第13章 轴对称 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．线段垂直平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定 七．等边三角形的判定与性质 八．含30度角的直角三角形 九．生活中的轴对称现象 一十．轴对称的性质 一十一．轴对称图形 一十二．作图−轴对称变换 一十三．轴对称−最短路线问题 考点精讲精练 一．线段垂直平分线的性质 · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1．（2024春•菏泽月考）如图，，若和分别垂直平分和，则等于　　 A． B． C． D． 2．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 二．等腰三角形的性质 · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 3．（2024•惠东县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点，的坐标分别是，，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 4．（2024•黔南州模拟）如图，在中，，，垂足为，，则点到直线的距离是　　 A．10 B．12 C． D． 5．（2023秋•乐清市期中）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连接，过点作交该半圆于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，为 　　． 6．（2023秋•范县期中）已知：如图，、是中边上的两点，，要证明，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明． 三．等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 7．（2021•鹿城区校级开学）如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的取值范围是　　． 四．等腰三角形的判定与性质 · 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 8．（2021秋•义乌市期末）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 9．（2020秋•秦淮区校级期中）在中，，平分，交于，，垂足为．求证：． 五．等边三角形的性质 · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 10．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 11．（2024春•绥江县月考）若点在边长为2等边三角形的边上移动，则的最小值是　　 A．2 B． C． D． 12．（2023秋•济南期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为 　　． 13．（2024•商南县三模）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为 　　． 14．（2021春•江夏区校级月考）等边三角形的面积为，则其边长为 　　． 15．（2020秋•五华区校级期中）如图，是等边三角形，点是线段上的一动点，在的延长线上，且．若点为线段的中点，求证：． 16．已知为等边三角形，为的中点，，交线段于，交直线于． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若，求证：． （3）如图（3），若，则　　；在图（1）中，若，则　　． 六．等边三角形的判定 · 等边三角形的判定 （1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形． （2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形． （3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 说明：在证明一个三角形是等边三角形时，若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明． 17．（2018秋•高唐县期末）如图，中，，，平分，延长至，使． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 七．等边三角形的判定与性质 · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 18．（2012•镇江）边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 八．含30度角的直角三角形 · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 19．（2021秋•滑县期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为　　． 20．（2022•顺城区模拟）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，，连接，以为边在的上方作，直线交的延长线于点，则　　． 21．（2021春•灞桥区校级期中）如图，在中，，．的垂直平分线交于，交于，交的延长线于，若，则的长是 　　． 22．（2022秋•上杭县期中）如图，，，，平分，若，求的长． 23．（2022秋•河池期末）如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了20米，到达处，测得，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 九．生活中的轴对称现象 · 生活中的轴对称现象 （1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． （2）轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 24．如图，以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面上开有一个小孔，一位观察者在盒外沿与平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源所发出的光线　　 A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 一十．轴对称的性质 · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 25．（2024春•锦江区期末）如图，中，，是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 26．（2021•碑林区校级四模）如图，在四边形中，，，为边中点，且，则边长度的最大值为　　． 一十一．轴对称图形 · 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 27．（2013•南通二模）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是　　 A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 一十二．作图−轴对称变换 · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 28．（2019秋•招远市期末）如图均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 29．（2023秋•绥化期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）直接写出点，，关于轴对称的点，，的坐标： 　 　，　 　，　 　，　 　，　 　，　 　； （2）在图中作出关于轴对称图形△． 30．（2018秋•思明区校级期中）（Ⅰ）已知点与点关于直线成轴对称，请尺规作图作出直线（保留作图痕迹）； （Ⅱ）如图，． （ⅰ）在边上用尺规作图作出点，使（保留作图痕迹）； （ⅱ）在（ⅰ）的情况下，连接，若，，则　　． 31．（2023秋•海淀区校级月考）如图，等边，与关于射线对称，点为边上一点．点在的延长线上，．作点关于直线的对称点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 32．（2018秋•新吴区期中）如图，在的正方形中网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （Ⅰ）在图中作出关于直线对称的△；（要求：与，与，与相对应） （Ⅱ）若有一格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有 　　个． 一十三．轴对称−最短路线问题 · 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 33．（2018春•江岸区校级月考）中，，、两点在边上，，，，若点、分别在边、上，当四边形的周长最小时，的值为　　 A． B． C． D． 34．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图，，点、分别在射线、上，且，，点、分别是射线、上的动点，当最小时，的值为　　 A．20 B．26 C．32 D．36 35．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 36．（2021秋•淇滨区校级月考）如图．已知．，为的平分线，且，点、分别是边和上的动点，则周长的最小值为　　 A．4 B．6 C． D．10 37．（2022•鄂州）如图，定直线，点、分别为、上的动点，且，在两直线间运动过程中始终有．点是上方一定点，点是下方一定点，且，，，，当线段在平移过程中，的最小值为　　 A． B． C． D． 38．（2022•景县校级模拟）如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是　　 A． B． C．9 D． 39．（2023•南皮县校级三模）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的点，且，．下列结论中正确的是　　 A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时，也平行 40．（2023春•涪城区期末）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是　　 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 41．（2024春•芜湖期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是　　 A． B． C． D．10 42．（2021秋•丹徒区月考）如图，平面直角坐标系中有三点、、，在轴上找一点，使得四边形的周长最小，则　　． 43．（2021•苏州二模）如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、和，则的最小值是 　　． 44．（2021秋•鲤城区校级期末）已知如图，，，，所在圆的圆心是点，，分别在、线段和上选取点、、，则的最小值为 　　． 45．（2022秋•邹城市校级期末）如图，点在射线上，以为边作等边，为中点，且，为中点，当最小时，　　． 46．（2022春•汉寿县期末）如图，在等腰中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 　　． 47．（2022秋•旌阳区期末）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 　　． 48．（2021秋•新市区校级期中）如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给、两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？（保留作图痕迹及简要说明） 49．（2022春•庐阳区校级期末）如图，，两个小镇在河流的同侧，到河的距离分别为千米，千米，且千米，现要在河边建一自来水厂，同时向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？ 50．（2017秋•吉州区期末）如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上． （1）求出的长． （2）求出的周长的最小值？ 第13章 轴对称 培优题突破练习★★★【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．线段垂直平分线的性质 1．（2024春•菏泽月考）如图，，若和分别垂直平分和，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得到，，再根据三角形内角和定理求得，再根据，据此求解即可． 【解答】解：、是线段、的垂直平分线， ，， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查垂直平分线，关键是垂直平分线性质定理的应用． 2．（2024•凉山州）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线得出，进而利用三角形的周长解答即可． 【解答】解：垂直平分交于点， ， 的周长为， 即， 故选：． 【点评】此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线得出解答． 二．等腰三角形的性质 3．（2024•惠东县二模）如图，在平面直角坐标系中，已知，，点，的坐标分别是，，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的性质可得出，根据勾股定理得出，则点的坐标可求出． 【解答】解：过点作于点， ，， ， ， ， ． ，， ． 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2024•黔南州模拟）如图，在中，，，垂足为，，则点到直线的距离是　　 A．10 B．12 C． D． 【答案】 【分析】通过，，，算出的长度；再利用面积法求出点到直线的距离． 【解答】解：，，， ，， 设点到直线的距离为， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，利用等面积法得出点到直线的距离是解题的关键． 5．（2023秋•乐清市期中）如图，点是线段上一动点（不包括端点），过点作交以为直径的半圆于点，连接，过点作交该半圆于点，连接．当是以为腰的等腰三角形时，为 　或　． 【答案】或 【分析】分两种情况：①时，过点作于，则，根据等腰三角形的性质得平分，，根据平行线的性质得，，由圆周角、弧、弦的关系得，可得，则，证明，根据全等三角形的性质得，可得，即可求解；②时，连接，根据等角的余角相等可得，则，即可求解． 【解答】解：①时，过点作于， ， ， ， ， ，， ，， 平分，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ； ②时，连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点评】此题主要考查等腰三角形的性质，与圆有关的性质，三角形全等，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质，分类求解是解题的关键． 6．（2023秋•范县期中）已知：如图，、是中边上的两点，，要证明，应该再增加一个什么条件？请你增加这个条件后再给予证明． 【分析】本题已知了三角形的一组边相等，根据题目条件可求出，则增加，或，或，或或或等都可使． 【解答】解：本题答案不唯一，增加一个条件可以是：，或，或，或或或等 增加证明过程如下： 证明：， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；解题中运用了根据已知条件构造出三角形全等的条件，主要利用了两角与其中一角的对边对应相等的两个三角形全等这一判定定理． 三．等腰三角形的判定 7．（2021•鹿城区校级开学）如图，，点，在边上，，，点是边上的点．若使点，，构成等腰三角形的点恰好有两个，则的取值范围是　或或　． 【答案】或或． 【分析】考虑四种特殊位置，求出的值即可解决问题； 【解答】解：如图1中，当△是等边三角形时满足条件，作于． 在△中，， ， ， ． 如图2中，当与相切于，时，，此时满足条件； 如图3中，如图当经过点时，，此时满足条件的点有2个． 如图4中，当与相切于时，， 观察图3和图4可知：当时，满足条件， 综上所述，满足条件的的值为：或或， 故答案为或或． 【点评】本题考查等腰三角形的判定、直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会寻找特殊位置解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 四．等腰三角形的判定与性质 8．（2021秋•义乌市期末）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值　　 A．1.5 B．3 C．4.5 D．9 【答案】 【分析】首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大． 【解答】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 【点评】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题． 9．（2020秋•秦淮区校级期中）在中，，平分，交于，，垂足为．求证：． 【分析】首先过点作，交的延长线于点，由在中，，平分，易证得，，是等腰三角形，又由三线合一，可证得，即可证得． 【解答】证明：过点作，交的延长线于点， ，， ，平分， ， ，， ，， ， ， ， ． 【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用． 五．等边三角形的性质 10．（2018秋•槐荫区期末）如图，在等边三角形中，在边上取两点、，使．若，，，则以，，为边长的三角形的形状为　　 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随，，的值而定 【答案】 【分析】将绕点顺时针旋转得到．连接．想办法证明，即可解决问题； 【解答】解：将绕点顺时针旋转得到．连接． 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，，为边长的三角形是钝角三角形， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、旋转变换等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 11．（2024春•绥江县月考）若点在边长为2等边三角形的边上移动，则的最小值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】作，由等边三角形的性质，得到，结合，根据等腰三角形三线合一的性质，得到的长度，在中，应用勾股定理，求出的长，根据垂线段最短，即可求解， 【解答】解：过点作，交于点， 等边三角形， ， ， ， 在中，， ，点边上移动， ， 当点与点重合时，取得最小值， 故选：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 12．（2023秋•济南期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为 　18　． 【答案】18． 【分析】连接，过点作．交的延长线于，由等边三角形的性质可知，则点在射线上运动，当点与点重合时，最小，从而解决问题． 【解答】解：连接，过点作．交的延长线于， 是等边三角形，点是的中点， ， 点在射线上运动， 当点与点重合时，最小， ，， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， 的周长为：18， 故答案为：18． 【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，确定点的运动路径是解题的关键． 13．（2024•商南县三模）如图，是边长为6的等边三角形，点在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】作点关于的对称的，交于点，连接，以，为邻边在的外面作平行四边形，过点作，垂足为，的延长线交的延长于点，根据轴对称的性质和平行四边形的性质可得出：，再根据“两点之间线段最短”可知：当，，在同一条直线上时，为最短，此时的最小值即为线段的长，然后根据三角函数和勾股定理求出线段的长即可． 【解答】解：作点关于的对称的，交于点，连接， 以，为邻边在的外面作平行四边形， 过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于， 根据轴对称的性质可知：， 四边形为平行四边形， ， ， ， 根据“两点之间线段最短”可知： 当，，在同一条直线上时，为最短， 即：为最小， 此时的最小值即为线段的长， 为等边三角形，边长为6， ， 又，关于对称， ，， 在中，，， ， ， ， ，，， 四边形为矩形， ， 为等边三角形，，， ， ， ， 又四边形为平行四边形 ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， 由勾股定理得： 故答案为：． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理以及轴对称最短问题；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，并利用线段的性质来解决，多数情况下是要作某点关于某直线的对称点． 14．（2021春•江夏区校级月考）等边三角形的面积为，则其边长为 　4　． 【答案】4． 【分析】由三角形面积为求解． 【解答】解：作于点，设等边三角形边长为， 则， ， ， 等边的面积为， ， 解得． 故答案为：4． 【点评】本题考查等边三角形的性质，解题关键是掌握等边三角形的面积为． 15．（2020秋•五华区校级期中）如图，是等边三角形，点是线段上的一动点，在的延长线上，且．若点为线段的中点，求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据等边三角形三线合一的性质即可求得的度数，根据即可解题． 【解答】证明：点为线段的中点， 平分， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形三线合一，熟练掌握等边三角形三线合一是解题的关键． 16．已知为等边三角形，为的中点，，交线段于，交直线于． （1）如图（1），求证：； （2）如图（2），若，求证：． （3）如图（3），若，则　　；在图（1）中，若，则　　． 【分析】（1）如图1中，连接，作于，于，只要证明； （2）如图2中，作交于．设，则，，想办法证明，求出即可解决问题； （3）①如图3中，作交于．只要证明，即可解决问题；②如图4中，由（1）可知，设，则，，，，可得，由此即可 解决问题； 【解答】证明：（1）如图1中，连接，作于，于， ，， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ． （2）如图2中，作交于．设，则，， ，， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ． （3）①如图3中，作交于． 设，则，，是等边三角形， ，， ， ，， ， ，， ． ②如图4中，由（1）可知， 设，则，，，， ， ， ． 故答案为，． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 六．等边三角形的判定 17．（2018秋•高唐县期末）如图，中，，，平分，延长至，使． （1）求证：； （2）连接，试判断的形状，并说明理由． 【分析】（1）由直角三角形的性质和角平分线得出，得出，再由线段垂直平分线的性质得出，即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得出，再由，即可得出是等边三角形． 【解答】（1）证明：，， ，， 平分， ， ， ， 是线段的垂直平分线， ， ； （2）是等边三角形；理由如下： 连接，如图： 是线段的垂直平分线， ， 即是等腰三角形， 又， 是等边三角形． 【点评】本题考查了等边三角形的判定方法、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识；本题综合性强，难度适中． 七．等边三角形的判定与性质 18．（2012•镇江）边长为的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接、、，求出，根据证两三角形全等得出，求出，过作，过作于，得出平行四边形得出，求出的长，求出第一个正六边形的边长是，是等边三角形的边长的；同理第二个正六边形的边长是等边三角形的边长的；求出第五个等边三角形的边长，乘以即可得出第六个正六边形的边长． 【解答】解：连接、、． 六边形是正六边形， ，，，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， 、分别为、中点， ， ， 六边形是正六边形，是等边三角形， ， ， 同理， 即， 等边三角形的边长是， 第一个正六边形的边长是，即等边三角形的边长的， 过作于，过作于， 则， ， 四边形是平行四边形， ， ，（已证）， ， ， 同理， ，即第二个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是； 同理第第三个等边三角形的边长是，与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，可求出第三个正六边形的边长是； 同理第四个等边三角形的边长是，第四个正六边形的边长是； 第五个等边三角形的边长是，第五个正六边形的边长是； 第六个等边三角形的边长是，第六个正六边形的边长是， 即第六个正六边形的边长是， 故选：． 【点评】本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一定难度的题目． 八．含30度角的直角三角形 19．（2021秋•滑县期末）如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点，为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为　　． 【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可． 【解答】解：过作交于，如图所示： ，是等边三角形， ，，，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键． 20．（2022•顺城区模拟）如图，在中，，，，点是射线上的一个动点，，连接，以为边在的上方作，直线交的延长线于点，则　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情况根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【解答】解：如图，过点作于点， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ， ， 或（舍去）， 如图，过点作，交的延长线于点， ， 设， ， ， 同理，，，， ， ， 或（舍去）， 综上，或， 故答案为：或． 【点评】此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质并分情况讨论是解题的关键． 21．（2021春•灞桥区校级期中）如图，在中，，．的垂直平分线交于，交于，交的延长线于，若，则的长是 　4　． 【分析】根据线段垂直平分线得出，，求出，根据勾股定理和含角的直角三角形性质求出和，即可求出，再求出即可． 【解答】解：的垂直平分线， ，， ， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， 即， （负数舍去）， 即， 同理在中，，， ， （负数舍去）， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 22．（2022秋•上杭县期中）如图，，，，平分，若，求的长． 【分析】根据题意得出，根据角平分线的性质得出，根据角所对的直角边等于斜边的一半，得，即可得出． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形以及等腰三角形的判定和性质，掌握直角三角形的性质是解题的关键． 23．（2022秋•河池期末）如图，树垂直于地面，为测树高，小明在处，测得，他沿方向走了20米，到达处，测得，你能帮助小明计算出树的高度吗？ 【分析】根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，由直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：，， ， ， ， 又， ， 树的高度为10米． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 九．生活中的轴对称现象 24．如图，以平面镜和为两个侧面的一个黑盒子的另一个侧面上开有一个小孔，一位观察者在盒外沿与平行方向走过时，则通过小孔能几次看到光源所发出的光线　　 A．1次 B．2次 C．3次 D．4次 【答案】 【分析】根据光线的反射，即可确定． 【解答】解：有4条：分别是：由发出的线； 由发出，经过反射直接通过的光线； 由发出，经过反射直接通过的光线； 由发出，经过反射再经过反射通过的光线． 故选：． 【点评】本题主要考查了生活中的轴对称问题；结合对称的知识画出图形是解答本题的关键． 一十．轴对称的性质 25．（2024春•锦江区期末）如图，中，，是边上一点，连接，作关于的对称线段，连接并延长，交的延长线于点，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质得出，再结合等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：和关于对称， ，． ，， ，，， ． 又， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟知轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键． 26．（2021•碑林区校级四模）如图，在四边形中，，，为边中点，且，则边长度的最大值为　9　． 【答案】9． 【分析】如图，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接．证明是等边三角形，根据，可得结论． 【解答】解：如图，将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接． 由翻折的性质可知，．，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的最大值为9， 故答案为：9． 【点评】本题考查轴对称的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 一十一．轴对称图形 27．（2013•南通二模）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是　　 A．菱形 B．三角形 C．等腰梯形 D．正五边形 【答案】 【分析】针对各图形的对称轴，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故选项错误； 、三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故选项正确； 、等腰梯形，延长两腰相交于一点，作两对角线相交于一点，根据等腰梯形的对称性，过这两点的直线即为对称轴，故选项错误； 、如图，正五边形中，直线即为对称轴，故选项错误． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，熟练掌握常见多边形的对称轴是解题的关键． 一十二．作图−轴对称变换 28．（2019秋•招远市期末）如图均为的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形． 【分析】先根据正方形的轴对称性确定出对称轴，然后作出相应的三角形即可． 【解答】解：如图所示． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，准确确定出对称轴是解题的关键． 29．（2023秋•绥化期末）如图，的三个顶点的坐标分别是，，． （1）直接写出点，，关于轴对称的点，，的坐标： 　　，　 　，　 　，　 　，　 　，　 　； （2）在图中作出关于轴对称图形△． 【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标相反可得答案； （2）首先确定、、三点关于轴的对称点位置，然后再连接即可． 【解答】解：（1），，， 故答案为：；；；3；；1； （2）如图所示：△即为所求． ． 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点轴的对称点位置． 30．（2018秋•思明区校级期中）（Ⅰ）已知点与点关于直线成轴对称，请尺规作图作出直线（保留作图痕迹）； （Ⅱ）如图，． （ⅰ）在边上用尺规作图作出点，使（保留作图痕迹）； （ⅱ）在（ⅰ）的情况下，连接，若，，则　　． 【分析】（Ⅰ）作的垂直平分线即可； （Ⅱ）（ⅰ）作的垂直平分线交于，则点满足条件； （ⅱ）先利用得到，再利用三角形外角性质计算出，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算的度数． 【解答】解：（Ⅰ）如图，直线为所作； （Ⅱ）（ⅰ）如图，点为所作； （ⅱ）， 而， ， ， ， ， ． 故答案为． 【点评】本题考查了作图轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了等腰三角形的性质． 31．（2023秋•海淀区校级月考）如图，等边，与关于射线对称，点为边上一点．点在的延长线上，．作点关于直线的对称点，连接． （1）依题意补全图形，并证明； （2）用等式表示，，之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）根据题意补全图形，由等边三角形的性质得到，则，，根据等边对等角得到，由此即可证明； （2）连接，由等边三角形的性质得到，，则，由轴对称的性质得到，则，由此推出点关于的对称点在线段上，再证明为等边三角形，根据证明得出，从而得出结果． 【解答】（1）证明：补全的图形如图所示； 是等边三角形， ， ，． ， ， ； （2）解：．证明如下： 如图所示，连接． 是等边三角形， ，， ， 与关于射线对称， ，， ， 又点和点关于对称， ， 点关于的对称点在线段上， ，． ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的性质与判定等等，数轴轴对称的性质和等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． 32．（2018秋•新吴区期中）如图，在的正方形中网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． （Ⅰ）在图中作出关于直线对称的△；（要求：与，与，与相对应） （Ⅱ）若有一格点到点、的距离相等，则网格中满足条件的点共有 　9　个． 【分析】（Ⅰ）作出、、三点关于直线的对称点、、即可； （Ⅱ）作线段的垂直平分线即可解决问题； 【解答】解：（Ⅰ）△如图所示； （Ⅱ）如图所示，满足条件的共有9个． 故答案为9． 【点评】本题考查作图轴对称变换、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握对称轴的性质，属于中考常考题型． 一十三．轴对称−最短路线问题 33．（2018春•江岸区校级月考）中，，、两点在边上，，，，若点、分别在边、上，当四边形的周长最小时，的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小．作于． 【解答】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，此时四边形的周长最小．作于． ， ， 解得， ， ， ， ， ，， ， 作于． 在中，，， ，， 在△中，，， ， ． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短问题、解直角三角形、勾股定理、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 34．（2018春•沙坪坝区校级期末）如图，，点、分别在射线、上，且，，点、分别是射线、上的动点，当最小时，的值为　　 A．20 B．26 C．32 D．36 【分析】如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交有，交有，连接、，此时的值最小．再证明，利用勾股定理即可解决问题； 【解答】解：如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交有，交有，连接、，此时的值最小． 根据对称的性质可知：，，，， 的最小值为线段的长， ， ， ， 当最小时，的值为20， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短问题、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 35．（2020•荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段（点在点右侧）在轴上移动，，，连接，，则的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设，则有，推出要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小，如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小，求出即可解决问题． 【解答】解：设， ， ， ，， ， 要求的最小值，相当于在轴上找一点，使得点到和的距离和最小， 如图1中，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，此时的值最小， ， 的最小值， 的最小值为． 解法二：如图，将线段向左平移到的位置，作点关于原点的对称点，连接，． 则，，， ， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短路径问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 36．（2021秋•淇滨区校级月考）如图．已知．，为的平分线，且，点、分别是边和上的动点，则周长的最小值为　　 A．4 B．6 C． D．10 【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、．此时的周长最小． 【解答】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、．此时的周长最小． 由对称的性质可知，，，， ， ， 是等边三角形， ， 的周长的最小值， 故选：． 【点评】本题考查轴对称最短问题、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 37．（2022•鄂州）如图，定直线，点、分别为、上的动点，且，在两直线间运动过程中始终有．点是上方一定点，点是下方一定点，且，，，，当线段在平移过程中，的最小值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】沿的方向将和平移重合，即和点重合，点平移至，连接，即最小，进一步求得结果． 【解答】解：如图， 作于，过点作的垂线，过点作的平行线，它们交于点，延长至，使，连接， 交于，作，交于，则当在时，最小，最小值为的长， 可得，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将和两地变为“一个点”． 38．（2022•景县校级模拟）如图，，点到的距离是2，到的距离是3，，分别是，上的动点，则周长的最小值是　　 A． B． C．9 D． 【答案】 【分析】作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于、则，，，，，则，，此时周长最小，为，据此解答即可． 【解答】解：作点分别关于、的对称点、，连接，分别交、于、， 则，，，，， ， ， 此时周长最小值为， 延长，交与． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即周长的最小值是． 故选：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． 39．（2023•南皮县校级三模）如图，已知，点是的平分线上的一点，点，分别是射线和射线上的点，且，．下列结论中正确的是　　 A．是一个定值 B．四边形的面积是一个定值 C．当时，的周长最小 D．当时，也平行 【答案】 【分析】过点作于点，于点，于点，证明，得出，，求出，得出是一个定值；根据，得出，说明四边形的面积是一个定值；根据，得出当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，得出当时，最小，的周长最小；根据时，，得出，求出，求出一定与不平行． 【解答】解：过点作于点，于点，于点，如图所示： 点是的平分线上的一点， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ， 即是一个定值；当、关于对称时，，不固定， 故错误，不符合题意； ， ， 即， 四边形的面积是一个定值， 四边形的面积是一个定值，当、关于对称时，，不固定， 四边形的面积不固定， 故错误，不符合题意； ，， ，， ， ， ， 当最小时，的周长最小， 垂线段最短， 当时，最小，的周长最小，故正确，符合题意； 时，， ， ， 一定与不平行，故错误，不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，证明． 40．（2023春•涪城区期末）如图，中，，，，、、分别是、、边上的动点，则的最小值是　　 A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】 【分析】如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．，推出，可得、、共线，由，，可知、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【解答】解：如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ，，， ， 、、共线， ， ， 当、、、共线时，且时，的值最小，最小值， ， ， 的最小值为4.8． 故选：． 【点评】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，作出点关于、的对称点，将的周长转化为的长是解题的关键． 41．（2024春•芜湖期中）如图，在中，，，，为边上一动点（不与点重合），为等边三角形，过点作的垂线，为垂线上任意一点，连接，为的中点，连接、，则的最小值是　　 A． B． C． D．10 【答案】 【分析】取的中点，连接，，推出，，三点共线，进而得到点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，得到，进而得到，，三点共线时，的值最小，作，利用含30度的直角三角形的性质，结合勾股定理进行求解即可． 【解答】解：，，， ，， 取的中点，连接，， ，为的中点， ， ， 为等边三角形， ，， ，，三点共线， 点在直线上运动， 作点关于的对称点，连接交于点，连接，作， ， ，垂直平分， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ． 的最小值是， 故选：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，三角形的中位线，勾股定理，利用轴对称解决线段和最小的问题．解题的关键是确定点的运动轨迹． 42．（2021秋•丹徒区月考）如图，平面直角坐标系中有三点、、，在轴上找一点，使得四边形的周长最小，则　　． 【答案】． 【分析】四边形周长是，是定值，所以只需最小，根据“将军饮马”模型，作点关于轴对称点，连接与轴交点，即为点，可先求出的解析式，进而求得结果． 【解答】解：如图， 取，连接，交轴于， 则四边形的周长最小， 设的解析式是：， 当时，， ， ， ， 当时，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称性质，求一次函数解析式等知识，解决问题的关键熟悉“将军饮马”模型． 43．（2021•苏州二模）如图，在中，，，，、、分别是边、、上的动点，连接、和，则的最小值是 　　． 【分析】如图，作点关于，的对称点，，连接，，，，，，．首先证明，，共线，则，推出的值最小时，的值最小，求出的最小值，可得结论． 【解答】解：如图，作点关于，的对称点，，连接，，，，，，． ，，， ， 由对称的性质可知，，，， ， ， ，，共线， ，， ， ， 的值最小时，的值最小， ， 当时，的值最小，此时， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查轴对称最短问题，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用轴对称添加辅助线，把问题转化为两点之间线段最短． 44．（2021秋•鲤城区校级期末）已知如图，，，，所在圆的圆心是点，，分别在、线段和上选取点、、，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】如图，连接，，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，此时的周长，想办法求出的最小值即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于，交于，此时的周长， 当的值最小时，的值最小， ，，，， ， ， 当的值最小时，的值最小， 取的中点，连接． ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， 当点在直线上时，的值最小，最小值为， 的最小值为． 故答案为． 【点评】本题考查圆周角定理，垂径定理，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考填空题中的压轴题． 45．（2022秋•邹城市校级期末）如图，点在射线上，以为边作等边，为中点，且，为中点，当最小时，　　． 【答案】． 【分析】在边上截取，证明可得，得，因为，当时，最小，可得，即最小为，作于点，作于点，连接，根据等边三角形的性质可得，根据含30度角的直角三角形可得的长，进而可得的长． 【解答】解：如图，在边上截取， 是等边三角形， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 当时，最小， ，即最小为， 如图，作于点，作于点，连接， 是等边三角形，为中点， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握最短路径问题． 46．（2022春•汉寿县期末）如图，在等腰中，底边的长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则的最小值为 　8　． 【答案】8． 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【解答】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 周长的最小值． 故答案为：8． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 47．（2022秋•旌阳区期末）如图，在边长为2的等边中，是的中点，点在线段上，连接，在的下方作等边，连接．当的周长最小时，的度数是 　　． 【分析】连接，由条件可以得出，再根据等边三角形的性质就可以证明，从而可以得出，作点关于的对称点，连接，，则，依据当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，可得的周长最小，再根据等边三角形的性质即可得到的度数． 【解答】解：如图，连接， 、都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 如图，作点关于的对称点，连接，，则， 当，，在同一直线上时，的最小值等于线段长，且时，的周长最小， 由轴对称的性质，可得，， 是等边三角形， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质的运用．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 48．（2021秋•新市区校级期中）如图，现准备在一条公路旁修建一个仓储基地，分别给、两个超市配货，那么这个基地建在什么位置，能使它到两个超市的距离之和最小？（保留作图痕迹及简要说明） 【分析】作点关于公路的对称点，连接交公路于点，根据两点之间线段最短即可得出点即是所求的点． 【解答】解：如图，作点关于公路的对称点，连接，交公路于点， 则这个基地建在处，才能使它到这两个超市的距离之和最小． 【点评】本题考查了最短路径问题，要求熟练掌握中垂线的性质，能够利用两点之间线段最短求解一些简单的实际问题． 49．（2022春•庐阳区校级期末）如图，，两个小镇在河流的同侧，到河的距离分别为千米，千米，且千米，现要在河边建一自来水厂，同时向，两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万元，请你在河流上选择水厂的位置，使铺设水管的费用最省，并求出总费用是多少？ 【分析】根据题意，要使铺设水管的费用最省，则自来水厂与、两个小镇的距离和最小，所以作出点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即是水厂的位置，根据勾股定理，求出的长度，再根据总价单价数量，即可得出答案． 【解答】解：作点关于直线的对称点．连接，交于点，则， 此时为铺设水管的最短路线， 过作的平行线，交的延长线于点，得△， 千米，千米，千米，， 总费用是：（万元）． 【点评】此题主要考查了轴对称最短路线问题，用到的知识点是：直角三角形的性质、勾股定理的应用、总价单价数量，解答此题的关键是要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 50．（2017秋•吉州区期末）如图，在直角坐标系中，点、的坐标分别为和，点是轴上的一个动点，且、、三点不在同一条直线上． （1）求出的长． （2）求出的周长的最小值？ 【分析】（1）作于，则，，，，得出，由勾股定理求出即可； （2）由题意得出最小，作关于轴的对称点，连接交轴于点，点即为使最小的点，作轴于，由勾股定理求出，即可得出结果． 【解答】解：（1）作于，如图1所示： 则，，，， ， ； （2）要使的周长最小，一定， 则最小， 作关于轴的对称点，连接交轴于点， 点即为使最小的点， 作轴于， 由对称的性质得：， 则，，， ， 由勾股定理得：， 的周长的最小值为． 【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形性质，勾股定理，轴对称确定最短路线问题；熟记最短距离的确定方法是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$