第13章 轴对称 基础题过关检测★【13个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第13章 轴对称 基础题过关检测★【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．线段垂直平分线的性质 二．等腰三角形的性质 三．等腰三角形的判定 四．等腰三角形的判定与性质 五．等边三角形的性质 六．等边三角形的判定与性质 七．含30度角的直角三角形 八．轴对称的性质 九．轴对称图形 一十．关于x轴、y轴对称的点的坐标 一十一．坐标与图形变化−对称 一十二．作图−轴对称变换 一十三．轴对称−最短路线问题 考点精讲精练 一．线段垂直平分线的性质 · 线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 1．（2024•南康区模拟）如图，在中，垂直平分于点，交于点，连接，的垂直平分线交于点，连接，设，，则的大小为　　 A． B． C． D． 2．（2023秋•阳信县期末）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数为　　 A． B． C． D． 3．（2024•宁阳县二模）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧交，于，两点，分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点．以为圆心，为半径画弧交射线于点，分别以，为圆心，大于 为半径画弧交于，，作直线交于，，，则　　 A． B． C．3 D． 4．（2024春•碑林区校级月考）如图，的三边都不相等，点是三条内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当点、同时在的内部时，，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．（2024•宝应县二模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 　　． 6．（2024春•龙岗区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 　　． 7．（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 二．等腰三角形的性质 · 等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 9．（2024•瑞安市校级模拟）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，是内一点，，，则等于　　 A． B． C． D． 11．（2024•南明区校级二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 12．（2024•蚌埠三模）如图，在中，，点为边上一点，且，若，则　　 A． B． C． D． 13．（2024春•安次区校级月考）如图，中，，是等腰三角形，，，交于，，则的值为　　 A．7 B． C．8 D． 14．（2024•新城区校级模拟）如图，，点，分别在，上，连接，，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•金牛区期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是　　 A． B． C． D． 16．（2024春•长宁区期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 17．（2024春•天峨县校级月考）等腰三角形的一个角为，则它的顶角度数为　　 A． B． C．或 D．或 18．如图，在中，，，，则的度数为 　　． 19．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 20．（2024春•新吴区校级月考）等腰三角形的两条边长分别为和，则周长为 　　． 21．（2023秋•阳信县期末）在等腰三角形中，，，的面积为，则　　． 22．（2024•禅城区二模）已知：如图，点在内部，连接，，．若，．求证：． 三．等腰三角形的判定 · 等腰三角形的判定 判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】 说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法． ②等腰三角形的判定和性质互逆； ③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线； ④判定定理在同一个三角形中才能适用． 23．（2024春•高州市校级月考）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1）　　（用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 四．等腰三角形的判定与性质 · 等腰三角形的判定与性质 1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段． 2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线，虽然“三线合一”，但添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度不同，需要具体问题具体分析． 3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决． 24．（2024•武威三模）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 　　． 25．（2024春•信宜市月考）如图，已知在中，，是边上的高线，交于点，试找出图中所有的等腰三角形除外），并对其中的一个等腰三角形加以说明． 26．（2023秋•绵阳期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 27．（2024•济南模拟）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 五．等边三角形的性质 · 等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 28．（2024•高新区校级三模）如图，是等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边．若的面积与的面积相等，则的值为 　　． 29．（2024•海州区校级一模）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则　　． 30．（2024春•宝安区校级月考）如图，等边内部有一点，，，，在、上分别有一动点、，且，则的最小值是 　　． 31．（2024春•上海期末）如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，联结、交于点，过点作，，垂足为、，联结，如果的面积是，的长是，那么　　．（用含字母和的代数式表示） 六．等边三角形的判定与性质 · 等边三角形的判定与性质 （1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用． （2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等． （3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定． 32．（2024•振兴区校级三模）如图，在等边中，，作射线，垂足为，点是射线上一点．点是边上一点，连接，以为边向上构造等边，的延长线与射线交于点，连接．当，时，的面积为 　　． 七．含30度角的直角三角形 · 含30度角的直角三角形 （1）含30度角的直角三角形的性质： 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数． （3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用； ②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边． 33．（2024春•安源区校级月考）若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于　　 A．或 B．或 C． D． 34．（2024•兰考县一模）请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明． （提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程． 八．轴对称的性质 · 轴对称的性质 （1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． （2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 35．（2024春•莱芜区期中）将的顶角沿直线折叠（如图），点的对应点为点，记为，为． （1）如图1，当点的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点的对应点落在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 九．轴对称图形 · 轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 36．（2024•兴隆台区校级模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是　　 A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①② 37．（2024•沁县三模）勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中国古代最早的系统的勾股理论．下列图形是《九章算术》“注释”中的图形，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 一十．关于x轴、y轴对称的点的坐标 · 关于x轴、y轴对称的点的坐标 （1）关于x轴的对称点的坐标特点： 横坐标不变，纵坐标互为相反数． 即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）． （2）关于y轴的对称点的坐标特点： 横坐标互为相反数，纵坐标不变． 即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y）． 38．（2024•岳阳一模）如图，在平面直角坐标系中，与△关于轴对称，其中点，，的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点在△上的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 一十一．坐标与图形变化−对称 · 坐标与图形变化-对称 （1）关于x轴对称 横坐标相等，纵坐标互为相反数． （2）关于y轴对称 纵坐标相等，横坐标互为相反数． （3）关于直线对称 ①关于直线x＝m对称，P（a，b）⇒P（2m﹣a，b） ②关于直线y＝n对称，P（a，b）⇒P（a，2n﹣b） 39．（2024•牧野区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 一十二．作图−轴对称变换 · 作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是： ①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足； ②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点； ③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形． ④作出的垂线为最短路径． 40．（2024春•城厢区校级月考）如图，在的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中画出格点，点，，的对应点分别为，，，使得与关于线段成轴对称图形． （2）在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别为，，，使得线段平分的面积． 41．（2024•深圳模拟）平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）若△与关于轴对称，作出△，并写出的坐标； （2）求的面积． 42．（2024春•湛江期末）如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． （3）在直线上求作一点，使最小． 43．（2024春•成都期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△； （2）求出的面积． 一十三．轴对称−最短路线问题 · 轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 44．（2024•凤城市二模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是　　 A． B． C． D． 45．（2023秋•曲靖期末）如图，河道的同侧有，两个村庄，计划铺设管道将河水引至，两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是　　 A． B． C． D． 46．（2024春•四川校级期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是 　　． 47．（2024•宝安区校级模拟）如图，已知，点，在线段上，且．是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为，则的最小值是 　　． 48．（2024春•海安市校级月考）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，，点，分别是线段，线段上的动点，则的最小值为 　　． 49．（2024春•潮州期中）先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点，，，，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． 已知点，，试求，两点间的距离； （2）已知点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求，两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 50．（2024春•太和县月考）如图，在中，，，，为线段的中点，是线段上的一动点，求的最小值． 第13章 轴对称 基础题过关检测★【13个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．线段垂直平分线的性质 1．（2024•南康区模拟）如图，在中，垂直平分于点，交于点，连接，的垂直平分线交于点，连接，设，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到，，则，，再利用三角形内角和定理得到，从而得到，即． 【解答】解：垂直平分于点， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， 即， ， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 2．（2023秋•阳信县期末）如图，，若和分别垂直平分和，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由，可求得的度数，又由，分别垂直平分，，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而求得的度数，则可求得答案． 【解答】解：， ， ，分别垂直平分，， ，， ，， ， ． 故选：． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 3．（2024•宁阳县二模）在中，，以为圆心，适当长为半径画弧交，于，两点，分别以，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线交于点．以为圆心，为半径画弧交射线于点，分别以，为圆心，大于 为半径画弧交于，，作直线交于，，，则　　 A． B． C．3 D． 【答案】 【分析】利用基本作图得到平分，，则，，再证明，利用相似比可求出，然后利用勾股定理可计算的长． 【解答】解：由作法得平分，， ，， ，， ， ，即， 解得， 在中，． 故选：． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了基本作图和相似三角形的判定与性质． 4．（2024春•碑林区校级月考）如图，的三边都不相等，点是三条内角平分线的交点，点是三边垂直平分线的交点，当点、同时在的内部时，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质求出，可得，再根据角平分线的定义、三角形内角和定理得到，由此即可求出答案． 【解答】解：连接， 点是这个三角形三边垂直平分线的交点， ， ，，， ，， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和角平分线的定义；掌握线段垂直平分线的性质是关键． 5．（2024•宝应县二模）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是 　3　． 【答案】3． 【分析】根据等腰三角形的判定定理求出，再根据线段垂直平分线的性质求出． 【解答】解：，， ， 是的垂直平分线， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 6．（2024春•龙岗区校级月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交于点，，垂足分别为，，已知的周长为22，则的长为 　22　． 【答案】22． 【分析】由，的垂直平分线分别交于，，垂足分别是，，根据线段垂直平分线的性质，可得，，继而可得的周长等于的长． 【解答】解：因为，的垂直平分线分别交于点，， 所以，， 所以，即为的周长， 又因为的周长为22， 所以． 故答案为：22． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，关键掌握数形结合思想与转化思想的应用． 7．（2023秋•宁安市期末）作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点，表示大学，，表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案． 【分析】先连接，根据线段垂直平分线的性质作出线段的垂直平分线，再作出的平分线，与相交于点，则点即为所求． 【解答】解：如图所示： （1）连接，分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为线段的垂直平分线； （2）以为圆心，以任意长为半径画圆，分别交、于、，再分别以、为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于，连接，则即为的平分线（或的外角平分线）； （3）与相交于点，则点即为所求． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键． 8．（2023秋•浦东新区校级期末）在中，，，平分，是的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 【答案】见解答． 【分析】过点作于点，连接，如图，先根据角平分线的定义和角平分线的性质得到，，再根据线段垂直平分线的性质得到，则根据等腰三角形的性质得到，接着利用三角形外角性质得到，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到，然后利用等线段代换得到结论． 【解答】证明：过点作于点，连接，如图， ，平分，，， ，， 是的垂直平分线， ， ， ， 在中，， 而，， ． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．也考查了角平分线的性质． 二．等腰三角形的性质 9．（2024•瑞安市校级模拟）已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的两底角相等即可． 【解答】解：等腰三角形的顶角是， 它的一个底角的度数为：， 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练运用等腰三角形两底角相等是解题的关键． 10．（2023秋•龙华区校级期末）如图，是内一点，，，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，即可解答． 【解答】解：， ，，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 11．（2024•南明区校级二模）如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点和点；②以点为圆心，长为半径作弧，交于点；③以为圆心，长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；④过点作射线交于点．若，，则的长为　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】由题目作图知，，则，，证明是等腰三角形，进而求解． 【解答】解：由作图痕迹知， ，， 在中，，，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 12．（2024•蚌埠三模）如图，在中，，点为边上一点，且，若，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练运用三角形内角和公式计算是解题的关键． 13．（2024春•安次区校级月考）如图，中，，是等腰三角形，，，交于，，则的值为　　 A．7 B． C．8 D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据等式的性质得到，求得，根据勾股定理列方程即可得到结论． 【解答】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证得是解题的关键． 14．（2024•新城区校级模拟）如图，，点，分别在，上，连接，，且，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质即可求解． 【解答】解：，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质、三角形外角的性质；熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 15．（2024春•金牛区期末）等腰三角形一边长，另一边长，它第三边长可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】分两种情况讨论：当为腰长，为底边长时；当为底边长，为腰长时；分别根据三角形三边关系定理判断即可． 【解答】解：若为腰长，为底边长， ， 能组成三角形， 它的第三边是； 若为底边长，为腰长， ， 不能组成三角形； 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理，熟练掌握这两个性质定理是解题的关键． 16．（2024春•长宁区期末）已知等腰三角形的周长为16，其底边长为，那么的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知易得：腰长为，然后根据三角形的三边关系可得，从而进行计算即可解答． 【解答】解：等腰三角形的周长为16，其底边长为， 腰长为， 由题意得：， 解得：， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解一元一次不等式组，三角形的三边关系，准确熟练地进行计算是解题的关键． 17．（2024春•天峨县校级月考）等腰三角形的一个角为，则它的顶角度数为　　 A． B． C．或 D．或 【答案】 【分析】分两种情况：当等腰三角形的顶角为时；当等腰三角形的一个底角为时；然后进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当等腰三角形的顶角为时， 等腰三角形的两个底角都； 当等腰三角形的一个底角为时，另一个底角也为， 等腰三角形的顶角； 综上所述：它的顶角度数为或， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，分两种情况讨论是解题的关键． 18．如图，在中，，，，则的度数为 　　． 【答案】． 【分析】由等腰三角形的性质可得，，由三角形内角和定理列出方程，可求解． 【解答】解：，， 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，利用三角形内角和为列出方程是解题的关键． 19．（2024春•宝丰县期末）将一个三角尺和一把直尺按如图所示的方式摆放．若是等腰三角形，则的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据三角形中角的关系，平行线的性质即可求解． 【解答】解：是等腰三角形， ， 如图所示，三角尺与直尺的交点为， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角板中角度的计算与平行线的性质的综合，掌握以上知识是解题的关键． 20．（2024春•新吴区校级月考）等腰三角形的两条边长分别为和，则周长为 　26或22　． 【答案】26或22． 【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． 【解答】解：根据题意， ①当腰长为时，周长； ②当腰长为时，周长； 两种情况都符合三角形三边关系． 故答案为：26或22． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质定理，关键是要分两种情况． 21．（2023秋•阳信县期末）在等腰三角形中，，，的面积为，则　　． 【分析】作于点，先根据三角形面积公式求出，再根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，作于点． 的面积为，， ， ，， ， 在中，． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 22．（2024•禅城区二模）已知：如图，点在内部，连接，，．若，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】延长交于点，由等腰三角形的性质可得，，则，可得． 【解答】证明：如图，延长交于点， ，， ，， ， ． 【点评】此题考查角等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质可得，解答． 三．等腰三角形的判定 23．（2024春•高州市校级月考）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，、两点同时出发，当点运动到点时两点停止运动，设运动时间为秒． （1）　　（用含的式子表示）； （2）当点在边上运动时． ①出发几秒后，是等腰三角形？ ②通过计算说明能否把的周长平分？ （3）当点在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①秒；②不能；（3）11或12． 【分析】（1）根据题意即可用可表示出，即可求得； （2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于的方程，可求得；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可； （3）用分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于的方程，可求得的值． 【解答】解：（1）由题意可知，， ， ， （2）①当点在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， 出发秒后； ②当在上，，如图， 而，， ，， 把的周长平分， ， 解得：，不符合题意舍去， 点在边上运动时．不能把的周长平分． （3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示， 则， ， ． ， ， ， ， ， ； ②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示， 则， ， 综上所述：当为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用． 四．等腰三角形的判定与性质 24．（2024•武威三模）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为 　10　． 【分析】利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，，将三角形周长转化，求出即可． 【解答】解：为的平分线，为的平分线， ，， ， ，， ，， ，， ， ，， 周长为， 故答案为：10 【点评】此题考查了等腰三角形的性质，以及平行线的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 25．（2024春•信宜市月考）如图，已知在中，，是边上的高线，交于点，试找出图中所有的等腰三角形除外），并对其中的一个等腰三角形加以说明． 【答案】和；选取，说明见解析． 【分析】选取，由，可得，由，可得，则，，进而可得是等腰三角形；选取，由，可得，由，，可得，则，，进而可得是等腰三角形． 【解答】解：由题意知，和是等腰三角形；理由如下；选取， 是等腰三角形，， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 选取， ， ， ，， ， ， ， 是等腰三角形． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 26．（2023秋•绵阳期末）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点，． （1）证明：是等腰三角形； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，．根据平行线的性质得到，，求得，根据等腰三角形的判定定理得到结论； （2）取的中点，连接，根据线段的中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到．根据角平分线的定义得到．于是得到结论． 【解答】（1）证明：平分，平分， ，． ， ，， ， 在中，． 是等腰三角形； （2）解：取的中点，连接， ， ， 在和中， ， ， ． 又，是边上的中线， 平分， 即． ． ， ， ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定和性质等量是解题的关键． 27．（2024•济南模拟）如图，在中，，是上的一点，过点作于点，延长和，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）5． 【分析】（1）由，可知，再由，可知，，然后余角的性质可推出，再根据对顶角相等进行等量代换即可推出，于是得到结论； （2）根据直角三角形30度所对的边是斜边的一半，得到，再根据（1）是等腰三角形结合，设的长为，则，由建立方程求解即可． 【解答】（1）证明：， ， ， ，， ， 而， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，，， ， ，，， 设的长为，则， ，即， ， ， ． 【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、直角三角形的特征，余角的性质、对顶角的性质等知识点． 五．等边三角形的性质 28．（2024•高新区校级三模）如图，是等边三角形，点是边上的一点，且，以为边作等边．若的面积与的面积相等，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】作于，于，设，，分别求出，的 面积，得到，即可解决问题． 【解答】解：作于，于，设，， 是等边三角形， ， ， ， 的面积， 等边三角形， ， 的面积， 的面积的面积， ， ， ，或（舍， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形，三角形的面积，关键是掌握等边三角形的性质． 29．（2024•海州区校级一模）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长于点，则　　． 【答案】． 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据等边三角形三线合一可得，再根据作图可知，进一步可得的度数． 【解答】解：在等边中，， 是边上的高， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 30．（2024春•宝安区校级月考）如图，等边内部有一点，，，，在、上分别有一动点、，且，则的最小值是 　　． 【答案】． 【分析】过点作，使，证明，推出，则，可知当点，，在同一条直线时，取最小值，最小值为． 【解答】解：如图，过点作，使，连接，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 当点，，在同一条直线时，取最小值，最小值为， 在中，，， ， 的最小值是， 故答案为：． 【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段的最值问题等，解题的关键是正确作辅助线，将所求线段进行转化． 31．（2024春•上海期末）如图，点是线段上一点，，与都是等边三角形，联结、交于点，过点作，，垂足为、，联结，如果的面积是，的长是，那么　　．（用含字母和的代数式表示） 【答案】． 【分析】先求出，进而得，由此可依据“”判定和全等得，，再证明和全等得，，进而可得，由此得，则为等边三角形，，然后根据得，即，由此即可得出答案． 【解答】解：和都是等边三角形， ，，，， ， ，， 即， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ，的面积是， ， 即， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，列代数式，理解等边三角形的判定和性质，利用三角形的面积公式列出代数式是解决问题的关键，准确识图，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的难点． 六．等边三角形的判定与性质 32．（2024•振兴区校级三模）如图，在等边中，，作射线，垂足为，点是射线上一点．点是边上一点，连接，以为边向上构造等边，的延长线与射线交于点，连接．当，时，的面积为 　或　． 【答案】或． 【分析】先根据等边三角形性质得，，，，则，分两种情况讨论如下：①当点在线段上时，过点作于，延长交于，连接，过点作于，先求出，则，，，，进而得，，由此可证和全等，则，，据此可得的面积；②当点在的延长线上时，延长交的延长线于，连接，在上取一点，使，先求出，，由此可证明，进而得，则，，再证明和全等得，，则，由此可证和全等，则，，据此可得的面积，综上所述即可得出答案． 【解答】解：为等边三角形，且，射线于， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， 点是射线上一点， 有以下两种情况： ①当点在线段上时，过点作于，连接，过点作于，如图1所示： ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 在中，，则，， 为等边三角形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ，， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ； ②当点在的延长线上时，延长交的延长线于，连接，在上取一点，使，如图2所示： ，则， 在中，由勾股定理得：， ， ， 为直角三角形，即， ， △为等边三角形， ，， ， 为等腰直角三角形，即， 由勾股定理得：， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 综上所述：的面积为或． 故答案为：或． 【点评】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活运用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行运算是解决问题的关键． 七．含30度角的直角三角形 33．（2024春•安源区校级月考）若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，那么等腰三角形的顶角等于　　 A．或 B．或 C． D． 【答案】 【分析】分为两种情况：①高在内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高在外时，求出，根据平角的定义求出即可． 【解答】解：①如图， 是的高，，， ， ②如图， 是边 上的高，， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论． 34．（2024•兰考县一模）请你完成命题“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”的证明． （提示：证明命题应首先依据命题画出几何图形，再结合几何图形用数学符号语言写出“已知”、“求证”，最后写出证明过程． 【答案】见解答． 【分析】延长到点，使，连接，从而可得是的垂直平分线，进而可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得：，从而可得是等边三角形，进而可得，即可解答． 【解答】解：已知：在中，，， 求证：， 证明：如图：延长到点，使，连接， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 八．轴对称的性质 35．（2024春•莱芜区期中）将的顶角沿直线折叠（如图），点的对应点为点，记为，为． （1）如图1，当点的对应点落在内部时，试探求，与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，当点的对应点落在外部时，，与又有怎样的数量关系呢？请写出猜想，并给予证明． 【答案】（1），理由见解析； （2），证明见解析． 【分析】（1）利用三角形两次外角定理得出结论； （2）由三角形外角定理，，故，再由折叠可得：即可得出结论． 【解答】解：（1），理由如下： 如图1，连接， 是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ． （2），证明如下： 如图2，连接， 是的外角， ． 同理，． ． 由折叠性质得． ， ． 【点评】此题主要考查的是轴对称的性质，涉及到折叠的性质、三角形外角的性质．掌握折叠前后图形对应角度相等和三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和是解题的关键． 九．轴对称图形 36．（2024•兴隆台区校级模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是　　 A．①⑤ B．②⑤ C．④⑤ D．①② 【答案】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：①⑤的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； ②③④的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 【点评】本题考查轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 37．（2024•沁县三模）勾股，为古代传统数学的一个分支，《九章算术》勾股章是中国古代最早的系统的勾股理论．下列图形是《九章算术》“注释”中的图形，其中是轴对称图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可． 【解答】解：．不是轴对称图形，故本选项不合题意； ．不是轴对称图形，故本选项不合题意； ．不是轴对称图形，故本选项不合题意； ．是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键． 一十．关于x轴、y轴对称的点的坐标 38．（2024•岳阳一模）如图，在平面直角坐标系中，与△关于轴对称，其中点，，的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点在△上的对应点的坐标是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案． 【解答】解：与△关于轴对称， 点在的边上， 点在△上的对应点的坐标是． 故选：． 【点评】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 一十一．坐标与图形变化−对称 39．（2024•牧野区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先证出四边形是矩形，由点的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解． 【解答】解：，轴，， 四边形是矩形， 点的坐标为， ，， 由轴对称变换可知，，， 又， ， ， 在中， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 一十二．作图−轴对称变换 40．（2024春•城厢区校级月考）如图，在的方格纸中，，为格点，的顶点均在格点上，请按要求画图． （1）在图1中画出格点，点，，的对应点分别为，，，使得与关于线段成轴对称图形． （2）在图2中画出平移后的格点，点，，的对应点分别为，，，使得线段平分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）见解析（答案不唯一）． 【分析】（1）分别画出点，，关于的对称点，，，再顺次连接即可得； （2）在线段上选一个格点为点，由此确定平移方式，再分别根据平移方式画出点，，然后顺次连接即可得． 【解答】解：（1）如图，即为所求． （2）如图，即为所求（答案不唯一）． 【点评】本题考查了画轴对称图形和平移—作图，熟练掌握轴对称图形和平移作图是解题关键． 41．（2024•深圳模拟）平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． （1）若△与关于轴对称，作出△，并写出的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）画图见解析，； （2）． 【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可． 【解答】解：（1）如图所示：△即为所求， 其中，； （2）． 【点评】本题考查作图轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用割补法求三角形面积． 42．（2024春•湛江期末）如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求的面积． （3）在直线上求作一点，使最小． 【答案】（1）△即为所求； （2）8.5． （3）点即为所求． 【分析】（1）根据轴对称的性质即可画关于直线的对称图形； （2）根据网格上的每个小正方形的边长为1，即可求的面积； （3）根据两点之间线段最短即可在直线上求作一点，使最小． 【解答】解：（1）如图，△即为所求； （2）的面积． （3）如图，点即为所求． 【点评】本题考查了作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． 43．（2024春•成都期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）完成下列各题： （1）画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的△； （2）求出的面积． 【答案】（1）见解答； （2）． 【分析】（1）首先确定、、三点关于直线对称的对称点位置，再连接即可； （2）利用割补法和三角形面积公式进行计算即可． 【解答】解：（1）如图所示： △即为所求． （2）的面积：． 【点评】此题主要考查了作图轴对称变换，关键是确定组成图形的关键点的对称点位置． 一十三．轴对称−最短路线问题 44．（2024•凤城市二模）在一条沿直线铺设的电缆两侧有甲、乙两个小区，现要求在上选取一点，向两个小区铺设电缆．下面四种铺设方案中，使用电缆材料最少的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接甲乙，交于点，点就是所求的点，理由是连接甲、乙的所有线中，线段最短． 【解答】解：根据线段的性质可知，点即为所求作的位置． 符合题意的画法是． 故选：． 【点评】本题考查应用与设计作图，利用两点之间线段最短是解决问题关键，学会将实际问题转化为数学知识． 45．（2023秋•曲靖期末）如图，河道的同侧有，两个村庄，计划铺设管道将河水引至，两村，下面四个方案中，管道总长度最短的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质及两点之间线段最短即可得出结论． 【解答】解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时管道长度最短． 故选：． 【点评】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解题的关键． 46．（2024春•四川校级期中）如图，在锐角中，，，的平分线交于点，、分别是，上的动点，则的最小值是 　3　． 【答案】3． 【分析】在上取一点，使，连接，，过点作于点，推出的最小值是，再求出的长即可． 【解答】解：在上取一点，使，连接，，过点作于点，如图， 平分， 是的对称轴， ， ， 的最小值是， 在中， ， ， ， 由勾股定理，得， 即， （负值已舍）， 的最小值是3． 【点评】本题考查轴对称最短路线问题，两点之间线段最短，垂线段最短，含角直角三角形的性质，能将两线段和的最小值用一条线段表示是解题的关键． 47．（2024•宝安区校级模拟）如图，已知，点，在线段上，且．是线段上的动点，分别以、为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为，则的最小值是 　　． 【分析】分别延长、交于点，易证四边形为平行四边形，得出为中点，则的运行轨迹为三角形的中位线．作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长． 【解答】解：如图，分别延长、交于点，过点作于点． ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 与互相平分． 为的中点， 也正好为中点， 即在的运动过程中，始终为的中点， 的运行轨迹为的中位线． 作点关于的对称点，连接交于点，连接，，则四边形是矩形，此时的值最小，最小值为线段的长． 是等边三角形，，， ， ， ， ， ， 的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，学会利用轴对称解决问题． 48．（2024春•海安市校级月考）在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，，点，分别是线段，线段上的动点，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】过点作于，交轴于点，连接，则的最小值为的长，根据，，，，推出． 【解答】解：如图，过点作于，交轴于点，连接， 当点，，三点共线时，即为点，，三点在线段上， 的最小值为的长， ，，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了垂线段最短，熟练运用轴对称的性质和三角形等面积法是解题的关键． 49．（2024春•潮州期中）先阅读下列一段文字，再解答问题．已知在平面内有两点，，，，其两点间的距离公式为，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或． 已知点，，试求，两点间的距离； （2）已知点，在平行于轴的直线上，点的横坐标为6，点的横坐标为，试求，两点间的距离； （3）应用平面内两点间的距离公式，求代数式的最小值． 【答案】（1）5；（2）8；（3）10． 【分析】（1）利用两点间距离公式计算即可． （2）两点横坐标差的绝对值． （3）原式表示点到和的距离之和．由两点之间线段最短，点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 【解答】解：（1）点，， ． （2）根据题意可知：点，在平行于轴的直线上， ． （3）原式， 原式表示点到和的距离之和． 两点之间线段最短， 点在以和为端点的线段上时，原式值最小． 最小值． 【点评】本题考查平面内点的坐标特点，两点间的距离公式；能够理解公式的含义，结合平面内点的坐标特点求解是关键． 50．（2024春•太和县月考）如图，在中，，，，为线段的中点，是线段上的一动点，求的最小值． 【答案】． 【分析】作点关于的对称点，连接，，，得出是等边三角形，进而根据得出最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【解答】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，，， 中，，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 即最小值为的长， ，则， ． 【点评】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 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