第12章 全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】—【冲刺满分】2024—2025学年人教版数学八年级上册

第12章 全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．全等图形 二．全等三角形的性质 三．全等三角形的判定 四．全等三角形的判定与性质 五．全等三角形的应用 六．角平分线的性质 考点精讲精练 一．全等图形 · 全等图形 （1）全等形的概念 能够完全重合的两个图形叫做全等形． （2）全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． （3）三角形全等的符号 “全等”用符号“≌”表示．注意：在记两个三角形全等时，通常把对应顶点写在对应位置上． （4）对应顶点、对应边、对应角 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点；重合的边叫做对应边；重合的角叫做对应角． 1．（2024春•龙岗区期中）下列说法正确的是 A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 二．全等三角形的性质 · 全等三角形的性质 （1）性质1：全等三角形的对应边相等 性质2：全等三角形的对应角相等 说明：①全等三角形的对应边上的高、中线以及对应角的平分线相等 ②全等三角形的周长相等，面积相等 ③平移、翻折、旋转前后的图形全等 （2）关于全等三角形的性质应注意 ①全等三角形的性质是证明线段和角相等的理论依据，应用时要会找对应角和对应边． ②要正确区分对应边与对边，对应角与对角的概念，一般地：对应边、对应角是对两个三角形而言，而对边、对角是对同一个三角形的边和角而言的，对边是指角的对边，对角是指边的对角． 2．（2023秋•黔西南州期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．7 B．8 C．9 D．10 3．（2023秋•台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 4．（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 三．全等三角形的判定 · 全等三角形的判定 （1）判定定理1：SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等． （2）判定定理2：SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等． （3）判定定理3：ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等． （4）判定定理4：AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． （5）判定定理5：HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等． 方法指引：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 5．（2024春•成都期末）下列条件中，不能作出唯一三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 6．（2024春•浦东新区期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 8．（2024•保定二模）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 9．（2024春•南岗区校级期中）在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线作法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 10．（2023秋•宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是　　 A．， B．，， C．，， D．，， 11．（2024春•雁塔区校级期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 　　时，能够使与全等． 12．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　　．（写出一个即可） 13．（2024•绥江县二模）如图，，，，求证：． 四．全等三角形的判定与性质 · 全等三角形的判定与性质 （1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． （2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形． 14．（2023秋•和平区期末）如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④当时，； ⑤当时，； 其中，正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2023秋•保定期末）如图，，为，的中点，，，则的长为　　 A．1.5 B．2 C．3 D．5.5 16．（2024•东昌府区校级模拟）如图，在四边形中，，，于点，且．若，则的值为　　 A． B． C． D． 17．（2023秋•大洼区校级期末）已知的高，所在的直线交于点，若，则的度数为 　　． 18．（2024•西城区校级开学）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是，，则：　　． 19．（2024春•上海期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　　时，． 20．（2023秋•新安县期末）如图，已知，，交于点，点在线段的延长线上．给出下列结论：①；②；③平分；④；⑤图中共有6对全等三角形；⑥．其中正确的结论是 　　．（填写所有正确结论的序号） 21．（2024•中山市校级模拟）在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 　　． 22．（2024•曹妃甸区模拟）已知：与交于点，，． 求证： （规范证明过程） 证明：在和中， 　 　 　 　　 　 在和中， 　 　 ． 23．（2024•杭州三模）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 24．（2024•连云区二模）如图，在和中，，，．求证：． 25．如图，、、、四点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若为的平分线，，，求的度数． 26．（2024春•新城区月考）如图，点，，，在同一条直线上，点、在的同侧，连接，，，，，，，试说明． 27．（2024•莲湖区模拟）如图，已知，，，求证：． 28．（2024•开福区校级一模）如图，在中，是边上的中线，过点，分别作，，垂足为，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 29．（2024•秦都区二模）将和如图放置．已知，，，求证：． 30．（2024•武威二模）如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 31．（2024•舟山一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． （1）求的度数． （2）求证：． 32．（2024•大理州模拟）已知，如图，点、在上，且，，．求证：． 33．（2024•武威三模）已知：中，，是上一点，交于点，且，交于点． 求证：． 34．（2024春•碑林区校级月考）如图，，，，试说明：． 五．全等三角形的应用 · 全等三角形的应用 （1）全等三角形的性质与判定综合应用 用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系． （2）作辅助线构造全等三角形 常见的辅助线做法：①把三角形一边的中线延长，把分散条件集中到同一个三角形中是解决中线问题的基本规律．②证明一条线段等于两条线段的和，可采用“截长法”或“补短法”，这些问题经常用到全等三角形来证明． （3）全等三角形在实际问题中的应用 一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键． 35．（2024•娄星区校级二模）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 　　． 六．角平分线的性质 · 角平分线的性质 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE 36．（2024•米东区一模）如图，在，，平分交于点，过点作，垂足恰好是边的中点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 37．（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 38．（2024•河北区二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于 点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；在射线上取点，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点，分别在射线，上，，射线，交于点，，则　　 A． B． C． D． 39．（2024春•涵江区校级月考）如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．1 B． C． D．2 40．（2024春•惠来县期中）如图，平分，于点，若，则到的距离是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 41．（2024春•九龙坡区校级期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为，的面积为，则的面积为　　． A．3 B．4 C． D． 42．（2024•池州二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为　　 A． B．2 C．1 D． 43．（2024春•信宜市月考）如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，，　　． 44．（2024春•长安区期中）如图，中，平分，于，，，则的面积为 　　． 45．（2024•阳泉一模）在中，，，，是的平分线，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长为 　　． 46．（2024春•兰州期中）如图，在中，，平分，，到的距离是 　　． 47．（2024春•泗县月考）如图，点是的平分线上一点，于点，且，，点是上的一动点，则的最小值为 　　． 48．（2024春•郓城县期中）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是　　． 49．（2024春•尤溪县月考）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为 　　． 50．（2024春•永兴县校级月考）如图，平分，垂直于于点，三角形的面积等于90，，，求的长． 第12章 全等三角形 基础题过关检测★【6个考点50题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．全等图形 1．（2024春•龙岗区期中）下列说法正确的是 A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】 【分析】直接利用全等图形以及全等图形的性质判断得出答案． 【解答】解：、形状相同、大小相等的两个图形一定全等，故本选项不符合题意； 、长方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； 、两个全等图形面积一定相等，故本选项符合题意； 、两个正方形不一定是全等图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了全等图形和全等图形的性质，正确把握相关的定义或性质是解题关键． 二．全等三角形的性质 2．（2023秋•黔西南州期末）如图，点、、在同一直线上，若，，，则等于　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】 【分析】由全等三角形的性质推出，，求出，即可得到的长． 【解答】解：， ，， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 3．（2023秋•台州期末）如图，，边和在同一条直线上．若，，则长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质可知，然后问题可求解． 【解答】解：， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 4．（2023秋•庆阳期末）如图中的两个三角形全等，则等于　　 A． B． C． D．无法确定 【答案】 【分析】根据全等三角形对应角相等可知是、边的夹角，然后写出即可． 【解答】解：两个三角形全等， 的度数． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形对应角相等，根据对应边的夹角准确确定出对应角是解题的关键． 三．全等三角形的判定 5．（2024春•成都期末）下列条件中，不能作出唯一三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据三角形全等的判定条件，对所给选项依次进行判断即可解决问题． 【解答】解：因为，，， 根据全等三角形的判定定理“”可知， 此时三角形唯一确定． 故选项不符合题意． 因为，，， 则此时的两边及其中一边的对角确定， 所以无法确定三角形． 故选项符合题意． 因为，，， 根据全等三角形的判定定理“”可知， 此时三角形唯一确定． 故选项不符合题意． 因为，，， 根据全等三角形的判定定理“”可知， 此时三角形唯一确定． 故选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，熟知三角形全等的条件是解题的关键． 6．（2024春•浦东新区期末）如图，在中，，的角平分线、相交于点，过作交的延长线于点，交于点．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的个数是　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】根据三角形内角和以及角平分线的定义得，继而得出的度数，即可判断①；推出，根据证明即可，即可判断②；证明，得，，根据外角的性质可判断③；通过等量代换可判断④．证明三角形全等是解题的关键． 【解答】解：在中，， ， 、分别平分、， ，， ， ，故结论①正确； ， 又， ， ， ， 在和中， ， ，故结论②正确； ，，， ， 在和中， ， ， ，， 是的外角， ， ，故结论③错误； 又，， ， 即，故结论④正确， 正确的个数是3个． 故选：． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 7．（2023秋•攸县期末）如图，与相交于点，，，不添加辅助线，判定的依据是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可． 【解答】解：在和中， ， ， 故选：． 【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 8．（2024•保定二模）如图，已知，下列条件中，添加后仍不能判定的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】全等三角形的判定逐项分析，即可作答． 【解答】解：、，，，不能证明，故该选项是符合题意的； 、，，，能证明，故该选项是不符合题意的； 、，，，能证明，故该选项是不符合题意的； 、，，，能证明，故该选项是不符合题意的； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握“，，，，”等判定方法是解题的关键， 9．（2024春•南岗区校级期中）在一次数学活动课中，王老师布置学生“用角尺平分一个任意角”的学习任务．某位同学的做法是：如图，在的边、上分别取，移动角尺，使角尺的两边相同的刻度分别与、重合，得到的平分线作法中用到三角形全等的判定方法是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】已知两三角形三边分别相等，可考虑证明三角形全等，从而证明角相等． 【解答】解：做法中用到的三角形全等的判定方法是； 证明： ， ， ， 故为的平分线． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，熟练掌握确定三角形全等的方法是解此题的关键． 10．（2023秋•宁阳县期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是　　 A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】 【分析】根据全等三角形的三边关系理逐个判断即可． 【解答】解：．如图和的斜边都是，但是两三角形不一定全等，故本选项不符合题意； ．，，，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一的三角形，故本选项不符合题意； ．，，，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一的三角形，故本选项符合题意； ．，不符合三角形的三边关系定理，不能画出三角形，故本选项不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理和三角形三边关系定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有． 11．（2024春•雁塔区校级期中）如图所示，已知四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上面点向点运动．当点的运动速度为 　或　时，能够使与全等． 【答案】或． 【分析】设运动时间为秒，点的运动速度是 ，则 ， ，，求出，根据全等三角形的判定得出当，或，时，与以、、三点所构成的三角形全等，再代入求出、即可． 【解答】解：设运动时间为秒，点的运动速度是 ，则 ， ，， 为的中点，， ， ， 要使与以、、三点所构成的三角形全等，必须，或，， 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是， 当，时，，， 解得：，，即点的运动速度是， 综合上述，当点的运动速度为或时，能够使与以、、三点所构成的三角形全等． 故答案为：或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有等． 12．（2024•海淀区校级模拟）如图，，是的两条高线，只需添加一个条件即可证明（不添加其它字母及辅助线），这个条件可以是 　（答案不唯一）　．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一）． 【分析】添加，通过“”即可证明． 【解答】解：添加， ，是的两条高线， ， 在和中， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了添加条件使三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定是解此题的关键． 13．（2024•绥江县二模）如图，，，，求证：． 【答案】见解答． 【分析】先证明．然后利用“”证明． 【解答】证明：， ， 即． 在和中， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 四．全等三角形的判定与性质 14．（2023秋•和平区期末）如图，在中，和的平分线，交于点，交于点，交于点，连接．过点作于点，若，，，，现给出以下结论： ①； ②； ③； ④当时，； ⑤当时，； 其中，正确结论的个数是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质得，，所以，则平分，所以，可判断①正确；由，，可推导出，可判断②错误；由，，，，得，则，可判断③错误；在上截取，连接，当时，可证明，则，可证明，则，所以，再证明，得，则，可判断④正确；当时，则四边形是正方形，所以，可证明，得，再证明，得，可证明，可判断⑤正确，于是得到问题的答案． 【解答】解：如图1，作于点，于点， 平分交于点， ， 平分交于点，于点， ， ， 点在的平分线上， 平分， ， 故①正确； ，， ， ， ， 故②错误； ，，，， ， ， 故③错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 故④正确； 如图3，， 作于点，于点，则， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故⑤正确， 故选：． 【点评】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、正方形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 15．（2023秋•保定期末）如图，，为，的中点，，，则的长为　　 A．1.5 B．2 C．3 D．5.5 【答案】 【分析】由为，的中点，得，，而，即可根据“”证明，得，，因为，，所以，则，，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【解答】解：为，的中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， 解得， 故选：． 【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质、“等角对等边”等知识，证明是解题的关键． 16．（2024•东昌府区校级模拟）如图，在四边形中，，，于点，且．若，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】连接，如图，先证明得到，再证明得到，由于，则利用等线段代换得到． 【解答】解：连接，如图， ，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 故选：． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：构建与全等是解决问题的关键． 17．（2023秋•大洼区校级期末）已知的高，所在的直线交于点，若，则的度数为 　或　． 【答案】或． 【分析】分两种情况，画出图形，由全等三角形的性质及等腰直角三角形的性质可得出答案． 【解答】解：①若为锐角三角形时，为锐角，如图1， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 即． ②若为钝角三角形时，为钝角，如图2， 同理可证， ， ， ， 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 18．（2024•西城区校级开学）如图，在水平桌面上依次摆着三个正方形，已知位于中间的正方形的面积为1，两边的正方形面积分别是，，则：　1　． 【答案】1． 【分析】根据正方形的性质得，，再根据等角的余角线段得，则可根据“”判定，得到，；由勾股定理得，即．进而可以解决问题． 【解答】解：如图， 、、都是正方形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，； 在中，由勾股定理得：， 即， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理和正方形的性质．解决本题的关键是结合全等三角形的性质证明线段相等． 19．（2024春•上海期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 　2或5　时，． 【分析】先证明，得出，①当点在射线上移动时，，即可求出移动了；②当点在射线上移动时，，即可求出移动了． 【解答】解：， ， 为边上的高， ， ， ， ， ， 过点作的垂线交直线于点， ， 在和中， ， ， ， ①如图，当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； ②当点在射线上移动时，， 点从点出发，在直线上以的速度移动， 移动了：； 综上所述，当点在射线上移动或时，； 故答案为：2或5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练正确全等三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（2023秋•新安县期末）如图，已知，，交于点，点在线段的延长线上．给出下列结论：①；②；③平分；④；⑤图中共有6对全等三角形；⑥．其中正确的结论是 　①②③④⑤⑥　．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④⑤⑥． 【分析】根据全等三角形的性质与判定逐一对结论进行证明即可解答． 【解答】解：，，， ， ， ，， ， ， 故①符合题意； ， ， 即平分， 故③符合题意； ，，， ， ， ， ， 故②符合题意； ， ， 故④符合题意； 图中全等三角形：，，，，，，共6对， 故⑤符合题意， 是线段的垂直平分线， ， ， 故⑥符合题意． 故答案为：①②③④⑤⑥． 【点评】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 21．（2024•中山市校级模拟）在直线上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别1、4、9，正放置的四个正方形的面积依次为，，，，则的值是 　10　． 【答案】10． 【分析】证，得，同理，． 【解答】解：在和中， ， ， ，， ， 同理可证， ． 故答案为：10． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，考查了勾股定理的灵活运用，本题中证明是解题的关键． 22．（2024•曹妃甸区模拟）已知：与交于点，，． 求证： （规范证明过程） 证明：在和中， 　　 　 　　 　 在和中， 　 　 ． 【分析】根据推出，推出，根据推出即可． 【解答】证明：在和中 ， ， 在和中 ， ， 故答案为：，1，2，． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等． 23．（2024•杭州三模）如图，在四边形中，，点为对角线上一点，，且． （1）求证：； （2）如果，求的度数． 【分析】（1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可求解． 【解答】（1）证明， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中． 24．（2024•连云区二模）如图，在和中，，，．求证：． 【答案】见解析． 【分析】利用证明可得结论． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 25．如图，、、、四点在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若为的平分线，，，求的度数． 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由全等三角形的性质可得，，由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质和外角的性质可求的度数． 【解答】证明：（1） ，且， （2） ， 为的平分线 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键． 26．（2024春•新城区月考）如图，点，，，在同一条直线上，点、在的同侧，连接，，，，，，，试说明． 【答案】见解析过程． 【分析】由“”可证，可得结论． 【解答】证明：， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 27．（2024•莲湖区模拟）如图，已知，，，求证：． 【答案】证明见解答． 【分析】由，得，由，推导出，而，即可根据“”证明，则． 【解答】证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，，进而证明是解题的关键． 28．（2024•开福区校级一模）如图，在中，是边上的中线，过点，分别作，，垂足为，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）． 【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明即可证得结论； （2）利用勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：是边上的中线， ，， 在和中 ， ， ； （2）解：在中，，， ． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 29．（2024•秦都区二模）将和如图放置．已知，，，求证：． 【答案】见解析． 【分析】根据可得，再根据证明即可得出结论． 【解答】证明：， ， 又，， ， ． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是关键． 30．（2024•武威二模）如图，在与中，与交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）见解析； （2）见解析． 【分析】（1）根据，，，由即可证明； （2）由得到，则是等腰三角形，即可得到． 【解答】（1）证明：在和中， ， ； （2）， ， 是等腰三角形， ． 【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，证明是解题的关键． 31．（2024•舟山一模）如图，在中，，，过点作，垂足为，延长至．使得．在边上截取，连结． （1）求的度数． （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）证明，得出． 【解答】（1）解：． ． ， ； （2）证明：在中，，， ． ． 在和中， ， ， ． 【点评】此题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 32．（2024•大理州模拟）已知，如图，点、在上，且，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】证明，由全等三角形的性质得出． 【解答】证明：， ， 在与中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质；解决此类问题，首先要根据全等三角形的判定，证明三角形全等，然后得出结论． 33．（2024•武威三模）已知：中，，是上一点，交于点，且，交于点． 求证：． 【答案】见解析过程． 【分析】由“”可证，可得． 【解答】证明：，， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键． 34．（2024春•碑林区校级月考）如图，，，，试说明：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据角的和差求得，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】证明：， ， 即． 在 和中， ， ， ． 【点评】本题考查了等式的基本性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 五．全等三角形的应用 35．（2024•娄星区校级二模）如图，是一个测量工件内槽宽的工具，点既是的中点，也是的中点，若测得，则该内槽的宽为 　3.5　． 【答案】3.5． 【分析】利用证明△，即可解答． 【解答】解：点既是的中点，也是的中点， ，， 在和△中， ， △， ， 故答案为：3.5． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角的判定法方法． 六．角平分线的性质 36．（2024•米东区一模）如图，在，，平分交于点，过点作，垂足恰好是边的中点，若，则的长为　　 A． B． C． D． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出，求出，根据含角的直角三角形性质得出，，求出即可． 【解答】解：，为的中点， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， 由勾股定理得：， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了勾股定理，含角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识点，能求出的度数是解此题的关键． 37．（2024•武威二模）如图，的外角，的平分线，相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有　　 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】（1）作于，证明，得到，同理可证即可得到结论； （2）根据角平分线的判定定理解答即可； （3）根据全等三角形的性质证得，，再根据四边形内角和即可证得和关系． 【解答】解：（1）证明：作于， 是的平分线， ， 在和中， ， ， ， 同理，， ， （1）正确； （2）与（1）可知：， 又于，于， 点在的平分线上， （2）正确； （3）， 又， ， 即， 由（1）知：， ， 同理：， ， 即， ， （3）错误； 故选：． 【点评】本题考查的是角平分线的性质和判定，全等三角形的判定和性质，多边形内角和，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 38．（2024•河北区二模）如图，已知，以点为圆心，以任意长为半径作弧分别交射线，于 点，，分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点；在射线上取点，以点为圆心，以线段长为半径作弧交射线于点；点，分别在射线，上，，射线，交于点，，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用基本作图得到平分，则，利用基本作图可得，所以，可得，所以，，再根据三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：由基本作图得到平分，， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质和三角形的外角的性质，灵活运用所学知识解决问题． 39．（2024春•涵江区校级月考）如图，在中，是的角平分线，于点，，，，则长是　　 A．1 B． C． D．2 【答案】 【分析】根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，然后根据平分线的性质可得，再根据得到的长，最后根据勾股定理即可解答． 【解答】解：于点，，， ， 设，则， ， ，解得：， ． 如图：作于点， 是的角平分线，， ， ， ， 在中，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 40．（2024春•惠来县期中）如图，平分，于点，若，则到的距离是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】 【分析】从已知开始思考，根据角平分线的性质即可求解． 【解答】解：是的平分线，于点， 点到边的距离等于． 故选：． 【点评】此题主要考查角平分线性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．题目比较简单，属于基础题． 41．（2024春•九龙坡区校级期中）如图，在中，平分，过点作的垂线，交于点，交于点，若面积为，的面积为，则的面积为　　． A．3 B．4 C． D． 【答案】 【分析】设的面积为，根据角平分线的定义得到，根据垂直的定义得到，则利用等角的余角相等得到，所以，则利用等腰三角形的性质得到，然后根据三角形面积公式得到，，即，最后解方程即可． 【解答】解：设的面积为， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线把角分成相等的两部分．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式． 42．（2024•池州二模）在中，，，、是的两条角平分线，分别交、于点、，且、交于点，过点作于点，则的最大值为　　 A． B．2 C．1 D． 【答案】 【分析】判断出，推出点的运动轨迹是，当点是弧的中点时，的值最大，求出此时的值即可． 【解答】解：如图，， ， ，分别平分，， ，， ， 定值， 点的运动轨迹是， 当点是弧的中点时，的值最大， 此时， ， ，， ， 的最大值为2． 故选：． 【点评】本题考查角平分线的性质，轨迹等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 43．（2024春•信宜市月考）如图，在中，于，于，为的平分线，的面积是，，，　2　． 【答案】2． 【分析】根据的面积是，列式得，再进行化简计算，即可作答． 【解答】解：中，于，于，为的平分线 的面积是， ， 则， ， 解得， 故答案为：2． 【点评】本题考查了角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 44．（2024春•长安区期中）如图，中，平分，于，，，则的面积为 　4　． 【答案】4． 【分析】过点作于点，根据角平分线性质得出，再根据三角形的面积公式求解即可． 【解答】解：过点作于点，如图所示： 平分，，， ， ， 的面积， 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键． 45．（2024•阳泉一模）在中，，，，是的平分线，过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长为 　　． 【答案】． 【分析】交于点，如图，利用勾股定理计算出，则利用面积法可求出，再证明，所以，根据角平分线的性质得到点到、的距离相等，设，则点到的距离为，利用面积法求出，然后根据平行线分线段成比例定理得到，即，从而利用比例的性质可求出的长． 【解答】解：交于点，如图， ，，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ， ， ， ， 平分， 点到、的距离相等， 设，则点到的距离为， ， ， 解得， 即， ，， ， ， 即， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了相似三角形的判定与性质． 46．（2024春•兰州期中）如图，在中，，平分，，到的距离是 　3　． 【答案】3． 【分析】根据角平分线的性质作答即可． 【解答】解：作于，如图， 平分，，， ， 故答案为：3． 【点评】本题考查角平分线的性质，能够正确理解距离的概念是解答本题的关键． 47．（2024春•泗县月考）如图，点是的平分线上一点，于点，且，，点是上的一动点，则的最小值为 　3　． 【答案】3． 【分析】根据垂线段最短得到时，的值最小，根据角平分线的性质得到，即可． 【解答】解：点是上的一动点， 当时，的值最小， 点是的平分线上一点，于点， 当时，； 故答案为：3． 【点评】本题考查角平分线的性质，关键掌握垂线段最短． 48．（2024春•郓城县期中）如图，在中，点是，的平分线的交点，，过作于点，且，则的面积是　12　． 【答案】12． 【分析】根据角平分线的性质，可以得到点到和点到的距离，然后即可求得、、的面积，从而可以得到的面积． 【解答】解：作于点，作于点，连接，如图所示， 点是，的平分线的交点，于点，且， ，， ，， ， ， ， 故答案为：12． 【点评】本题考查角平分线的性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 49．（2024春•尤溪县月考）如图，在中，，平分，若，则点到的距离为 　4　． 【答案】4． 【分析】作，根据角平分线性质定理，可得，即可求解， 【解答】解：过点，作，交于点， ，平分， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查了角平分线性质定理，解题的关键是作辅助线． 50．（2024春•永兴县校级月考）如图，平分，垂直于于点，三角形的面积等于90，，，求的长． 【答案】6． 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点到的距离等于，然后根据的面积的面积的面积，列式进行计算即可得解． 【解答】解：平分，垂直于于点， 点到的距离等于的长度， ，， ， 的面积等于90， ， ． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，三角形的面积，求出点到的距离等于的长度是解题的关键． 第1页（共1页） 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