第7章 平行线的证明 基础题过关检测【5个考点50题专练】2024—2025学年北师大版数学八年级上册

第7章 平行线的证明 基础题过关检测 【5个考点50题专练】 2024−2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．平行线的判定 二．平行线的性质 三．平行线的判定与性质 四．三角形内角和定理 五．命题与定理 2 一．平行线的判定 3 1.下列图形中，由∠1=∠2能得到AB∥CD的是( ____ ) A.___ B.____ C.___ D.___ B 4 【解析】解：A、∠1和∠2互补时，可得到AB∥CD，故此选项错误； B、∠1=∠2，根据内错角相等两直线平行可得AB∥CD，故此选项正确； C、∠1=∠2，根据内错角相等两直线平行可得AC∥BD，故此选项错误； D、∠1和∠2互补时，可得到AD∥BC，故此选项错误； 故选：B． 5 2.下列说法正确的是( ____ ) A.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C.垂线段就是点到直线的距离 D.直线a,b,c在同一平面内，若a⊥b,c⊥b,则a⊥c 【解析】解：在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故A不符合题意； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， 故B符合题意； B 6 直线外一点到这条直线的垂线段的长度就是这点到这条直线的距离， 故C不符合题意； 直线a,b,c在同一平面内，若a⊥b,c⊥b,则a∥c, 故D不符合题意； 故选：B． 7 3.下列说法中，正确的是( ____ ) A.从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离 B.同一平面内，若a⊥b,a⊥c,则b⊥c C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【解析】解：A、从直线外一点到这条直线的垂线段的长，叫做这个点到这条直线的距离，故选项错误，不符合题意； B、同一平面内，若a⊥b,a⊥c,则b∥c,故选项错误，不符合题意，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项正确， C 8 符合题意； D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 9 4.如图，将木条a,b与c钉在一起，∠1=80°，∠2=50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是( ____ ) A.25° B.30° C.35° D.40° 【解析】解：要使木条a与b平行，则旋转后∠1=∠2=50°， ∴木条a旋转的度数至少是80°-50°=30°， 故选：B． B 10 5.《七彩云南》整合少数民族传统艺术表演，是七彩云南欢乐世界的王牌演艺节目．在展演中，舞台上的灯光由灯带上位于点A和点C的两盏激光灯控制．如图，光线AB与灯带AC的夹角∠A=42°，当光线CB'与灯带AC的夹角∠ACB'= __________ °时，CB'∥AB． 【解析】解：当∠ACB′=138°时，CB'∥AB，理由如下： ∵∠ACB′=138°，∠A=42°， ∴∠ACB′+∠A=180°， ∴CB'∥AB，当CB′在AC的左侧时，∠ACB′=42°时，CB'∥AB， 故答案为：138或42． 138或42 11 6.如图，在四边形ABCD中，点F在AD的延长线上，点E在AB的延长线上，如果添加一个条件，使AB∥DC，那么可添加的条件为 ____________________________ (写出一个即可)． 【解析】解：当∠FDC=∠A时，由同位角相等，两直线平行得AB∥DC； 当∠ADC+∠A=180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥DC； 当∠C+∠ABC=180°时，由同旁内角互补，两直线平行得AB∥DC； 故答案为：∠FDC=∠A(答案不唯一)． ∠FDC=∠A(答案不唯一)． 12 7.如图所示，已知BE⊥MN，垂足为B，DF⊥MN，垂足为D，∠1=∠2．试说明直线AB与CD平行． 【解析】解：∵BE⊥MN，DF⊥MN(已知)， ∴∠MBE=90°，∠MDF=90°(垂直定义) 即∠ABM+∠1=90°，∠CDM+∠2=90°， 又∵∠1=∠2(已知)， ∴∠ABM=∠CDM(等角的余角相等)， ∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)． 13 二．平行线的性质 14 8.两个直角三角板如图摆放，其中∠BAC=∠EDF=90°，∠DEF=45°，∠C=30°．若AB∥EF，则∠DEB的度数为( ____ ) A.82.5° B.75° C.67.5° D.60° 【解析】解：∵AB∥EF， ∴∠BDE=∠DEF=45°， ∵∠B=60°，∴∠DEB=180°-60°-45°=75°． 故选：B． B 15 9.如图，三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上．若∠1=42°，则∠2的度数是( ____ ) A.42° B.48° C.58° D.84° 【解析】解：如图， _____ B 16 ∵∠1+∠3=180°-90°=90°，∠1=42°， ∴∠3=90°-∠1=48°， ∵AB∥CD， ∴∠2=∠3=48°． 故选：B． 17 10.下列说法正确的是( ____ ) A.两条直线平行，同旁内角相等 B.过点A作直线l的垂线段AD，则垂线段AD是点A到直线l的距离 C.平面内，过一点有无数条直线与已知直线垂直 D.平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 【解析】解：A、两条直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，所以此选项不符合题意； B、过点A作直线l的垂线段AD，则垂线段AD的长度是点A到直线l的距离，故原说法错误，所以此选项不符合题意； C、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原说法错误 D 18 ，所以此选项不符合题意； D、平面内，过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故原说法正确，所以此选项符合题意； 故选：D． 19 11.如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁DE，使DE∥BC．若∠ABC=30°，则∠ADE应为( ____ ) 度． A.30° B.60° C.120° D.150° 【解析】解：∵DE∥BC． ∴∠ADE=∠ABC=30°．故选：A． A 20 12.如图，若AB∥CD，CE⊥AF，∠1=130°，则∠C的度数是( ____ ) A.30° B.40° C.50° D.60° 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠AFD=∠1=130°， ∵CE⊥AF， ∴∠CEF=90°，∴∠C=∠AFD-∠CEF=130°-90°=40°． 故选：B． B 21 13.如图，一条公路修到湖边时需绕道，第一次拐角∠B=120°，第二次拐角∠C=140°，为了保持公路AB与DE平行，则第三次拐角∠D的度数应为( ____ ) A.130° B.140° C.150° D.160° 【解析】解：如图，延长BC，ED交于点F， ∵AB∥EF， ∴∠F=∠B=120°， D 22 ∵∠BCD=140°， ∴∠DCF=40°， ∴∠CDE=∠F+∠DCF=120°+40°=160°， 故选：D． 23 14.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=42°，则∠2的度数为( ____ ) A.125° B.120° C.130° D.132° 【解析】解：_____ ∵EF∥GH， D 24 ∴∠FCD=∠2， ∵∠FCD=∠1+∠A，∠1=42°，∠A=90°， ∴∠2=∠FCD=132°， 故选：D． 25 15.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点D、C分别落在点D1、C1的位置，ED1的延长线交BC于点G．若∠EFG=68°，则∠BGE的度数为 ______ ． 【解析】解：∵AD∥BC，∠EFG=68°， ∴∠DEF=∠EFG=68°， 由折叠的性质可得：∠FEG=∠DEF=68°， ∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=68°+68°=136°， 故答案为：136°． 136° 26 16.如图，已知AB∥CD，若∠AEF=43°，∠EFG=25°，则∠DFG的度数为 _____ ． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠AEF=∠EFD=43°， ∵∠EFD=∠EFG+∠GFD=43°，且∠EFG=25°， ∴∠DFG=∠EFD-∠EFG=43°-25°=18°， 故答案为：18°． 18° 27 17.在同一平面内，∠A和∠B的两边分别互相平行，且∠A比∠B的3倍少20°，则∠B= _________ °． 【解析】解：设∠B=x°，则∠A=(3x-20)°． 如图1，∵AD∥BE， ∴∠A=∠1， ∵AC∥BF， ∴∠1=∠B， ∴∠A=∠B． ∴x=3x-20， ∴x=10； 10或50 28 ____ 如图2，∵AD∥BE， ∴∠A=∠1， ∵AC∥BF， ∴∠1+∠B=180°， ∴∠A+∠B=180°． ∴x+(3x-20)=180， ∴x=50． 29 ____ 故答案为：10或50． 30 18.如图，一块含有45°角的直角三角板的一个顶点恰好落在一把标准直尺的一边，若∠1=40°，则∠2的度数是 _____ ． 【解析】解：如图所示， _____ ∵∠1=40°，AB∥CD， ∴∠AEF=∠1=40°， ∵∠FEH=90°，∴∠2=180°-∠AEF-∠FEH=50°． 故答案为：50°． 50° 31 19.如图：已知直线AB∥CD， ，直线MB、ND交于点F，则 =　　． 【解析】解：如图，延长AB交DE于G，延长CD交BF于H， ___ 32 ∵AB∥CD， ∴∠CDG=∠AGE， ∵∠ABE是△BEG的外角， ∴∠E=∠ABE-∠AGE=∠ABE-∠CDE，① ∵∠ABM= ∠MBE，∠CDN= ∠NDE， ∴∠ABM= ∠ABE=∠CHB，∠CDN= ∠CDE=∠FDH， ∵∠CHB是△DFH的外角， ∴∠F=∠CHB-∠FDH= ∠ABE- ∠CDE= (∠ABE-∠CDE)，② 33 由①代入②，可得∠F= ∠E， 即 = ． 故答案为： ． 34 20.如图，纸片的边缘AB，CD互相平行，将纸片沿EF折叠，使得点B，D分别落在点B′，D′处．若∠1=80°，则∠2的度数是 _____ ． 【解析】解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠AEB′=80°， ∴∠BEB′=180°-∠AEB′=100°， 由折叠得： ∠2=∠FEB′= ∠BEB′=50°， 故答案为：50°． 50° 35 21.光线在不同介质中的传播速度不同，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，当∠1=45°，∠2=122°时，则图中∠6= _____ ，∠8= ______ ． 【解析】解：由题意可得： ___ 58° 135° 36 AB∥CD∥EF，AC∥BD，CE∥DF， ∵AB∥CD， ∴∠2+∠5=180°， ∵∠2=122°， ∴∠5=180°-∠2=58°， ∵AC∥BD， ∴∠6=∠5=58°， ∵CE∥DF，∠1=45°， ∴∠3=∠1=45°， ∵CD∥EF， ∴∠3+∠8=180°，∴∠8=180°-∠3=135°， 故答案为：58°，135°． 37 22.光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m,n表示一块玻璃的两个面，且m∥n.现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线．若∠1=18°，∠2=141°，则∠3的度数为 ______ ． 【解析】解：如图， ∵∠2=141°， ∴∠4=180°-∠2=39°， ∵m∥n, ∴∠3+∠1+∠4=180°， ∵∠1=18°，∴∠3=180°-∠1-∠4=123°， 故答案为：123°． 123° 38 23.______如图，已知直线l1∥l2，l3、l4和l1、l2分别交于点A、B、C、D，点P在直线l3或l4上且不与点A、B、C、D重合．记∠AEP=∠1，∠PFB=∠2，∠EPF=∠3． (1)若点P在图(1)位置时，求证：∠3=∠1+∠2； (2)若点P在图(2)位置时，写出∠1、∠2、∠3之间的关系并给予证明． 39 【解析】(1)证明：如图1中，过P作PQ∥l1， ∵l1∥l2， ∴PQ∥l1∥l2， ∴∠1=∠QPE、∠2=∠QPF； ∵∠3=∠QPE+∠QPF， ∴∠3=∠1+∠2． (2)解：结论：∠3+∠1+∠2=360°． 理由：如图2中，过P作PQ∥l1， ∵l1∥l2， ∴PQ∥l1∥l2， 同(1)可证得：∠3=∠CEP+∠DFP； 40 ∵∠CEP+∠1=180°，∠DFP+∠2=180°， ∴∠CEP+∠DFP+∠1+∠2=360°， 即∠3+∠1+∠2=360°． 41 24.小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知MN∥PQ． ___________ (1)如图①，小明将含45°角的直角三角板ABC中的点A落在直线PQ上，若∠BAQ=25°，则∠ADM的度数为 ______ ； (2)如图②，小明将含30°角的直角三角板DEF中的点D，F分别落在直线MN，PQ上，若DE平分∠MDF，则EF是否平分∠DFP？请说明理由． (3)小明将三角板ABC与三角板DEF按如图③所示方式摆放，点B与点F重合，求∠BCN的度数． 115° 42 【解析】解：(1)∵∠BAQ=25°，∠BAC=90°， ∴∠QAC=∠BAQ+∠BAC=25°+90°=115°， ∵MN∥PQ， ∴∠ADM=∠QAC=115° 故答案为：115°； (2)EF平分∠DFP，理由如下： ∵DE平分∠MDF，∠EDF=30°， ∴∠MDF=2∠EDF=60°， ∵MN∥PQ， ∴∠MDF=∠DFQ=60°， ∵∠EFD=60°， 43 ∴∠EFP=180°-60°-60°=60°， ∴∠EFP=∠EFD， 即EF平分∠DFP； (3)延长EB交MN于点G，如图所示： _____， 由题可得：∠DBE=60°，∠ABC=45°，∠DEG=90°， ∴∠CBE=∠ABC+∠DBE=105°， ∴∠CBG=180°-105°=75°， ∵MN∥PQ， 44 ∴∠MGE+∠DEG=180°， ∴∠MGE=180°-∠DEB=90°， ∴∠BCG=180°-∠CBG-∠MGE=180°-75°-90°=15°， 即∠BCN=15°． 45 25.【问题初探】 (1)课堂上，李老师提出问题：如图1，AB∥CD，点F是AB上的点，点G是CD上的点，点E是AB和CD之间的一点，连接EF、EG． 求证：∠AFE+∠CGE=∠FEG； _________ 请你利用图2的辅助线，证明这个问题； 【类比分析】 (2)如图3，AB∥CD，点E、点F分别是AB、CD上的点， 46 点K和点G位于直线AB和CD之间，射线EK平分∠AEG，射线FG平分∠DFK，射线FG和EK相交于点H．探究∠EKF，∠EGF，和∠H三个角之间的数量关系： 【学以致用】 (3)如图4，直线m∥n,点B、F在直线m上，点E、C在直线n上，连接EF、BC，作∠CBF和∠CEF的平分线交于点A，若∠EDC=α，求∠A的度数．(用含α的式子表示)(三角形内角和180°) 【解析】证明：(1)如图2，过点E作EH∥AB，则有AB∥EH∥CD， ∴∠AFE=∠FEH，∠CGE=∠HEG， ∴∠AFE+∠CGE=∠FEH+∠HEG， 47 即∠AFE+∠CGE=∠FEG． (2)设∠AEH=α，∠DFH=β，如下图所示： ___ ∵FG、EK分别平分∠AEG、∠DFK， ∴∠AEH=∠GEH=α，∠AEG=2∠AEH=2α， ∠DFH=∠KFH=β，∠DFK=2∠DFG=2β， ∵AB∥CD， 由(1)可知：∠EKF=∠AEH+∠DFK=α+2β，∠EGF=∠AEG+∠DFH=2α+β， 48 ∠H=∠AEH+∠DFH=α+β， ∴∠EKF+∠EGF=α+2β+2α+β=3(α+β)， ∴∠EKF+∠EGF=3∠H． (3)过点A作AQ∥m,如下图所示： __ ∵∠EDC=α， ∴∠DCE+∠DEC=180°-α， ∵m∥n, ∴∠DCE=∠DBF， 49 ∵BA，EA分别是∠FBC和∠FEC的角平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∵AQ∥m∥n, 由(1)知， ． 50 26.如图，MN∥PQ，将两块直角三角尺(一块含30°，一块含45°)按如下方式进行摆放，恰好满足∠MAE=∠CBQ． (1)若∠NAC=18°，求∠CBQ的度数． (2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由． 【解析】解：(1)∵∠NAC=18°，∠BAC=45°， ∴∠NAB=45°+18°=63°． ∵MN∥PQ， ∴∠ABQ=180°-∠NAB=180°-63°=117°， ∴∠CBQ=∠ABQ-∠ABC=117°-90°=27°； 51 (2)AB∥DE． 理由：∵MN∥PQ， ∴∠MAB=∠ABQ． ∵∠MAE=∠CBQ， ∴∠MAB-∠MAE=∠ABQ-∠CBQ，即∠EAB=∠ABC=90°． ∵∠AED=90°， ∴∠EAB+∠AED=180°， ∴AB∥DE． 52 27.综合与实践： 【问题情境】(1)如图①，∠AOB为平角，OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线，求∠DOE的度数，并写出∠COE的余角； 【拓展提升】(2)如图②，∠AOB=α，射线OC是∠AOB内部任一射线，射线OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC，则∠MON的大小为 　　(用含字母α的代数式表示)； 【综合应用】(3)如图③，AM∥BN，∠A=78°，点P是射线AM上一动点(与点A不重合)，BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN，分别交射线AM于点C，D，求∠ACB与∠ADB的差． 53 _________ 【解析】解：(1)∵∠AOB为平角． ．∠AOC+∠BOC=180°， ∵OD，OE分别是∠AOC和∠BOC的平分线， ，∠COD=∠AOD， ∴∠DOF=90°，∠COF+∠AOD=90°， ∴∠COE的余角为：∠AOD，∠COD； 54 (2)∵∠AOB=α， ∴∠AOC+∠BOC=α， ∵射线OM、ON分别平分∠AOC、∠BOC， ∴ ， 即 ； 故答案为： ； (3)∵AM∥BN，∠A=78°， ∴∠ABN=180°-∠A=102°， BC，BD分别平分∠ABP，∠PBN． 55 由(2)河可得： ， ∵∠ACB+∠BCD=180°，∠BCD+∠CDB+∠CBD=180°， ∴∠ACB-∠ADB=∠CBD=51°． 56 三．平行线的判定与性质 57 28.下列说法正确的是( ____ ) A.相等的角是对顶角 B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C.同位角相等 D.若直线a∥b,c∥b,则a∥c 【解析】解：相等的角不一定是对顶角， 故A错误，不符合题意； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 故B错误，不符合题意； 两直线平行，同位角相等， D 58 故C错误，不符合题意； 若直线a∥b,c∥b,则a∥c, 故D正确，符合题意； 故选：D． 59 29.如图，已知∠1=∠2，∠3=105°，∠4等于( ____ ) ___ A.65° B.75° C.85° D.90° 【解析】解：如图， B 60 ___ ∵∠1=∠2，∠5=∠2， ∴∠1=∠5， ∴a∥b, ∴∠3=∠6=105°， ∴∠4=180°-∠6=75°， 故选：B． 61 30.如图，∠1=∠2，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAB=3：2，则∠D的度数是( ____ ) A.108° B.120° C.112° D.140° 【解析】解：∵AC平分∠DAB， ∴∠1=∠CAB， ∵∠1=∠2， ∴∠CAB=∠2， A 62 ∴DC∥AB， ∴∠D+∠DAB=180°， 又∵∠D：∠DAB=3：2， ∴∠D=180°× =108°， 故选：A． 63 31.如图，已知直线AB，CD被EF所截，EG是∠AEF的角平分线，若∠1=∠2，∠2+∠4=129°，则∠3= _____ ． 【解析】解：∵∠1=∠2， ∴AB∥CD， ∴∠3=∠4，∠AEF=∠2， ∵EG是∠AEF的角平分线， ∴∠AEF=∠2=2∠4， ∵∠2+∠4=129°， ∴∠4=43°， ∴∠3=43°，故答案为：43°． 43° 64 32.已知AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，点G为平面内一点，连接EG，FG．当点G在AB上方时，且∠EGF=90°． (1)如图1，求证：∠BEG-∠DFG=90°； (2)如图2，过点E作直线HK交直线CD于K，且∠HEG与∠BEG互补，∠EKD的平分线与直线GE交于点M，请你判断FG与KM的位置关系，并说明理由； (3)在(2)的条件下，连接GK，交AB于点N，连接NF，∠EGK-∠EKG=10°，3∠NFK=13∠EGK，∠FNK=80°，求∠ 65 GFN的度数． 【解析】(1)证明：设AB与FG相交于点H， ____ ∵AB∥CD， ∴∠DFG=∠EHG， ∵∠GEB为△EHG的外角， ∴∠GEB=∠EGF+∠EHG， ∴∠GEB=∠EGF+∠DFG， 66 ∴∠GEB-∠EHG=∠EGF=90°； (2)解：FG∥KM，理由如下： 设∠HEG=α，GF交AB于点O， ____ ∵∠HEG与∠GEB互补， ∴∠HEG+∠GEB=180°， ∵∠AEG+∠GEB=180°， ∴∠AEG=∠HEG=α， ∵∠EDF=90°， 67 ∴∠GNE=90°-α， ∵AB∥CD， ∴∠GFD=∠GOE=90°-α， ∵∠HEO=∠AEG+∠HEG=2α， ∴∠HKC=2α， ∴∠HKD=180°-2α， ∵直线MK平分∠EKD， ∴ ， ∵∠MKD=∠GFK， ∴FG∥KM； 68 (3)解：如图， ____ ∵EG平分∠HEA， ∴设∠HEA=2α，∠HEG=∠GEA=α， ∴∠AEK=180°-2α， ∴∠GEK=∠GEA+∠AEK=180°-α， 在△GEK中，∠EGK+∠EKG+∠GEK=180°， ∴∠EGK+∠EKG=180°-∠GEK=180°-(180°-α)=α， 又∵∠EGK-∠EKG=10°， 69 ∴ ， ∵3∠NFK=13∠EGK， ∴ ， ∵AB∥CD， ∴∠HKF=∠HEA=2α， ∴ ， 又∵∠FNK=80°， 在△FNK中，∠NFK+∠NKF+∠FNK=180°， ∴ 70 ， 解得α=20°， ∴ ， ∴∠GNF=180°-∠FNK=180°-80°=100°， ∴在△GFN中， ∠GFN=180°-∠GNF-∠FGN=180°-75°-100°=5°， ∴∠GFN的度数为5°． 71 33.综合与探究 【提出问题】(1)如图1，已知AB∥CD，线段EF，EC，DH分别与AB交于点A，G，B，∠FAG=∠D，求证：EF∥DH． 【深入探究】(2)如图2，点D在AE上，AB∥CD，AF∥DH，AF平分∠GAE，∠ADC=64°，求∠ABH的度数． 【拓展探究】(3)如图3，AB∥CD，GD∥EF，试探究∠AGD，∠CEF和∠ECD有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由． 72 ________ 【解析】(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠ABH=∠D． ∵∠FAB=∠D， ∴∠FAG=∠ABH， ∴EF∥DH； (2)解：∵AB∥CD， 73 ∴∠ADC=∠BAD， ∵∠ADC=64°， ∴∠BAD=∠ADC=64°， ∴∠GAD=180°-∠BAD=180°-64°=116°． ∵AF平∠GAE， ∴ ． ∵AF∥DH， ∴∠GBD=∠GAF=58°， ∴∠ABH=180°-∠GBD=180°-58°=122°； (3)解：∠AGD=∠CEF+∠ECD． 74 理由：如图，过点E作EN∥AB． ____ ∵AB∥CD， ∴EN∥CD，∠NEF=∠ABE， ∴∠NEA+∠ACD=180°， ∴∠NEF+∠CEF+∠ECD=180°． ∵GD∥EF， ∴∠BGD=∠ABE， ∴∠BGD+∠CEF+∠ECD=180°，∴180°∠AGD+∠CEF+∠ECD=180°，∴∠AGD=∠CEF+∠ECD． 75 34.如图，在四边形ABCD中，点E在CD的延长线上，连结BE，若∠ABE=∠E，∠A=∠C，则AD∥BC，请说明理由． 解：AD平行BC的理由如下： ∵∠ABE=∠E( _____ )， ∴ ________ ( ___________________________ )， ∴ ____ +∠ADC=180° ∵∠A= ____ ， ∴ ____ +∠ADC=180° ∴AD∥BC． 【解析】解：AD平行BC的理由如下： 已知 AB∥CE 内错角相等，两直线平行 ∠A ∠C ∠C 76 ∵∠ABE=∠E(已知)， ∴AB∥CE(内错角相等，两直线平行)， ∴∠A+∠ADC=180° ∵∠A=∠C， ∴∠C+∠ADC=180° ∴AD∥BC， 故答案为：已知、AB∥CE、内错角相等，两直线平行、∠A、∠C、∠C． 77 35.如图，已知∠1+∠2=180°，且EF∥BC． ____ (1)判断∠3与∠C的数量关系，并说明理由； (2)若EF平分∠AFD，∠C=34°，求∠ABC的度数． 【解析】解：(1)∠3=∠C． 理由如下： ∵∠1+∠2=180° 78 又∵∠AED+∠2=180° ∴∠AED=∠1 ∴DF∥AC ∴∠3=∠AEF ∵EF∥BC ∴∠C=∠AEF ∴∠3=∠C． (2)∵∠C=34° ∴∠3=∠C=34° ∵EF平分∠AFD ∴∠3=∠AFE=34°∵EF∥BC ∴∠ABC=∠AFE=34°． 79 36.完成下面的说理过程： 已知：如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．试说明：AB∥CD． 解：∵DE平分∠BDC(已知)， ∴∠BDC=2∠1 __________________ ∵BE平分∠ABD(已知)， ∴∠ABD= _____ (角平分线的定义)， ∴∠BDC+∠ABD=2∠2+2∠1=2(∠1+∠2)(等量代换)． 又∵∠1+∠2=90°(已知)， ∴∠ABD+∠BDC= _____ °(等量代换)， 角平分线的定义 2∠2 180 80 ∴AB∥CD _____________________________ 【解析】解：∵DE平分∠BDC(已知)， ∴∠BDC=2∠1 (角平分线的定义)． ∵BE平分∠ABD(已知)， ∴∠ABD=2∠2(角的平分线的定义)． ∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)(等式的性质)． ∵∠1+∠2=90°(已知)， ∴∠ABD+∠BDC=180° (等量代换)． ∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)． 故答案为：角平分线的定义；2∠2；180；同旁内角互补，两直线平行． 同旁内角互补，两直线平行 81 37.已知：如图，∠ABD=100°，且BC平分∠ABD，∠1=50°． (1)求证：AB∥CD． (2)求证：∠2的度数． 【解析】(1)证明：∵∠ABD=100°，且BC平分∠ABD， ∴ ， ∵∠1=50°， ∴∠1=∠ABC， ∴AB∥CD； (2)解：∵∠ABD=100°，AB∥CD，∴∠BDC=180°-∠ABD=80°， ∴∠2=∠BDC=80°． 82 38.如图，EF⊥BC，AB∥DG，∠1=∠2．AD和BC是什么位置关系，请说明理由．(请根据下面的解答过程，在横线上补全过程及理由) 解：AD⊥BC．理由如下： ∵AB∥DG， ∴∠2=∠3( ___________________________ )， ∵∠1=∠2， ∴ ____ = ____ (等量代换)， ∴EF∥AD( ___________________________ )， ∴∠ADB=∠EFB． ∵EF⊥BC， 两直线平行，内错角相等 ∠1 ∠3 同位角相等，两直线平行 83 ∴∠EFB=90°( _____________ )， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC． 【解析】解：AD⊥BC．理由如下： ∵AB∥DG， ∴∠2=∠3(两直线平行，内错角相等)， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3(等量代换)， ∴EF∥AD(同位角相等，两直线平行)， ∴∠ADB=∠EFB， 垂直的定义 84 ∵EF⊥BC， ∴∠EFB=90°(垂直的定义)， ∴∠ADB=90°， ∴AD⊥BC， 故答案为：两直线平行，内错角相等；∠1；∠3；同位角相等，两直线平行；垂直的定义． 85 39.如图所示，已知：AB⊥BF，∠CDF=90°，∠1=∠2，求证：∠3=∠E． 【解析】证明：∵AB⊥BF，∠CDF=90°， ∴∠ABD=∠CDF=90°， ∴AB∥CD， ∴∠1=∠DGF， ∵∠1=∠2， ∴AB∥EF， ∴CD∥EF， ∴∠3=∠E． 86 40.完成下面推理填空： 如图，E、F分别在AB和CD上，∠1=∠D，∠2+∠C=90°，AF⊥CE于G，求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE， ∴∠CGF=90°． ∵∠1=∠D(已知)， ∴ ____ ∥ ____ ( ___________________________ )． ∴∠4=∠CGF=90°( ___________________________ )． ∵∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°． ∵∠2+∠C=90°， AF DE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 87 ∴∠C=∠3( __________ )． ∴AB∥CD．( ___________________________ )． 【解析】解：∵AF⊥CE， ∴∠CGF=90°． ∵∠1=∠D(已知)， ∴AF∥DE(同位角相等，两直线平行)． ∴∠4=∠CGF=90°(两直线平行，同位角相等)． 又∵∠2+∠3+∠4=180°， ∴∠2+∠3=90°． ∵∠2+∠C=90°， 等量代换 内错角相等，两直线平行 88 ∴∠C=∠3(等量代换)． ∴AB∥CD(内错角相等，两直线平行)． 故答案为：AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 89 四．三角形内角和定理 90 41.如图，平面镜MN放在水平面AB上，光线CD，CE照射到镜面MN上，反射光线分别为DF，EG．若∠CDF=70°，∠CEG=100°，则∠DCE的度数为( ____ ) A.10° B.15° C.20° D.25° 【解析】解：∵∠CDM=∠FDE，∠CDM+∠CDF+∠FDE=180°，∠CDF=70°， ∴∠CDM=∠FDE= ×(180°-70°)=55°， B 91 ∴∠CDE=∠CDF+∠FDE=125°， ∵∠CEM=∠GEN，∠CEM+∠CEG+∠GEN=180°，∠CEG=100°， ∴∠CEM=∠GEN= ×(180°-100°)=40°， ∵∠DCE+∠CDE+∠CEM=180°， ∴∠DCE=15°， 故选：B． 92 42.将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，直角边BC与直尺的一边重合，点E在AC上，∠ABC=∠D=90°，∠A=30°，∠DEC=45°，则∠1的度数为( ____ ) A.75° B.70° C.65° D.60° 【解析】解：在图中标记∠2，如图所示. ∵∠ACB=180°-90°-30°=60°，∠ A 93 DCE=180°-90°-45°=45°， ∴∠2=180°-∠ACB-∠DCE=180°-60°-45°=75°． ∵直尺的对边平行， ∴∠1=∠2=75°． 故选：A． 94 43.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BE平分∠ABC，如果DC∥BE，那么∠BCD= ____ °． 【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°， ∴∠ABC=180°-90°-30°=60°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC= ABC=30°， ∵DC∥BE， ∴∠BCD=∠EBC=30°． 故答案为：30． 30 95 五．命题与定理 96 44.下列命题中，是真命题的是( ____ ) A.同位角相等 B.0没有相反数 C.若a2=b2，则a=b D.等角的余角相等 【解析】解：A．两直线平行，同位角相等，故选项A是假命题，不符合题意； B．0的相反数是0，故选项B是假命题，不符合题意； C．若a2=b2，则a=±b,故选项C是假命题，不符合题意； D．等角的余角相等，是真命题，符合题意；故选：D． D 97 45.已知命题A：“若a为实数，则 ”在下列选项中，可以作为“命题A是假命题”的反例是( ____ ) A.a=-1 B.a=0 C. D.a=2 【解析】解：当a≥0时， ，当a＜0时， ； ∵a=-1＜0，故选项A不符合题意， ∵a=0，故选项B不符合题意， D 98 ∵ ，故选项C不符合题意， ∵a=2＞0，故选项D符合题意， 故选：D． 99 46.下列命题是假命题的是( ____ ) A.对顶角相等 B.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C.同位角相等 D.同旁内角互补，两直线平行 【解析】解：A、对顶角相等，正确，为真命题； B、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确，为真命题； C、两直线平行，同位角相等，故原命题为假命题； D、同旁内角互补，两直线平行，正确，为真命题；故选：C． C 100 47.下列句子中是假命题的是( ____ ) A.同角的余角相等 B.对顶角相等 C.a2≥0(a是实数) D. (a是实数) 【解析】解：A、同角的余角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、对顶角相等，原命题是真命题，不符合题意； C、a2≥0(a是实数)，原命题是真命题，不符合题意； D、 (a是实数)，故原命题是假命题，符合题意； 故选：D． D 101 48.对顶角相等的逆命题是 ____ 命题(填写“真”或“假”)． 【解析】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，它是假命题． 故答案为：假． 假 102 49.命题“如果b∥a,c∥a,那么b∥c”，是 ____ (选填“真”或“假”)命题， 【解析】解：在同一平面内，两直线平行于同一直线，则这两直线互相平行， 所以命题“如果b∥a,c∥a,那么b∥c”，是真命题， 故答案为：真． 真 103 50.下列命题中，①对顶角相等；②如果x2=y2，那么x=y；③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角；④若a＞b,则|a|＞|b|．逆命题是真命题的有 ____ ．(填序号) 【解析】解：①对顶角相等的逆命题是：相等的角为对顶角，因为相等的角不一定是对顶角，所以原命题的逆命题是假命题，故①错误； ②如果x2=y2，那么x=y的逆命题是：如果x=y,那么x2=y2，是真命题，故②正确； ③如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角的逆命题是：如果两个角互补，那么这两个角的和为180°，是真命题，故③正确； ④若a＞b,则|a|＞|b|的逆命题是：如果|a|＞|b|，那么a＞b,是假命题 ②③ 104 ，故④错误； 综上分析可知，②③正确； 故答案为：②③． 105 $$