第7章 平行线的证明 中档题拓展训练【8个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 中档题拓展训练 【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．平行公理及推论 二．平行线的判定 三．平行线的性质 四．平行线的判定与性质 五．三角形内角和定理 六．三角形的外角性质 七．命题与定理 八．推理与论证 2 一．平行公理及推论 3 1.在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是( ____ ) A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：B． B 4 二．平行线的判定 5 2.如图，根据下列某个条件，可以得到AF∥CD，则这个条件应该是( ____ ) A.∠1=∠2 B.∠6=∠5 C.∠1=∠5 D.∠1=∠3 【解析】解：∵∠1=∠3， ∴AF∥CD，故D正确； ∵∠1=∠2， ∴AF∥BE，故A错误； D 6 ∵∠6=∠5， 不能得出AF∥CD，故B错误； ∵∠1=∠5， 不能得出AF∥CD，故C错误； 故选：D． 7 3.如图，AF与BD相交于点C，∠B=∠ACB，且CD平分∠ECF．判断直线AB、CE是否平行？并说明理由． 【解析】解：AB∥CE，理由如下： 因为CD平分∠ECF， 所以∠ECD=∠FCD． 因为∠ACB=∠FCD， 所以∠ECD=∠ACB． 因为∠B=∠ACB， 所以∠B=∠ECD． 所以AB∥CE． 8 三．平行线的性质 9 4.如图AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2=28°，∠BPC=58°，则∠1的度数为( ____ ) A.30° B.28° C.86° D.58° 【解析】解：过P作PQ∥AB， _____ ∵AB∥CD， A 10 ∴PQ∥CD， ∴∠CPQ=∠2=28°，∠BPQ=∠1， ∵∠BPQ=∠BPC-∠CPQ=58°-28°=30°， ∴∠1=30°． 故选：A． 11 5.如图，将一把直尺放在平行的条格本上，若∠1=50°，则∠2的度数为( ____ ) A.120° B.130° C.140° D.150° 【解析】解：如图所示， B 12 ___ 依题意，∠3=∠1=50°， ∴∠2=180°-∠3=130°， 故选：B． 13 6.如图，一个30°角的三角板的直角顶点在直线a上，其斜边与直线a平行，则∠1的度数为( ____ ) A.30° B.40° C.60° D.70° 【解析】解： ______ 由题意得，∠ACB=90°， C 14 ∵AB∥a, ∴∠2=∠B=30°， ∵∠1+∠ACB+∠2=180°， ∴∠1=180°-30°-90°=60°． 故选：C． 15 7.如图1的晾衣架中存在多组平行关系，将晾衣架的侧面抽象成如图2的数学问题，已知AB∥MN∥PQ，若∠2=100°，∠3=130°，则∠1的度数为( ____ ) ______ A.40° B.50° C.60° D.70° B 16 【解析】解：延长AB 到点C，如图： ___ ∵AB∥MN， ∴∠2+∠CBD=180°， ∴∠CBD=180°-∠2=80°， ∵∠3=130°， ∴∠CBE=∠3-∠CBD=50° ∵AB∥PQ，∴∠1=∠CBE=50°， 故选：B． 17 8.下列语句中叙述正确的有( ____ ) ①相等的角是对顶角； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③若a与c相交，b与c相交，则a与b相交； ④两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离． A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A 18 【解析】解：①相等的角不一定是对顶角；①错误； ②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；②错误； ③若a与c相交，b与c相交，则a与b不一定相交；③错误； ④两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补；④错误； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离；⑤错误． 故选：A． 19 9.如图，直线a与直线b,c都相交，若b∥c,∠1=40°，则∠2的度数为( ____ ) A.40° B.50° C.60° D.140° 【解析】解：∵c∥b,∠1=40° ∴∠2=∠1=40°， 故选：A． A 20 10.如图，m∥n,△ABC的顶点C在直线m上，∠B=70°，∠1=20°，则∠2的度数为( ____ ) A.50° B.40° C.45° D.60° 【解析】解：作BD∥m,如图， A 21 ___ ∴∠DBC=∠1=20°， ∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-20°=50°， ∵m∥n,BD∥m, ∴BD∥n, ∴∠2=∠ABD=50°． 故选：A． 22 11.如图，一个含有30°角的直角三角板的两个顶点放在一个长方形的对边上，如果∠1=m°，那么用含m的式子表示∠2的度数是( ____ ) A.(m+30)° B.(m+90)° C.(m+120)° D.(150-m)° 【解析】解：如图， B 23 ____ ∴∠BAC=180°-90°-∠1 =90°-m°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠2=180°， ∴90°-m°+∠2=180°， ∴∠2=(m+90)°， 故选：B． 24 12.在数学活动课上，小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得∠1=33°，则∠2的度数是( ____ ) A.33° B.57° C.60° D.63° 【解析】解：由图可知，∠A=30°， ∵直尺上下两边是平行线， ∴∠2=∠3， D 25 ∵∠3=∠1+∠A， ∴∠3=33°+30°=63°， ∴∠2=∠3=63°， 故选：D． 26 13.两块平面镜OM和ON如图摆放，其夹角∠MON=26°，从OM上的点A处向平面镜ON射出一束光线AB，其反射光线BC恰与OM平行，则入射光线与反射光线形成的∠ABC=( ____ ) A.128° B.125° C.126° D.120° 【解析】解：∵BC∥OM， ∴∠CBN=∠MON=26°， A 27 由光的反射定律得：∠ABO=∠CBN=26°， ∴∠ABC=180°-26°-26°=128°． 故选：A． 28 14.如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1=100°，∠2=52°，则∠3的度数是( ____ ) A.52° B.48° C.42° D.62° 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠3+∠2=∠1， ∵∠1=100°，∠2=52°，∴∠3=∠1-∠2=100°-52°=48°． 故选：B． B 29 15.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是( ____ ) A.第一次左拐60°，第二次右拐60° B.第一次左拐60°，第二次左拐120° C.第一次右拐60°，第二次左拐150° D.第一次右拐60°，第二次右拐150° 【解析】解：A．两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B．两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C．两次拐弯后，相当于在原方向向左拐90°，方向与原方向垂直，故符合题意； C 30 D．两次拐弯后，相当于在原方向向右拐210°，方向与原方向的反方向夹角30°，故不符合题意； 故选：C． 31 16.直角三角板与直尺如图摆放，直尺的两个直角顶点分别在三角板的两条直角边上，则∠1+∠2= _____ ． 【解析】解：由图和题意，可知：∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°，∠3+∠4=90°， ____ ∴∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠4， ∴∠1+∠2=90°-∠3+90°-∠4=180°-(∠3+∠4)=90°； 故答案为：90°． 90° 32 17.已知∠ABC=90°，点D在∠ABC的边AB上，∠EDF=45°，且∠EDF的一边与BC平行，则∠ADE的度数为 ____________________ ． 【解析】解：①如图所示，DE∥BC． ___ ∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC=90°． ②如图所示，DF∥BC，且DE位于DF上方． 90°或45°或135° 33 ___ ∵DF∥BC， ∴∠ADF=∠ABC=90°． ∴∠ADE=∠ADF-∠EDF=90°-45°=45°． ③如图所示，DF∥BC，且DE位于DF下方． 34 ___ ∵DF∥BC， ∴∠ADF=∠ABC=90°， ∴∠ADE=∠ADF+∠EDF=90°+45°=135°， 综上所述，∠ADE=90°或45°或135°． 故答案为：90°或45°或135°． 35 18.∠α与∠β的两边分别平行，∠α的度数是70°，则∠β的度数是 _____________ ． 【解析】解：∵∠α和∠β的两边分别平行， ∴∠α=∠β或∠α+∠β=180°， ∵∠α的度数是70°， ∴∠β=180°-∠α=110°或∠β=70°， ∴∠α=70°或110°， 故答案为：70°或110°． 70°或110° 36 19.如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使顶点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AF于点G，若∠CEF=70°，则∠GFD′= ____ °． 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠CEF=70°， ∵∠CEF+∠DFE=180°， ∴∠DFE=180°-∠CEF=110°， 由翻折可得∠D'FE=∠DFE=110°， ∴∠GFD'=∠D'FE-∠AFE=110°-70°=40°， 故答案为：40． 40 37 20.为增强学生身体素质、感受中国的优秀传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成如图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB=79°，∠ECD=108°，则∠E的度数为 _____ ． 【解析】解：过E作EM∥CD， ∵AB∥DC， ∴EM∥AB， ∴∠A+∠AEM=180°，∠ECD+∠CEM=180°， 29° 38 ∵∠EAB=79°，∠ECD=108°， ∴∠AEM=101°，∠CEM=72°， ∴∠AEC=101°-72°=29°． 故答案为：29°． 39 21.如图，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，点K在AB、CD之间且在G、H所在直线的左侧，若∠GKP=60°，点P为线段KH上一点(不与K、H重合)，连接PG并延长到点M，设∠KHC=n∠KGP，要使得 为定值，则n的值为 ____ ． 【解析】解：过点K作KN∥AB，过P作PL∥AB，则KN∥AB∥PL∥CD， 3 40 ____ ∴∠AGK=∠GKN，∠NKH=∠KHC，∠AGP=∠GPL，∠LPH=∠PHC， ∴∠GKH=∠AGK+∠KHC，∠GPH=∠AGP+∠PHC， 设∠KGP=α，则∠KHC=nα， ∵∠GKP=60°， ∴∠AGK=60°-nα， ∠GPH=60°-nα+α+nα=60°+α， ∴∠AGM=180°-α-(60°-nα)=120°+(n-1)α，∴当n=3时， =2为定值． 故答案为：3． 41 22.如图，AB∥CD，点G在直线AB上，点H在直线CD上，点K在AB、CD之间且在G，H所在直线的左侧，若∠GKH=60°，点P为线段KH上一点(不和K、H重合)，连接PG并延长到M，设∠KHC=n∠KGP．要使得 为定值，则n= ____ ． 【解析】解：过点K作KN∥AB，过P作PL∥AB，则KN∥AB∥PL∥CD， 3 42 ____ ∴∠AGK=∠GKN，∠NKH=∠KHC，∠AGP=∠GPL，∠LPH=∠PHC， ∴∠GKH=∠AGK+∠KHC，∠GPH=∠AGP+∠PHC， 设∠KGP=α，则∠KHC=nα， ∵∠GKP=60°， ∴∠AGK=60°-nα， ∠GPH=60°-nα+α+nα=60°+α， ∴∠AGM=180°-α-(60°-nα)=120°+(n-1)α，∴当n=3时， =2为定值． 故答案为3． 43 23.已知AB∥CD，请完成以下问题： (1)如图1，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的度数之间的等量关系是 _____________________ ； (2)如图2，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，则∠GHM= _____ ． 【解析】解：(1)如图1中， ∠2+∠4=∠1+∠3+∠5 40° 44 如图2中，作GM∥AB，FN∥AB，EH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥GM∥FN∥EH∥CD， ∴∠1=∠AEH，∠HEG=∠EGM，∠MGF=∠GFN，∠NFC=∠5， ∴∠AEG+∠GFC=∠1+∠EGF+∠5， 即∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． 故答案为：∠2+∠4=∠1+∠3+∠5． (2)如图2中，作KG∥AB，HQ∥AB，MN与HQ交于点T． ∵AB∥CD，KG∥AB，HQ∥AB， ∴AB∥KG∥QH∥CD， ∴∠FGH=∠EFA=30°， 45 ∵∠FGH=90°， ∴∠KGH=60°， ∴∠KGH=∠GHQ=60°，∠HTM=∠CNP=50°， ∵∠HTN=∠QHM+∠M，∠M=30°， ∴∠QHM=20°， ∴∠GHM=∠QHG-∠QHM=40°． 故答案为：40°． 46 24.如图___是大众汽车的标志图案，其中蕴含这一些几何知识，根据下面的条件完成证明． 已知：如图，BC∥AD，BE∥AF． (1)求证：∠A=∠B； (2)若∠DOB=125°，求∠A的度数． 【解析】(1)证明：∵BC∥AD， ∴∠B=∠DOE， 又BE∥AF， ∴∠DOE=∠A， ∴∠A=∠B． 47 (2)解：∵BE∥AF， ∴∠EOA+∠A=180°， ∵∠DOB=∠EOA，∠DOB=125°， ∴∠A=55°． 48 25.已知，直线AB∥CD，直线MN分别交AB，CD于点E，F． (1)P是AB，CD之间的一点，连接PE，PF． ①如图1，若∠AEP=16°，∠CFP=46°，则∠P= _____ ． ②如图2，若EG平分∠AEP，FG平分∠CFP，试探究∠P和∠G的数量关系，并说明理由． (2)如图3，P为直线AB，CD外的一点，连接PE，PF，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，试探究②中的结论是否成立．若成立，请证明；若不成立，请写出此时的数量关系，并说明理由． 62° 49 ___________ 【解析】解：(1)①过点P作PQ∥AB， ___ ∴∠AEP=∠EPQ， 50 ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠CFP=∠QPF， ∵∠EPF=∠EPQ+∠QPF， ∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=16°+46°=62°， 故答案为：62°； ②∠P=2∠G， 理由：由①得：∠P=∠AEP+∠CFP，∠G=∠AEG+∠CFG， ∵EG平分∠AEP，FG平分∠CFP， ∴∠AEG= ∠AEP，∠CFG= ∠CFP， 51 ∴∠G= ∠AEP+ ∠CFP = (∠AEP+∠CFP) = ∠P， 即∠P=2∠G； (2)②中的结论仍然成立， 理由：如图：设AB与FP相交于点H， 52 ___ ∵AB∥CD， ∴∠1=∠CFP， ∵∠1是△PHE的一个外角， ∴∠P=∠1-∠AEP， ∴∠P=∠CFP-∠AEP， 同理可得：∠G=∠CFG-∠AEG， ∵FG平分∠CFP，EG平分∠AEP， 53 ∴∠CFG= ∠CFP，∠AEG= ∠AEP， ∴∠G= ∠CFP- ∠AEP = (∠CFP-∠AEP) = ∠P， 即∠P=2∠G． 54 26.将一副三角尺中的两块直角三角尺的直角顶点C重合放在一起，其中∠A=30°，∠B=60°，∠CDE=∠E=45°． (1)如图1，∠1与∠2的数量关系是 _____ ，理由是 __________________ ； (2)如图1，点D在AB上，若DE⊥AB，求∠1的度数； 相等 同角的余角相等 55 (3)如图2，将三角尺ABC固定不动，改变三角尺DCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，当点D在直线BC的上方时，探究以下问题： ①当DE∥AB时，求出∠BCD的度数； ②这两块三角尺还存在一组边互相平行的情况，请直接∠BCD角度所有可能的值． 【解析】解：(1)由题意可得：∠ACB=∠DCE=90°， ∠1=∠ACB-∠DCA，∠2=∠DCE-∠DCA， ∴∠1=∠2， 故答案为：相等；同角的余角相等； 56 (2)∵DE⊥AB， ∴∠BDE=90°， ∵∠B=60°，∠E=45°， ∴∠BCE=360°-90°-60°-45°=165°， ∵∠DCE=90°， ∴∠1=∠BCE-∠DCE=165°-90°=75°； (3)①当DE∥AB时，如图： 57 __， 过点C作CF∥AB， ∵DE∥AB，CF∥AB， ∴DE∥CF∥AB， ∴∠DCF=∠D=45°，∠ACF=∠A=30°， ∴∠DCA=30°+45°=75°， ∴∠BCD=90°+75°=165°； 58 ②存在，∠BCD的度数可能是30°、45°、120°、135°， 当CE∥AB时，如图所示： ___， ∴∠ACE=∠A=30°， ∴根据解析(1)可知∠BCD=∠ACE=30°； 当DE∥BC时，如图所示： 59 ___， ∴∠BCD=∠D=45°； 当CD∥AB时，如图所示： 60 __， ∴∠DCA=∠A=30°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=120°； 当DE∥AC时，如图所示： 61 __， ∴∠DCA=∠D=45°， ∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=135°； 综上分析可知，∠BCD的度数可能是30°、45°、120°、135°． 62 四．平行线的判定与性质 63 27.如图是一盏可调节台灯及其示意图．固定支撑杆AO垂直底座MN于点O，AB与BC是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD、CE组成的∠DCE始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线CD∥MN，CE∥BA，若∠BAO=158°，则∠DCE=( ____ ) A.58° B.68° C.32° D.22° B 64 【解析】解：如图所示，过点A作AG∥MN，过点B作BH∥CD， ___ ∵CD∥MN， ∴AG∥MN∥BH∥CD， ∵OA⊥MN， ∴AG⊥OA，即∠OAG=90°， ∵∠BAO=158°， 65 ∴∠BAG=∠BAO-∠OAG=68°， ∴∠ABH=∠BAG=68°， ∵CE∥AB，BH∥CD， ∴∠ABC+∠BCE=180°=∠CBH+∠BCD， ∴∠ABH+∠CBH+∠BCE=180°=∠CBH+∠BCE+∠DCE， ∴∠DCE=∠ABH=68°， 故选：B． 66 28.下列结论中，错误的是( ____ ) A.同位角相等，两直线平行 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.同一平面内的两条直线不平行就相交 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】解：A、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， C、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意， D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意，故选：D． D 67 29.某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，如图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面1平行，∠BCD=62°，∠BAC=54°，当∠MAC为( ____ ) 度时，AM与CB平行． _______ B 68 A.54 B.64 C.74 D.116 【解析】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°， ∵∠BCD=62°，∠BAC=54°， ∴∠ACB=64°， ∴当∠MAC=∠ACB=64°时，AM∥CB．故选：B． 69 30.如图，下列说法正确的是( ____ ) A.若∠3=∠2，则AD∥BC B.若∠B=∠1，则AB∥CD C.若∠D=∠1，则AD∥BC D.若AD∥BC，∠D=∠B，则AB∥CD 【解析】解：A、若∠3=∠2，则AB∥CD，不能判断AD∥BC，原说法错误不符合题意； B、若∠B=∠1，则AD∥BC，无法判断AB∥CD，原说法错误不符合题意； C、若∠D=∠1，则AB∥CD，不能判断AD∥BC， D 70 原说法错误不符合题意； D、若AD∥BC，则∠D+∠BCD=180°，而∠D=∠B，则∠B+∠BCD=180°，则AB∥CD，原说法正确，符合题意； 故选：D． 71 31.如图，E在线段BA的延长线上，∠EAD=∠D，∠B=∠D，EF∥HC，连接FH交AD于G，∠FGA的余角比∠DGH大16°，K为线段BC上一点，连接CG，使∠CKG=∠CGK，在∠AGK内部有射线GM，GM平分∠FGC．则下列结论： ①AD∥BC； ②GK平分∠AGC； ③∠FGA=37°； ④∠MGK=18.5°． 其中正确的结论是 ______ ． ①②③④ 72 【解析】解：∵∠EAD=∠D，∠B=∠D， ∴∠EAD=∠B， ∴AD∥BC，故①正确； ∵AD∥BC， ∴∠CKG=∠AGK， ∵∠CKG=∠CGK， ∴∠AGK=∠CGK， 即GK平分∠AGC，故②正确； ∵∠FGA的余角比∠DGH大16°， ∴90°-∠FGA=∠DGH+16°， ∵∠DGH=∠FGA， 73 ∴90°-∠FGA=∠FGA+16°， ∴∠FGA=37°， 设∠AGM=α，∠MGK=β， ∴∠AGK=∠AGM+∠MGK=α+β， ∵GK平分∠AGC， ∴∠CGK=∠AGK=α+β， ∵GM平分∠FGC， ∴∠FGM=∠CGM， 即∠FGA+∠AGM=∠CGK+∠MGK， ∴37°+α=α+β+β， 解得β=18.5°， 74 即∠MGK=18.5°，故③④正确； 故答案为：①②③④． 75 32.课题学习：平行线问题中的转化思想． 【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”．与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”中，且都分布在“第三条直线”的两旁．当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想．有这样一道典型问题： 例题：如图(1)，已知AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，探究∠BED与∠B、∠D之间的关系． 76 _________ 解：过点E作EF∥AB． ∵EF∥AB，AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF， ∴∠B=∠BEF，∠D=∠DEF， ∵∠BED=∠BEF+∠DEF， ∴∠BED=∠B+∠D． 【学以致用】 77 (1)当∠B=30°，∠D=35°时，∠BED= ____ °． (2)①如图(2)，已知AB∥CD，若∠A=135°，∠C=130°，求出∠AEC的度数． ②如图(3)，在①的条件下，若AF、CF分别平分∠BAE和∠DCE，求∠AFC的度数． 【解析】解：(1)∵∠BED=∠B+∠D， 又∵∠B=30°，∠D=35°， ∴∠BED=65°， 故答案为：65°； (2)①过点E作EF//AB，如图： 65 78 ____ ∵EF//AB，AB//CD， ∴EF//AB//CD， ∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°， 又∵∠A=135°，∠C=130°， ∴∠AEF=180°-135°=45°，∠CEF=180°-130°=50°， ∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=45°+50°=95°， 答：∠AEC的度为95°； 79 ②∵∠BAE=135°，AF平分∠BAE， ∴ ， ∵∠DCE=130°，CF平分∠DCE， ∴∠DCF=65°， 由(1)问可知：∠AFC=∠BAF+∠FCD=67.5°+65°=132.5°， 答：∠AFC的度数为：132.5°． 80 33.如图1，点A在直线MN上，点B在直线ST上，点C在MN，ST之间， ____ (1)若满足∠NAC+∠TBC=∠ACB，求证：MN∥ST． 【阅读理解】老师在黑板中写出了部分证明过程，请你补充完整，并填写出证明依据． 81 证明：如图2．过点C作CP∥MN， ∴① ______ =∠ACP(② _____________________________ )； ∵∠ACP+∠PCB=∠ACB． ∴∠NAC+∠PCB=∠ACB； 又∵∠NAC+∠TBC=∠ACB， ∴∠PCB=∠TBC， ∴CP∥③ ____ (④ _____________________________ )； 又∵CP∥MN， ∴MN∥ST(⑤ _____________________________________________________________________ ) ∠CAN 两条直线平行，内错角相等 ST 内错角相等，两条直线平行 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 82 (2)【变式探究】如图1．若满足MN∥ST，试探究∠MAC，∠ACB，∠SBC存在怎样的数量关系？并说明理由． (3)【结论应用】如图3，若∠ACB=60°，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=3∠CBT，则∠CAE与∠CAN的数量关系为 _______________ ． (4)【归纳推广】如图4，若 (n为大于1的整数)，点E在线段BC上，连接AE，若∠MAE=n∠CBT．则∠CAE：∠CAN的值为 _____ ． 【解析】(1)证明：如图2．过点C作CP∥MN， ∴∠CAN=∠ACP(两条直线平行，内错角相等)， ∠CAE=2∠CAN n-1 83 ∵∠ACP+∠PCB=∠ACB， ∴∠NAC+∠PCB=∠ACB， 又∵∠NAC+∠TBC=∠ACB， ∴∠PCB=∠TBC， ∴CP∥ST，(内错角相等，两条直线平行)， 又∵CP∥MN， ∴MN∥ST(如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：∠CAN，两条直线平行，内错角相等，ST，内错角相等，两条直线平行，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； 84 (2)解：∠MAC+∠ACB+∠SBC=360°，理由如下： 如图，过点C作CE∥MN， ∴∠NAC=∠ACE， ∵MN∥ST， ∴CE∥ST， ∴∠TBC=∠BCE， ∵∠ACB=∠ACE+∠BCE， ∴∠ACB=∠NAC+∠TBC， ∵∠MAC+∠NAC+∠SBC+∠TBC=360°， ∴∠MAC+∠SBC+∠ACB=360°； 85 _____ (3)解：∠CAE=2∠CAN，∠CAE=2∠CAM，理由如下： 过点C作CF∥ST，设∠CBT=α， ∵∠MAE=3∠CBT， ∴∠MAE=3α， ∵CF∥ST， ∵ST∥MN， ∴CF∥MN， ∴∠BCF=∠CBT=α， 86 ∴∠ACF=∠NAC=60°-α， ∴∠CAE=180°-3α-(60°-α)=120°-2α=2(60°-α)， ∴∠CAE=2∠CAN； _____ (4)解：过点C作CG∥ST，设∠CBT=∠β，则∠MAE=nβ， ∵CG∥ST， ∴∠CBT=∠BCG=β， ∴ ， ∴ 87 ， ∴ ， 故答案为：n-1． _____ 88 34.已知，∠1=∠2，EG平分∠AEC交BD于点G． ________ (1)如图1，∠MAE=46°，∠FEG=14°，∠NCE=74°，判断EF与CD的位置关系，并说明理由； (2)如图2，∠MAE=150°，∠FEG=35°，当AB∥CD时，求∠NCE的度数． 【解析】解：(1)EF∥CD，理由如下： 89 ∵∠1=∠2， ∴AB∥EF， ∴∠AEF=∠MAE=46°， ∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=60°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG=∠AEG=60°， ∴∠CEF=∠CEG+∠FEG=74°=∠NCE， ∴EF∥CD； (2)∵∠1=∠2， ∴AB∥EF， ∵AB∥CD 90 ∴AB∥EF∥CD， ∴∠MAE+∠AEF=180°，∠NCE+∠FEC=180°， ∴∠AEF=180°-∠MAE=30°， ∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=65°， ∵EG平分∠AEC， ∴∠CEG=∠AEG=65°， ∴∠FEC=∠CEG+∠FEG=100°， ∴∠NCE=180°-∠FEC=80°． 91 35.综合与探究 【提出问题】(1)如图1，已知AB∥CD，线段EF，EC，DH分别与AB交于点A，G，B，∠FAG=∠D，求证：EF∥DH． 【深入探究】(2)如图2，点D在AE上，AB∥CD，AF∥DH，AF平分∠GAE，∠ADC=64°，求∠ABH的度数． 【拓展探究】(3)如图3，AB∥CD，GD∥EF，试探究∠AGD，∠CEF和∠ECD有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 92 ________ 【解析】(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠ABH=∠D． ∵∠FAB=∠D， ∴∠FAG=∠ABH， ∴EF∥DH； (2)解：∵AB∥CD， 93 ∴∠ADC=∠BAD， ∵∠ADC=64°， ∴∠BAD=∠ADC=64°， ∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-64°=116°． ∵AF平∠GAE， ∴ ． ∵AF∥DH， ∴∠GBD=∠GAF=58°， ∴∠ABH=180°-∠GBD=180°-58°=122°； (3)解：∠AGD=∠CEF+∠ECD． 94 理由：如图，过点E作EN∥AB． ____ ∵AB∥CD， ∴EN∥CD，∠NEF=∠ABE， ∴∠NEA+∠ACD=180°， ∴∠NEF+∠CEF+∠ECD=180°． ∵GD∥EF， ∴∠BGD=∠ABE， ∴∠BGD+∠CEF+∠ECD=180°，∴180°-∠AGD+∠CEF+∠ECD=180°， ∴∠AGD=∠CEF+∠ECD． 95 36.如图，AB∥DG，∠1+∠2=180°． (1)求证：AD∥EF； (2)若∠ADC=74°，∠2=148°，求∠B的度数． 【解析】(1)证明：∵AB∥DG， ∴∠BAD=∠1， ∵∠1+∠2=180°， ∴AD∥EF； (2)解：∵∠1+∠2=180°，∠2=148°， ∴∠1=32°， ∵∠ADC=74°， 96 ∴∠GDC=74°-32°=42°， ∵AB∥DG， ∴∠B=∠GDC=42°． 97 37.如图，已知△ABC，∠C=90°，∠CME+∠EFN=180°，∠MEB=∠FNB． (1)判断EF和BC的位置关系，并说明理由； (2)若EF平分∠MEB，∠FNB=54°，求∠AME和∠NFB的度数． 【解析】解：(1)EF⊥BC，理由如下： ∵∠MEB=∠FNB， ∴ME∥FN， ∴∠MEF=∠EFN， ∵∠CME+∠EFN=180°， 98 ∴∠CME+∠MEF=180°， ∴AC∥EF， ∵∠C=90°，即AC⊥BC， ∴EF⊥BC (2)∵ME∥FN， ∴∠MEB=∠FNB=54°， ∵EF平分∠MEB， ∴ ， ∵AC∥EF， ∴∠AME=∠MEF=27°， 99 ∵ME∥FN， ∴∠EFN=∠MEF=27°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB=90°， ∴∠BFN=∠EFB-∠EFN=90°-27°=63°． 100 38.已知：如图，∠A=∠ADE，∠C=∠E． (1)求证：BE∥CD； (2)若∠EDC=3∠C，求∠ABE的度数． 【解析】(1)证明：∵∠A=∠ADE， ∴DE∥AC， ∴∠E=∠ABE， ∵∠E=∠C， ∴∠ABE=∠C， ∴BE∥CD． (2)解：∵DE∥AC， 101 ∴∠EDC+∠C=180°， ∵∠EDC=3∠C， ∴4∠C=180°， ∴∠ABE=∠C=45°． 102 39.我们已学习平行线的判定与性质，涉及概念同位角、内错角、同旁内角，学习该部分内容按“定义-判定-性质”三步进行．如图①，在“三线八角”中，类比内错角，具有∠1与∠8这样位置关系的角称为“外错角”，你可类比有关知识，完成涉及“外错角”的探究． ______ (1)探究定义：如图①，请另找出一对“外错角”： _________ ； (2)探究判定：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：外错角相等，两直线平行． ∠2和∠7 103 请完善证明过程． 已知：如图②，∠1与∠2是直线a、b被直线c截出的外错角，且∠1=∠2． 求证：a∥b 证明： (3)探究性质：请你用已学过的平行线的判定，证明命题：两直线平行，外错角相等． 【解析】解：(1)另找出一对“外错角”为∠2和∠7， 故答案为：∠2和∠7； (2)∵∠1=∠3(对顶角相等)，∠1=∠2(已知)， 104 ∴∠2=∠3(等量代换)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行)． (3)已知：如图①，a∥b,∠1和∠8及∠2和∠7是直线a、b被直线c截出的外错角， 求证：∠1=∠8，∠2=∠7， ___ 证明：∵a∥b, ∴∠1=∠6， 105 ∵∠6=∠8， ∴∠1=∠8， 同理∠2=∠7． 106 五．三角形内角和定理 107 40.如图，在△ABC中，∠ABC的三等分线BG、BE与∠ACB的三等分线CF、CE分别交于点D、E，若∠E=100°，则∠BAC的度数为( ____ ) A.65° B.60° C.55° D.50° 【解析】解：∵BG、BE是∠ABC的三等分线，CF、CE是∠ACB的三等分线， ∴∠ABE= ， ， B 108 ∵∠E=100°， ∴∠ABE+∠ACE+∠A=100° ∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠A=100°-(∠ABE+∠ACE)=100°- (∠ABC+∠ACB)=100°- ， ∴∠A=60°． 故选：B． 109 41.已知△ABC中，AD为BC边上的高，∠B=50°，∠CAD=15°，则∠BAC的度数 ____________ ． 【解析】解：①如图，当AD在△ABC的内部时， ∵AD⊥BC，∠B=50°， ∴∠BAD=40°， ∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=40°+15°=55°； ____ ②如图，当AD在△ABC的外部时， 25°或55° 110 ∵AD⊥BC，∠B=50°， ∴∠BAD=40°， ∴∠BAC=∠BAD-∠CAD=40°-15°=25°； _____ 故答案为：25°或55°． 111 42.如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO=96°，则∠C的度数为 ____ °． 【解析】解：如图，连接AO、BO． ____ 由题意EA=EB=EO， ∴∠AOB=90°，∠OAB+∠OBA=90°， ∵DO=DA，FO=FB， 42 112 ∴∠DAO=∠DOA，∠FOB=∠FBO， ∴∠CDO=2∠DAO，∠CFO=2∠FBO， ∵∠CDO+∠CFO=96°， ∴2∠DAO+2∠FBO=96°， ∴∠DAO+∠FBO=48°， ∴∠CAB+∠CBA=∠DAO+∠OAB+∠OBA+∠FBO=138°， ∴∠C=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-138°=42°， 故答案为：42． 113 43.如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线，过点E作EF⊥BC，垂足为点F． (1)若∠ABC=35°，∠EBD=20°，∠BAD=45°，求∠DEF的度数； (2)若△ABC的面积为20，EF=2，求CD． 【解析】解：(1)∵∠ABC=35°，∠BAD=45°， ∴∠EDF=∠BAD+∠ABC=45°+35°=80°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFD=90°， ∴∠DEF=90°-80°=10°； 114 (2)∵AD为△ABC的中线，△ABC的面积为20， ∴ ， ∵BE为△ABD的中线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 解得：BD=5， ∵AD为△ABC的中线，∴CD=BD=5． 115 44.阅读下面的解答过程，并填空． 如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠ABC=∠ACB，CE∥DF． 求证：∠DBF=∠F． 证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB(已知)， ∴ _____ ， _____ ( _______________ )． 又∵∠ABC=∠ACB(已知)， ∴∠ _____ =∠ _____ ． 又∵CE∥DF(已知)， ABC ACB 角平分线定义 DBC ECB 116 ∴∠ _____ =∠ ____ ( ___________________________ )． ∴∠DBF=∠F． 【解析】证明：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB(已知)， ∴ ABC， ∠ACB(角平分线的定义)， 又∵∠ABC=∠ACB(已知)， ∴∠DBC=∠ECB(等量代换)， 又∵CE∥DF(已知)， ∴∠F=∠ECB，(两直线平行，同位角相等)， ∴∠DBF=∠F． ECB F 两直线平行，同位角相等 117 故答案为：ABC，∠ACB，角平分线定义，DBC，ECB，ECB，F，两直线平行，同位角相等． 118 45.如图，在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°，AD是BC边上的高，∠ACB的平分线CF交AD于点E．求∠AEC的度数． 【解析】解：∵在△ABC中，∠BAC=80°，∠B=60°， ∴∠ACB=180°-∠CAB-∠B=180°-80°-60°=40°， 又∵CF是∠ACB的平分线， ∴ ， 又∵AD是BC边上的高， ∴∠ADC=90°， ∴∠AEC=90°+∠ECD=90°+20°=110°． 119 六．三角形的外角性质 120 46.将一副三角板按照如图方式摆放，则∠CBE的度数为( ____ ) A.90° B.100° C.105° D.110° 【解析】解：由题意可得： ∠ACB=60°，∠BAC=45°， ∴∠CBE=∠ACB+∠BAC=60°+45°=105°， 故选：C． C 121 47.如图，已知△ABC中，∠A=58°，O为△ABC内一点，且∠BOC=138°，其中BO1平分∠ABO，CO1平分∠ACO，BO2平分∠ABO1，CO2平分∠ACO1，…，BOn平分∠ABOn-1，…COn平分∠ACOn-1…以此类推，则∠BO1C=　　°，∠BOnC=　　°． 【解析】解：∵∠BOC=138°， ∴∠1+∠2=180°-138°=42°， ∴∠ABO+∠ACO=180°-58°-42°=80°． ∵BO1平分∠ABO，CO1平分∠ACO， ∴∠ABO1= ∠ABO，∠ACO1= ∠ACO， 122 ∴∠ABO1+∠ACO1= (∠ABO+∠ACO)=40°． ∴∠BO1C=180°-(∠O1BC+∠O1CB) =180°-(180°-∠A-∠ABO1-∠ACO1) =∠A+∠ABO1+∠ACO1 =58°+40° =98°． ∠ABO1+∠ACO1=40°， ∵BO2平分∠ABO1，CO2平分∠ACO1， ∴∠O2BO1= ∠ABO1，∠O2CO1= ∠ACO1， 123 ∴∠ABO2+∠ACO2= (∠ABO1+∠ACO1)=20°， ∴∠BO2C=180°-(∠O2BC+∠O2CB) =180°-(180°-∠A-∠ABO2-∠ACO2) =∠A+∠ABO2+∠ACO2 =58°+20° =78°． BOn平分∠ABOn-1，…COn平分∠ACOn-1…以此类推， ∠BOnC=( 58+ )°． 故答案为：98，(58+ )． 124 48.如图，在△ABC中，∠ABC=15°，∠ACB=37.5°，点D是边BC上的一点，且∠BAD=52.5°，S△ACD=3 ，则S△ABD=　　． 【解析】解：以点A为圆心，AB为半径画弧交BC的延长线于E，连接AE，则AB=AE，把△ABD绕点A逆时针旋转150°得到△AEF，连接CF，过点C作CH⊥EF于H，设CH=a,如下图所示： _______ 由旋转的性质可知：∠DAF=150°，∠AEF=∠B=15°，BD=EF，AD=AF 125 ， 在△ABE中，AB=AE， ∴∠AEB=∠B=15°， ∴∠CEF=∠AEB+∠AEF=30°， 在△ABC中，∠B=15°，∠ACB=37.5°， ∴∠BAC=180°-(∠B+∠ACB)=180°-(15°+37.5°)=127.5°， 又∵∠BAD=52.5°， ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=127.5°-52.5°=75°， ∴∠FAC=∠DAF-∠DAC=150°-75°=75°， 即∠DAC=∠FAC， 在△DAC和△FAC中， 126 ， ∴△DAC≌△FAC(SAS)， ∴∠DCA=∠FCA=37.5°，CD=CF， 即∠DAF=∠DCA+∠FCA=75°， ∴∠FCE=180°-∠DAF=180°-75°=105°， 在Rt△CEH中，∠CEF=30°，CH=a, ∴∠HCE=60°，CE=2CH=2a, 由勾股定理得：EH= = ， ∴∠FCH=∠FCE-∠HCE=105°-60°=45°， 127 ∴△FCH为等腰直角三角形，即FH=CH=a, 由勾股定理得：CF= = ， ∴CD=CF= ，BD=EF=EH+FH= = ， ∴ = ， ∵△ABD的边BD和△ACD的边CD上的高相同， ∴得 = ， 又∵S△ACD= ， ∴S△ABD= = ．故答案为： ． 128 七．命题与定理 129 49.命题“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是 ____________________________________________________ ，它是 ________ (填“真命题”或“假命题”)． 【解析】解：“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的条件是两个实数相等，结论是它们的绝对值相等，因此该命题的逆命题是“如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等”； 比如|1|=|-1|=1，但1≠-1，所以是假命题． 故答案为：如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等；假命题． 如果两个实数的绝对值相等，则这两个实数相等 假命题 130 八．推理与论证 131 50.刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是： ______ ． ①6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确； ②6、0、4、7只有两个数字正确但位置都不正确； ③3、5、2、9四个数字都不正确； ④1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确． 【解析】解：∵3、5、2、9四个数字都不正确且1、8、0、9只有三个数字正确， ∴3、5、2、9四个数字都不正确，1、8、0三个数字都正确； ∵刘老师的手机密码是四位数字， 0418 132 ∴剩下的4、6、7三个数字中有且只有一个数字正确； ∵8正确，3不正确，且6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确， ∴6或4正确，假设6正确的话，它的位置也正确，这与6、0、4、7只有两个数字正确但位置都不正确矛盾， ∴6不正确，4正确； ∵6、4、3、8只有两个数字正确(4、8)且位置正确，且1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确， ∴0在最前面，1在4的后面， ∴正确的密码是：0418． 故答案为：0418． 133 $$