2024届广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷6

广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷6 全卷满分150分，时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．已知，，，则的最小值是（    ） A．9 B．18 C． D．27 4．不等式的解集是（   ） A． B．或 C． D．或 5．函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 6．为了得到函数，的图像，只需将正弦曲线上所有的点（    ） A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度 7．如果向量，，那么（    ） A． B． C． D． 8．从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，则这 2 个球的编号之和为偶数的概率是（    ） A． B． C． D． 9．已知空间中两条不重合的直线，则“与没有公共点”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．甲、乙两人射击，甲的命中率为0.6．乙的命中率为0.5，如果甲、乙两人各射击一次，恰有一人命中的概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 11．已知函数，则的值为（    ）. A．2 B．1 C． D． 12．已知，则（    ） A．7 B． C．1 D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分. 13．已知复数，则的虚部为 ． 14．函数的最小正周期为 . 15．某单位有职工人，其中业务人员人，管理人员人，后勤服务人员人，为了了解职工基本情况，要从中抽取一个容量为的样本，如果采取比例分层抽样方式，那么抽到管理人员的人数为 ． 16．已知长方体的长、宽、高分别为2，1，2，则该长方体外接球的表面积为 ． 17．已知是边长为6的正三角形，求= ． 18．函数是定义在R上的奇函数,当时,,则当时, . 三、解答题：本大题共4小题，第19~21题各10分，第22题12分，共42分.解答需写出文字说明，证明过程和演算步骤. 19．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 3元/ 超过但不超过的部分 5元/ 超过的部分 8元/ (1)设每户每月用水量为时，应交纳水费y元，写出y关于x的函数关系式； (2)若乙同学家本月交纳的水费为60元，则其本月用水量是多少？ 20．已知中，，，． (1)求； (2)求； (3)求的面积． 21．仓廪实，天下安．习近平总书记强调：“解决好十几亿人口的吃饭问题，始终是我们党治国理政的头等大事”“中国人的饭碗任何时候要牢牢端在自己手上”．粮食安全是国家安全的重要基础．从某实验农场种植的甲、乙两种玉米苗中各随机抽取5株，分别测量它们的株高如下（单位：）： 甲：29，31，30，32，28； 乙：27，44，40，31，43． 请根据平均数和方差的相关知识，解答下列问题： (1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？ 22．如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，为的中点． (1)求证：平面； (2)若点是棱的中点，求证： 平面． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 广东省普通高中学业水平合格性考试（数学）模拟卷6 参考答案： 1．B 【分析】由交集的定义计算即可求解. 【详解】因为集合， 所以 . 故选：B 2．B 【分析】根据基本初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由对数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意； 由幂函数的性质，可得函数在为单调递减函数，符合题意； 由指数函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意； 由一次函数的性质，可得函数在为单调递增函数，不符合题意。 故选：B. 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判定及应用，其中解答中熟记基本初等函数的性质是解答的关键，着重考查推理与论证能力. 3．B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】因为，，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值是18， 故选:B. 4．D 【分析】根据一元二次不等式的解法求得正确答案. 【详解】依题意， 解得或， 所以不等式的解集是或 故选：D 5．A 【分析】由单调性和所过定点作出判断. 【详解】因为，所以单调递增，且恒过点， 故A为正确答案. 故选：A 6．A 【分析】利用三角函数的变换公式即可求解. 【详解】到，变为，可得图像向左平移了个单位； 故选：A. 7．B 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 8．A 【分析】列举法求解古典概型的概率. 【详解】从编号为 1、2、3、4 的 4 球中，任取 2 个球，一共有以下情况： ，共6种情况， 其中这 2 个球的编号之和为偶数的情况有，共2种情况 故这 2 个球的编号之和为偶数的概率为. 故选：A 9．B 【分析】由直线与没有公共点表示两条直线或者与是异面直线，再根据充分必要性判断. 【详解】“直线与没有公共点”表示两条直线或者与是异面直线，所以“与没有公共点”是“”的必要不充分条件. 故选：B 10．C 【分析】甲乙相互独立，而甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：，由相互独立事件的概率乘法公式可求． 【详解】设“甲命中目标”为事件，“乙命中目标”为事件 由题意可得， 且甲乙相互独立 甲、乙两人中恰好有一人击中目标即为事件：， 故选：C 11．D 【分析】根据取值的大小，代入相应的表达式，计算，可得结果. 【详解】由 所以 所以 故选：D 【点睛】本题考查分段函数的求值计算，按照由内而外的原则，细心计算，属基础题. 12．A 【分析】利用商数关系，由弦化切求值即可. 【详解】由题设. 故选：A 13． 【分析】根据复数虚部的定义进行求解即可. 【详解】因为复数， 所以的虚部为， 故答案为： 14． 【分析】利用余弦型函数求解周期的公式进行求解. 【详解】因为，所以周期为; 故答案为：. 15． 【分析】根据分层抽样原则直接求解即可. 【详解】抽到管理人员的人数为. 故答案为：. 16． 【分析】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为，求得球的半径为，利用球的表面积公式，即可求解. 【详解】由题意，长方体的长宽高分别为，所以其对角线长为， 设长方体的外接球的半径为，则，即， 所以球的表面积为. 【点睛】本题主要考查了球的表面积和球的组合体问题，其中解答中根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 17． 【分析】由题意可知，两向量的夹角是， 利用数量积的定义即可求解. 【详解】 如图是边长为的正三角形，所以，， 所以， 故答案为： 18． 【解析】设时，，则，再化简即得解. 【详解】设时，，则， 所以. 故答案为： 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 19．【详解】（1）当时，； 当时，； 当时，， ∴ （2）当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，不满足题意， 综上所述，此户居民本月用水量为． 20．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理求即可； （2）应用余弦定理列方程求； （3）由（2）及三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）在中，由正弦定理，可得，解得； （2）由余弦定理，可得， 整理得，解得（舍负），即； （3）由（2）及已知，的面积 ． 21．(1)乙种玉米苗长得高 (2)甲种玉米苗长得齐 【分析】（1）根据已知数据分别求甲乙的平均值，比较大小即得结论； （2）根据已知数据分别求甲乙的方差，比较大小即得结论. 【详解】（1）甲的平均值， 乙的平均值， ，故乙种玉米苗长得高． （2）甲的方差， 乙的方差， ，故甲种玉米苗长得齐. 22．(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】由平面，且底面为菱形，即可得到平面内的两条相交直线，则可证得平面. (2)由分别为中点，可得到，则问题即可得以证明. 【详解】（1）因为平面，平面，所以，又因为底面是菱形，则，，平面，所以平面. （2）连接，如图所示： 因为分别为的中点，则且，所以四边形为平行四边形，所以，平面，平面，所以平面. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$