第4章 一次函数 培优突破练习 作业讲评课件 -2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第4章 一次函数 培优突破练习 【10个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．函数值 二．函数的图象 三．函数的表示方法 四．一次函数的性质 五．一次函数图象与系数的关系 六．一次函数图象上点的坐标特征 七．一次函数图象与几何变换 八．待定系数法求一次函数解析式 九．一次函数的应用 一十．一次函数综合题 2 一．函数值 3 1.若函数 ，当自变量取1，2，3，…，100个自然数时，函数值的和是( ____ ) A.374 B.390 C.765 D.578 【解析】解：令x2-100x+271=0， 解得：x1=50- ＜3，x2=50+ ＞97， ∴当x从3到97时，|x2-100x+271|=-(x2-100x+271)，则y=0； C 4 当x=1时， =172； 当x=2时， =75； 当x=98时， =75； 当x=99时， =172； 当x=100时， 5 =271； 故所求和为172+75+75+172+271=765． 故选：C． 6 2.设f(x)=x4-x3+x2-x+1，则关于f(x)的性质，正确的一项为( ____ ) A.对任意实数x,f(x)总是大于0 B.对任意实数x,f(x)总是小于0 C.当x＞0时，f(x)≤0 D.以上均不对 【解析】解：f(x)=x3(x-1)-(x-1)+x2 =(x-1)(x3-1)+x2 =(x-1)2(x2+x+1)+x2， ∵(x-1)2≥0，当且仅当x=1时等号成立； x2+x+1＞0， A 7 x2≥0，当且仅当x=0时等号成立； ∴f(x)＞0， 故选：A． 8 二．函数的图象 9 3.小雨利用几何画板探究函数y= 图象，在他输入一组a,b,c的值之后，得到了如图所示的函数图象，根据学习函数的经验，可以判断，小雨输入的参数值满足( ____ ) A.a＞0，b＞0，c=0 B.a＜0，b＞0，c=0 C.a＞0，b=0，c=0 D.a＜0，b=0，c＞0 【解析】设虚线为 x=m (显然，m＞0)，易知两条 B 10 由图中可知，当x＜m 时，y＞0，|x-c|＞0，所以 ＞0， 当x＞m 时，y＜0，|x-c|＞0，所以 ＜0，可得(x-b)在m的左右两侧时，符号是不同的，即b=m＞0； 当x＜b时，x-b＜0，而y＞0，所以a＜0显然另外一条分割线为x=0=c, 故选：B． 11 4.从甲地到乙地的铁路路程约为615千米，高铁速度为300千米/小时，直达；动车速度为200千米/小时，行驶180千米后，中途要停靠徐州10分钟，若动车先出发半小时，两车与甲地之间的距离y(千米)与动车行驶时间x(小时)之间的函数图象为( ____ ) A.___ B.___ A C.___ D.___ 12 【解析】解：由题可得，两车并非同时出发，故D选项错误； 高铁从甲地到乙地的时间为615÷300=2.05h, 动车从甲地到乙地的时间为615÷200+ ≈3.24h, ∵动车先出发半小时， ∴两车到达乙地的时间差为3.24-2.05-0.5=0.69h, 该时间差小于动车从甲地到乙地所需时间的一半，故C选项错误； 假设动车出发x小时后与高铁相遇，则200(x- )=300(x- )， 解得x=1.17， 又∵动车第二次开始行驶的时间为：180÷200+ =1.07＜1.17， ∴两个图象的交点应出现在动车图象的第三段上， 故A选项符合题意，B选项不合题意． 故选：A． 13 三．函数的表示方法 14 5.小英的爸爸用中国移动的套餐月租为58元，包含100GB通用流量和国内拨打电话200分钟，其中通用流量他每月都用不完，超出套餐部分国内拨打电话0.19元/分钟(不足1分钟按1分钟时间收费)．如表是超出套餐部分国内拨打电话的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 6 … 电话费/元 0.19 0.38 0.57 0.76 0.95 1.14 … (1)这个表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)他上个月拨打电话的时间为225分钟， 15 求他上个月支付的费用是多少元？ (3)设他某月拨打电话时间为x(x＞200)分钟，支付费用为y元，求y与x的关系式； (4)若他某月业务多，支付费用86.5元，求他该月拨打电话的时间是多少分钟？ 【解析】解：(1)这个表反映了超出套餐部分国内拨打电话的时间和超出套餐部分国内拨打电话的电话费两个变量之间的关系，超出套餐部分国内拨打电话的时间是自变量，超出套餐部分国内拨打电话的电话费是因变量． (2)根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”， 16 得58+0.19×(225-200)=62.75(元)， ∴他上个月支付的费用是62.75元． (3)根据“支付费用=套餐月租+超出套餐部分国内拨打电话的电话费”，y=58+0.19(x-200)=0.19x+20， ∴y与x的关系式为y=0.19x+20(x＞200)． (4)∵86.5＞58， ∴x＞200， ∴0.19x+20=86.5，解得x=350， ∴他该月拨打电话的时间是350分钟． 17 四．一次函数的性质 18 6.已知a+b=2，b≤2a,那么对于一次函数y=ax+b,给出下列结论：①函数y一定随x的增大而增大；②此函数图象与坐标轴所围成的三角形面积最大为 ，则下列判断正确的是( ____ ) A.①正确，②错误 B.①错误，②正确 C.①，②都正确 D.①，②都错误 【解析】解：∵a+b=2， ∴b=2-a, ∵b≤2a, A 19 ∴2-a≤2a, ∴a≥ ， ∴y=ax+2-a, ∵a＞0， ∴y随x的增大而增大，故①正确， 函数图象与坐标轴所围成的三角形面积S= •|b|•| |= • = ( )= (a+ -4)， ∵a+ ≥4，∴此函数没有最大值，故②错误， 故选：A． 20 五．一次函数图象与系数的关系 21 7.已知直线l1：y=kx+b(k≠0)与直线l2：y=k1x-6(k1＜0)在第三象限交于点M，若直线l1与x轴的交点为B(3，0)，则k的取值范围是( ____ ) A.-2＜k＜2 B.-2＜k＜0 C.0＜k＜4 D.0＜k＜2 【解析】解：∵直线l1与x轴的交点为B(3，0)， ∴3k+b=0， ∴y=kx-3k, 直线l2：y=k1x-6(k1＜0)与y轴的交点坐标为(0，-6)， D 22 若直线l1与x轴的交点为B(3，0)， 则l1与y轴交点(0，-3k)在原点和点(0，-6)之间， 即：-6＜-3k＜0， 解得：0＜k＜2， 故选：D． 23 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”．已知点A的坐标为(-2，1)，点B的坐标为(3，1)，P是y轴上一点，连接AP，BP，OA，OB．现设直线AP的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，记线段AP，BP，OA，OB所围成的封闭区域(不含边界)为W，若区域W内的整点个数为6，则k的取值范围是 　　． 【解析】解：如图， 24 __ 当点P在x轴上方时，直线PB经过点E(1，2)，此时直线PB的解析式为y=- x+ ， 此时P(0， )， 25 ∴直线AP的解析式为y= x+ ， 当直线AP经过点F(-1，2)时，直线AP的解析式为y=x+3， 观察图形可知，满足条件的k的取值范围为： ＜k≤1， 当点P′在x轴的下方，经过(0，-3)时，满足条件，此时直线AP的解析式为y=-2x-3， 当直线AP经过(0，-2)时，解析式为y=- x-2， 观察图形可知，满足条件的k的取值范围为：-2≤k＜- ， 综上所述，满足条件的k的范围为： ＜k≤1或-2≤k＜- 故答案为： ＜k≤1或-2≤k＜- ． 26 六．一次函数图象上点的坐标特征 27 9.已知点P (a,b)在经过原点的一条直线l上，且 ，则 的值为( ____ ) A. B. C.0 D.-1 A 28 【解析】解：∵P(a,b)在经过原点的一条直线上， ∴b=ka. 又∵ ， ∴ ． ∴a2- =4k2a2- ， ∴k= ． 29 ∴ ． 故选：A． 30 10.如图，已知点P(6，2)，点M，N分别是直线l1：y=x和直线l2： 上的动点，连接PM，MN．则PM+MN的最小值为( ____ ) A.2 B. C. D. 【解析】解：如图，在正方形OABC 中，OC=CB=BA=AO=6， B 31 ____ ∵直线l1：y=x经过点O(0，0)，B(6，6)， ∴直线l1：y=x是正方形OABC的对称轴， ∵点P(6，2)在BC上， ∴可得点P关于l1：y=x的对称点P′(2，6)， 当x=6时，y= x=3， 32 即直线l2： 经过点H(6，3)， 过点P′(2，6)作P′N垂直直线l2： 于点N，即P′N⊥OH于点N，交直线l1：y=x于点M， ∵P(6，2)和P′(2，6)关于l1：y=x对称， ∴PM=P′M， ∴PM+MN=P′M+MN=P′N，即PM+MN的最小值为P′N的长， ∴OH= =3 ， ∵S△P′OH= OH•P′N= P′N， S△POH=S正方形OABC-S△POA-S△PBH-S△COH=6×6- 33 ×2×6- ×4×3- ×6×3=15， ∴ P′N=15， 解得P′N=2 ， 即PM+MN的最小值为2 ， 故选：B． 34 11.如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y= x+ 相交于点P(-1，0)，直线l1与y轴交于点A，一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，达到直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，B2015，A2015，…则当动点C到达A2015处时，运动的总路径的长为( ____ ) A.22015-2 B.22014-1 C C.22016-2 D.22017-2 35 【解析】解：由直线l1：y=x+1可知，A(0，1)，根据平行于x轴的直线上两点纵坐标相等，平行于y轴的直线上两点横坐标相等，及直线l1、l2的解析式可知，B1(1，1)，AB1=1， A1(1，2)，A1B1=2-1=1，AB1+A1B1=2， B2(3，2)，A2(3，4)，A1B2=3-1=2，A2B2=4-2=2，A1B2+A2B2=2+2=4=22， …， 由此可得An-1Bn+AnBn=2n，所以，当动点C到达An处时，运动的总路径的长为2+22+23+..+2n=2n+1-2， 当动点C到达A2015处时，运动的总路径的长为22016-2， 故选：C． 36 12.如图所示，已知直线y=- x+1与x、y轴交于B、C两点，A(0，0)，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，…则第n-1个等边三角形的边长等于( ____ ) A. B. A C. D. 37 【解析】解：直线y=- x+1与x、y轴交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为( ，0)、(0，1)， tan∠OBC= = ，则∠BCO=60°， ∵在△ABC内依次作等边三角形，则∠CA1O=90°， 则∠B1A1A2=∠B2A2A3=∠B3A3B=…=30°，AA1=COsin∠ACA1=1× = ， 同理可得：A2B1= × = ， A3B2= ， …， 故第n-1个等边三角形的边长为： ， 故选：A． 38 13.已知A(x1，y1)、B(x2，y2)是一次函数y=(2-m)x+3图象上两点，且(x1-x2)(y1-y2)＜0，则m的取值范围为 _____ ． 【解析】解：(x1-x2)(y1-y2)＜0， 即： 或 ， 也就是，y随x的增大而减小， 因此，2-m＜0，解得，m＞2， 故答案为：m＞2． m＞2 39 14.已知m是整数，且m≥2，由直线y=mx+2m-1和直线y=(m+1)x+2m+1与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是 　　． 【解析】解：作PH⊥y轴于H，作PM⊥x轴于M， ∵y=mx+2m-1=m(x+2)-1，y=(m+1)x+2m+1=(m+1)(x+2)-1， ∴两直线都过P(-2，-1)． ∵直线y=mx+2m-1交坐标轴于A，B， ∴当x=0时，y=2m-1，当y=0时，x= ， 40 ∴A的坐标是( ，0)，B的坐标是(0，2m-1)， ∴OA= ，OB=2m-1， ∵直线y=(m+1)x+2m+1交坐标轴于C，D， ∴当x=0时，y=2m+1，当y=0时，x= ， ∴C的坐标是( ，0)，D的坐标是(0，2m+1)， ∴OC= ，OD=2m+1， ∴BD=OD-OB=2，CA=OC-OA= ， 41 ∴△PBD的面积= = =2，△PCA的面积= AC•PM= ×1= ， ∴四边形ABDC的面积=△PBD的面积-△PAC的面积=2- =2- ， ∵当m≥- 时，函数y=2 - ，y随x的增大而增大， ∴当m=2时，y=2 - 有最小值12， 42 ∴此时四边形ABDC的面积有最小值是2- = ． ∴S的最小值是 ． 故答案为： ． 43 15.直线l：y=kx+b(k、b为常数)分别与x轴、y轴交于点A( ，0)、B(0，3)，动点P的坐标为(m,-m2+am+1)(a为常数)． (1)当a=　　时，有且仅有一个满足条件的m的值，使得点P在直线l上； (2)若有且仅有两个符合条件的m的值，使得点P到直线l的距离为1，则a的取值范围是 　　． 【解析】解：(1)分别将A、B两点的坐标代入直线l,得方程组 ，解t得 ， 故直线l的表达式为y=- x+3． 44 将点P的坐标代入，得 ． 若它只有一个根(即有两相等实根)，则有 ，解的a= ± ． 故答案为： ± ． (2)点P到直线l的距离为 | |=1， 整理得| |=2，即 =±2． ①若 有两个不相等的解，而 无解，则有 45 ， 解得 且a≠- ． ②若 有两个不相等的解，而 无解，则有 ，无解． ③若 有一个解， 有一个解，则有 ，无解． 故答案为：- ＞a＞-4- 或4- ＞a＞- ． 46 16.画出函数y=x+1(-3≤x＜2)的图象． (1)列表： ____ ______ ____ ______ ____ ____ ____ ____ ______ ____ ______ ____ ____ ____ (2)描点并连线； -3 -2.5 -2 -1.5 -1 0 1 -2 -1.5 -1 -0.5 0 1 2 47 ___ (3)已知点 在函数图象上，求出a的值； (4)观察上述图象：当x= ____ 时，y有最 ____ 值，这个值是 ____ ； -3 小 -2 48 (5)当-3≤x＜2时，y随x的增大而 _____ . 【解析】解：(1)令x=-3得，y=-2； 令x=-2.5得，y=-1.5； 令x=-2得，y=-1； 令x=-1.5得，y=-0.5； 令x=-1得，y=0； 令x=0得，y=1； 令x=1得，y=2； 故答案为：-3，-2.5，-2，-1.5，-1，0，1，-2，-1.5，-1，-0.5，0，1，2(横向填入)． 增大 49 (2)函数图象，如图所示， ___ (3)∵点P在函数图象上， 50 ∴2a+1= ， 解得a= ． (4)由函数图象可知， 当x=-3时，y有最小值，这个值是-2． 故答案为：-3，小，-2． (5)由函数图象可知， 当-3≤x＜2时，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 51 七．一次函数图象与几何变换 52 17.若直线y=kx+3与直线y=2x+b关于直线x=1对称，则k、b值分别为( ____ ) A.k=2、b=-3 B.k=-2、b=-3 C.k=-2、b=1 D.k=-2、b=-1 【解析】解：∵一次函数y=kx+3与y轴交点为(0，3)， ∴点(0，3)关于直线x=1的对称点为(2，3)， 代入直线y=2x+b,可得 4+b=3， D 53 解得b=-1， 一次函数y=2x-1与y轴交点为(0，-1)， (0，-1)关于直线x=1的对称点为(2，-1)， 代入直线y=kx+3，可得 2k+3=-1， 解得k=-2． 故选：D． 54 18.将直线y=2x+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，则平移后的直线解析式为 _________ ． 【解析】解：将直线y=2x+1先向上平移2个单位，再向左平移1个单位，所得直线的解析式为y=2(x+1)+1+2，即y=2x+5． 故答案为y=2x+5． y=2x+5 55 八．待定系数法求一次函数解析式 56 19.已知一次函数y=mx-4m,当1≤x≤3时，2≤y≤6，则m的值为( ____ ) A.3 B.2 C.-2 D.2或-2 【解析】解：当m＞0时，一次函数y随x增大而增大， ∴当x=1时，y=2且当x=3时，y=6， 令x=1，y=2，解得m= ，不符题意， 令x=3，y=6，解得m=-6，不符题意， 当m＜0时，一次函数y随x增大而减小， C 57 ∴当x=1时，y=6且当x=3时，y=2， 令x=1，y=6，解得m=-2， 令x=3，y=2，解得m=-2，符合题意， ∴故选：C． 58 九．一次函数的应用 59 20.甲、乙两人同时骑自行车分别从A，B两地出发到A，B两地之间的C地，且A，B，C三地在同一直线上．当乙到达C地时甲还未到达，乙在C地等了5分钟，接到甲的电话说他的自行车坏了需要工具修理，于是乙在C地拿了工具箱立即以原来 倍的速度前往甲坏车处，乙与甲汇合后帮助甲花了10分钟修好自行车，然后两人以甲原来 60 倍的速度骑行同时到达C地．甲、乙两人距C地的距离之和y(米)与甲所用时间x(分钟)之间的函数关系如图所示(乙接电话和找工具箱的时间忽略不计)．则以下说法错误的是( ____ ) A.甲原来的速度为150米/分钟，乙原来的速度为200米/分钟 B.甲坏车处距离C地2625米 C.A，C两地之间的距离为4125米 D.A，B两地之间的距离为6875米 【解析】解：车坏处距C地距离：5250÷2=2625(米)，故B正确，不符合题意； 乙用原来 倍的速度行驶这段路程需要时间为：25.5-15=10.5(分)， C 61 因此乙用原来 倍的速度为：2625÷10.5=250(米/分)，乙原来速度为：250÷ =200(米/分)， 甲用原来 倍的速度行驶这段路程需要时间为：49.5-25.5-10=14(分)， 因此甲用原来 倍的速度为：2625÷14=187.5(米/分)，甲原来速度为：187.5÷ =150(米/分)，故A正确，不符合题意； ∵甲坏车处距离C地2625米， ∴A、C两地的距离为150×15+2625=4875(米)，故C错误，符合题意； 设乙行至C地用时x分，则甲行至车坏处(x+5)分， 62 由题意得：x+5+(25.5-15)+10+(49.5-10-25.5)=49.5， 解得：x=10， ∴A、B两地之间的距离为：150×(10+5)+2625+200×10=6875(米)，故D正确，不符合题意； 故选：C． 63 21.A、B两地相距2400米，甲、乙两人准备从A地出发去B地，甲出发5分钟后，乙再出发，两人到达B地后，停止运动．甲乙之间的距离s(m)与甲运动时间t(min)之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( ____ ) A.乙每分钟比甲多走20m B.乙出发20min后两人相遇 C.乙到达B地时，甲距离B地还有300m D.相遇前，甲走4min或8min时两人相距240m B 64 【解析】解：A．从图象看，甲5min走的路程为300m,则甲的速度为60m/min, 由图象知，乙的速度快，则t=35min时，乙到达B地，所用时间为35-5=30(min)， 则乙的速度为：2400÷30=80m/min, 故乙每分钟比甲多走20m,正确，不符合题愿意； B．设x min乙追上甲，则x(80-60)=300， 解得：x=15(min)， 即乙出发15 min时，两人相遇，故B错误，符合题意； C．当t=35min时，甲运动的路程为：35×60=2100(m)， 则乙到达B地时，甲距离B地还有300m,故C正确，不符合题意； 65 D．甲开始走4分钟，走的路程为4×60=240(m)， 此时两人相距240m, 甲走8分钟时，乙走了3分钟，此时两人的距离为60×8-80×3=240(m)， 故D正确，不符合题意， 故选：B． 66 22.已知甲，乙两地相距480km,一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地，两车同时出发，货车途经服务区时，停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,货车改变速度 继续出发 后与出租车相遇．出租车到达乙地后立即按原路返回，结果比货车早15分钟到达甲地．如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象，则下列说法错误的是( ____ ) D 67 A.a=120 B.点F的坐标为(8，0) C.出租车从乙地返回甲地的速度为128km/h D.出租车返回的过程中，货车出发 或 都与出租车相距12km 【解析】解：由图象知，C(4，480)， 设直线OC的解析式为：y=kx, 把C(4，480)代入得，480=4k, 解得k=120， 则直线OC的解析式为y=120x, ∴把(1，a)代入y=120x, 68 解得：a=120，故A正确； 由于停下来装完货物后，发现此时与出租车相距120km,货车行驶时间为 小时， ∵a=120(km)， ∴货车卸货时与乙地相距120km, ∴出租车距离乙地为120+120=240(km)， ∴出租车距离甲地为480-240=240(km)， 把y=240代入y=120x得240=120x 解得：x=2， ∴货车装完货物时，x=2，则B(2，120) 69 根据货车继续出发 h后与出租车相遇， 可得 ×(出租车的速度+货车的速度)=120， 根据直线OC的解析式为y=120x(0＜x＜4)， 可得出租车的速度为120km/h ∴相遇时，货车的速度为120÷ -120=60(km/h)， 故可设直线BG的解析式为y=60x+b, 将B(2，120)代入y=60x+b, 可得120=120+b, ：解得b=0， 70 ∴直线BG的解析式为y=60x(2＜x＜8)， 故货车装完货物后驶往甲地的过程中，距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系式为y=60x, 把y=480代入y=60x, 可得：480=60x, 解得x=8， ∴G(8，480)， ∴F(8，0)，故B正确； 根据出租车到达乙地后立即按原路返回经过比货车早15分钟到达甲地， 可得EF= ， 71 ∴E( ，0)， ∴出租车返回后的速度为：480÷( 4)=128km/h,故C正确； 设在出租车返回的行驶过程中，货车出发t小时，与出租车相距12km, 此时货车距离乙地为60t km,出租车距离乙地为128(t-4)=(128t-512)km, ①出租车和货车第二次相遇前，相距12km时， 可得60t1-(128t1-512)=12， 解得t1= ； ②出租车和货车第二次相遇后，相距12km时， 可得(128t2-512)-60t2=12， 72 解得t2= ； 故在出租车返回的行驶过程中，货车出发 h或 h与出租车相距12km,故D错误， 故答案选：D． 73 23.有10条不同的直线y=knx+bn(n=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10)，其中k1=k2=k3，b4=b5=b6，则这10条直线的交点个数最多是( ____ ) A.38 B.39 C.40 D.41 【解析】解：由直线y=knx+bn且k1=k2=k3，b4=b5=b6可得： n=1，2，3对应的直线相互平行没有交点，n=4，5，6对应的直线交于一点， 则n=1，4，5，7，8，9，10对应的直线的交点数量为：8×7÷2-2=26， C 74 再加上n=2，3对应的两条直线增加的交点数量为2×7=14， 所以得出交点最多就是26+14=40条， 故选：C． 75 24.甲、乙两人在同一直线道路上同起点、同方向、同时出发，分别以不同的速度匀速跑步1000米，甲超出乙150米时，甲停下来等候乙，甲、乙会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y(米)与乙出发的时间x(秒)之间的关系如图所示，则甲到终点时，乙距离终点还有 ____ 米． 【解析】解：乙的速度为：1000÷200=5米/秒，从起点到第一次会和点距离为5×150=750米， 50 76 甲停下来到乙到会和点时间150÷5=30秒，之前行驶时间150-30=120秒， 甲的速度为750÷120=6.25米/秒， 甲到终点时乙行驶时间1000÷6.25+30=190秒， 还剩10秒路程，即10×5=50米， 故答案为50米． 77 25.甲、乙两小朋友都从A地出发，匀速步行到B地(A、B两地之间为笔直的道路)，甲出发半分钟后，乙才从A地出发，经过一段时间追上甲，两人继续向B地步行，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇，乙又立刻掉头向B地以原速度步行(两次掉头时间忽略不计)．甲、乙相距的路程为y(米)与乙出发的时间x(分钟)之间的关系如图所示，当乙到达B地时，甲与B地相距的路程是 ____ 米． 【解析】解：设甲的速度为am/min,乙的速度为bm/min, 40 78 由函数图象知，当x=1.5min时，y=0m,即两人第一次相遇，根据题意得， (1.5+0.5)a=1.5b, ∴b= a, ∵当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙立刻掉头以原速度向A地步行，半分钟后与甲相遇， ∴a+b=70÷ =140， ∴a+ a=140， ∴a=60(m/min)，b=80(m/min)， 79 于是，当甲、乙之间的距离刚好是70米时，乙出发的时间为：1.5+70÷(80-60)=5(min)， ∴两人第二次相遇时的时间为：5+0.5=5.5(min)， 根据函数图象知，当x=7.5min时，乙到达了B地， 此时，两人相距：(80-60)×(7.5-5.5)=40(m)， ∴甲与B两地的距离为：40m. 故答案为：40． 80 26.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C的路程y(千米)与甲车出发时间t(时)的关系图象如图所示，则下列说法：(1)A、B两地之间的距离为180千米；(2)乙车的速度为36千米/时；(3)a的值为3.75；(4)当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米；其中正确的说法是 ______________ (把正确答案的序号全部写出来)． 【解析】解：设相遇时甲走了2x千米，那么乙走了3x千米． ∵交点的坐标为(3，18)， (1)(2)(3) 81 ∴出发3小时，两车相遇．此时乙车超过中点18千米，甲车还未到中点，距离中点18千米； ∴3x-18=2x+18， 解得：x=36． ∴2x+3x=5x=180． ∴A、B两地之间的距离为180千米． ∴(1)正确； ∵乙车3小时走了3x千米， ∴乙车的速度= =36(千米/时)． ∴(2)正确； 82 ∵甲车3小时走了2x千米， ∴甲车的速度= =24(千米/时)． ∴甲车到达中点时的时间= =3.75(小时)． ∴a=3.75． ∴(3)正确； ∵乙走完全程的时间= =5(小时)， ∴甲此时走的路程为：24×5=120(千米)． ∴此时距离终点180-120=60(千米)． ∴(4)错误．故答案为：(1)(2)(3)． 83 27.在甲、乙两城市之间有城市丙，一辆客车从甲地匀速驶往乙地，一辆货车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，客车、货车离丙的距离y1(千米)，y2(千米)与行驶的时间x(小时)的函数图象如图中实线所示，同时，有一辆邮政车从丙出发去甲地取货后返回乙地(取货的时间忽略不计)，整个过程速度保持不变，邮政车离丙的距离y3(千米)与行驶时间x(小时)之间的函数关系如图中的虚线所示，在整个运动过程中，经过 _____ 小时，邮政车最后一次与客车、货车的距离相等． 【解析】解：v客=360÷6=60千米/时， 7.5 84 v邮=360×2÷8=90千米/时， 设当邮政车去甲地的途中时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等， 120+(90-40)t=360-(60+90)t t=1.2(小时)； 设当邮政车从甲地返回乙地时，经过t小时邮政车与客车和货车的距离相等， 90t-360-(480-40t)=60t-(90t-360) 解得t=7.5， 当客车和货车相遇时，邮政车与客车和货车的距离相等满足条件， 即60t+40t=480，解得t=4.8 85 综上所述，经过1.2或4.8小时或7.5小时邮政车与客车和货车的距离相等，经过 7.5小时，邮政车最后一次与客车、货车的距离相等． 故答案为：7.5． 86 28.甲乙两人分别从A、B两地相向而行，甲先走3分钟后乙才开始行走，甲到达B地后立即停止，乙到达A地后立即以另一速度返回B地．在整个行驶的过程中，两人保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人之间的距离y(米)与乙出发的时间x(分钟)的函数关系如图所示．当甲到达B地时，则乙距离B地的时间还需要 ____ 分钟． 【解析】解：两车的速度和为：1400÷(32-18)=100米/分， 甲从开始到第一次相遇地点用时3+18=21分，而乙相遇后只用14分，因此甲的速度是乙的 ， 11 87 甲速度为100× =40米/分，乙的速度为100× =60米/分， ∴AB两地的路程为：60×32=1920米， 当乙到A地时，甲距B地还有1920-1400=520米， 因此甲到B地需要520÷40=13分， 乙以另一速度返回13分走的路程1920-880=1040米， 所以返回速度为1040÷13=80米， 到B地还要880÷80=11分． 故答案为：11 88 29.A、B两码头之间是一段静水直线河道．一艘科考船从A码头出发45分钟后突发故障，发出求救信号的同时立即原地调头，调头后以原速返航．与此同时，A码头的救生艇接到求救信号后立刻出发与科考船会合，排除故障后，科考船再次原地调头以原来的1.5倍速度向B码头前进．救生艇在科考船完成调头后出发的同时以原速返回A码头停止运动，科考船到达B码头后也停止运动．两船之间的距离y(千米)与科考船出发时间t(分钟)的函数关系如图所示( 89 其中发出信号、接收信号、维修故障以及快艇调头的时间均忽略不计；科考船两次调头所用时间相同；两船均视为匀速运动)，则两码头之间间隔 _____ 千米． 【解析】解：设科考船，救生艇初始速度分别为v1千米/分钟，v2千米/分钟，科考船调头后行驶的时间为t分钟，则： 科考船45分钟行驶的路程为45v1千米， 由图象可知，67分钟时两船相遇， ∴45v1=(67-45)v2+(67-45-t)v1， 即45v1=22v2+(22-t)v1①， 从(67+t)分钟到99分钟两船相距132千米，此时救生艇返回A码头， 195 90 ∴99-(67+t)=67-45， 解得t=10， ∴22v2+22× v1=132②， 把t=10代入①，得35v1-22v2=0③， 由②③联立方程组，解得 ， ∵120分钟时科考船到达B码头， ∴相遇点到B码头的距离为： [120-(67+t)]× 91 =[120-(67+10)]× =43×3 =129(千米)， 相遇点到A码头的距离为：22v2=22×3=66(千米)， ∴两码头之间间隔：129+66=195(千米)． 故答案为：195． 92 30.一艘货轮从乙地逆流匀速驶向甲地，同时另一艘“长江号”游轮则从甲地出发顺流匀速驶向乙地，行至某处，发现游轮上的救生艇不知何时落入水中，游轮立即原地调头沿原路返回，遇到救生艇并打捞上来(打捞救生艇的时间忽略不计)后立即调头继续顺流驶向乙地，结果游轮比货轮早到目的地，已知游轮每次原地调头时间为15分钟，救生艇顺流的速度与水速相同，游轮和货轮在静水中的速度相同．在整个过程中，游轮和货轮之间的距离y(km)与行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示，则救生艇在水中顺流的时间为　　 93 小时． 【解析】解：由函数图象可知，当时间为12小时，货轮到达了甲地，此时货轮与游轮的距离96千米，恰是A甲乙两地的距离，则货轮逆流速度为： 千米/时， 设游轮和货轮在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，由函数图象“2小时时，两轮相距48千米”知，2(x+y)+2(x-y)=96-48， 解得，x=12(千米/时)， ∴水流速度为：12-8=4(千米/时)， 设救生艇在水中顺流的时间为t小时，根据题意得， 94 4t+8×(3.5-2- ×2)=(12+4)[t-(3.5-2- ×2)- ]， 解得，t= (小时)． 故答案为： ． 95 31.2019年6月12日，重庆直达香港高铁的车票正式开售，据悉，重庆直达香港的这趟G319/320次高铁预计在7月份开行，全程1342公里只需7个半小时．该车次沿途停靠站点包括遵义、贵阳东、桂林西、肇庆东、广州南和深圳北．重庆直达香港高铁开通将为重庆旅游业发展增添生机与活力，预计重庆旅游经济将创新高．在此之前技术部门做了大量测试，在一次测试中一高铁列车从A地出发，匀速驶向B地，到达B地停止；同时一普快列车从B地出发，匀速驶向A地，到达A地停止．且A，B两地之间有一C地，其中AC=2BC，如图①，两列车与C地的距离之和y(千米)与普快列车行驶时间x(小时)之间的关系如图②所示．则高铁列车到达B地时，普快列车离A地的距离为 _____ 千米． 360 96 ______ 【解析】解：∵图象过(4.5，0) ∴高铁列车和普快列车在C站相遇 ∵AC=2BC， ∴V高铁=2V普快， 97 BC之间的距离为：360× =240千米，全程为AB=240+240×2=720千米， 此时普快离开C站360× =120千米， 当高铁列车到达B站时，普快列车距A站的距离为：720-120-240=360千米， 故答案为：360． 98 32.由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”，为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能(车速不超过140km/h)，对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如表： 刹车时车速v(km/h) 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离s(m) 0 2.5 5 7.5 10 12.5 … 谛回答下列问题： 99 (1)当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是 ____ m； (2)根据如表反映的规律写出该种型号汽车s与v之间的关系式： __________________ ； (3)该型号汽车在高速公路上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为32m,推测刹车时车速是多少？并说明事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？(相关法规：《道路交通安全法》第七十八条：高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过每小时120公里．) 【解析】解：(1)由表格信息可得：当刹车时车速为60km/h时，刹车距离是15m； 故答案为：15； 15 s=0.25v(v≥0) 100 (2)由表格可知，刹车时车速每增加10km/h,刹车距离增加2.5m, ∴y与x之间的关系式为：s=0.25v(v≥0)， 故答案为：s=0.25v(v≥0)； (3)当s=32时，32=0.25v, ∴v=128， ∵120＜128， ∴事故发生时，汽车是超速行驶． 答：推测刹车时车速是128km/h,所以事故发生时，汽车是超速行驶． 101 33.某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校200m的电影院看电影，在电影院内停留60min后，以70m/min的速度步行10min到达市体育馆．甲同学与学校的距离s(单位：m)与时间t(单位：min)的关系如图所示． (1)求甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式； (2)乙同学在甲到达电影院53min后从学校出发，以50m/min的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由． 102 【解析】解：(1)由题可设lAB的解析式为s=k1t+b1(k1≠0)， 依题意，体育馆与学校的距离为70×10+200=900，所以B(70，900)． 把A(60，200)，B(70，900)分别代入s=k1t+b, 得 ， 解得 ， 所以lAB的解析式为s=70t-4000(60≤t≤70)， 所以甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式为 103 s= ； (2)他们会在路上相遇，理由如下： 由题可知，对于乙同学，s与t的关系为：s=50(t-53)(53≤t≤71)． 即s=50t-2650 (53≤t≤71)． 当53≤t＜60时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇． 当60≤t≤70时，解方程组 可得t=67.5， 因为60≤67.5≤70，即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇． 所以他们会在路上相遇． 104 34.甲、乙两名工人分别加工a个同种零件．甲先加工一段时间，由于机器故障进行维修后继续按原来的工作效率进行加工，当甲加工1.5小时后乙开始加工，乙的工作效率是甲的工作效率的3倍．如图分别表示甲、乙加工零件的数量y (个)与甲工作时间x (时)的函数图象． (1)甲的工作效率为 ____ 个/时，维修机器用了 _____ 小时； 乙的工作效率是 ____ 个/时； (2)乙加工多长时间与甲加工的零件数量相同，并求此时乙加工零件的个数； (3)若乙比甲早1小时完成任务，求a的值． 20 0.5 60 105 【解析】解：(1)由图可得， 甲的工作效率为：10÷0.5=20(个/小时)， 维修机器用了1-0.5=0.5(小时)， 乙的工作效率是20×3=60(个/小时)， 故答案为：20，0.5，60； (2)设乙加工x小时与甲加工的零件数量相同， 60x=20(x+1.5-0.5)， 解得，x=0.5， 60x=30， 答：乙加工0.5小时与甲加工的零件数量相同，此时乙加工零件是30个； 106 (3) +1+(1.5-0.5)= ， 解得，a=60， 即a的值是60． 107 35.某运输公司安排甲、乙两种货车共20辆运送176吨物资到A，B两地．已知每辆甲种货车装10吨物资，每辆乙种货车装8吨物资，这20辆货车恰好装完这批物资． (1)这20辆货车中甲、乙两种货车各有多少辆？ (2)两种货车运费如表： 目的地 车型 A地(元/辆) B地(元/辆) 甲种货车 1200 900 乙种货车 1000 750 现安排这20辆货车中的10辆前往A地， 108 其余前往B地．设前往A地的甲种货车有a辆，这20辆货车的总运费为w元．求当a为何值时w最小，并求出最小值． 【解析】解：(1)设这20辆货车中甲种货车有x辆， 根据题意，得：10x+8(20-x)=176， 解得 x=8， ∴20-x=12， 答：这20辆货车中甲种货车有8辆，乙种货车有12辆． (2)根据题意，得 w=1200a+900(8-a)+1000(10-a)+750[10-(8-a)]=50a+18700． ∵50＞0， 109 ∴w随a的增大而增大．， ∵0≤a≤8， ∴当a=0时，w最小，最小值为50×0+18700=18700． ∴当a=0时w最小，最小值为18700． 110 36.下面是某项目化学小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题： 【项目主题】品味经典，感悟数学 【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉：兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点． 【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变，第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中x(分)表示乌龟从起点出发所行的时间，y1(米)表示兔子所行的路程，y2(米)表示乌龟所行的路程． 问题1：分别求乌龟和兔子的速度． 111 问题2：乌龟是在何时超过的兔子？ 第二小组对童话故事进行了改编： 象子输了比赛，心里很不服气它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟，它才开始追赶． 问题3：请在图2中画出兔子所行的路程y1与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点． 第三小组也对童话故事进行了改编： 兔子让乌龟从路边小树处(兔子第一次睡觉的地方)起跑，它们同时出发． 问题4：请在图3中画出兔子所行的路程y1与和乌龟所行路程y2与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点． 112 (仿照图1完成图2和图3．要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量)________ 【解析】解：问题1：乌龟的速度为： =20(米/分钟)， 兔子的速度为400÷10=40(米/分)； 问题2：设乌龟x分钟追上兔子， 113 则20x=400， 解得x=20， 答：乌龟在出发20分钟后超过兔子； 问题3：∵乌龟的速度为20米/分， ∴乌龟到达终点需要1200÷20=60(分钟)， ∵兔子的速度为40米/分， ∴兔子到达终点需要1200÷40=30(分钟)， 根据题意画出兔子所行的路程y1与x之间的图象，如图： 114 ___ 从图向上可以看出，乌龟和兔子同时到达终点； 问题4：∵乌龟的速度为20米/分， ∴乌龟到达终点需要(1200-400)÷20=40(分钟)， ∵兔子的速度为40米/分， ∴兔子到达终点需要1200÷40=30(分钟)， 115 根据题意画出兔子所行的路程y1与和乌龟所行路程y2与x之间的图象，如图： ___ 从图向上可以看出，兔子比乌龟早10分钟到达终点． 116 37.西安是今年五一假期热门旅游城市之一，在这里，人们穿着汉服拍照，实现了传统与时尚的融合．汉服热销，晏瑞抓住商机，多次购进汉服并销售．经过调查发现，每套汉服的售价y(元)与进价x(元)之间满足一次函数关系，当进价为96元时，售价为140元；当进价为112元时，售价为160元． (1)求售价y(元)与进价x(元)之间的函数关系式； (2)若晏瑞以120元/套的进价购进150套汉服，则销售完这批汉服可获利多少元？ 【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)． 117 将x=96，y=140和x=112，y=160分别代入y=kx+b, 得 ， 解得 ， ∴y与x之间的函数关系式为y= x+20． (2)当x=120时，y= ×120+20=170， 150×(170-120)=7500(元)， ∴销售完这批汉服可获利7500元． 118 38.甲、乙两地相距300km,一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度大于货车的速度，两车同时出发，中途不停留，各自到达目的地后停止．两车之间的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的关系如图所示． (1)分别求出轿车和货车的平均速度． (2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离． (3)货车出发多长时间后，两车相距60km？ 【解析】解：(1)根据“速度=路程÷时间”，轿车的平均速度为300÷5=60(km/h)，货车的平均速度为300÷7.5=40(km/h)， 119 ∴轿车的平均速度为60km/h,货车的平均速度为40km/h. (2)根据“路程=时间×速度”，得40×(7.5-5)=100(km)， ∴轿车到达终点时，货车离终点的距离为100km. (3)当0≤x≤3时，设y与x的函数关系式为y=k1x+b1(k1、b1为常数，且k1≠0)． 将坐标(0，300)和(3，0)代入k1x+b1， 得 ， 解得 ， 120 ∴y=-100x+300， 当y=60时，得-100x+300=60，解得x=2.4； 当3＜x≤5时，设y与x的函数关系式为y=k2x+b2(k2、b2为常数，且k2≠0)． 将坐标(3，0)和(5，200)代入y=k2x+b2， 得 ， 解得 ， ∴y=100x-300， 121 当y=60时，100x-300=60，解得x=3.6． ∴货车出发2.4h或3.6h后，两车相距60km. 122 39.甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，两人同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止．甲、乙两人间的距离s(km)与甲行驶的时间t(h)之间的关系如图所示． (1)以下是点M，N，P所代表的实际意义，请将M，N，P填入对应的横线上． ①甲到达终点： ____ ；②甲、乙两人相遇： ____ ；③乙到达终点： ____ ． (2)甲出发多少小时后，甲、乙两人相距180km？ P M N 123 【解析】解：(1)由图象可得， 点M上s=0，此时两人相遇， 点N之后，两人的距离增加速度减少，此时乙先到达终点， 点P表示两人距离为s=240，此时甲到达终点． 故答案为：P，M，N； (2)设第一段解析式为：y=k1x+b1， 将点(0，240)，(2，0)代入得， ， 124 解得： ， ∴y=-120x+240， 当y=180时，180=-120x+240， 解得： ， 设第三段解析式为：y=k2x+b2， 将点(3，120)，(6，240)代入得， ，解得： ， ∴y=40x, 125 当y=180时，180=40x, 解得： ， 综上所述：甲出发 或 小时后，甲、乙两人相距180km. 126 40.2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，联合国呼吁全世界关注和重视水资源的重要性．小明同学发现水龙头关闭不严会造成滴水浪费．为了倡议全校同学节约用水，他做了如下试验：用一个足够大的量杯，放置在水龙头下观察量杯中水量的变化情况．已知量杯中原来装有10mL水，30min内7个时间点量杯中的水量变化如下表所示，其中t表示时间，y表示量杯中的水量． 时间t/min 0 5 10 15 20 25 30 127 量杯中的水量y/mL 10 20 30 40 50 60 70 解决下列问题： (1)在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点并连线； (2)结合表中数据写出量杯中的水量y关于时间t的函数表达式 ___________ (不要求写自变量的取值范围)； (3)在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算照这样漏一天量杯中的水量约为多少mL． 【解析】解：(1)由表格中数据，在坐标系内描点，连线，如图所示： y=2x+10 128 ___ (2)设量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=kx+b, 把(0，10)，(5，20)代入y=kx+b得： ， 129 解得 ， ∴量杯中的水量y关于时间t的函数表达式为y=2x+10， 故答案为：y=2x+10； (3)一天24小时=1440分钟， ∴当x=1440时，y=2×1440+10=2890， ∴一天量杯中的水量约为2890mL． 130 41.甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的8折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的8.5折优惠．设顾客预计累计购物x元(x＞300)． (1)在甲超市购物所付费用为y1元，在乙超市购物所付费用为y2元，请分别求出y1，y2关于x的函数解析式； (2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由． 【解析】解：(1)根据题意，得y1=300+0.8(x-300)=0.8x+60，y2=200+0.85(x-200)=0.85x+30， ∴y1关于x的函数解析式为y1=0.8x+60(x＞300)，y2 131 关于x的函数解析式为y2=0.85x+30(x＞0)． (2)当x＞600时，到甲超市购物更优惠；当x=600时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当300＜x＜600时，到乙超市购物更优惠．理由如下： 当y1＜y2时，得0.8x+60＜0.85x+30，解得x＞600； 当y1=y2时，得0.8x+60=0.85x+30，解得x=600； 当y1＞y2时，得0.8x+60＞0.85x+30，解得x＜600； ∴当x＞600时，到甲超市购物更优惠；当x=600时，到甲、乙两超市购物所付费用一样多，任选一家即可；当300＜x＜600时，到乙超市购物更优惠． 132 42.甲乙两人相约去华山踏青，上午7：00，甲开车从南郊出发，同时乙坐出租车从东郊出发．上午8：00，甲在离南郊60km处的地方追上乙并继续前行，途中甲在某高速服务区加油休息，然后继续按原速前行，最后甲乙同时到达华山风景区入口处．甲乙离南郊的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图所示． (1)求乙离南郊的路程s与所用时间t的函数表达式； (2)求甲在某高速服务区加油休息所用的时间． 【解析】解：(1)乙的速度为(60-20)÷1=40(km/h)， 133 则乙到达华山所用的时间为(100-20)÷40=2(h)， ∴a=2； 设乙离南郊的路程s与所用时间t的函数表达式为s=kt+b(k、b为常数，且k≠0)． 将坐标(0，20)和(2，100)分别代入s=kt+b, 得 ， 解得 ， ∴乙离南郊的路程s与所用时间t的函数表达式为s=40t+20(0≤t≤2)． (2)甲的速度为60÷1=60(km/h)，则甲开车的时间为100÷60= (h)，2- = (h)，∴甲在某高速服务区加油休息所用的时间是 h. 134 43.用甲、乙两个机器加工一批零件，两个机器同时开始加工，加工一段时间后，甲机器进行检修，乙机器以原来的效率加工，检修结束后，甲机器提高工作效率继续加工，两个机器共用了5h完成任务，两个机器加工的零件总数y(件)与乙机器加工时间x(h)之间的函数图象如图所示． (1)乙机器的工作效率是 ____ 件/h,甲机器提速后的工作效率是 ____ 件/h； (2)当2≤x≤5时，求y与x之间的函数关系式； (3)当甲机器加工130个零件时，x的值为 _____ ． 30 50 4.2 135 【解析】解：(1)∵ =30(件/h)， ∴乙的工作效率是30件/h； 甲机器提速后的工作效率是 -30=50(件/h)． 故答案为：30；50； (2)设当2≤x≤5时，y关于x的函数解析式为y=kx+b, 将(2，80)，(5，320)代入得： ， 解得： ， ∴y关于x的函数解析式为y=80x-80(2≤x≤5)； 136 (3)∵第1个小时甲加工50-30=20(个)零件， ∴甲提速后加工110个零件需要用 =2.2(h)， ∴x=2+2.2=4.2， ∴当甲机器加工130个零件时，x的值为4.2． 故答案为：4.2． 137 一十．一次函数综合题 138 44.如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，以线段OA为边在第四象限内作等边△ABO，点C为x轴正半轴上一动点(OC＞1)，连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．下列结论正确的有(　　)个． (1)△OBC≌△ABD； (2)∠DAC的度数随着点C位置的变化而改变； (3)点E的位置不随着点C位置的变化而变化，点E的坐标是(0， )； (4)当点C的坐标为(m,0)(m＞1)时，四边形ABDC的面积S与m的函数关系式为S= 139 m2． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解：(1)∵△AOB是等边三角形， ∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°， 又∵△CBD是等边三角形 ∴BC=BD，∠CBD=60°， ∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC， 140 即∠OBC=∠ABD， 在△OBC和△ABD中， ， ∴△OBC≌△ABD(SAS)；(1)正确； (2)∵△OBC≌△ABD， ∵∠BAD=∠BOC=60°， 又∵∠OAB=60°， ∴∠DAC=60°， ∴∠DAC的度数不会随着点C位置的变化而改变；(2)错误； 141 (3)∵∠DAC=60°， ∴∠OAE=60°， ∴∠AEO=30°， ∴AE=2OA=2， ∴OE= = ， ∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E(0， )；(3)正确； 142 ___ (4)∵△OBC≌△ABD， ∴AD=OC=m, ∵△ABO是等边三角形，∠DAC=60°， ∴∠OBF=30°，∠ADH=30°， 过点B作BF⊥x轴于F，过点D作DH⊥x轴于H， 143 ∴BF= OF=OB× =1× ， DH= AH=AD× =m× ， ∴四边形ABDC的面积S=S△ACD+S△ABD=S△ACD+S△OBC = AC•AD× + OB•OC× = ×(m-1)m× + ×1×m× = m2，故(4)错误； 故选：B． 144 45.如图，在等腰△ACO中，AO=AC，边AC交x轴于点B，点A在直线y=3x+17，其中AB= AC，sin∠C= 则点B的坐标为( ____ ) A.( ，0) B.( ，0) C.( ，0) D.( ，0) B 145 【解析】解：设直线y=3x+17与x轴交于点D， __ 则sin∠ADO= ， ∴∠ADO=∠C， ∴△ADB∽△OCB， 设CO=2a, 146 ∵sinC= ， ∴AC=AO= a, ∴cos∠BCO= ， ∴AB= ，BC= a, 在△BCO中， cos∠BCO= = ， 147 ∴BO= ， ∴BD= ， ∵△ADB∽△OCB， ∴ ， 148 ∴ = ， ∴a= ， ∴BO= •a= = ， ∴B(- )， 故选：B． 149 46.如图，一次函数y=- x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．则过B、C两点直线的解析式为( ____ ) A.y= x+3 B.y= x+3 C.y= x+3 D.y= x+3 A 150 【解析】解：∵一次函数y=- x+3中， 令x=0得：y=3；令y=0，解得x=4， ∴B的坐标是(0，3)，A的坐标是(4，0)． 如图，作CD⊥x轴于点D． ∵∠BAC=90°， ∴∠OAB+∠CAD=90°， 又∵∠CAD+∠ACD=90°， ∴∠ACD=∠BAO． 在△ABO与△CAD中， 151 ， ∴△ABO≌△CAD(AAS)， ∴OB=AD=3，OA=CD=4，OD=OA+AD=7． 则C的坐标是(7，4)． 设直线BC的解析式是y=kx+b, 根据题意得： ， 解得 ，∴直线BC的解析式是y= x+3． 故选：A． 152 47.如图，已知A、B两点的坐标分别为(8，0)、(0，-6)，⊙C的圆心坐标为(0，7)，半径为5．若P是⊙C上的一个动点，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是( ____ ) A.63 B.31 C.32 D.30 【解析】解：当直线BP与圆相切时，△ABD的面积最大． B 153 连接PC，则∠CPB=90°， 在直角△BCP中，BP= = =12． ∵∠CPB=90°． ∴∠DOB=∠CPB=90° 又∵∠DBP=∠CBP， ∴△OBD∽△PBC， ∴ = = = ， ∴OD= PC= ． ∴AD=OD+OA= +8= ，∴S△ABD= AD•OB= × ×6=31 ． 故选：B． 154 48.如图，点P(t,0)是x轴正半轴上的一个动点，过点P作y轴的平行线，分别与直线y= x,直线y=-x交于A，B两点，以AB为边向右侧作正方形ABCD．有下列五个结论： ①∠AOB=90°；②△AOB是等腰三角形；③OP2=2AP•PB；④S△AOB=3S△AOP；⑤当t=2时，正方形ABCD的周长是16． 其中正确结论的序号是 ____ ． 【解析】解：①由直线y= x,直线y=-x可知，它们的斜率的积=- ≠-1，所以∠AOB≠90°，故∠AOB=90°错误； ③④ 155 ②∵AB⊥x轴，∠AOP≠∠BOP，∠AOB≠90° ∴OA≠OB，OB≠AB，OA≠AB， ∴△AOB不是等腰三角形，故△AOB是等腰三角形； ③由直线的斜率可知： = ， =1， ∴2( )= ， ∴OP2=2AP•PB，故OP2=2AP•PB正确； ④设A(m, m)，则B(m,-m)， ∵△AOP的面积= OP• m= m•OP，△BOP的面积= OP•m= 156 •OP， ∴S△BOP=2S△AOP， ∴S△AOB=3S△AOP， 故S△AOB=3S△AOP正确； ⑤t=2时，PA= ×2=1， PB=|-1×2|=2， ∴AB=PA+PB=1+2=3， ∴正方形ABCD的周长=4AB=4×3=12；故当t=2时，正方形ABCD的周长是16错误； 故答案为③④． 157 49.已知直线AB的解析式为：y=kx+m,且经过点A(a,a)，B(b,8b)(a＞0，b＞0)．当 是整数时，满足条件的整数k的值为 _______ ． 【解析】解：∵y=kx+m经过点A(a,a)，B(b,8b)， ∴代入直线AB解析式可得： ， 解得： ， 9或15 158 ∴ = = ， ∵a＞0，b＞0，且 为整数， ∴k=9或k=15， 故答案为：9或15． 159 50.如图1，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3AD=6，且AD∥BC，AD⊥AB．P、Q为四边形ABCD边上的两个动点，其中，点P从C出发，以每秒1个单位长度的速度，沿C→B→A的方向运动，同时点Q从D出发，以每秒 个单位长度的速度，沿D→A→B的方向运动，P、Q相遇时同时停止运动．设P的运动时间为x秒，△PCQ的面积为y. 160 ____ (1)直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象， 161 并根据所画图象，写出该函数的一条性质： _____________________________ ； (3)若直线 与该函数图象有两个不同交点，请直接写出b的取值范围： ________ ． 【解析】解：(1)∵AB=4，BC=3AD=6， ∴AD=2， 依题意，Q在AD上运动的时间为 秒，点P在BC上运动的时间为 秒， 当x=6时，函数有最大值12 0≤b＜9 162 ∵ ， 解得：x=9， ∴当P，Q相遇时，运动时间为9秒， ∴当0≤x＜6时，如图所示， ___ ∵设P的运动时间为x秒， ∴PC=x, 163 ∴ ， 当6≤x≤9时，P，Q都在AB上，如图所示， ____ ∴ ， ∴ ， ∴ ； 164 (2)如图所示， ___ 当x=6时，函数有最大值12； 故答案为：当x=6时，函数有最大值12；． 165 (3)如图所示， ___ 当 经过(6，12)时，12=3+b,解得：b=9， 当 经过(0，0)时，b=0， 166 结合函数图象可得，当直线 与该函数图象有两个不同交点，0≤b＜9， 故答案为：0≤b＜9． 167 $$