第12章 全等三角形 中档题拓展训练★★【5个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形 中档题拓展训练★★【5个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．全等图形 二．全等三角形的判定 三．全等三角形的判定与性质 四．全等三角形的应用 五．角平分线的性质 考点精讲精练 一．全等图形 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1．（2024春•锦江区校级期中）下列各组图形中，是全等图形的是　　 A． B． C． D． 二．全等三角形的判定 · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 2．（2023秋•广陵区期末）如图，已知，若能用“”判定，需添加条件　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是　　 已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎． A． B． C． D． 4．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 5．（2023秋•淅川县期末）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 6．（2023秋•渝中区期末）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 7．（2024•湘潭一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 8．（2024春•北碚区校级期末）如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得　　 A． B． C． D． 9．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 10．（2024•凉州区三模）如图，点、、、在一条直线上，，且，请添加一个条件 　　，使． 11．（2023秋•香河县期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及△的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与△全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 　　．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 12．（2024春•平阴县期中）如图在和中，，当添加条件 　　时，可由“边边边”判定． 13．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　　．（写出一个即可） 14．（2024•红塔区校级模拟）如图，，，，求证：． 15．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． （1）求证：． （2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 16．（2024•惠城区模拟）如图，，，，证明：． 三．全等三角形的判定与性质 · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 17．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于　　 A．8 B．9 C．10 D．11 18．（2024春•献县月考）如图，在平面上依次摆放着7个正方形，嘉嘉和琪琪观察之后得出下面的结论： 嘉嘉：如果左边第1个正方形的面积是3，第3个正方形的面积是4，则第2个正方形的面积是7； 琪琪：如果斜放置的3个正方形的面积从左到右依次是，，，则正放置的4个正方形的面积之和为． 其中说法正确的是　　 A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪均正确 D．嘉嘉和琪琪均错误 19．（2024春•锦江区期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为　　 A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 20．（2024春•中原区月考）如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　　 A． B． C． D． 21．（2024春•南昌期中）如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是　　 A．1 B．5 C．7 D．25 22．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知的面积为25，平分，于点，并延长交于点．则的面积是 　　． 23．（2024春•新罗区校级月考）如图，在中，，，边上的中线，则的面积为 　　． 24．（2024春•兰陵县期中）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 　　． 25．（2023秋•清河区校级期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 　　． 26．（2023秋•射洪市期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，到地面的距离是 　　． 27．（2024•亭湖区校级模拟）如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点．若，，则的长为 　　． 28．（2024春•凉州区月考）模型观念如图，在中，是边上的中线，，，，则的长为 　　． 29．（2023秋•大洼区校级期末）已知的高，所在的直线交于点，若，则的度数为 　　． 30．（2024•凉州区三模）已知：如图，与相交于点，，，求证：． 31．（2024春•渭滨区校级月考）已知：如图，，平分，平分，求证：． 32．（2024•市中区模拟）如图，在中，是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．求证：． 33．如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断： 　　（用“”、“ ”、“ ”填空）； （2）探究：与之间的关系； （3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 34．（2024•龙马潭区二模）如图，已知，，，试证明：． 35．（2024春•新城区月考）【问题提出】 如图，在中，为的角平分线，点在右侧的延长线上，延长到点，使得，连接，，延长交于点，，，且满足． （1）试说明； 【问题探究】 （2）和全等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）求的度数． 36．（2024•府谷县三模）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 37．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知中，，点、分别是边、上的中点，连接、． 求证：． 38．（2024•麒麟区校级模拟）如图，已知，，，求证：． 39．（2024•山阳县三模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．求证：． 四．全等三角形的应用 · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 40．（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是　　 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 41．（2024春•未央区月考）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是　　 A． B． C． D． 42．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是　　 A． B． C． D． 五．角平分线的性质 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 43．（2024•天山区一模）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 44．（2023秋•河东区期末）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为12，，，则的长为　　 A．7 B．6 C．5 D．4 45．（2024春•中原区期中）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的长是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 46．（2024春•卧龙区月考）点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为 　　． 47．（2024•长沙县一模）如图，在中，，平分，若，，则的面积为 　　． 48．（2024春•沈阳期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 　　． 49．（2024春•秦都区校级月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，连接．求证：平分． 50．（2024•武威三模）如图，于，于，若， 求证：平分． 第12章 全等三角形 中档题拓展训练★★【5个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．全等图形 1．（2024春•锦江区校级期中）下列各组图形中，是全等图形的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等图形的定义，逐一判断即可解答． 【解答】解：、形状相同，大小不等，不是全等图形，故不符合题意； 、形状不同，不是全等图形，故不符合题意； 、形状相同，大小相等，是全等图形，故符合题意； 、形状不同，不是全等图形，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等图形，熟练掌握全等图形的定义是解题的关键． 二．全等三角形的判定 2．（2023秋•广陵区期末）如图，已知，若能用“”判定，需添加条件　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理得出即可． 【解答】解：，， 能用“”判定，添加的条件是， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键． 3．（2023秋•浦江县期末）下列表格中，填入“◎”处正确的是　　 已知：，，且，． 求证：． 证明：，， ， 又，， ， ◎． A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件即可判断三角形全等的依据是． 【解答】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 4．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 5．（2023秋•淅川县期末）如图，已知，，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：、根据即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； 、根据即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； 、根据即可证明三角形全等，故此选项不符合题意； 、无法判断三角形全等，故此选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法的运用． 6．（2023秋•渝中区期末）如图，与的边，在同一条直线上，，且，请添加一个条件，使，全等的依据是“”，则需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由平行线的性质得，再证，然后由证即可． 【解答】解：需要添加的条件是，理由如下： ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 7．（2024•湘潭一模）如图，点、、、在同一直线上，，，添加以下条件不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题目条件可得，，再根据四个选项结合全等三角形的判定定理可得答案． 【解答】解：， ， ， ， 、添加条件，可以利用定理证明，故此选项不合题意； 、添加条件，利用能证明，故此选项不合题意； 、添加条件，不能证明，故此选项符合题意； 、添加条件，可得，可以利用定理证明，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 8．（2024春•北碚区校级期末）如图点，，，在同一条直线上，点，在直线的两侧，，，添加一个适当的条件后，仍不能使得　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【解答】解：若添加，则不能判定，故选项符合题意； 若添加，则，可以判断，故选项不符合题意； 若添加，可以判断，故选项不符合题意； 若添加，可以判断，故选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的明确题意，利用全等三角形的判定和数形结合的思想解答． 9．（2024春•南岗区校级期中）下列说法正确的是　　 A．在中，若，则是直角三角形 B．每条边都相等的多边形是正多边形 C．所有正方形都是全等图形 D．如果两个三角形有两边和一角分别对应相等，那么这两个三角形全等 【答案】 【分析】根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答即可． 【解答】解：、在中，若，则是直角三角形，说法正确，符合题意； 、每条边和每个内角都相等的多边形是正多边形，原命题是假命题，不符合题意； 、所有正方形是相似图形，不一定是全等图形，原命题是假命题，不符合题意； 、如果两个三角形有两边和其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，原命题是假命题，不符合题意； 故选：． 【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据直角三角形的判定、正多边形的判定、全等图形和三角形全等的判定解答． 10．（2024•凉州区三模）如图，点、、、在一条直线上，，且，请添加一个条件 　　，使． 【分析】判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，所以可添加条件为，或或或． 【解答】解：可添加条件为或或或． 理由如下：， ． 在和中， ， ． 故答案为：或或（填一个即可）． 【点评】本题考查三角形全等的性质和判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、（在直角三角形中）．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 11．（2023秋•香河县期末）数学社团活动课上，甲乙两位同学玩数学游戏．游戏规则是：两人轮流对及△的对应边或对应角添加一组等量条件（点，，分别是点，，的对应点），某轮添加条件后，若能判定与△全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 表格记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是 　②③④　．（填写所有正确结论的序号） ①若第3轮甲添加，则甲获胜； ②若第3轮甲添加，则甲必胜； ③若第2轮乙添加条件修改为，则乙必胜； ④若第2轮乙添加条件修改为，则此游戏最多4轮必分胜负． 【答案】②③④． 【分析】根据全等三角形的判定定理，逐项判断即可求解． 【解答】解：①若第3轮甲添加，可根据角角边判定与△全等，则乙获胜，不符合题意； ②若第3轮甲添加，满足边边角，不能判定与△全等，则甲获胜，正确，符合题意； ③若第2轮乙添加条件修改为， 若第3轮甲添加一边相等，可根据边角边或斜边直角边判定与△全等，则乙获胜， 若第3轮甲添加一角相等，可根据角角边或角边角判定与△全等，则乙获胜， 故乙必胜，故本说法正确，符合题意； ④若第2轮乙添加条件修改为， 第3轮甲只能添加或其中之一，此时已有边边角．无论第4轮乙添加对应边相等还是对应角相等，都会有边边边或角角边或角边角来判定出全等，则乙必输，甲必胜．所以最多4轮必分胜负，本说法正确，符合题意． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 12．（2024春•平阴县期中）如图在和中，，当添加条件 　　时，可由“边边边”判定． 【答案】． 【分析】根据确定添加条件即可． 【解答】解：，， 当时，可由“边边边”判定． 故答案为：． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． 13．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】添加，通过“”即可证明． 【解答】解：添加， ，是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了添加条件使三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 14．（2024•红塔区校级模拟）如图，，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据即可证明． 【解答】证明：，， ，， 在和中， ， 【点评】此题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理． 15．如图，在中，，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． （1）求证：． （2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析； （2）或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【分析】（1）由，，，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【解答】（1）证明：是边上的高，是边上的高， ， ，，， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， ， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； 如图3，当时， ， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 16．（2024•惠城区模拟）如图，，，，证明：． 【分析】利用，即可得出，再利用全等三角形的判定得出即可． 【解答】证明：， ，即， 在与中， ， ． 【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 三．全等三角形的判定与性质 17．（2024•玄武区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，，点、分别在轴正半轴和轴正半轴上，，则等于　　 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】 【分析】过作轴于，轴于，证，推出，即可解决问题． 【解答】解：过作轴于，轴于， 则， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质和判定，四边形的内角和定理，坐标与图形性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 18．（2024春•献县月考）如图，在平面上依次摆放着7个正方形，嘉嘉和琪琪观察之后得出下面的结论： 嘉嘉：如果左边第1个正方形的面积是3，第3个正方形的面积是4，则第2个正方形的面积是7； 琪琪：如果斜放置的3个正方形的面积从左到右依次是，，，则正放置的4个正方形的面积之和为． 其中说法正确的是　　 A．嘉嘉正确，琪琪错误 B．嘉嘉错误，琪琪正确 C．嘉嘉和琪琪均正确 D．嘉嘉和琪琪均错误 【答案】 【分析】根据正方形的性质，同角的余角相等，可证，进而得到，，再由勾股定理即可得到，再利用正方形的面积公式求解即可判断嘉嘉的说法，同理可证，进而可得到，进而可判断琪琪的说法． 【解答】解：如图，设横放的四个正方形的面积从左向右依次为，，，， 由题意知，，，，， ， ， ， ， 在中，，即， ， 嘉嘉正确； 同理可证， ， 琪琪正确， 综上所述，嘉嘉和琪琪均正确， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 19．（2024春•锦江区期末）如图，为了测量点到河对岸的目标之间的距离，在与点同侧的河岸上选择了一点，测得，，然后在处立了标杆，使，，测得的长是15米，则，两点间的距离为　　 A．10米 B．15米 C．20米 D．30米 【答案】 【分析】根据已知易得：，，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得米，即可解答． 【解答】解：，，，， ，， 在和中， ， ， 米， ，两点间的距离为15米， 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（2024春•中原区月考）如图，已知，要使得，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：，， 添加，利用可得； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有：，，，． 21．（2024春•南昌期中）如图，直线同侧有三个正方形，，，若，的面积分别为3和4，则的面积是　　 A．1 B．5 C．7 D．25 【答案】 【分析】如图，根据正方形的性质得，，，，再利用等角的余角相等得，则可根据” “证明，得到，然后根据勾股定理得到，则有的面积为7． 【解答】解：如图， 、、都为正方形， ，，，， ，， ， 在和中 ， ， ， 在中，， 的面积为7． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了勾股定理和正方形的性质． 22．（2024春•碑林区校级月考）如图，已知的面积为25，平分，于点，并延长交于点．则的面积是 　　． 【答案】． 【分析】先利用证明，得，推出，，则，据此得出答案即可． 【解答】解：平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， 和等底等高，和等底等高， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．（2024春•新罗区校级月考）如图，在中，，，边上的中线，则的面积为 　12　． 【答案】12． 【分析】延长到点，使，连接，证明，得，再根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，得，最后根据中线的意义可得出． 【解答】解：延长到点，使，连接，如图， 点为的中点， ， 又， ， ， 又，，， ， 是直角三角形， ， ， ． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查勾股定理逆定理，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 24．（2024春•兰陵县期中）如图，，，点为的中点，若，，，则的长为 　3　． 【答案】3． 【分析】延长交于点，如图，先证明得到，，所以，然后证明为等边三角形得到，从而得到的长． 【解答】解：延长交于点，如图， ， ， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．也考查了等边三角形的判定与性质． 25．（2023秋•清河区校级期末）如图，点，，，在同一条直线上，，，．若，，则的度数为 　110　． 【答案】110． 【分析】根据，可得，再利用求证和全等即可． 【解答】解：， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：110． 【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 26．（2023秋•射洪市期末）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．乐乐在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若，到地面的距离是 　1　． 【答案】1． 【分析】过点作于点，则到地面的距离为，再证，得出，即可得出答案． 【解答】解：如图，过点作于点， 由题意得：，，， 到地面的距离为，， ； ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 27．（2024•亭湖区校级模拟）如图，以正方形的两边和为斜边向外作两个全等的直角三角形和，过点作于点，交于点，过点作于点，过点作，交延长线于点，交于点．若，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】作于点，先证，推出 的面积是矩形面积的两倍，从而得出．因此设，可得，，从而得出，从而得到，求出，即可求出． 【解答】解：过作于点，交于点， ．， ， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定与性质，关键是证明解答． 28．（2024春•凉州区月考）模型观念如图，在中，是边上的中线，，，，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】如图：作交的延长线于点，，再证可得，，；再运用勾股定理可得，最后根据三角形的中线的定义即可解答． 【解答】解：作交的延长线于点，， 是边上的中线， ， ， ， ，，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． 29．（2023秋•大洼区校级期末）已知的高，所在的直线交于点，若，则的度数为 　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：①若为锐角三角形时，为锐角，如图1， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即． ②若为钝角三角形时，为钝角，如图2， 同理可证， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（2024•凉州区三模）已知：如图，与相交于点，，，求证：． 【分析】证明，即可得到结论． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 31．（2024春•渭滨区校级月考）已知：如图，，平分，平分，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】延长交延长线于，利用平行线的性质和角平分线的定义证明，则，进而证明，得到，，再证明，得到，即可证明． 【解答】证明：如图所示，延长交延长线于， ， ， 平分，平分， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义和三角形内角和定理，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 32．（2024•市中区模拟）如图，在中，是边的中点，过点作直线，使，交的延长线于点．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】证，即可得出结论． 【解答】证明：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 33．如图所示，、是高，点在的延长线上，，点在上，． （1）判断： 　　（用“”、“ ”、“ ”填空）； （2）探究：与之间的关系； （3）若把（1）中的改为钝角三角形，，是钝角，其他条件不变，试探究与之间的关系，请画出图形并直接写出结论． 【分析】（1）根据垂直的定义和三角形的内角和定理即可得到答案； （2）由条件可得出，可证得，可得结论； （3）根据题意画出图形，结合（1）可证得，可得结论． 【解答】解：（1）设、交于， 、是高， ， ， ，， ； 故答案为：； （2）结论：，， 证明：、是的高， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 而， ， 即， ； 即，； （3）上述结论成立，理由如下： 如图所示： 、是的高， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 即，． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 34．（2024•龙马潭区二模）如图，已知，，，试证明：． 【答案】证明见解析． 【分析】只要证明，即可推出，推出． 【解答】证明：， ， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，时间掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型． 35．（2024春•新城区月考）【问题提出】 如图，在中，为的角平分线，点在右侧的延长线上，延长到点，使得，连接，，延长交于点，，，且满足． （1）试说明； 【问题探究】 （2）和全等吗？请说明理由； 【问题解决】 （3）求的度数． 【答案】（1）见解析； （2），理由见解析； （3）． 【分析】（1）根据已知得出，根据等边对等角即可得出； （2）先证明，，进而证明； （3）根据全等三角形的性质得出，则，设，则，得出，进而根据三角形内角和定理求得，即可求解． 【解答】解：（1），， ， ， ， ． （2），理由如下： 为的角平分线， ． ， ． 又， ， ． 在和中， ， ． （3）， ，． ， ． 设，则， ，， ． ，， ， 解得：． ， 的度数为． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握等边对等角，三角形内角和定理是解题的关键． 36．（2024•府谷县三模）如图，点，，，在一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，得，则． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 37．（2024•碑林区校级模拟）如图．已知中，，点、分别是边、上的中点，连接、． 求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，且，，得，而，即可根据“”证明，则． 【解答】证明：， ， 点、分别是边、的中点， ，， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查等式的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明是解题的关键． 38．（2024•麒麟区校级模拟）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】由，得到，继而根据证明，根据全等三角形对应边相等结合等式的性质即可求得结论． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ． ． 【点评】本题考查三角形全等的性质和判定．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 39．（2024•山阳县三模）如图，，是的中点，延长交于点，与的延长线交于点．求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，则． 【解答】证明：， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、线段中点的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 四．全等三角形的应用 40．（2023秋•鹤壁期末）打碎的一块三角形玻璃如图所示，现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，最省事的方法是　　 A．带①②去 B．带②③去 C．带③④去 D．带②④去 【答案】 【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案． 【解答】解：、带①②去，符合判定，选项符合题意； 、带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带③④去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 、带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握． 41．（2024春•未央区月考）数学活动课上，小组探究学习的任务是测量如图所示的学校后花园里水池的宽度，即，两点之间的距离．小组交流后，制定了设计方案：①先在地上取一个可以直接到达点，的点；②连接并延长到点，使；③连接，并延长到点，使；④连接，并测量出它的长度，则的长度就是，两点之间的距离．数学原理是和全等．请思考：所用的判定定理是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意知，，，可用证明两三角形全等． 【解答】解：由题意知，， 在和中， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，关键是全等三角形判定定理的应用． 42．（2023秋•姜堰区期末）如图，工人师傅常用“卡钳”这种工具测定工件内槽的宽．卡钳由两根钢条、组成，为、的中点．只要量出的长度，由三角形全等就可以知道工件内槽的长度．那么判定△的理由是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据证明△即可； 【解答】解：是，的中点， ，， 又与是对顶角， ， 在和△中， ， △， ， 只要量出的长度，就可以知道工作的内径是否符合标准， 判定△的理由是． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的应用．在实际生活中，对于难以实地测量的线段，常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求解． 五．角平分线的性质 43．（2024•天山区一模）如图，中，．用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小．再根据角平分线的性质定理可得解决问题； 【解答】解：当时，根据垂线段最短可知，此时的值最小． 由作图可知：平分， ，， ， 的最小值为2， 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质定理，垂线段最短，基本作图等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最短问题，属于中考常考题型． 44．（2023秋•河东区期末）如图，是的角平分线，，垂足为．的面积为12，，，则的长为　　 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】 【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作于， 是的角平分线，，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 45．（2024春•中原区期中）如图，是的角平分线，于点，于点，，，，则的长是　　 A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】 【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：是中的角平分线，，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键． 46．（2024春•卧龙区月考）点到两条坐标轴的距离相等，则点的坐标为 　或　． 【答案】或． 【分析】由点到两坐标轴的距离相等，可得到关于的方程，可求得的值，则可求得点的坐标． 【解答】解：点到两条坐标轴的距离相等， ， 或， 解得：或， 当时，，， 当时，，， 点的坐标为或， 故答案为：或． 【点评】本题主要考查点的坐标的意义，绝对值的性质，掌握点的坐标与点到坐标轴的距离的关系是解题的关键． 47．（2024•长沙县一模）如图，在中，，平分，若，，则的面积为 　3.75　． 【答案】3.75． 【分析】由角平分线的性质推出，由勾股定理求出，由三角形面积公式得到，因此，即可求出，于是得到的面积． 【解答】解：过作于， ，平分， ， ，， ， 的面积的面积的面积， ， ， ， 的面积． 故答案为：3.75． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到，由三角形面积公式得到． 48．（2024春•沈阳期末）如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，，则的面积是 　15　． 【分析】作于，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：如图，作于， 由基本尺规作图可知，是的角平分线， ，， ， 的面积， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 49．（2024春•秦都区校级月考）如图，在中，和的平分线，相交于点，连接．求证：平分． 【答案】见详解． 【分析】过点作于点，于点，于点，利用角平分线的性质可得，，进一步得到，即可证明平分． 【解答】证明：过点作于点，于点，于点， ，分别平分和， ，， ． 于点，于点， 平分． 【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟练掌握角平分线的判定与性质是解题的关键． 50．（2024•武威三模）如图，于，于，若， 求证：平分． 【分析】由于，于，若，，即可判定，则可得，然后由角平分线的判定定理，即可证得平分． 【解答】证明：，， ， 在和中， ， ， ， 在与中， ， ， ， 平分． 【点评】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$