专题01 空间向量及其线性运算4种常考题型归类（69题）-2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题01 空间向量及其线性运算4种常考题型归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的概念辨析 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 （二）空间向量的数乘运算 （三）空间向量的线性表示 题型三 空间向量共线问题 （一）空间向量共线的判断 （二）由空间向量共线求参数值 （三）空间共线向量定理的推论及其应用 题型四 空间向量共面问题 （一）空间向量共面的判断 （二）空间向量共面求参数 （三）空间共面向量定理的推论及其应用 知识点1：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点2：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点3：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点4：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 注：（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5.空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 解题策略 1、处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 3．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 4.利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 5.空间向量线性运算中的三个关键点 6．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 7．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．　　　　 8.证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 9.证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型一 空间向量的概念辨析 1.（2024·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 2．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 3．（2024·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 4．（2024·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 5．（2024·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 6．（2024·高二课时练习）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 7．（2024·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量；   （2）与相反的向量；   （3）与平行的向量． 8．（2024·江苏·高二专题练习）在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 10.（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 12.（2024·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 13．（2024·高二课时练习）根据如图的平行六面体，化简下列各式： (1)； (2). 14．（2024·高二课时练习）已知平行六面体，则下列四式中： ①； ②； ③； ④． 正确的是__________． （二）空间向量的数乘运算 15．（2024·全国·高三对口高考）（    ） A． B． C． D． 16．（2024·高二课时练习）已知是三个不共面向量，已知向量则_________. 17.（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 18.（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 19．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ）. ①；②；③；④. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ （三）空间向量的线性表示 20.（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为_______________． 22．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 23．（2024·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 24．（2024·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 25．（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________. 26．（2024·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 27．（2024·高二课时练习）如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值． 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 28.（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？ 29．（2024·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号） ①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上． 30．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 31．（2024·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 32．（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 33.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 34．（2024·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线. （2） 由空间向量共线求参数值 35．（2024·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 36．（2024·高二课时练习）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________． 37．（2024·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 38．（2024·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______. 39.（2024·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．． 40.（2024·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． （3） 空间共线向量定理的推论及其应用 41．（2024·高二课时练习）已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 42．（2024·江苏·高二专题练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 43．【多选】（2024·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 题型四 空间向量共面问题 （1） 空间向量共面的判断 44．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 45．（2024·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 46．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)． 47．（2024·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 48．（2024·高二课时练习）已知向量分别在两条异面直线上，分别为线段的中点，求证：向量共面． 49．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 50.【多选】（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 51.（2024·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 52．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 53．（2024·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？ （2） 空间向量共面求参数 54．（2024·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________． 55．（2024·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 56．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则_____________． 57．（2024·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 58．（2024·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 59．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 60．（2024·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 61.（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______. 62．（2024·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 63．（2024·江苏·高二专题练习）已知点不共线，是空间任意一点，点在平面内，且，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1 64．（2024·浙江温州·高二校考期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. （3） 空间共面向量定理的推论及其应用 65．（2024·高二校考课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ） A．四点必共面 B．四点必共面 C．四点必共面 D．五点必共面 66．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 67．（2024·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 68．【多选】（2024·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 69．【多选】（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． $$2024年考点通关新高二暑假数学素养提升讲义（人教A版2019选择性必修第一册） 专题01 空间向量及其线性运算4种常考题型归类（69题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 空间向量的概念辨析 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 （二）空间向量的数乘运算 （三）空间向量的线性表示 题型三 空间向量共线问题 （一）空间向量共线的判断 （二）由空间向量共线求参数值 （三）空间共线向量定理的推论及其应用 题型四 空间向量共面问题 （一）空间向量共面的判断 （二）空间向量共面求参数 （三）空间共面向量定理的推论及其应用 知识点1：空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 知识点2：空间向量的加法、减法运算 1、空间向量的位置：已知空间向量，可以把它们平移到同一平面内，以任意点为起点，作向量， 2、空间向量的加法运算（首尾相接首尾连）：作向量，则向量叫做向量的和．记作，即 3、空间向量的减法运算（共起点，连终点，指向被减向量）：向量叫做与差，记作，即 4、空间向量的加法运算律 （1）加法交换律： （2）加法结合律： 知识点3：空间向量的数乘运算 1、定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． 2：数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 3、对数乘向量与向量的关系的进一步理解： （1）可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． （2）实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． （3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 知识点4：共线向量与共面向量 1、共线（平行）向量的定义：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，若与是共线向量，则记为． 在正确理解共线向量的定义时，要注意以下两点： （1）零向量和空间任一向量是共线向量． （2）共线向量不具有传递性，如，那么不一定成立，因为当时，虽然，但不一定与共线（特别注意，与任何向量共线）． 2、共线向量定理：对空间任意两个向量，的充要条件是存在实数，使． 注：（1）共线向量定理推论：如果为经过点平行于已知非零向量的直线,那么对于空间任一点,点在直线上的充要条件是存在实数,使①，若在上取，则①可以化作： （2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点，空间中三点共线的充要条件是，其中 3、共面向量定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 4.共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 5.空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 注：拓展：对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 解题策略 1、处理空间向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素 判断与空间向量有关的命题时，要抓住空间向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可． (2)两个关系 ①模相等与空间向量相等的关系：两个空间向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个空间向量(非零向量)的模相等是两个空间向量相等的必要不充分条件． ②向量的模与空间向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对空间向量来说是没有意义的．但空间向量的模是可以比较大小的． 2．空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加减法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果． 3．化简空间向量的常用思路 (1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简． (2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和． (3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)． 4.利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． (2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质． 5.空间向量线性运算中的三个关键点 6．判断空间向量共线的策略 (1)熟记空间向量共线的充要条件：①a∥b，b≠0，则存在唯一实数λ，使a＝λb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，b≠0，则a∥b. (2)判断空间向量共线的关键：找到实数λ. 7．证明空间三点共线的三种思路 对于空间三点P，A，B可通过证明下列结论来证明三点共线． (1)存在实数λ，使＝λ成立． (2)对空间任一点O，有＝＋t(t∈R)． (3)对空间任一点O，有＝x＋y(x＋y＝1)．　　　　 8.证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 9.证明三点共线和空间四点共面的方法比较 题型一 空间向量的概念辨析 1.（2024·高二课时练习）已知为三维空间中的非零向量，下列说法不正确的是（　　） A．与共面的单位向量有无数个 B．与垂直的单位向量有无数个 C．与平行的单位向量只有一个 D．与同向的单位向量只有一个 【答案】C 【详解】解：与共面的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故A正确； 与垂直的单位向量，方向可任意，所以有无数个，故B正确； 与平行的单位向量，方向有两个方向，故不唯一，故C错误； 与同向的单位向量，方向唯一，故只有一个，故D正确． 故选：C． 2．【多选】（2024·福建宁德·高二校联考期中）下列说法正确的是（    ） A．空间向量与的长度相等 B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【答案】AB 【分析】利用空间向量的有关概念逐项判断. 【详解】对于A，向量与是相反向量由相反向量的定义知，向量与的长度相等，故A正确； 对于B，平行于平面m的向量，均可平移至一个平行于m的平面，故它们为共面向量，故B正确； 对于C，若将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个球面，故C错误； 对于D，空间任意三个不共面的非零向量都可以构成空间的一个基底，故D错误. 故选：AB. 3．（2024·高二课时练习）下列命题中是假命题的是（     ） A．任意向量与它的相反向量不相等 B．和平面向量类似，任意两个空间向量都不能比较大小 C．如果，则 D．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 【答案】A 【分析】由零向量的定义可判断AC，由向量的性质可判断BD. 【详解】对于A，零向量的相反向量是它本身，A错误； 对于B，空间向量是有向线段，不能比较大小，B正确； 对于C，如果，则，C正确； 对于D，两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同，D正确. 故选：A. 4．（2024·全国·高二专题练习）下列命题为真命题的是（    ） A．若两个空间向量所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．若，则､的长度相等且方向相同 C．若向量､满足，且与同向，则 D．若两个非零向量与满足，则. 【答案】D 【分析】由空间向量的模长、共线、共面等相关概念依次判断4个选项即可. 【详解】空间中任意两个向量必然共面，A错误； 若，则､的长度相等但方向不确定，B错误； 向量不能比较大小，C错误； 由可得向量与长度相等，方向相反，故，D正确. 故选：D. 5．（2024·高二课时练习）给出下列命题：①两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；②若空间向量满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量满足，，则．其中正确的个数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故选：C. 6．（2024·高二课时练习）如图所示，以长方体的八个顶点的两点为起点和终点的向量中， (1)试写出与相等的所有向量； (2)试写出的相反向量； (3)若，求向量的模． 【答案】(1)； (2)； (3)3. 【分析】（1）（2）利用长方体的结构特征，结合相等向量、相反向量的意义求解作答. （3）由长方体的体对角线长求法，结合向量模的意义求解作答. 【详解】（1）在长方体中，与相等的所有向量（除本身外）有，共3个. （2）的相反向量是. （3）在长方体中，连接，如图， ， 所以向量的模. 7．（2024·江苏·高二专题练习）如图所示，已知为平行六面体，若以此平行六面体的顶点为向量的起点、终点，求： （1）与相等的向量；   （2）与相反的向量；   （3）与平行的向量． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】根据相等向量、相反向量和平行向量的概念求解， （1）根据平行六面体的侧棱都平行且相等和向量相等的定义写出； （2）连接，因为，所以是平行四边形，所以，这样就可以写出与相反的向量； （3）连接，用类似（2）的方法可写出与平行的向量． 【详解】（1）∵平行六面体是棱柱，∴侧棱都平行且相等， ∴与相等的向量为； （2）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与相反的向量为． （3）连接，由平行六面体的性质可得， ∴是平行四边形， ∴，与平行的向量为． 8．（2024·江苏·高二专题练习）在平行六面体中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与.其中互为相反向量的有n对，则n等于(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据平行六面体的几何特征和相反向量的定义即可判断. 【详解】对于①与，长度相等，方向相反，互为相反向量； 对于②与长度相等，但两向量不共线，∴两向量不是相反向量； 对于③与，易知是平行四边形，则两向量方向相反，大小相等，互为相反向量； 对于④与，易知是平行四边形，∴这两向量长度相等，方向相同． 故互为相反向量的是①③，共有2对，n＝2． 故选：B. 9．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中 ①+与1+1是一对相反向量； ②-1与-1是一对相反向量； ③1+1+1+1与+++是一对相反向量； ④-与1-1是一对相反向量． 正确结论的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由向量的加减运算对各个选项进行检验即可. 【详解】设E,F分别为AD和A1D1的中点， ①+与+不是一对相反向量，错误； ②-与-不是一对相反向量，错误； ③1+1+1+是一对相反向量,正确； ④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误． 即正确结论的个数为1个 故选：A 题型二 空间向量的线性运算 （一）空间向量的加减运算 10.（2023秋·北京大兴·高二统考期末）空间向量（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 故选：D 11．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）在长方体中，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据长方体，得到相等的向量，再利用空间向量的加法法则进行计算. 【详解】如图，可得，，所以. 故选：B 12.（2024·江苏连云港·高二校联考期中）正方体中，化简（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 13．（2024·高二课时练习）根据如图的平行六面体，化简下列各式： (1)； (2). 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，，及相反向量的定义即可求解； （2）由向量减法法则及即可求解. 【详解】（1）在平行六面体中， 因为，， 所以； （2）在平行六面体中， 因为， 所以. 14．（2024·高二课时练习）已知平行六面体，则下列四式中： ①； ②； ③； ④． 正确的是__________． 【答案】①②③ 【分析】由平行六面体的性质，结合空间向量的线性运算可得. 【详解】，①正确； ，②正确； 由平行六面体性质可知，③正确； 记的中点为E， 则，④错误. 故答案为：①②③    （二）空间向量的数乘运算 15．（2024·全国·高三对口高考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：C 16．（2024·高二课时练习）已知是三个不共面向量，已知向量则_________. 【答案】 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， ， 故答案为： 17.（2023秋·河北石家庄·高二石家庄二十三中校考期末）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是CD的中点,所以 故选：A. 18.（2023秋·湖南湘潭·高二校联考期末）已知在空间四边形中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，故G为CD的中点，如图， 由平行四边形法则可得， 所以. 故选：A. 19．（2024·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ）. ①；②；③；④. A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理逐项分析运算. 【详解】对①：，①正确； 对②：，②正确； 对③：以为基底向量， 则，， 根据空间向量基本定理可知：，③错误； 对④：，④错误. 故选：A. （三）空间向量的线性表示 20.（2023秋·北京·高二中央民族大学附属中学校考期末）在平行六面体中，点M满足．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由点M满足，所以M为中点， 因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为中点, 所以， 所以. 故选：C 21．（2024·河南信阳·高二统考期中）在斜三棱柱中，的中点为，，则 可用表示为_______________． 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算可求. 【详解】 . 故答案为：. 22．（2024·山东滨州·高二统考期末）如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且满足，N为BC的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的加法和减法的三角形法则得到． 【详解】如图，连接，    是的中点，， ，， ． 故选：． 23．（2024·江苏淮安·高二淮阴中学校联考阶段练习）四面体中，，是的中点，是的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的基底表示，再利用向量线性运算求解即可. 【详解】因为，所以， 因为Q是的中点，所以， 因为M为PQ的中点，所以， 故选：C. 24．（2024·江苏徐州·高二统考期中）如图，在平行六面体中，P是的中点，点Q在上，且，设，，．则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为P是的中点， 所以， 又因为点Q在上，且， 所以 ， 所以， 故选：C. 25．（2024·辽宁鞍山·高二鞍山一中校联考期末）在四面体中，是棱的中点，且，则的值为__________. 【答案】0 【分析】利用空间向量加减法法则，把用表示出来，即可求出结果. 【详解】 如图所示，因为是棱的中点， 所以， 则， 所以， 故答案为：0. 26．（2024·安徽宣城·高三统考期末）四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，点E为棱PC的中点，若，则等于（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】运用向量的线性运用表示向量，对照系数，求得，代入可得选项. 【详解】因为， 所以，所以，所以 ， 所以， 故选：A. 27．（2024·高二课时练习）如图，在正方体 中，点E是上底面 的中心，若，求 的值． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】因为点 是上底面的中心， 所以, 又因为 , 所以， 所以 ， 题型三 空间向量共线问题 （1） 空间向量共线的判断 28.（2023·江苏·高二专题练习）如图，四边形､都是平行四边形且不共面，,分别是､的中点，判断与是否共线？ 【答案】共线. 【详解】因为M､N分别是AC､BF的中点，而四边形ABCD､ABEF都是平行四边形， 所以. 又， 所以. 所以， 即，即与共线. 29．（2024·江苏·高二专题练习）下列向量中，真命题是______．（填序号） ①若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量； ②若A、B、C、D不在一条直线上，则与不是共线向量； ③向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上； ④向量与是共线向量，则A、B、C三点必在一条直线上． 【答案】① 【分析】由向量平行共线的定义，依次对四个命题判断即可. 【详解】对于①，若A、B、C、D在一条直线上，则与是共线向量，故①正确； 对于②，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故②不正确； 对于③，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C、D不在一条直线上，但是与是共线向量，故③不正确； 对于④，若A、B、C、D构成平行四边形时，A、B、C不在一条直线上，但是与是共线向量，故④不正确； 故答案为：① 30．（2024·高二课时练习）如图，正方体中，O为上一点，且，BD与AC交于点M.求证：三点共线． 【答案】证明见解析. 【分析】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求的关系，即可推理作答. 【详解】在正方体中，令， ，BD与AC交于点M，即点M是的中点， 于是 ， ， 因此，即，而直线与直线有公共点， 所以三点共线. 31．（2024·江苏·高二专题练习）已知、、、、、、、、为空间的个点（如图所示），并且，，，，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得，即可得到证明. 【详解】，，， ， ， 因为、无公共点，故. 32．（2024·福建莆田·高二校考阶段练习）已知不共线向量，，，，，，则一定共线的三个点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理分别判断，，，四组向量是否共线，即可得解. 【详解】若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 若，则存在唯一实数使得， 即， 所以，无解， 所以不共线，则三点不共线， ， 所以， 又点为两向量的公共端点，所以三点共线. 故选：D. 33.（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】证明：  连接，． ∵ ， ， ∴，∴． 又，∴，，三点共线． 34．（2024·高二课时练习）如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且.求证：B，G，N三点共线. 【答案】证明见解析. 【分析】由空间向量的共线定理证明， 【详解】证明：取CD的中点E，连接AE，BE， 因为M，N分别为四面体A-BCD的面DCD与面ACD的重心， 所以M在BE上，N在AE上， 设，，， 因为M为BCD的重心， 所以 因为，所以， 所以， 同理得， ∴. 又， ∴B，G，N三点共线 （2） 由空间向量共线求参数值 35．（2024·高二课时练习）对于空间任意两个非零向量，，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分和必要条件的定义法，再结合共线向量的定义即可求解． 【详解】显然能推出，但包括向量，同向共线和反向共线两种情况， 即当时，得或， 因此推不出， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 36．（2024·高二课时练习）若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为________． 【答案】/ 【分析】由题存在实数λ使得，解相应方程可得答案. 【详解】由题意知，存在实数λ使得， 即,解得. 故答案为： 37．（2024·高二课时练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 38．（2024·高二课时练习）设，是两个不共线的空间向量，若，，，且A，C，D三点共线，则实数k的值为______. 【答案】/0.4 【分析】由向量加法得，由A，C，D三点共线得，即可求 【详解】∵，，， ∴，又∵A，C，D三点共线，∴， ∴，∴. 故答案为：. 39.（2024·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______．． 【答案】 【详解】，， ， 三点共线，存在实数，使得，即， ，解得：． 故答案为：. 40.（2024·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）已知是空间的一个基底，若，，若，则（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以， 故选：C （3） 空间共线向量定理的推论及其应用 41．（2024·高二课时练习）已知、、共线，为空间任意一点（、、不共线），且存在实数、，使，求的值． 【答案】 【分析】分析可知存在使得，利用空间向量共线的基本定理可求得的值. 【详解】因为、、共线，则存在使得，即， 所以，， 又因为，则. 42．（2024·江苏·高二专题练习）在正方体中，点E在对角线上，且，点F在棱上，若A、E、F三点共线，则________． 【答案】/ 【分析】设，可得，根据A、E、F三点共线即可求得. 【详解】因为正方体中，， 设，又， 所以，即， 因为A、E、F三点共线，所以，解得，即. 故答案为：. 43．【多选】（2024·高二课时练习）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 题型四 空间向量共面问题 （1） 空间向量共面的判断 44．【多选】（2024·高二课时练习）下列说法错误的是（    ） A．空间的任意三个向量都不共面 B．空间的任意两个向量都共面 C．三个向量共面，即它们所在的直线共面 D．若三向量两两共面，则这三个向量一定也共面 【答案】ACD 【分析】A.画图举例判断；B.利用相等向量判断；C.画图举例判断；D.画图举例判断； 【详解】A.如图所示： ，三个向量共面，故错误； B.由相等向量知：通过平移，两个向量的起点总可以在同一点，故两个向量都共面，故正确； C.如图所示：，在正方体中三个向量共面，但它们所在的直线不共面，故错误； D. 如图所示：，在正方体中三向量两两共面，但这三个向量一定共面，故错误； 故选：ACD 45．（2024·高二课时练习）当，且不共线时，与的关系是（    ） A．共面 B．不共面 C．共线 D．无法确定 【答案】A 【分析】利用平面向量的加减法的法则，结合向量共面的定义进行判断. 【详解】根据平行四边形法则可得，以，为邻边，则可得平行四边形的两条对角线对应的向量分别为， 所以与共面. 故选：A. 46．（2024·高二课时练习）如图，在长方体中，向量，，是________向量(填“共面”或“不共面”)． 【答案】共面 【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量. 【详解】由空间向量的运算法则，可得， 又由，可得， 所以是共面向量. 故答案为：共面. 47．（2024·高二课时练习）已知是不共面向量，，证明这三个向量共面. 【答案】证明见解析 【分析】由空间向量基本定理可得答案. 【详解】由是不共面向量，得与不共线， 设，则， 所以，解得，所以， 所以这三个向量共面. 48．（2024·高二课时练习）已知向量分别在两条异面直线上，分别为线段的中点，求证：向量共面． 【答案】证明见解析 【分析】由向量的运算法则得到，结合和，得到，即可得证. 【详解】证明：由向量的运算法则，可得， 两式相加，可得, 因为分别为线段的中点，可得， 所以，即， 所以是共面向量. 49．（2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（    ） A．与共线 B．与共线 C．，，，四点不共面 D．，，，四点共面 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理及推论依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，，不存在实数，使得成立，与不共线，A错误； 对于B，，，， 又，不存在实数，使得成立，与不共线，B错误； 对于C、D，若，，，四点共面， 则有， ，即，故， 故，，，四点共面，C错误，D正确. 故选：D. 50.【多选】（2023秋·江西吉安·高二井冈山大学附属中学校考期末）空间四点及空间任意一点，由下列条件一定可以得出四点共面的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：，定有共面，且有公共顶点， 故四点共面，故A正确； 对B：，， 故四点不共面，故B错误； 对C：，可得三点共线， 则四点一定共面，故C正确； 对D：，， 故四点一定共面，故D正确. 故选：ACD. 51.（2024·高一课时练习）下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于B选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于C选项，，，所以点与、、三点不共面； 对于D选项，，,所以点与、、三点共面. 故选：D. 52．（2024·江苏淮安·高二校联考期中）下列命题中是真命题的为（    ） A．若与共面，则存在实数，使 B．若存在实数，使向量，则与共面 C．若点四点共面，则存在实数，使 D．若存在实数，使，则点四点共面 【答案】BD 【分析】根据平面向量基本定理以及空间向量基本定理，可知B、D项正确；若共线，则A结论不恒成立；若三点共线，则C项结论不恒成立. 【详解】对于A项，如果共线，则只能表示与共线的向量. 若与不共线，则不能表示，故A项错误； 对于B项，根据平面向量基本定理知，若存在实数，使向量，则与共面，故B项正确； 对于C项，如果三点共线，则不论取何值，只能表示与共线的向量.若点不在所在的直线上，则无法表示，故C项错误； 对于D项，根据空间向量基本定理，可知若存在实数，使，则共面，所以点四点共面，故D项正确. 故选：BD. 53．（2024·高二课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？ 【答案】共面 【分析】由已知得，由此利用空间向量共面定理能证明，，，四点共面． 【详解】解：，，，四点共面． 理由如下：，， ， 即，由，，三点不共线，可知和不共线， 由共面定理可知向量，，共面， ，，，四点共面． （2） 空间向量共面求参数 54．（2024·辽宁锦州·高二统考期末）已知向量，，是空间向量的一组基底，，，，若A，B，C，D四点共面．则实数的值为__________． 【答案】 【分析】根据点共面可得向量共面，进而根据平面向量基本定理即可列等式求解. 【详解】由于A，B，C，D四点共面，所以存在唯一的实数对，使得,即， 所以 ， 故答案为： 55．（2024·全国·高二专题练习）已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______. 【答案】4 【分析】根据向量共面列方程，化简求得的值. 【详解】以为空间一组基底， 由于三个向量共面，所以存在， 使得， 即， 整理得， 所以，解得. 故答案为： 56．（2024·上海奉贤·高二校考阶段练习）已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则_____________． 【答案】 【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解. 【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线， ， 所以，解得. 故答案为：-4. 57．（2024·高一课时练习）已知三点不共线，是平面外任意一点，若，则四点共面的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量共面定理，结合向量运算，整理可得系数的方程组，求得参数，可得答案. 【详解】四点共面的充要条件是，，整理可得， 由，则，解得， 故选：A. 58．（2024·山西吕梁·高二统考期末）在三棱锥中，M是平面ABC上一点，且，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的基本定理，进而得出方程，解之即可. 【详解】因为， 所以，即． 因为M是平面ABC上一点，所以，所以． 故选：B. 59．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知为空间任意一点，四点共面，但任意三点不共线．如果，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题设条件推得，再由四点共面可求得 【详解】因为， 所以由 得， 即， 因为为空间任意一点，满足任意三点不共线，且四点共面， 所以，故. 故选：A. 60．（2024·高二课时练习）如图,平面内的小方格均为正方形,点为平面内的一点,为平面外一点,设,则的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先将写为,再根据平面向量基本定理,将写为,代入中,利用向量的加减,化为的形式,跟题中对比相等,即可得出结果. 【详解】由题知， 四点共面, 根据平面向量基本定理, 不妨设,， 则 , ， , . 故选:B 61.（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）是空间向量的一组基底，，，，已知点在平面内，则______. 【答案】3 【详解】因为点在平面内，所以，，共面， 所以存在与 使得, 即， 所以，解得. 故. 故答案为:3. 62．（2024·全国·高二专题练习）已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据共面向量的性质，结合配方法进行求解即可. 【详解】因为，点在确定的平面内， 所以，即，所以， 所以当时，的有最小值2． 故选：D 63．（2024·江苏·高二专题练习）已知点不共线，是空间任意一点，点在平面内，且，则（    ） A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值1 D．有最大值1 【答案】A 【分析】因为四点共面，则，即，从而得出答案． 【详解】因为四点共面，则，即， 所以当时，有最小值． 故选：A． 64．（2024·浙江温州·高二校考期末）在正四面体中，点在平面内的投影为，点是线段的中点，过的平面分别与，，交于，，三点. (1)若，求的值； (2)设，，，求的值. 【答案】(1)0 (2)6 【分析】（1）为正的中心，利用空间向量的线性运算，把用表示，可求的值； （2）根据已知条件，把用表示，由，，，共面，可求的值. 【详解】（1）正四面体中，在底面内的投影为正的中心， ∴， ∴，，，∴. （2）因为，且，，， 所以，即， 因为，，，共面，所以，即. （3） 空间共面向量定理的推论及其应用 65．（2024·高二校考课时练习）对于空间任意一点和不共线的三点，有如下关系：，则（   ） A．四点必共面 B．四点必共面 C．四点必共面 D．五点必共面 【答案】B 【分析】根据如下结论判断：对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 【详解】对于空间任一点和不共线三点，若点满足且，则四点共面. 而，其中，所以四点共面. 故选：B. 66．（2024·宁夏银川·高二银川一中校考期中）对于空间一点O和不共线三点A，B，C，且有，则（    ） A．O，A，B，C四点共面 B．P，A，B，C四点共面 C．O，P，B，C四点共面 D．O，P，A，B，C五点共面 【答案】B 【分析】根据空间向量的加减法，可得三个向量共面，可得答案. 【详解】由，得， 即，故共面. 又因为三个向量有同一公共点P，所以共面. 故选：B 67．（2024·上海闵行·高二上海市七宝中学校考开学考试）已知是空间中不共线的三个点，若点满足，则下列说法正确的一项是（    ） A．点是唯一的，且一定与共面 B．点不唯一，但一定与共面 C．点是唯一的，但不一定与共面 D．点不唯一，也不一定与共面 【答案】A 【分析】由，可得，从而有共面，四点共面，再结合不共线，即可得答案. 【详解】由空间向量的知识可知共面的充要条件为存在实数，使， 因为， 所以， 所以共面， 所以四点共面， 因为，所以， 所以点唯一. 故选：A. 68．【多选】（2024·高二课时练习）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论． 【详解】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是； 对于A，因为，所以可以得出，，，四点共面； 对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面； 对于C，，则，，为共面向量，所以与,，一定共面； 对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面． 故选：AC． 69．【多选】（2024·江苏盐城·高二盐城市大丰区南阳中学校考阶段练习）以下能判定空间四点P、M、A、B共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对A：若，结合向量基本定理知：为共面向量，故四点P、M、A、B共面，A正确； 对B：若，且，结合向量共面的性质知：四点P、M、A、B共面，B正确； 对C：若，则，可知直线的位置关系：异面或相交，故四点P、M、A、B不一定共面，C错误； 对D：若，可知直线的位置关系：平行或重合，故四点P、M、A、B共面，D正确； 故选：ABD. $$