第7章 平行线的证明 培优突破练习【8个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 培优突破练习 【8个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．平行公理及推论 二．平行线的判定 三．平行线的性质 四．平行线的判定与性质 五．三角形内角和定理 六．三角形的外角性质 七．命题与定理 八．推理与论证 2 一．平行公理及推论 3 1.在修建高铁线路时，一些路段经常会遇到大山相隔，为了避免绕道太远，往往要修建隧道将铁路线取直，这样做的数学道理是( ____ ) A.两点确定一条直线 B.两点之间线段最短 C.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D.经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【解析】解：由题中描述可知，这样做的数学道理是“两点之间线段最短”， 故选：B． B 4 二．平行线的判定 5 2.如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判定AB∥CD的是( ____ ) A.∠3=∠4 B.∠1=∠2 C.∠D=∠DCE D.∠D+∠ACD=180° 【解析】解：A、∵∠3=∠4， ∴AC∥BD， 故A不符合题意． B、∵∠1=∠2， B 6 ∴AB∥CD， 故B符合题意． C、∵∠D=∠DCE， ∴AC∥BD， ∴C不符合题意． D、∵∠D+∠ACD=180°， ∴AC∥BD， 故D不符合题意． 故选：B． 7 3.如图，根据下列某个条件，可以得到AF∥CD，则这个条件应该是( ____ ) A.∠1=∠2 B.∠6=∠5 C.∠1=∠5 D.∠1=∠3 【解析】解：∵∠1=∠3， ∴AF∥CD，故D正确； ∵∠1=∠2， ∴AF∥BE，故A错误； D 8 ∵∠6=∠5， 不能得出AF∥CD，故B错误； ∵∠1=∠5， 不能得出AF∥CD，故C错误； 故选：D． 9 三．平行线的性质 10 4.一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB，则∠DBC的度数为( ____ ) A.10° B.15° C.18° D.30° 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠ABD=∠EDF=60°， ∵∠ABC=45°， ∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=15°，故选：B． B 11 5.在同一平面内有2024条直线a1，a2，…，a2024，如果a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5，…，依此类推，那么a1与a2024的位置关系是( ____ ) A.垂直 B.平行 C.垂直或平行 D.重合 【解析】解：∵a1⊥a2，a2∥a3， ∴a1⊥a3， ∵a3⊥a4， ∴a1∥a4， B 12 ∵a4∥a5， ∴a1∥a5， ∵a5⊥a6， ∴a1⊥a6， ……， 以此类推可知，从a2开始，每4条直线为一个循环，a1与它们的位置关系分别为⊥，⊥，∥，∥， ∵(2024-1)÷4=505…3， ∴a1∥a2024， 故选：B． 13 6.如图，已知AB，CD，EF互相平行，且∠ABE=72°，EC为∠BEF的角平分线，则∠ECD的度数是( ____ ) A.144° B.134° C.124° D.114° 【解析】解：∵AB∥EF， ∴∠BEF=∠B=72°， ∵EC为∠BEF的角平分线， A 14 ∴∠CEF= ∠BEF=36°， ∵CD∥EF， ∴∠ECD+∠CEF=180°， ∴∠ECD=144°． 故选：A． 15 7.如图是一款折叠LED护眼灯示意图，AB是底座，CD、DE分别是长臂和短臂，点C在AB上，若DE∥AB，∠DCA=70°，则长臂和短臂的夹角∠CDE=( ____ ) A.120° B.100° C.70° D.110° 【解析】解：∵DE∥AB， ∴∠DCA+∠CDE=180°， ∵∠DCA=70°，∴∠CDE=180°-∠DCA=110°， 故选：D． D 16 8.如图，AB∥CD，E为AB上一点，且EF⊥CD垂足为F，∠CED=90°，CE平分∠AEG，且∠CGE=α，则下列结论：① ；②DE平分∠GEB；③∠CEF=∠GED；④∠FED+∠BEC=180°；其中正确有( ____ ) A.①② B.②③④ C.①②③④ D.①③④ 【解析】解：∵∠CGE=a,AB∥CD， C 17 ∴∠CGE=∠GEB=a, ∴∠AEG=180°-a, ∵CE平分∠AEG， ∴∠AEC=∠CEG= ∠AEG=90°- a, 故①正确； ∵∠CED=90°， ∴∠AEC+∠DEB=90°， ∴∠DEB= a= ∠GEB， 即DE平分∠GEB， 故②正确； 18 ∵EF⊥CD，AB∥CD， ∴∠AEF=90°， ∴∠AEC+∠CEF=90°， ∴∠CEF= a, ∵∠GED=∠GEB-∠DEB= a, ∴∠CEF=∠GED， 故③正确； ∵∠FED=90°-∠BED=90°- a, 19 ∠BEC=180°-∠AEC=90°+ a, ∴∠FED+∠BEC=180°， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：C． 20 9.如图是“大润发”超市里的购物车的侧面示意图，扶手AB与车底CD平行，∠1=100°，∠2=52°，则∠3的度数是( ____ ) A.52° B.48° C.42° D.62° 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠3+∠2=∠1， ∵∠1=100°，∠2=52°，∴∠3=∠1-∠2=100°-52°=48°． 故选：B． B 21 10.如图，在空气中平行的两条入射光线，在水中的两条折射光线也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1=100°，则∠2的度数为( ____ ) A.60° B.70° C.80° D.100° 【解析】解：如图， ∵两条入射光线平行， ∴∠1=∠3=100°， C 22 ∵∠2+∠3=180°， ∴∠2=80°， 故选：C． 23 11.如图，将长方形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠CEF=54°，则∠EAB的度数是( ____ ) A.56° B.63° C.68° D.76° 【解析】解：由于折叠，∠DEA=∠FEA， ∵∠CEF=54°， ∴∠DEA=63°， ∵四边形ABCD是长方形， B 24 ∴AB∥CD， ∴∠EAB=∠DEA=63°， 故选：B． 25 12.两块平面镜OM和ON如图摆放，其夹角∠MON=26°，从OM上的点A处向平面镜ON射出一束光线AB，其反射光线BC恰与OM平行，则入射光线与反射光线形成的∠ABC=( ____ ) A.128° B.125° C.126° D.120° 【解析】解：∵BC∥OM， ∴∠CBN=∠MON=26°， A 26 由光的反射定律得：∠ABO=∠CBN=26°， ∴∠ABC=180°-26°-26°=128°． 故选：A． 27 13.如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若∠2=127°，则∠1的度数为( ____ ) A.33° B.37° C.47° D.53° 【解析】解：如图， B 28 ____ ∵直尺的两边互相平行，∠2=127° ∴∠4=∠2=127° ∴∠3=180°-∠4=53°， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠1=90°-∠3=37° 故选：B． 29 14.一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，与在原来的方向的垂直方向前进，那么两次拐弯的角度可能是( ____ ) A.第一次左拐60°，第二次右拐60° B.第一次左拐60°，第二次左拐120° C.第一次右拐60°，第二次左拐150° D.第一次右拐60°，第二次右拐150° 【解析】解：A．两次拐弯后方向与原方向相同，故不符合题意； B．两次拐弯后方向与原方向相反，故不符合题意； C．两次拐弯后，相当于在原方向向左拐90°，方向与原方向垂直，故符合题意； C 30 D．两次拐弯后，相当于在原方向向右拐210°，方向与原方向的反方向夹角30°，故不符合题意； 故选：C． 31 15.已知：如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，且∠C=35°，则∠D的度数是( ____ ) A.35° B.70° C.100° D.110° 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠ABC=∠C=35°， 又∵BC平分∠ABD， ∴∠DBC=∠ABC=35°，∴△BCD中，∠D=180°-35°-35°=110°， 故选：D． D 32 16.如图，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1， 第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2， 第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， …， 第n次操作，分别作∠ABEn-1和∠DCEn-1的平分线，交点为En． 若∠En=1度，那∠BEC等于　　度． _________ 33 【解析】解：如图①，过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠B=∠1，∠C=∠2， ∵∠BEC=∠1+∠2， ∴∠BEC=∠ABE+∠DCE； 如图②，∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1， ∴∠CE1B=∠ABE1+∠DCE1= ∠ABE+ ∠DCE= ∠BEC． 34 ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2C=∠ABE2+∠DCE2= ∠ABE1+ ∠DCE1= ∠CE1B= ∠BEC； 如图②，∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3C=∠ABE3+∠DCE3= ∠ABE2+ ∠DCE2= ∠CE2B= ∠BEC； … 以此类推，∠En= ∠BEC． ∴当∠En=1度时，∠BEC等于2n度． 故答案为：2n． 35 17.如图，已知直线l1∥l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上． (1)∠1、∠2、∠3之间的关系为 ____________ ； (2)如果点P在A、B两点之间运动时，∠1、∠2、∠3之间的关系为 ____________ ； (3)如果点P(点P和A、B不重合)在A、B两点外侧运动时，∠1、∠2、∠3之间关系为 ___________________________ ． 【解析】证明：(1)如图1，过点P作PQ∥l1， ∵PQ∥l1， ∠3=∠1+∠2 ∠3=∠1+∠2 ∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3 36 ∴∠1=∠4(两直线平行，内错角相等)， ∵PQ∥l1，l1∥l2(已知)， ∴PQ∥l2(平行于同一条直线的两直线平行)， ∴∠5=∠2(两直线平行，内错角相等)， ∵∠3=∠4+∠5， ∴∠3=∠1+∠2(等量代换)； 故答案为：∠3=∠1+∠2； (2)∠1、∠2、∠3之间的关系不发生变化； 故答案为：∠3=∠1+∠2； (3)∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 故答案为：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3． 37 18.如图，已知AB∥CD，BE、DE的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作∠ABE和∠CDE的平分线，交点为E1，第二次操作，分别作∠ABE1和∠CDE1的平分线，交点为E2，第三次操作，分别作∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3，…第n(n≥2)次操作，分别作∠ABEn-1和∠CDEn-1的平分线，交点为En，若∠En=α度，则∠BED=　　度． 38 【解析】解：如图，过E作EF∥AB， ________ ∵AB∥CD， ∴AB∥EF∥CD， ∴∠ABE=∠1，∠CDE=∠2， ∵∠BED=∠1+∠2， ∴∠BED=∠ABE+∠CDE； ∵∠ABE和∠CDE的平分线交点为E1 39 ∴∠DE1B=∠ABE1+∠CDE1= ∠ABE+ ∠CDE= ∠BED． ∵∠ABE1和∠DCE1的平分线交点为E2， ∴∠BE2D=∠ABE2+∠CDE2= ∠ABE1+ ∠CDE1= ∠DE1B= ∠BED； ∵∠ABE2和∠CDE2的平分线，交点为E3， ∴∠BE3D=∠ABE3+∠CDE3= ∠ABE2+ ∠CDE2= ∠DE2B= ∠BED； … 以此类推，∠En= ∠BED． ∴当∠En=α度时，∠BED等于(2nα)度．故答案为：2nα． 40 19.将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH=t°，∠FDM=2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边(边DE，DF)平行时，则所有满足条件的t的值为 __________ ． _________ 30或120 41 【解析】解：由题意得，∠HAC=∠BAH+∠BAC=t°+30°，∠FDM=2t°， (1)如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P， ①DE在MN上方时， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDM=∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA=∠HAC， 42 ∴∠FDM=∠HAC，即2t°=t°+30°， ∴t=30， ②DE在MN下方时，∠FDP=2t°-180°， ∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC， ∴AP∥DF， ∴∠FDP=∠MPA， ∵MN∥GH， ∴∠MPA=∠HAC， ∴∠FDP=∠HAC，即2t°-180°=t°+30°， ∴t=210(不符合题意，舍去)， (2)当BC∥DF时，延长AC交MN于点I， 43 ①DF在MN上方时，BC∥DF，如图， ___ 根据题意得：∠FDN=180°-2t°， ∵DF∥BC，AC⊥BC， ∴CI⊥DF， ∴∠FDN+∠MIC=90°， 44 即180°-2t°+t°+30°=90°， ∴t=120， ∴2t=240°＞180°，此时DF应该在MN下方，不符合题意，舍去； ②DF在MN下方时，如图， ___ 根据题意可知：∠FDN=2t°-180°， 45 ∵DF∥BC， ∴∠MIC=∠NDF， ∴∠NDF=∠AQI=t+30°-90°=t-60°， 即2t°-180°=t°-60°， ∴t=120， 综上所述：所有满足条件的t的值为30或120． 故答案为：30或120． 46 20.图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM=α(0°＜α＜90°)．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN=　　(用含a和n的代数式表示) __________ 47 【解析】解：由折叠的性质折叠n次可得∠RnBnRn+1= = 在四边形内有四边形的内角和为360°知：∠BRnN=360 =180 ∴∠ARnN=∠BRnN-∠Rn-1RnB=180°- - =180°- ． 故答案为：180°- ． 48 21.已知：点E在直线AB上，点F在直线CD上，AB∥CD． (1)如图1，连EF，EP平分∠AEF，FP平分∠CFE，求∠P的度数． (2)如图2，若∠EGF=160°，射线EH，FH分别在∠AEG，∠CFG的内部，且∠EHF=40°，当∠AEG=4∠AEH时，求 的值． (3)如图3，在(1)的条件下，在直线CD上有一动点M(点M不与点F重合)，EN平分∠MEF，若∠PEN=α(0°＜α＜90°)，请直接写出∠EMF= _______________ (结果用含α的式子表示)． 2α或180-2α 49 __________ 【解析】解：(1)如图1，过点P作GH∥AB， ___ 50 ∴∠EPH=∠AEP． ∵AB∥CD， ∴GH∥CD． ∴∠FPH=∠CFP． ∴∠EPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP．即：∠EPF=∠AEP+∠CFP， ∵EP、FP分别平分∠AEF和∠CEF， ∴∠AEF=2∠AEG，∠CEF=2∠CFG， ∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∴2∠AEG+2∠CFG=180°， ∴∠AEG+∠CFG=90°， 51 ∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=90°； (2)如图2，过点G，H作GK∥AB，HL∥AB， ____ ∵AB∥CD， ∴GK∥CD，HL∥CD， ∴∠AEH=∠EHL，∠CFH=∠LHF，∠AEG=∠EGK，∠CFG=∠FGK， ∵∠EGF=∠EGK+∠FGK=160°，∠EHF=∠EHL+∠LHF=40°， ∴∠EGF=4(∠EHL+∠LHF)， 52 ∴∠EGK+∠FGK=∠AEG+∠CFG=4(∠AEH+∠HFC)， ∵∠AEG=4∠AEH， ∴∠CFG=4∠HFC， ∴ = ； (3)如图3， ___ 由题意可知：EN平分∠MEF，FP平分∠CFE， ∴∠MEN=∠FEN，∠EFP=∠CFP， 53 ∵∠EPF=∠FEP+∠EFP=90°，∠PEN=α ∴∠PEN+∠FEN+∠EFP=α+∠FEN+∠EFP=α+∠MEN+∠CFP=90°， ∵∠ENM=∠FEN+∠EFN=∠FEN+∠EFP+∠CFP， 在△EMN中，∠EMN+∠ENM+∠MEN=180°， ∴∠EMN+∠FEN+∠EFP+∠CFP+∠MEN=180°， ∴∠EMN=180°-(∠MEN+∠CFP)-(∠FEN+∠EFP)， ∴∠EMF=∠EMN=180°-(90°-α)-(90°-α)=2α． 当M在F点右侧时，∠EMF=180-2α． 故答案为：2α或180-2α． 54 22.如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． (1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P在图(2)位置时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系； (3)若点P在图(3)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明； (4)若点P在C、D两点外侧运动时，请直接写出∠1、∠2、∠3之间的关系． 55 _________ ___ 56 【解析】解：(1)证明：过P作PQ∥l1∥l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： ∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2． (2)∠3=∠2-∠1； 证明：过P作直线PQ∥l1∥l2， 则：∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPF-∠QPE， ∴∠3=∠2-∠1． 57 ______ ______ 58 (3)∠3=360°-∠1-∠2． 证明：过P作PQ∥l1∥l2； 同(1)可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3=360°-∠1-∠2． (4)过P作PQ∥l1∥l2； ①当P在C点上方时， 同(2)可证：∠3=∠DFP-∠CEP； ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠DFP-∠CEP+∠2-∠1=0， 59 即∠3=∠1-∠2． ②当P在D点下方时， ∠3=∠2-∠1，解法同上． 综上可知：当P在C点上方时，∠3=∠1-∠2，当P在D点下方时，∠3=∠2-∠1． 60 23.已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． ____________ (1)如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC． (2)如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． (3)如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 61 【解析】解：(1)如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP， ∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP=60°+20°=80°； (2)∠AKC= ∠APC． 62 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK， ∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK+∠DCK= ∠BAP+ ∠DCP= (∠BAP+∠DCP)= ∠APC， ∴∠AKC= ∠APC； 63 (3)∠AKC= ∠APC． 理由：如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE， ∴∠AKC=∠AKE-∠CKE=∠BAK-∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC=∠BAP-∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK-∠DCK= ∠BAP- ∠DCP= (∠BAP-∠DCP)= ∠APC，∴∠AKC= ∠APC． 64 24.如图1，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC=2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M． ________ (1)直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： _____________________ ． (2)若∠BEF= ∠BAK，求∠AHE． ∠AHE=∠FAH+∠KEH 65 (3)如图2，在(2)的条件下，将△KHE绕着点E以每秒5°的速度逆时针旋转，旋转时间为t,当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，直接写出此时t的值． 【解析】解：(1)∵AB∥CD， ∴∠KEH=∠AFH， ∵∠AHE是△AHF的外角， ∴∠AHE=∠AFH+∠FAH， ∴∠AHE=∠FAH+∠KEH． 故答案为：∠AHE=∠FAH+∠KEH； (2)∵AB∥CD， 66 ∴∠BAK=∠MKE，∠ABE=∠BEC， ∵ ， ∴∠BAK=2∠BEF， ∵∠BEC=2∠BEF， ∴∠BAK=∠BEC， ∴∠BAK=∠ABE， ∴AK平分∠BAG， ∴∠BAK=∠GAK=∠ABE， ∵AG⊥BE， ∴∠AGB=90°， 67 ∴3∠BAK=90°， ∴∠BAK=∠ABE=∠GAK=30°， ∴ ， ∴∠CEF=45°， ∴∠CEF=∠AFE=45°， ∴∠AHE=∠AFE+∠BAK=75°． (3)①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P， 68 ____ ∵∠EKH=∠EPG=30°， ∴∠PEG=90°-∠EPG=60°， ∵∠GEN=90°-ENG=30°， ∴∠PEN=∠PEG-∠GEN=30°， ∴∠CEK=∠PEN=30°， ∴当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN， 69 ∴ 秒， ②当KH∥EG时， ____ ∴∠EKH=∠KEG=30°， ∴∠NEK=∠NEG+∠KEG=60°， ∴∠NEK=60°， ∴∠CEK=120°， ∴当△KHE绕点E旋转120°时，HK∥EG， 70 ∴ 秒， ③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时， ______ ∴∠CEK=150°， ∴当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN， ∴ 秒， ∴当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒． 71 ④当KE∥NG时， ____ ∵∠GEN=30°， ∴∠CEK=90°-∠GEN=60°． ∴当△KHE旋转60°时，KE∥NG． ∴ (秒)． ⑤当HE∥NG时， 72 _____ ∵∠GEN=30°，∠KEH=45°， ∴∠CEK=∠CEH+∠HEK=90°-∠GEN+∠HEK=105°． ∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG． ∴ (秒)． 当△KEH的其中一边与△ENG的某一边平行时t的值为6秒或24秒或30秒或12秒或21秒． 73 25.如图，直线AC∥BD，连接AB，直线AC，BD及线段AB把平面分成①，②，③，④四个部分，当动点P落在某个部分时，连接PA，PB，构成∠PAC，∠APB，∠PBD三个角．(规定：线上各点不属于任何部分且点P，A，B三点不共线) (1)当动点P落在第①部分时，求证：∠APB=∠PAC+∠PBD； (2)当动点P落在第②部分时，直接用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系； (3)当动点P落在第③部分时，用等式表示∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并写出动点P的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以证明． 74 __________ 【解析】解：(1)解法一：如图1延长BP交直线AC于点E． ∵AC∥BD， ∴∠PEA=∠PBD． ∵∠APB=∠PAE+∠PEA， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD； 75 ________ 解法二：如图2， 过点P作FP∥AC， ∴∠PAC=∠APF． ∵AC∥BD， ∴FP∥BD． ∴∠FPB=∠PBD． 76 ∴∠APB=∠APF+∠FPB． =∠PAC+∠PBD； 解法三：如图3， ∵AC∥BD， ∴∠CAB+∠ABD=180°， ∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°． 又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°， ∴∠APB=∠PAC+∠PBD． (2)不成立． (3)(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是： ∠PBD=∠PAC+∠APB． 77 (b)当动点P在射线BA上，结论是： ∠PBD=∠PAC+∠APB．_______ 或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°， ∠PAC=∠PBD(任写一个即可)． (c)当动点P在射线BA的左侧时， 结论是∠PAC=∠APB+∠PBD． 选择(a)， 78 证明：如图4，连接PA，连接PB交AC于M． ∵AC∥BD， ∴∠PMC=∠PBD． 又∵∠PMC=∠PAM+∠APM(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)， ∴∠PBD=∠PAC+∠APB． 选择(b)证明：如图5， ∵点P在射线BA上， ∴∠APB=0度． ∵AC∥BD， ∴∠PBD=∠PAC． 79 ∴∠PBD=∠PAC+∠APB， 或∠PAC=∠PBD+∠APB， 或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD． 选择(c)， 证明：如图6，连接PA，连接PB交AC于F， ∵AC∥BD， ∴∠PFA=∠PBD． ∵∠PAC=∠APF+∠PFA， ∴∠PAC=∠APB+∠PBD． 80 四．平行线的判定与性质 81 26.下列说法错误的是( ____ ) A.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B.在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 D.在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线 【解析】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，不符合题意； B、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，正确，不符合题意； C、两条直线被第三条直线所截，截得同位角不一定相等，错误， C 82 符合题意； D、在同一个平面内，不相交的两条直线是平行线，正确，不符合题意； 故选：C． 83 27.义乌市为了方便市民绿色行，出了如图①所示的某品牌共享单车，图②是其示意图，其中AB，CD都与地面l平行，∠BCD=62°，∠BAC=53°，当∠MAC为( ____ ) 度时，AM与CB平行． ________ A.62 B.65 B 84 C.75 D.115 【解析】解：∵AB，CD都与地面l平行， ∴AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴∠BAC+∠ACB+∠BCD=180°， ∵∠BCD=62°，∠BAC=53°， ∴∠ACB=65°， ∴当∠MAC=∠ACB=65°时，AM∥CB． 故选：B． 85 28.下列说法：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行；(2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(3)不相交的两条直线是平行线；(4)连接两点间的线段叫做两点间的距离，其中错误的个数是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解；(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； (2)同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D 86 原说法错误； (3)同一平面内，不相交的两条直线是平行线，原说法错误； (4)连接两点间的线段的长度叫做两点间的距离，原说法错误； ∴说法错误的有4个， 故选：D． 87 29.下列结论中，错误的是( ____ ) A.同位角相等，两直线平行 B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.同一平面内的两条直线不平行就相交 D.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【解析】解：A、同位角相等，两直线平行，正确，不符合题意， B、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意， C、同一平面内的两条直线不平行就相交，正确，不符合题意， D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，错误，符合题意，故选：D． D 88 30.如图，AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，M，N分别是BA，CD延长线上的点，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F．下列结论：①AB∥CD；②∠AEB+∠ADC=180°；③DE平分∠ADC；④∠F=135°，其中正确的有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， C 89 ∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠1=∠DEC， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠DEC+∠2=90°， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN=∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN=180°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， 90 ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1， ∴∠2=∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2=90°， ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF= ×270°=135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4=90°， 91 ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°， ∴∠F=180°-(∠FAD+∠FDA)=180-45°=135°，故④正确． 综上所述正确的有：①③④，共3个． 故选：C． 92 31.(1)已知：如图1，BE⊥DE，∠1=∠B，∠2=∠D，试确定AB与CD的位置关系，并说明理由． (2)若图形变化为如图2、图3所示，且满足∠1+∠2=90°，那么AB与CD还满足上述关系吗？若满足，选择一个图形进行证明． ______ 93 【解析】解：(1)过点E作EN∥AB， 则∠BEN=∠B，∵∠1=∠B， ∴∠BEN=∠1， ∵∠BEN+∠DEN=∠BED=90°， ∴∠1+∠2=90°， ∴∠2=∠DEN， ∵∠2=∠D， ∴∠D=∠DEN， ∴AB∥CD； (2)如答图2，过点E作EN∥AB， ∴∠BEN=∠B， 94 ∵∠B=∠1， ∴∠BEN=∠1， ∵∠BED=90°=∠BEN+∠DEN，∠1+∠2=90°， ∴∠DEN=∠2， ∵∠2=∠D， ∴EN∥CD， ∴AB∥CD． 95 32.将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起(其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°： (1)①若∠DCE=45°，则∠ACB的度数为 ______ ； ②若∠ACB=140°，求∠DCE的度数； (2)由(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由． (3)当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由)，若不存在，请说明理由． 135° 96 【解析】(1)①∵∠DCE=45°，∠ACD=90° ∴∠ACE=45° ∵∠BCE=90° ∴∠ACB=90°+45°=135° 故答案为：135°； ②∵∠ACB=140°，∠ECB=90° ∴∠ACE=140°-90°=50° ∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°； (2)猜想：∠ACB+∠DCE=180° 理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE 又∵∠ACB=∠ACE+90° 97 ∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE 即∠ACB+∠DCE=180°； (3)30°、45°、120°、135°、165°． 理由：当CB∥AD时，∠ACE=30°； 当EB∥AC时，∠ACE=45°； 当CE∥AD时，∠ACE=120°； 当EB∥CD时，∠ACE=135°； 当BE∥AD时，∠ACE=165°． 98 33.“成绵乐高铁”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒3度，灯B转动的速度是每秒2度，假定主道路是平行的，即PQ∥MN，且∠BAM：∠BAN=2：1． (1)填空：∠BAN= _____ ； (2)若灯B射线先转动15秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒，两灯的光束互相平行？ 60° 99 (3)如图2，若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，则在灯B射线到达BQ之前，A灯转动几秒时，∠ACB=120°． 【解析】解：(1)∵∠BAM+∠BAN=180°，∠BAM：∠BAN=2：1， ∴∠BAN=180°× =60°， 故答案为：60°； (2)设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行， ①如图1， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD=∠BDA， ∵AC∥BD， 100 ∴∠CAM=∠BDA， ∴∠CAM=∠PBD， ∴3t=30+2t, 解得 t=30； ____ ②如图2， ∵PQ∥MN， ∴∠PBD+∠BDA=180°， 101 ∵AC∥BD， ∴∠CAN=∠BDA ∴∠PBD+∠CAN=180° ∴2×(15+t)+(3t-180)=180， 解得  t=66， ____ 综上所述，当t=30秒或66秒时，两灯的光束互相平行； (3)设A灯转动t秒时， 102 根据题意可知：∠ACB=120°，∠CBP=t, 如图3， ____ ∵∠ACB=120°， ∴∠ACB=∠CAN+∠CBP=(180°-3t)+2t=120°， ∴t=60； 当t=60时，灯A射线与AN重合，灯B射线与BA重合，不符合题意，舍去， 103 如图4，当∠ACB=120°， ____ ∵∠ACB=∠MAC+∠QBC， ∴360°-3t+180°-2t=120°， ∴t=84， 综上所述：在灯B射线到达BQ之前，A灯转动84秒时，∠ACB=120°． 104 34.(1)问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC的度数． 小明想到一种方法，但是没有解答完： 如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°． ∴∠APE=180°-∠PAB=180°-130°=50°． ∵AB∥CD．∴PE∥CD． ………… 请你帮助小明完成剩余的解答． (2)问题迁移：请你依据小明的思路，解答下面的问题： 如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β． ①当点P在A、B两点之间时，∠CPD，∠α，∠β之间有何数量关系？ 105 请说明理由． ②当点P在A、B两点外侧时(点P与点O不重合)，请直接写出∠CPD，∠α，∠β之间的数量关系． _____________ 【解析】解：(1)剩余过程：∴∠CPE+∠PCD=180°， ∴∠CPE=180°-120°=60°， ∴∠APC=50°+60°=110°； 106 (2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下： 如图3，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β； ____ 107 (3)当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由： 如图4，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， ∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α； 108 ____ 当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由： 如图5，过P作PE∥AD交CD于E， ∵AD∥BC， ∴AD∥PE∥BC， ∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE， 109 ∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β． ____ 110 35.已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． (1)如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 ______________ ； (2)如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD=∠C； (3)如图3，在(2)问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF=180°，∠BFC=3∠DBE，求∠EBC的度数． _________ ∠A+∠C=90° 111 【解析】解：(1)如图1，AM与BC的交点记作点O， _________ ∵AM∥CN， ∴∠C=∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB=90°， ∴∠A+∠C=90°， 故答案为：∠A+∠C=90°； 112 (2)如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG=90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG=90°， ∴∠ABD=∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C=∠CBG， ∴∠ABD=∠C； (3)如图3，过点B作BG∥DM， 113 ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE， 由(2)可得∠ABD=∠CBG， ∴∠ABF=∠GBF， 设∠DBE=α，∠ABF=β，则 ∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=β=∠AFB，∠BFC=3∠DBE=3α， ∴∠AFC=3α+β， ∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°， ∴∠FCB=∠AFC=3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得 (2α+β)+3α+(3α+β)=180°，① 114 由AB⊥BC，可得 β+β+2α=90°，② 由①②联立方程组，解得α=15°， ∴∠ABE=15°， ∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°． 115 36.已知AB∥CD，点M在直线AB上，点N、Q在直线CD上，点P在直线AB、CD之间，∠AMP=∠PQN=α，PQ平分∠MPN． (1)如图①，求∠MPQ的度数(用含α的式子表示)； (2)如图②，过点Q作QE∥PN交PM的延长线于点E，过E作EF平分∠PEQ交PQ于点F．请你判断EF与PQ的位置关系，并说明理由； (3)如图③，在(2)的条件下，连接EN，若NE平分∠PNQ，请你判断∠NEF与∠AMP的数量关系，并说明理由． __________ 116 【解析】解：(1)如图①，过点P作PR∥AB， ____ ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PR， ∴∠AMP=∠MPR=α，∠PQN=∠RPQ=α， ∴∠MPQ=∠MPR+∠RPQ=2α； (2)如图②，EF⊥PQ，理由如下： 117 ____ ∵PQ平分∠MPN． ∴∠MPQ=∠NPQ=2α， ∵QE∥PN， ∴∠EQP=∠NPQ=2α， ∴∠EPQ=∠EQP=2α， ∵EF平分∠PEQ， ∴∠PEQ=2∠PEF=2∠QEF， 118 ∵∠EPQ+∠EQP+∠PEQ=180°， ∴2∠EPQ+2∠PEF=180°， ∴∠EPQ+∠PEF=90°， ∴∠PFE=180°-90°=90°， ∴EF⊥PQ； (3)如图③，∠NEF= ∠AMP，理由如下： ___ 119 由(2)可知：∠EQP=2α，∠EFQ=90°， ∴∠QEF=90°-2α， ∵∠PQN=α， ∴∠NQE=∠PQN+∠EQP=3α， ∵NE平分∠PNQ， ∴∠PNE=∠QNE， ∵QE∥PN， ∴∠QEN=∠PNE， ∴∠QNE=∠QEN， ∵∠NQE=3α， 120 ∴∠QNE= (180°-∠NQE)= (180°-3α)， ∴∠NEF=180°-∠QEF-∠NQE-∠QNE =180°-(90°-2α)-3α- (180°-3α) =180°-90°+2α-3α-90°+ α = α = ∠AMP． ∴∠NEF= ∠AMP． 121 五．三角形内角和定理 122 37.有若干个三角形，在所有的内角中，有6个是直角，有3个是钝角，24个是锐角，则其中有 ____ 个锐角三角形． 【解析】解：因为一个三角形中只能有一个直角或钝角， 所以由题可知，在原题中有6个直角三角形、3个钝角三角形， 这9个三角形将用去18个锐角，还有6个锐角，正好组成两个锐角三角形． 2 123 38.在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB交AB于E，D在AC上，且∠CBD=20°，则∠CED的度数是 _____ ． 【解析】解：∵∠ABC=100°，∠CBD=20°， ∴∠DBA=80°， ∴∠PBA=80°， ∴∠DBA=∠PBA， ∴BA是△CBD的外角平分线， 如图，作EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，EH⊥CB于H， 10° 124 ∵CE平分∠ACB，EF⊥AC，EH⊥CB， ∴EF=EH， 同理，EG=EH， ∴EF=EG， 又∵EF⊥AC，EG⊥BD， ∴DE平分∠BDA， ∵∠ACB=20°，∠CBD=20°，CE平分∠ACB， ∴∠ADB=40°，∠DCE=10°， ∴∠ADE= ∠ADB=20°， ∴∠CED=∠ADE-∠DCE=10°．故答案为：10°． 125 39.如图，在第1个△ABA1中，∠B=40°，∠BAA1=∠BA1A，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得在第2个△A1CA2中，∠A1CA2=∠A1A2C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得在第3个△A2DA3中，∠A2DA3=∠A2A3D；…，按此做法进行下去，第3个三角形中以A3为顶点的内角的度数为　　；第n个三角形中以An为顶点的底角的度数为　　． 【解析】解：∵在△ABA1中，∠B=40°，AB=A1B， 126 ∴∠BA1A= (180°-∠B)= (180°-40°)=70°， ∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角， ∴∠CA2A1= ∠BA1A= ×70°=35°； 同理可得，∠DA3A2= ×70°=17.5°，∠EA4A3= ×70°， 以此类推，第n个三角形的以An为顶点的底角的度数= ． 故答案为：17.5°， ． 127 40.如图，∠O=30°，任意裁剪的直角三角形纸板两条直角边所在直线与∠O的两边分别交于D、E两点． _______ (1)如图1，若直角顶点C在∠O的边上，则∠ADO+∠OEB= _____ 度； (2)如图2，若直角顶点C在∠O内部，求出∠ADO+∠OEB的度数； (3)如图3，如果直角顶点C在∠O外部，求出∠ADO+∠OEB的度数． 120 128 【解析】解：(1)∵∠ADB=90°， ∴∠ADO=90°-∠ODE， ∵∠OEB=∠O+∠ODE=30°+∠ODE， ∴∠ADO+∠OEB=90°-∠ODE+30°+∠ODE=120°． 故答案为：120°； (2)如图2，连接OC， ∵∠ADO=∠ACO+∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO， ∠ACE=90°，∠DOE=30°， ∴∠ADO+∠OEB=∠ACO+∠DOC+∠EOC+∠ECO， =(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC+∠DOC) =∠ACE+∠DOE 129 =90°+30°=120°； (3)如图3，连接OC， ∵∠ADO=∠ACO-∠DOC，∠OEB=∠EOC+∠ECO， ∠ACE=90°，∠DOE=30°， ∴∠ADO+∠OEB=∠ACO-∠DOC+∠EOC+∠ECO =(∠ACO+∠ECO)+(∠EOC-∠DOC) =∠ACE+∠DOE =90°+30° =120°． 130 41.如图，在△ABC中，内角平分线BP和外角平分线CP相交于点P，根据下列条件求∠P的度数． (1)若∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠P=　 　，若∠ABC+∠ACB=110°，则∠P=　 　； (2)若∠BAC=90°，则∠P=　 　； (3)从以上的计算中，你能发现∠P与∠BAC的关系是　 　； (4)证明第(3)题中你所猜想的结论． 【解析】(1)解：∵∠ACB=80°， ∴∠ACD=180°-80°=100°， 131 ∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠PBC= ∠ABC= ×50°=25°，∠PCD= ∠ACD= ×100°=50°， 在△PCD中，∠PBC+∠P=∠PCD， 即25°+∠P=50°， 解得∠P=25°； ∵∠ABC+∠ACB=110°， ∴∠A=180°-110°=70°， ∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD， 132 根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠A+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P， ∴∠A=2∠P， ∠P= ∠A= ×70°=35°； (2)解：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD， 根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠PCD=∠PBC+∠P， ∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P， 133 ∴∠BAC=2∠P， ∠P= ∠BAC， ∵∠BAC=90°， ∴∠P=45°； (3)由计算可知，∠P= ∠A； (4)证明：∵BP、CP分别为∠ABC、∠ACD的平分线， ∴∠PBC= ∠ABC，∠PCD= ∠ACD， 根据三角形的外角性质，∠ACD=∠A+∠ABC， ∠PCD=∠PBC+∠P， 134 ∴∠BAC+∠ABC=2(∠PBC+∠P)=2∠PBC+2∠P， ∴∠BAC=2∠P， ∠P= ∠BAC． 故答案为：(1)25°，35°；(2)45°；(3)∠P= ∠A． 135 六．三角形的外角性质 136 42.如图，∠CAD和∠CBD的平分线相交于点P．设∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d,用仅含其中2个字母的代数式来表示∠P的度数：　 　． 【解析】解：∵∠BFA=∠PAC+∠P，∠BFA=∠PBC+∠C， ∴∠PAC+∠P=∠PBC+∠C． ∵∠CAD、∠CBD、∠C、∠D的度数依次为a、b、c、d. ∴ a+∠P= b+c ①． 同理： b+∠P= a+d ②．①式+②式，得.2∠P=c+d,∴∠P= ． 故答案为： ． 137 43.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点，则AP的长为　 　． 【解析】解：作PD⊥AC于D，PH⊥AB于H，PE⊥CB于E，如图， 在Rt△ABC中，AB= =5， 设AD=x,BE=y, ∵P是△ABC的外角平分线AP、BP的交点， ∴PD=PH，PE=PH， ∴PD=PE， ∴四边形PECD为正方形， 138 ∴CD=CE，即3+x=4+y, ∴y=x-1， 易得AD=AH=x,BH=BE=y, ∴x+y=5， ∴x+x-1=5，解得x=3， ∴DP=DC=3+3=6， 在Rt△PAD中，PA= =3 ． 故答案为3 ． 139 44.如图，D是△ABC内一点，连接AD、BD、CD，P是∠BDC的角平分线的反向延长线上的一点，连接BP，∠ABP=2∠PBD，△ABC和△ACD的外角平分线相交于点Q，若∠Q=45°，∠BDC=4∠ABD，则∠P的度数为 ____ °． 【解析】解：如图， ____ 50 140 设PD的延长线交BC于E， 设∠PBD=α，则∠ABP=2α， ∴∠ABD=∠ABP+∠PBD=3α， ∴∠BDC=4∠ABD=12α， ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE= =6α， ∴∠P=∠BDE-∠PBD=6α-α=5α， 在△ACQ中， ∠QAC+∠ACQ=180°-∠Q=135°， ∵AQ平分∠FAC，CQ平分∠ACG， 141 ∴∠FAC=2∠QAC，∠ACG=2∠ACQ， ∴∠FAC+∠ACG=2(∠QAC+∠ACQ)=270°， ∴∠BAC+∠ACD=180°-∠FAC+180°-∠ACG=90°， ∵∠BDC=∠ABD+∠BAC+∠ACD， ∴12α=3α+90°， ∴α=10°， ∴∠P=5α=50°， 故答案为：50． 142 45.如图，P为△ABC中BC边的延长线上一点，∠A=48°，∠B=64°，则∠ACP= ______ ． 【解析】解：∵∠A=48°，∠B=64°， ∵∠ACP=∠A+∠B=48°+64°=112°， 故答案为：112° 112° 143 46.如图，在△ABC中，∠B，∠C的外角平分线相交于点O，若∠A=74°，则∠O= ____ 度． 【解析】解：∵∠A=74°， ∴∠ACB+∠ABC=180°-74°=106°， ∴∠BOC=180°- (360°-106°)=180°-127°=53°． 53 144 47.【推理证明】 (1)如图1，AB∥CD，求证：∠AEC=∠A+∠C ___ 小勇同学给出了如下证明，请在下面括号内填写上小勇推理的根据 证明：过点E作EF∥CD ∵EF∥CD∴∠2=∠C ( _________________________ ) ∵AB∥CD，EF∥CD∴AB∥EF ( ___________________________________ ) 两直线平行内错角相等 平行于同一条直线的两直线平行 145 ∴∠1=∠A ∵∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C(等量代换) 备注：小勇同学在证明过程中，先过点E作EF∥CD，是证明本题关键的一步，小勇同学作的EF这条线，叫做“辅助线”，通常用虚线表示，在几何证明过程中有时会用到． 【类比探究】 (2)在小学我们已知道“三角形内角和等于180°”这个结论，下面请作出合适的辅助线并用所学到的平行线的相关知识证明这个结论． 如图2，已知三角形ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°请写出证明过程(不写推理根据) 146 ___ 【综合运用】 请运用(1)(2)的经验和结论解答下列问题： 如图3，AB和CD交于点O，∠C=∠COA，∠CDB=∠BOD，∠CAB的平分线和∠CDB的平分线交于点P，若∠C+∠P+∠B=165°，直接写出∠C的度数 _____ ． 70° 147 __ 【解析】解：【推理证明】 (1)证明：过点E作EF∥CD， ∵EF∥CD， ∴∠2=∠C (两直线平行内错角相等)， ∵AB∥CD，EF∥CD， 148 ∴AB∥EF (平行于同一条直线的两直线平行)， ∴∠1=∠A． ∵∠AEC=∠1+∠2， ∴∠AEC=∠A+∠C(等量代换)， 故答案为：两直线平行内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行； 【类比探究】 (2)证明：过A点作AM∥BC， ___ 149 ∴∠MAB=∠B，∠BAC+∠MAB+∠C=∠MAC+∠C=180°， ∴∠BAC+∠B+∠C=180°； (3)【综合运用】 解：∵∠C=∠COA，∠CDB=∠BOD，∠COA=∠BOD， ∴∠C=∠CDB， ∴AC∥BD， ∴∠CAO=∠B， ∵∠CAB的平分线和∠CDB的平分线交于点P， ∴∠CAO=2∠PAO，∠BDO=2∠BDP， ∵∠PAO+∠P=∠BDP+∠B， ∴2∠PAO+2∠P=2∠BDP+2∠B， 150 ∴∠CAO+2∠P=∠BDC+2∠B， ∴∠B+2∠P=∠C+2∠B，即∠C+∠B=2∠P， ∵∠C+∠P+∠B=165°， ∴3∠P=165°， 解得∠P=55°， ∴∠B+∠C=110°，即∠A+∠CAO=110°， ∵∠C+∠CAO+∠AOC=180°， ∴∠AOC=70°， ∴∠C=70°． 故答案为：70°． 151 七．命题与定理 152 48.已知：三条不同的直线a,b,c在同一平面内，①a∥b；②a⊥c；③b⊥c；④a⊥b. 请你从①②③④中选择两个作为题设，一个作为结论，用“如果……那么……”的形式，写出满足下列条件的命题． (1)写出一个真命题，并证明它的正确性； (2)写出一个假命题，并举出反例． 【解析】解：(1)如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b； 理由：如图， 153 ___ ∵a⊥c、b⊥c, ∴∠1=90°，∠2=90°， ∴∠1=∠2， ∴a∥b. (2)如果a⊥c、b⊥c、那么a⊥b； 反例：见上图，如果a⊥c、b⊥c、那么a∥b. 154 八．推理与论证 155 49.“并字横”想必大家都应该玩过，两名玩家在3×3的横盘上轮流落子，先将自己的3枚棋子连成一线的玩家获胜，在棋盘摆放确定之后，一共有8种可能的胜利方法，如图： _____ 考虑两名玩家在4×4×4的立方体上轮流落子的“立体并字俱”， 156 先将自己4枚棋子连成一线的玩家获胜，那么在立方体摆放确定之后，“立体并字填”一共有 ____ 种胜利方法． 【解析】解：分三种情形：①如图1中，4棵同颜色的棋在同一个桩柱上时，有16种情形． 76 157 ___ ②如图2中，4棵同颜色的棋在同一个层面上，有16+16+8=40种情形． 158 ___ ③如图3中，4棵同颜色的棋在不同的桩柱上(即对角线)，有20种情形． 159 ___ 综上所述，共有16+40+20=76(种) 160 50.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，不同的种植方法共有 ____ 种． ________________ 【解析】解：第一块田有3种种植方法，第二、三、四、五块田均有2种种植方法， 因此共有3×2×2×2×2=48种种植方法； 其中，有2×3=6种是只种两种作物的种植方法， 因此所求的种植方法有48-6=42种． 故答案为：42． 42 161 $$