门一模）如图，在中，，，平分交于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据等腰三角形的性质得出，进而解答即可． 【解答】证明：，， ， 平分交于点， ， ， ， ． 【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质得出解答． 23．（2024春•大丰区校级月考）已知，的三边长为4，7，． （1）求的取值范围； （2）当为等腰三角形时，求的值． 【答案】（1）；（2）4或7． 【分析】（1）根据三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可； （2）分腰长为4，腰长为7两种情况求解即可． 【解答】解：（1）的三边长为4，7，， ， ； （2）当腰长为4时，则，此时符合； 当腰长为7时，则，此时符合； 综上所述，的值为4或7． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的定义，熟练掌握三角形三边的关系是关键． 三．等腰三角形的判定 24．（2024春•尤溪县月考）如图，在的正方形方格中，点，在格点（小正方形的顶点）上，若点也在格点上，使为等腰三角形，则符合条件的格点的个数是　　 A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】分三种情况：当时；当时；当时；即可解答． 【解答】解：如图： 分三种情况： 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，符合条件的格点为； 当时，以点为圆心，以长为半径作圆，符合条件的格点为； 当时，作的垂直平分线，符合条件的格点为，，，； 综上所述：符合条件的格点的个数是6， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定，分三种情况讨论是解题的关键． 25．（2024•辽宁模拟）如图，在中，，，．为线段上的一点，过点作，．若，则的长为　　 A． B．2 C． D． 【答案】 【分析】连接，令，由勾股定理求出，由勾股定理得到，求出，即可得到，由三角形面积公式得到，因此． 【解答】解：连接， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积的面积的面积，，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由勾股定理得到关于的方程，由三角形面积公式得到． 26．（2024春•永新县月考）如图，，，，，求的长． 【答案】3． 【分析】先根据三角形内角和定理求出，得到，再由三角形外角的性质得到，则． 【解答】解：，， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解答本题的关键是熟练掌握三角形内角和定理与外角的性质． 27．（2024春•西安期中）如图，在中，点是上一点，连接，的平分线交于点，．证明：是等腰三角形． 【答案】见解析． 【分析】证明，可得结论． 【解答】证明：， ，， 平分， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法． 四．等腰三角形的判定与性质 28．（2023秋•长兴县期末）如图，在中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，为的中点，求的长． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）的长为12． 【分析】（1）因为，所以，再利用进行角之间的转换，得出，推导出是等腰三角形； （2）根据勾股定理计算的长． 【解答】解：（1）证明：在中，， ， ， ，， ， 又， ， 是等腰三角形； （2）为的中点， ， 是等腰三角形， ， ， ， 答：的长为12． 【点评】本题考查的重点是等腰三角形的定义，熟练运用角度之间的转换，掌握勾股定理求线段的长度． 29．（2024春•高碑店市月考）如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）结合角平分线的性质，根据平行线的性质得到，，然后等量代换可知，故是等腰三角形； （2）根据等边对等角可得，结合（1）可得，再根据角平分线及三角形的内角和定理即可求解． 【解答】（1）证明：平分， ． ， ，， ， ， 是等腰三角形． （2）解：， ． ，， ． ，平分， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定及性质，平行线的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的判定定理． 五．等边三角形的性质 30．（2024•复兴区校级模拟）在等边中，、分别为、边上的动点，，连接，以为边在内作等边，连接，当从点向运动（不运动到点时，大小的变化情况是　　 A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大后变小 【答案】 【分析】在上截取，连接，易证，，由，，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 【解答】解：在上截取，连接，如图所示： 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 即， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 31．（2024•汉中二模）如图，在等边中，延长到点，连接，若，，则的长为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【分析】过点作于，利用等边三角形的性质得出，从而得出□是等腰直角三角形，即可求得，在中，，则，利用勾股定理即可求出的长． 【解答】解：过点作于，如图， 等边， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形和直角三角形的性质是解题的关键． 32．（2024春•高碑店市月考）如图，，点，，，在射线上，点，，，在射线上，△，△，△，均为等边三角形．若，则△的边长为　　 A．8 B．16 C．24 D．32 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得，，再根据及三角形的外角定理得，进而得，由此得△的边长为1，同理：△的边长为2，△的边长为4，，以此类推，△的边长为，根据此规律可得△的边长． 【解答】解：△为等边三角形， ，， ，， ， △为等腰三角形， ， 即△的边长为1， 同理：△的边长为2，△的边长为4， ，以此类推，△的边长为， △的边长为． 故选：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键，归纳总结规律是解决问题的难点，在归纳总结规律时，要特别注意哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，哪些部分没有发生变化． 六．含30度角的直角三角形 33．（2024•富顺县二模）如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，长为半径作半圆，交于点，则图中阴影部分的面积是 　　（用含的式子表示） 【答案】， 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得的长、的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积减去的面积和扇形的面积，从而可以解答本题． 【解答】解，连接，过作于， ，， ， 在中，，，， ，， ， ， ， ， 阴影部分的面积是：， 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积的计算、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 34．（2024•绥棱县校级一模）如图，在中，，点为边的中点，于，若，则的长为 　2　． 【答案】2． 【分析】先证明三角形是等边三角形，再根据直角三角形的性质求解． 【解答】解：， ， 是等边三角形， ， 于， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：2． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，掌握其性质是解题的关键． 35．（2024•鹰潭二模）如图，把一块含有角的直角三角板放在矩形纸片上，三角板顶点落在边上，，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据，结合两直线平行，内错角相等得出的度数，再利用特殊角的三角函数值得出与之间的关系即可解决问题． 【解答】解：四边形是矩形， ，． ． 令， 在中， ， ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题考查含30度角的直角三角形，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键． 36．（2023秋•文峰区期末）如图，在中，，，，点从点出发以的速度向点运动，同时点从点出发以的速度向点运动，运动的时间为秒，解决以下问题： （1）当为何值时，为等边三角形； （2）当为何值时，为直角三角形． 【分析】（1）根据等边三角形的性质列出方程求出的值； （2）分两种情况讨论：①当为直角时，②当为直角时，分别利用30度角所对的直角边等于斜边的一半列方程求出的值． 【解答】解：（1）根据题意可得，， ，， ， ，为等边三角形， ， ， ， 当为2时，为等边三角形； （2）①当为直角时，， ， ， ； ②当为直角时，， ， ， ． 当为或3时，为直角三角形． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握30度角的直角三角形的边角关系是解题的关键． 七．轴对称的性质 37．（2024•石家庄校级模拟）已知等边三角形，边长为2，点在边上，点关于边，的对称点为，，线段的长范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，，，根据轴对称的性质可得出是顶角为的等腰三角形，再过点作的垂线，可找出与之间的关系，据此可解决问题． 【解答】解：连接，，， 点关于边，的对称点为，， ，， ． 是等边三角形， ， ． 点关于边，的对称点为，， ，， ， ． 过点作的垂线，垂足为， ． 在中， ， ， ． 当时，取得最小值， ． ， ， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查轴对称的性质及等边三角形的性质，能根据对称性的性质发现与之间的关系是解题的关键． 38．（2024•花都区模拟）如图，、分别是、上两点，点与点关于轴对称，，，，则　122　． 【答案】． 【分析】根据轴对称的性质得出的度数，再利用外角定理即可解决问题． 【解答】解：点与点关于轴对称， ． 令与的交点为， 则， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称的性质，熟知轴对称的性质及三角形的外角定理是解题的关键． 39．（2024春•管城区校级月考）如图，分别以的边，所在直线为对称轴作的对称图形和，，线段与相交于点，连接、、、．有如下结论：①；②；③平分；④．其中正确的是 　①②③　． 【答案】①②③． 【分析】根据轴对称的性质可得，再根据周角等于列式计算即可求出，判断出①正确；再求出，根据翻折可得，利用三角形的内角和定理可得，判断出②正确；根据全等三角形的对应边上的高相等，即可判断出③正确；判断出和不全等，从而得到，判断出④错误． 【解答】解：和是的轴对称图形， ，，， ，故①正确． ， 由翻折的性质得，， 又， ，故②正确． ， ，， 边上的高与边上的高相等，即点到两边的距离相等， 平分，故③正确． 在和中，，，，， ，故④错误； 综上所述，结论正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质的综合运用等知识点，熟记相关性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 八．轴对称图形 40．（2024•禄丰市二模）下列交通标志中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【解答】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形，不符合题意； 选项能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合，所以是轴对称图形，符合题意． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，关键掌握轴对称图形是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 九．关于x轴、y轴对称的点的坐标 41．（2024春•襄都区月考）若点与点是平面直角坐标系中关于轴对称的两个点，则下列说法正确的是　　 A．点与点横坐标相等 B．点与点横坐标互为相反数，纵坐标相等 C．点与点纵坐标互为相反数 D．点与点横坐标相等，纵坐标互为相反数 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，据此可得答案． 【解答】解：点与点是平面直角坐标系中关于轴对称的两个点， 点与点横坐标互为相反数，纵坐标相等， 四个选项中只有选项说法正确，符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，掌握关于轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等是解题的关键． 一十．坐标与图形变化−对称 42．（2024•杜尔伯特县二模）在平面直角坐标系中，点关于直线的对称点的坐标是 　　． 【答案】． 【分析】根据题意，画出示意图，结合所画图形即可解决问题． 【解答】解：如图所示， 轴， 点坐标为， 点坐标为，点坐标为． 则， 是等腰直角三角形， ， ． 又点和点关于直线对称， ，， ， 轴． 又点的坐标为， 点的坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查坐标与图形变化对称，熟知图形对称的性质及根据题意画出示意图是解题的关键． 一十一．作图−轴对称变换 43．（2023秋•费县期末）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线． （1）画出关于直线的轴对称图形△，并写出点，，的坐标． （2）直线上找一点，使得的周长最短，在图中标记出点的位置． （3）在内有一点，则点关于直线的对称点的坐标为　　，　　（结果用含，的式子表示）． 【答案】（1）图形见解答；，，； （2）图形见解答； （3），． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出关于直线的轴对称图形△，进而写出点，，的坐标； （2）连接交直线于点，根据两点之间线段最短即可使得的周长最短； （3）结合（1）根据轴对称的性质即可得点关于直线的对称点的坐标． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； ，，； （2）如图，点即为所求； （3）的坐标为． 故答案为：，． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路径问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 44．（2023秋•松阳县期末）已知点，． （1）在如图所示的直角坐标系中分别画出点，，并作点关于轴的对称点． （2）是轴上的一动点，连结，，当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】（1）作图见解析过程； （2）． 【分析】（1）根据直角坐标系中点的坐标特征即可求解； （2）连接交轴于点，此时取得最小值，再根据、的坐标，利用待定系数法求得的解析式，进而可得点的坐标． 【解答】解：（1）如图， （2）连接交轴于点，此时取得最小值． 如图所示，点即为所求， 设的解析式为，代入，，得： ， 解得， 即：，当时，， 点． 【点评】本题主要考查了轴对称，路径最短问题，利用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是数形结合． 45．（2023秋•台州期末）如图，在平面直角坐标系中，，，． （1）在图中画出关于轴的对称图形△，并写出点，，的坐标； （2）请在轴上画出点的位置，使得最短，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）见解析，，，； （2）见解析，． 【分析】（1）根据轴对称的定义作出点、、关于轴的对称点，，，再顺次连接即可，结合图形得点的坐标即可； （2）确定点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，点即为所求． 【解答】解：（1）如图，△即为所作，，，； （2）作出点关于轴的对称轴点，连接交轴于点，即点即为所作，点的坐标为． 【点评】此题考查的是作图轴对称变换，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． 一十二．轴对称−最短路线问题 46．（2024•文山州一模）如图，在等边中，，平分，点是边的中点，点是线段上的动点，则的最小值为　　 A． B．3 C． D．4 【答案】 【分析】连接，，推出的最小值为，再求出即可． 【解答】解：连接，， 是等边三角形，平分， 所在直线是等边三角形的一条对称轴，， ， ， 的最小值为， 点是边的中点， ，， 由勾股定理，得， 的最小值为， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，轴对称的性质，等边三角形的性质，两点之间线段最短，勾股定理，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 47．（2023秋•新乡期末）如图，在等边三角形中，为的平分线，在，上分别取点，，且，，在上有一动点，则的最小值为　　 A．7 B．8 C．10 D．12 【答案】 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质可得为等边三角形的中线，所在的直线也是等边三角形的对称轴．易得的长度为6，那么，等边三角形的边长为12．作点关于的对称点，根据轴对称图形的性质可得点在线段上．连接交于点，则，那么的最小值也就是的长度．易得△为等边三角形，边长为8，那么的最小值为8． 【解答】解：，， ． 等边三角形中，为的平分线， 为等边三角形的中线．所在的直线为的对称轴． ． ． 作点关于的对称点，则点在线段上． ． ， ． 是等边三角形， ，． ． 连接交于点， ． ， ． 是等边三角形． ． 的最小值为8． 故选：． 【点评】本题考查最短路线问题．用到的知识点为：当两个定点在动点所在直线的同旁，求两个定点和动点的距离和的最小值，需要作其中一点关于动点所在直线的对称点，连接对称点和另一个点的线段与动点所在直线相交即可得到动点的位置，对称点和另一个点的连线长也就是两个定点和动点的距离和的最小值． 48．（2024•乐山模拟）如图，等腰中，，平分，点为上一点，点为上一点，且，若当的最小值为4时，的长度是 　4　． 【答案】4． 【分析】作，使得，连接，依据，即可得到，进而得出当，，三点共线时，的最小值等于的长，再根据是等边三角形，即可得到的长． 【解答】解：如图所示，作，使得，连接， 在和中， ， ， ， ， 当，，三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为4， 的长为4， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 49．（2023秋•东台市期末）如图，等腰的底边的长为12，周长为32，腰的垂直平分线分别交、边于、点，若点为边的中点，点为线段上的一个动点，则的周长的最小值为 　14　． 【答案】14． 【分析】连接、，由等腰的底边的长为12，周长为32，求得，则，，所以，根据勾股定理求得，则，由直线垂直平分，得，由，得，则的周长的最小值为14，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接、， 等腰的底边的长为12，周长为32， ，且， ， ， 点为边的中点， ，， ， ， ， 直线垂直平分， 点与点关于直线对称， ， ， ， ， 的最小值为14， 的周长的最小值为14， 故答案为：14． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 50．（2024•绥化）如图，已知，点为内部一点，点为射线、点为射线上的两个动点，当的周长最小时，则　　． 【答案】． 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【解答】解：作点关于的对称点，连接，，； ，，， 作点关于的对称点，连接，，， ，，， ， 当，，，共线时，周长最短， 又， ， ， 又， ， 在中，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$