第11章 三角形 培优题突破练习★★★【7个考点50题专练】—【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册

第11章 三角形 培优题突破练习★★★【7个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 考点梳理 一．三角形的重心 二．三角形三边关系 三．三角形内角和定理 四．三角形的外角性质 五．直角三角形的性质 六．多边形 七．多边形内角与外角 考点精讲精练 一．三角形的重心 · 三角形的重心 （1）三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2）重心的性质： ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等． ③重心到三角形3个顶点距离的和最小．（等边三角形） 1．（2008•台湾）如图，是的重心，直线过点与平行．若直线分别与，交于，两点，直线与交于点，则的面积：四边形的面积　　 A． B． C． D． 2．（2021秋•诸暨市期末）如图，为锐角三角形，，，点为的重心，为中点，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为，则线段的长度的取值范围为　　 A． B． C． D． 二．三角形三边关系 · 三角形三边关系 （1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形． （3）三角形的两边差小于第三边． （4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略． 3．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 4．（2018秋•嘉善县期末）若三边、、的长都是偶数，且，若是正整数），则这样的三角形共有　　个． 5．（2018春•镇平县期末）已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是． （1）直接写出及的取值范围； （2）若是小于18的偶数 ①求的长； ②判断的形状． 三．三角形内角和定理 · 三角形内角和定理 （1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°． （2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°． （3）三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线． （4）三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角． 6．（2024春•江阴市期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为　　 A． B． C． D． 11．（2024春•高新区校级月考）如图，是角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 12．（2024春•渝北区期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 13．（2024春•罗湖区校级期中）下列说法中正确的有　　 ①相等的角是对顶角； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ④如果直线，，那么； ⑤在中，若，则为直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2015春•金牛区期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点，若，则　　． 15．如图，在中，，，，分别是边，上的高，交于点，，的平分线交于点，则　　． 16．（2022秋•潍坊期末）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 17．（2011春•成都校级期末）中，，、的角平分线的夹角为，则与之间的关系可以表示为　 　． 18．（2021春•江都区期末）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则　　． 19．（2021秋•武昌区期末）如图，在中，，平分，，，则　　．（用含的式子表示） 20．中，若，，则　　． 21．如图，四边形中有两点、，使、、、、、中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为　 　度；同样，若四边形中有个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以、、、和这个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为　 　． 22．（2018春•商水县期末）如图，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 23．（2017秋•谢家集区期中）如图，在中，于点，平分，，，求和的度数． 24．（2017春•洛江区期末）在中，，设，，且、满足方程组是整数） （1）能否等于4，请说明理由； （2）可能是钝角三角形吗？请说明理由． 25．（2021秋•白云区期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系； （2）在图2中，若，，试求的度数； （3）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 26．（2017秋•平顶山期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题． 探究1：如图（1）在中，是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： 和分别是和的角平分线，，． ． 探究2：如图（2）中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 27．（2020秋•怀仁市期中）如图，在中，为边上的一点，，，，求的度数． 28．（2018春•东城区期末）中，平分，为上的高，且，，求的度数． 29．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　 　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 30．（2020秋•平阳县期末）如图①，将两把三角尺的两顶点重叠放在直线上，三角尺中的点落在另一把的边上，已知，，，三角尺绕点按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角尺绕点按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角尺旋转满一周后，两把三角尺同时停止运动，设运动时间为秒． （1）如图②，当，时，求的度数． （2）当时， ①将图①中的两把三角尺绕点旋转至图③，若平分，求的值． ②若点，，三点共线，求出所有符合条件的的值． （3）将图①中三角尺沿边翻转后，再绕点按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角尺的两条边，．第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角尺的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出的值． 31．（2018春•方城县期末）如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求． （2）图（2）中的点向下移到上时，五个角的和（即有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点向上移到上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即有无变化说明你的结论的正确性． 32．（2017春•雨花区期末）如图，是的边上的高，是的一条角平分线，若，，求和的度数． 33．（2019春•高邑县期末）如图，点、分别在的、边上运动（不与点重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点． （1）若，、分别是和的平分线，猜想：的度数是否随，的运动发生变化？请说明理由． （2）若，，，则　　．（用含、的代数式表示） 34．（2021秋•柘城县期中）如图，在中，为上一点，，，若，试求、的度数． 四．三角形的外角性质 · 三角形的外角性质 （1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2）三角形的外角性质： ①三角形的外角和为360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角． （3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角． 35．（2021秋•路南区期中）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　　 A． B． C． D．或 36．（2018秋•玉州区期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；以此类推得到，则的度数是　　 A． B． C． D． 37．（2022秋•武昌区期末）如图，在中，，，点在外，连接，，， 若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 38．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　　． 39．（2020春•遂宁期末）如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论有　　． 五．直角三角形的性质 · 直角三角形的性质 （1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． （2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质： 性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）． 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余． 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积． 性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°． 40．（2020秋•市南区期末）如图，在中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 41．（2024•陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．（2024春•金水区期末）如图，已知，直角顶点在上，已知，则　　 A． B． C． D． 六．多边形 · 多边形 （1）多边形的概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． （3）正多边形的概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （4）多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可用两种方法：①画多边形任何一边所在的直线整个多边形都在此直线的同一侧．②每个内角的度数均小于180°，通常所说的多边形指凸多边形． （5）重心的定义：平面图形中，多边形的重心是当支撑或悬挂时图形能在水平面处于平稳状态，此时的支撑点或者悬挂点叫做平衡点，或重心． 常见图形的重心（1）线段：中点（2）平行四边形：对角线的交点（3）三角形：三边中线的交点（4）任意多边形． 43．（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为　　 A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 44．（2020•浙江自主招生）定义，有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形中，，若，则当的长为何值时，的长最大，其最大值是 　　． 七．多边形内角与外角 · 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． · 多边形内角与外角 （1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180° （n≥3且n为整数） 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法． （2）多边形的外角和等于360°． ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°． ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°． 45．（2024春•泗阳县期中）如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则　　 A． B． C． D． 46．（2022秋•阿尔山市期末）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论共有　　个． A．0 B．1 C．2 D．3 47．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于，则这个多边形是 　　边形；如果一个边形每一个内角都是，则　　；如果一个边形每一个外角都是，则　　． 48．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．　 　．（判断对错） 49．（2021秋•河东区校级期末）如图，，是的两条高，它们相交于点，已知的度数为，的度数为，则的度数是　　． 50．（2020•黄州区校级自主招生）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 第11章 三角形 培优题突破练习★★★【7个考点50题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年人教版数学八年级上册 参考答案与试题解析 一．三角形的重心 1．（2008•台湾）如图，是的重心，直线过点与平行．若直线分别与，交于，两点，直线与交于点，则的面积：四边形的面积　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据重心的概念得出，分别是三角形的中点．若设的面积是2，则的面积和的面积都是1．又因为，可求得的面积．则四边形的面积也可求出．根据可以证明，则的面积是1．则的面积：四边形的面积可求． 【解答】解：设三角形的面积是2 三角形的面积和三角形的面积都是1 三角形的面积是 四边形的面积是 的面积是1 的面积：四边形的面积． 故选：． 【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 2．（2021秋•诸暨市期末）如图，为锐角三角形，，，点为的重心，为中点，若固定边，使顶点在所在平面内进行运动，在运动过程中，保持的大小不变，设的中点为，则线段的长度的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】作的外接圆，点为圆心，，由题意知，且，，由勾股定理知，．当时，最长，可求此时最大值；临界情况为，此时，可得此时最小值，进而可得的取值范围． 【解答】解：如图，作的外接圆，点为圆心，， 由题意知， ， ， ， ，由勾股定理知， ， 时，最长， 最大值为， 为锐角三角形， 临界情况为，如图， 此时， ， ． ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的外接圆，三角形的重心，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等知识，解题的关键在于熟练掌握外接圆相关定理． 二．三角形三边关系 3．（2014•台湾）如图，有一，今以为圆心，长为半径画弧，交于点，以为圆心，长为半径画弧，交于点．若，，则关于、、、的大小关系，下列何者正确？　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由利用大角对大边得到，进一步得到，从而得到． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角． 4．（2018秋•嘉善县期末）若三边、、的长都是偶数，且，若是正整数），则这样的三角形共有　　个． 【分析】由三角形的三边关系与，即可得，继而可得，又由，三角形的三边，，的长都是整数，即可得，，然后分别从，4，6，8去分析求解即可求得答案． 【解答】解：若三边能构成三角形则必有两小边之和大于第三边，即． ， ， 又，三角形的三边，，的长都是偶数， ， 当时，，此时，． ①当时，，此时，，． ②当时，，此时，，，； ③当时，，此时，，，，； ④当时，，此时，，，，． 根据以上结论可以得到：是正整数），则这样的三角形共有个． 故答案为：． 【点评】此题考查了三角形的三边关系．此题难度较大，解题的关键是根据三角形的三边关系与，，的长都是整数，且，去分析求解，得到，4，6，8． 5．（2018春•镇平县期末）已知，，是的三边长，，，设三角形的周长是． （1）直接写出及的取值范围； （2）若是小于18的偶数 ①求的长； ②判断的形状． 【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出的取值范围，进而得出答案； （2）①根据偶数的定义，以及的取值范围即可求解； ②利用等腰三角形的判定方法得出即可． 【解答】解：（1）因为，， 所以． 故周长的范围为． （2）①因为周长为小于18的偶数， 所以或． 当为16时，； 当为14时，． ②当时，，为等腰三角形； 当时，，为等腰三角形． 综上，是等腰三角形． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出的取值范围是解题关键． 三．三角形内角和定理 6．（2024春•江阴市期中）如图，在中，，分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论正确的有　　个． ①； ②； ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误； ④证明，根据①的结论，证明结论正确． 【解答】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ，故③正确； ④， ， ， ， 由①得，， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 7．（2022春•九龙坡区校级月考）如图，在中，、分别是的高线和角平分线，点在的延长线上，垂直于，交于点，交于点．下列结论： ①； ②； ③； ④．其中正确有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论错误； ④证明，根据①的结论，证明结论正确． 【解答】解：①， ， ， ， ， ，故①正确； ②平分， ， ， ， ， ，故②正确； ③， ， ， ， ，故③错误； ④， ， ， ， 由①得，， ， ，故④正确； 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 8．（2023秋•商河县期末）如图，在中，，，分别平分，，，，下列结论：①；②； ③；④，其中正确的为　　 A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】 【分析】由角平分线的定义及三角形外角的性质可得，进而判定①；由角平分线的定义及平角的定义可求，利用三角形外角的性质及平行线的性质可判定②；利用角平分线的定义可判定③；由角平分线的性质及判定可得为外角的平分线，结合角平分线的定义及三角形外角的性质即可证明，再利用平行线的性质可得结论④． 【解答】解：平分，， ． ， ，即，①错误； 平分， ， ， ，即， ， ， ， ，故②正确； 平分， ， ， ，故③正确； 平分，平分， 为外角的平分线， ， ，，， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查角平分线的性质，三角形外角的性质，平行线的性质等知识的综合运用，灵活运用角平分线的性质与判定及三角形外角的性质求解角的关系是解题的关键． 9．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，在，、分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【分析】①根据，和，证明结论正确； ②根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确； ③证明，根据①的结论，证明结论正确； ④根据角平分线的定义和三角形外角的性质证明结论正确． 【解答】解：设交于点． ①， ， ， ， ， ①正确； ②平分， ， ， ， ， ， ②正确； ③， ， ， ， 由①得，， ， ； ③正确； ④， ， ， ，， ， ， ④正确， 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，正确运用三角形的高、中线和角平分线的概念以及三角形外角的性质是解题的关键． 10．（2024春•沙坪坝区校级期中）如图，在中，与的平分线交于点，且，，则与的数量关系可表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质可得，，，由，，可得，，由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得，从而可求得与的数量关系． 【解答】解：与的平分线交于点， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 整理得， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题的关键． 11．（2024春•高新区校级月考）如图，是角平分线，点在上，且于点，，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】首先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求得，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和求得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【解答】解：，， ． 又是的角平分线， ， ， 又， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理及其推论、角平分线的定义，关键是掌握三角形内角和定理的应用． 12．（2024春•渝北区期末）一副三角板按如图放置，其中，，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质解答即可． 【解答】解：，，， ，， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理和余角和补角，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 13．（2024春•罗湖区校级期中）下列说法中正确的有　　 ①相等的角是对顶角； ②一个三角形中至少有两个角为锐角； ③两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ④如果直线，，那么； ⑤在中，若，则为直角三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】 【分析】①根据对顶角的性质判断；②根据三角形内角和定理判断；③根据平行线的性质判断；④根据平行线的性质判断；⑤根据三角形内角和定理判断． 【解答】解：①对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故①错误； ②符合三角形内角和定理，故②正确； ③两直线平行，同旁内角互补，故③错误； ④平行于同一条直线的两条直线平行，故④正确； ⑤，， ， ，，， 为直角三角形， 故⑤正确； 正确的有3个， 故选：． 【点评】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理，平行线性质，掌握这些性质是解题的关键． 14．（2015春•金牛区期末）如图，的外角平分线和内角平分线相交于点，若，则　　． 【分析】根据外角与内角性质得出的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出，即可得出答案． 【解答】解：延长，作于点，于点，于点， 设， 平分， ，， 平分， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为． 【点评】此题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识．注意根据角平分线的性质得出是解决问题的关键． 15．如图，在中，，，，分别是边，上的高，交于点，，的平分线交于点，则　　． 【答案】． 【分析】由三角形的内角和定理求出的度数，再结合高线的定义可求解，进而可求得，的度数，再利用三角形的内阿囧和定理可求得的度数，根据角平分线的定义及三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求解两角之间的关系． 【解答】解：，， ， ，分别是边，上的高， ， ，， ， ，， ， ， ，的平分线交于点， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，灵活应用三角形的内角和定理求解角的度数是解题的关键． 16．（2022秋•潍坊期末）如图，和相交于点，，，，分别平分和，若，则的度数是　　． 【分析】设，，，则，构建方程组解决问题即可． 【解答】解：，，， ， ，设，，，则， 则有， 解得， ， 故答案为． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． 17．（2011春•成都校级期末）中，，、的角平分线的夹角为，则与之间的关系可以表示为　．　． 【分析】根据角平分线的性质得出，，根据三角形内角和定理得出，，进而求得． 【解答】解：、是、的角平分线， ，， ， ，， ． 故答案为． 【点评】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 18．（2021春•江都区期末）如图，沿折叠使点落在点处，、分别是、平分线，若，，则　140　． 【答案】140． 【分析】如图，欲求，因为，所以仅需求．根据三角形外角的性质，得．因为、分别是、平分线，所以，进而可求出． 【解答】解：如图， 、分别是、平分线， ，． 又， ， 又， ， ， ， 由题意得：， ， ， 故答案为：140． 【点评】本题主要考查三角形外角的性质以及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质以及角平分线的定义是解决本题的关键． 19．（2021秋•武昌区期末）如图，在中，，平分，，，则　　．（用含的式子表示） 【答案】． 【分析】延长到，使，连接，，利用证明，得，，再证明为等边三角形，得出是的角平分线，再通过导角得出答案． 【解答】解：如图，延长到，使，连接，， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 是的角平分线， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 20．中，若，，则　　． 【分析】根据三角形的内角和等于即可得到结论． 【解答】解：，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的内角和，熟记三角形的内角和公式是解题的关键． 21．如图，四边形中有两点、，使、、、、、中任意三点都不在同一条直线上，连接它们的顶点，得若干线段，把四边形分成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为　1080　度；同样，若四边形中有个点，其中任意三点都不在同一条直线上，以、、、和这个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形，则所有这些三角形的内角和为　 　． 【分析】四边形中两个点、把图形分成6个三角形，根据三角形内角和定理即可求出这些三角形的内角和； 若四边形内有个点，则以这个点所成个周角再加上原来四边形的内角和，即得； 【解答】解：四边形分6个互不重叠的三角形， 所有这些三角形的内角和为； 若四边形内有个点，任意三点都不在同一条直线上，以、、、和这个点为顶点作成若干个互不重叠的三角形， 所有这些三角形的内角和等于以这个点所成个周角再加上原来四边形的内角和， 即所有这些三角形的内角和； 故答案为1080，． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为．也考查了四边形的内角和． 22．（2018春•商水县期末）如图，是的高，是的角平分线，，，求的度数． 【分析】在中，由三角形的外角性质知：，所以，联立中，由三角形内角和定理得到的式子，即可推出，，的关系，再代值求解即可． 【解答】解：由三角形的外角性质知：， 故；① 在中，由三角形内角和定理得： ， 即：，② 由②①，得： ． 【点评】此题主要考查了三角形的外角性质、角平分线的性质以及三角形内角和定理等知识，熟记三角形内角和是，是解决问题的关键． 23．（2017秋•谢家集区期中）如图，在中，于点，平分，，，求和的度数． 【分析】因为平分，所以可求得的度数，由，，可求得的度数，从而求得的度数．根据的度数和外角的性质可得结论． 【解答】（本题满分10分） 解：平分， ，分 ， ， ， ，分 分 【点评】本题考查三角形内角和和角平分线的相关知识，其中还有如何根据图形，确定各角之间的关系． 24．（2017春•洛江区期末）在中，，设，，且、满足方程组是整数） （1）能否等于4，请说明理由； （2）可能是钝角三角形吗？请说明理由． 【分析】（1）解方程组，可得，依据，即可得出结论； （2）解方程组得是整数），依据，即可得到是整数），进而得出是钝角三角形． 【解答】解：（1）当时，方程组为 ， 解得，， ， 故不合题意，舍去， 不能等于4． （2）解方程组得， 是整数）， 由题意得，， 解得，，． 即． 是整数）． ， ． 而当 是整数）时，是钝角． 当 是整数）时，是钝角三角形． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及二元一次方程组的运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 25．（2021秋•白云区期中）如图1，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与，分别相交于点，，试解答下列问题： （1）在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系； （2）在图2中，若，，试求的度数； （3）如果图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系（直接写出结论即可） 【分析】（1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； （3）根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【解答】解：（1）在中，， 在中，， （对顶角相等）， ， ； （2），， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； （3）根据“8字形”数量关系，，， 所以，，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． 26．（2017秋•平顶山期末）认真阅读下面关于三角形内外角平分线的研究片断，完成所提出的问题． 探究1：如图（1）在中，是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下： 和分别是和的角平分线，，． ． 探究2：如图（2）中，是与外角的平分线和的交点，试分析与有怎样的关系？请说明理由． 【分析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义表示出和，再根据三角形的内角和定理解答． 【解答】解：探究2结论：．理由如下： 和分别是和的角平分线， ， 又是的一个外角， 是的一个外角， 【点评】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图，整体思想的利用是解题的关键． 27．（2020秋•怀仁市期中）如图，在中，为边上的一点，，，，求的度数． 【分析】先根据三角形外角性质，得出，再根据三角形内角和定理，得出，最后根据，以及，求得的度数即可． 【解答】解：，， 而， ， 在中，， ， ， 解得． 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的综合应用，解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 28．（2018春•东城区期末）中，平分，为上的高，且，，求的度数． 【分析】要求的度数，只要求出的度数即可．先根据角平分线的定义，可得的度数，在中利用三角形的内角和可得的度数．因为上的高，所以，在中，再运用三角形的内角和可求的度数． 【解答】解：平分，且， ， ． 又， ． 【点评】此题考查三角形内角和定理，灵活运用垂直的定义和角平分线的定义，结合三角形的内角和定理是解决本题的关键．特别注意“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 29．（2022秋•蚌埠期中）如图，在中，内角平分线和外角平分线相交于点，根据下列条件求的度数． （1）若，，则　　，若，则　 　； （2）若，则　 　； （3）从以上的计算中，你能发现与的关系是　 　； （4）证明第（3）题中你所猜想的结论． 【分析】（1）根据互为邻补角的和等于求出的度数，再根据角平分线的定义求出、，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可求出的度数，根据三角形的内角和定理求出的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出，整理即可得解； （2）根据（1）的思路可以求出； （3）根据计算得出关系式即可； （4）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出与，再根据角平分线的定义可得，，然后整理即可得证． 【解答】（1）解：， ， 、分别为、的平分线， ，， 在中，， 即， 解得； ， ， 、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ； （2）解：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ， ， ； （3）由计算可知，； （4）证明：、分别为、的平分线， ，， 根据三角形的外角性质，， ， ， ， ． 故答案为：（1），；（2）；（3）． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，规律性较强，但难度不大，用两种方法表示出是解题的关键． 30．（2020秋•平阳县期末）如图①，将两把三角尺的两顶点重叠放在直线上，三角尺中的点落在另一把的边上，已知，，，三角尺绕点按逆时针方向旋转，速度为每秒，三角尺绕点按顺时针方向旋转，速度为每秒．当其中一个三角尺旋转满一周后，两把三角尺同时停止运动，设运动时间为秒． （1）如图②，当，时，求的度数． （2）当时， ①将图①中的两把三角尺绕点旋转至图③，若平分，求的值． ②若点，，三点共线，求出所有符合条件的的值． （3）将图①中三角尺沿边翻转后，再绕点按逆时针方向旋转，速度为每秒，在旋转过程中的某一时刻，三角尺的两条边，．第一次将分割成三个相等的角，再经过10秒，三角尺的这两条边再次将分割成三个相等的角，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）①； ②或或； （3）31． 【分析】（1）由题可知，，当，时，代入求出和的角度，代入即可得出结论； （2）①由题意可知，，，由角平分线的定义建立方程，求解即可； ②根据题意可知，分两种情况：．由①可得，，，根据题意，三点共线，则或，由此建立方程，求解即可； ．如图，，，建立方程，解之即可． （3）由三等分线可知，，所以第一次分割，第二次分割，求解即可． 【解答】解：（1）由题可知， ， 当，时， ，， ，， ． （2）①由题意知，， 则， 同理，， 平分， ，即， 解得． ②．由①可得，，， 根据题意，三点共线，则或， 当时， 解得， 当时，， 解得． ．，， ， ， 解得； 综上所述，满足条件或或； （3）由题意可知，， 第一次分割 则第二次分割， 解方程，可得，， 的值为31． 【点评】本题考查了一元一次方程在角的旋转问题中的应用，理清题中的数量关系并数形结合是解题的关键． 31．（2018春•方城县期末）如下几个图形是五角星和它的变形． （1）图（1）中是一个五角星，求． （2）图（2）中的点向下移到上时，五个角的和（即有无变化 说明你的结论的正确性． （3）把图（2）中的点向上移到上时（1）如图（3）所示，五个角的和（即有无变化说明你的结论的正确性． 【分析】（1）如图，连接，把五个角和转化为同一个三角形内角和．根据三角形中一个外角等于与它不相邻的两个内角和，再根据三角形内角和定理可得． （2）、（3）五个角转化为一个平角． 【解答】解：（1）如图，连接． 在中，根据三角形内角和定理，得出． ， ； （2）无变化． 根据平角的定义，得出． ，， ； （3）无变化． ，， ． 【点评】本题利用了转化思想求解，（1）是把五个角转化在一个三角形中求解，（2）（3）是把五个角转化为一个平角求解． 32．（2017春•雨花区期末）如图，是的边上的高，是的一条角平分线，若，，求和的度数． 【分析】由三角形内角和定理可求得的度数，在中，可求得的度数，是角平分线，有，故． 【解答】解：，， ， 是角平分线， ． 是高，， ， ， ． 【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练掌握三角形的内角和定理． 33．（2019春•高邑县期末）如图，点、分别在的、边上运动（不与点重合）．射线与射线分别在和内部，延长与交于点． （1）若，、分别是和的平分线，猜想：的度数是否随，的运动发生变化？请说明理由． （2）若，，，则　　．（用含、的代数式表示） 【分析】（1）依据是的外角，即可得到，再根据、分别是和的平分线，可得，，再根据是的外角，即可得到，进而得到的度数不变． （2）利用（1）中的方法进行计算即可得到的度数． 【解答】解：（1）的度数不变． 是的外角， ， 、分别是和的平分线， ，， 是的外角， ， 的度数不变． （2）如图，是的外角， ， ，，且是的外角， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形的外角的性质，以及三角形的内角和是的定理的运用．解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和． 34．（2021秋•柘城县期中）如图，在中，为上一点，，，若，试求、的度数． 【分析】设，根据外角的性质得到，于是得到，根据三角形的内角和列方程即可得到结论． 【解答】解：设， ， ， ， ， 解得：， ． ． 【点评】本题考查了三角形的内角和，三角形的外角的性质，知道根据三角形的内角和列方程是解题的关键． 四．三角形的外角性质 35．（2021秋•路南区期中）在中，，，点在边上，连接，若为直角三角形，则的度数为　　 A． B． C． D．或 【分析】当为直角三角形时，存在两种情况：或，根据三角形的内角和定理可得结论． 【解答】解：分两种情况： ①如图1，当时， ， ； ②如图2，当时， ，， ， ， 综上，的度数为或， 故选：． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，分情况讨论是解决本题的关键． 36．（2018秋•玉州区期中）如图，已知的内角，分别作内角与外角的平分线，两条平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；以此类推得到，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，，整理即可求出的度数，同理求出，可以发现后一个角等于前一个角的，根据此规律即可得解． 【解答】解：是的平分线，是的平分线， ，， 又，， ， ， ， ； 同理可得， ， ． 故选：． 【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 37．（2022秋•武昌区期末）如图，在中，，，点在外，连接，，， 若，，则的度数是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】以为边，在内作，连接．先利用三角形的内角和定理、等腰三角形的性质求出说明，再说明是等边三角形、是等腰三角形，最后通过说明是等腰三角形得结论． 【解答】解：如图，以为边，在内作，连接． ，， ． 在中， ，， ． ． ，， ． ，， ． ． ． ． ． ， 是等边三角形． ，． ． ． ． ． ， ． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形，掌握等腰三角形的性质与判定、三角形的内角和定理等知识点是解决本题的关键． 38．（2023秋•宝丰县期末）如图，，则　6　． 【分析】连接，，，根据三角形内角与外角的性质可得，，，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：连接，，， 是的外角， ， 是的外角， ， 在四边形中，①， 在中，②， ①②得，， 即， ． ． 故答案为：6． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答． 39．（2020春•遂宁期末）如图，在中，，、、分别平分的外角，内角，外角，以下结论： ①； ②； ③； ④，其中正确的结论有　①③④　． 【答案】①③④． 【分析】根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【解答】解：①平分， ， ， ， ， 故①正确； ②， ， 平分，， ， ， 故②错误； ③在中，， 平分的外角， ， ， ，， ，， ， ， 故③正确； ④平分， ， ， ，， ， ， ， ， 故④正确； 故答案为：①③④． 【点评】此题考查了三角形外角性质，平行线的判定与性质，主要考查学生的推理能力，有一定的难度． 五．直角三角形的性质 40．（2020秋•市南区期末）如图，在中，，点在上，过作交的延长线于，连接、，若，，则的大小是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如图，取的中点，连接，．想办法证明，推出即可解决问题． 【解答】解：如图，取的中点，连接，． ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造等腰三角形解决问题，属于中考常考题型． 41．（2024•陕西）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，E是BC的中点，连接AE，则图中的直角三角形共有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义，找出图中的直角三角形即可解决问题． 【解答】解：因为∠BAC＝90°， 所以△ABC是直角三角形． 因为AD是BC边上的高， 所以∠ADB＝∠ADC＝90°， 所以△ABD、△AED、△ACD都是直角三角形， 所以图中的直角三角形共有4个． 故选：C． 【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，能根据所给条件找出图中的所有直角三角形是解题的关键． 42．（2024春•金水区期末）如图，已知，直角顶点在上，已知，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】求出，利用平行线的性质求解即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的性质，属于中考常考题型． 六．多边形 43．（2019秋•巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为　　 A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16 【答案】 【分析】根据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案． 【解答】解：如图，边形，， 若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1， 若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等， 若沿着直线截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1， 因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15， 故选：． 【点评】考查多边形的意义，根据截线的不同位置得出不同的答案，是解决问题的关键． 44．（2020•浙江自主招生）定义，有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．三等角四边形中，，若，则当的长为何值时，的长最大，其最大值是 　5　． 【答案】5． 【分析】分三种情况分别讨论计算的长，从而得出当时，最长，最后计算出对角线的长． 【解答】解：①当时，如图： 过点作，， 四边形是平行四边形，， ，， ，， ，，， 设，， ，， ， ， ， ， 当时，的最大值是5， 即：当时，的最大值为5； ②当时，三等角四边形是正方形， ， ③当时，为锐角，如图： 同①可得：， ， ， 综上所述，当时，的长最大，最大值是5； 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了四边形的内角和是，平行四边形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解本题的关键是分类画出图形，也是解本题的难点． 七．多边形内角与外角 45．（2024春•泗阳县期中）如图，在四边形中，的角平分线与的外角平分线相交于点，且，则　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用四边形内角和是可以求得．然后由角平分线的性质，邻补角的定义求得的度数，所以根据的内角和定理求得的度数即可． 【解答】解：如图，，， ． 又的角平分线与的外角平分线相交于点， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了三角形内角和定理、多边形的内角与外角．熟知“四边形的内角和是”是解题的关键． 46．（2022秋•阿尔山市期末）已知在四边形中，，点在，之间，为上一点，为上一点，平分交于点，交于点．下列结论：①，②，③．其中正确的结论共有　　个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【分析】根据题意，画出正确的图形，根据平行线的性质、角的和与差推理即可． 【解答】解：①，， ，， ， ， 平分， ， ， 故①选项是正确的； ②由①知，，， ， ， ， ， ， ， 故②选项是正确的； ③由①知， ， ， ， 故③选项是错误的． 故选：． 【点评】本题考查的是平行线的性质以及角的和与差，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，以及找到各角的和与差． 47．（2021秋•盖州市校级月考）如果一个多边形的内角和等于，则这个多边形是 　十二　边形；如果一个边形每一个内角都是，则　　；如果一个边形每一个外角都是，则　　． 【分析】边形的内角和可以表示成，设这个正多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：这个多边形的边数是， 则， 解得：， 则这个多边形是12． 如果一个边形每一个内角都是， 每一个外角， 则， 如果一个边形每一个外角都是， 则， 故答案为：十二，8，10． 【点评】此题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：． 48．外角和等于内角和的多边形一定是四边形．　对　．（判断对错） 【分析】任意多边形的外角和为，然后依据多边形的内角和公式求得多边形的边数，从而可作出判断． 【解答】解：设多边形的边数为． 根据题意得：． 解得：． 所以该多边形为四边形． 故答案为：对． 【点评】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键． 49．（2021秋•河东区校级期末）如图，，是的两条高，它们相交于点，已知的度数为，的度数为，则的度数是　　． 【分析】利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质解决问题即可． 【解答】解：， ，， ， ， 故填． 【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是这一隐含的条件，同时考查了四边形内角和定理．垂直和直角总是联系在一起． 50．（2020•黄州区校级自主招生）“转化”是数学中的一种重要思想，即把陌生的问题转化成熟悉的问题，把复杂的问题转化成简单的问题，把抽象的问题转化为具体的问题． （1）请你根据已经学过的知识求出下面星形图（1）中的度数； （2）若对图（1）中星形截去一个角，如图（2），请你求出的度数； （3）若再对图（2）中的角进一步截去，你能由题（2）中所得的方法或规律，猜想图3中的的度数吗？只要写出结论，不需要写出解题过程） 【分析】（1）根据三角形外角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）根据三角形外角的性质和四边形内角和等于可得的度数； （3）根据图中可找出规律，并且每截去一个角则会增加180度，由此即可求出答案． 【解答】解：（1），， ； （2），， ； （3）根据图中可得出规律，每截去一个角则会增加180度， 所以当截去5个角时增加了度， 则． 【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角之间的关系．有关五角星的角度问题是常见的问题，其5个角的和是180度．解此题的关键是找到规律利用规律求解． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$