第3章 位置与坐标 培优突破练习 作业讲评课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第3章 位置与坐标 培优突破练习 【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．点的坐标 二．坐标确定位置 三．坐标与图形性质 四．两点间的距离公式 五．关于x轴 2 一．点的坐标 3 1.若P(a+2，a-1)在y轴上，则点P的坐标是( ____ ) A.(1，0) B.(0，1) C.(0，-3) D.(3，0) 【解析】解：∵P(a+2，a-1)在y轴上， ∴a+2=0， 解得：a=-2， ∵a-1=-2-1=-3 ∴点P的坐标是(0，-3)．故选：C． C 4 2.如图，小手盖住的点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则这个点的坐标是( ____ ) A.(-2，-3) B.(-3，-2) C.(2，-3) D.(-2，3) 【解析】解：∵点到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，且点在第三象限， ∴y=-3，x=-2， ∴这个点的坐标是：(-2，-3)，故选：A． A 5 3.点P(-2，1)到y轴的距离为( ____ ) A.-2 B.1 C.2 D.3 【解析】解：点P(-2，1)到y轴的距离为|-2|=2． 故选：C． C 6 4.下列各点在第二象限的是( ____ ) A.(1，1) B.(-2，1) C.(-3，-2) D.(4，-1) 【解析】解：∵在第二象限内的点横坐标为负，纵坐标为正， ∴四个选项中，只有B选项中的(-2，1)在第二象限， 故选：B． B 7 5.若点P(a+2，a-1)在x轴上，则点P的坐标是( ____ ) A.(1，0) B.(0，1) C.(0，-3) D.(3，0) 【解析】解：∵P(a+2，a-1)在x轴上， ∴a-1=0， 解得a=1， ∵a+2=1+2=3， ∴点P的坐标是(3，0)．故选：D． D 8 6.已知点A(x+2，2y-3)在第二象限，则点B(1-x,4y-5)在第 ____ 象限． 【解析】解：∵A(x+2，2y-3)在第二象限， ∴x+2＜0，2y-3＞0， ∴x＜-2，y＞ ， ∴1-x＞3， 4y-5＞1， ∴点B在第一象限． 故答案为：一． 一 9 7.已知A(x+2，2y-3)在第二象限，则B(1-x,5-4y)在第 ____ 象限． 【解析】解：∵A(x+2，2y-3)在第二象限， ∴x+2＜0，2y-3＞0， ∴x＜-2，y＞ ， ∴1-x＞3， 5-4y＜-1， ∴点B在第四象限． 故答案为：四． 四 10 二．坐标确定位置 11 8.同学们玩过五子棋吗？它的比赛规则是只要同色5子先成一条直线就算胜．如图，是两人玩的一盘棋，若白①的位置是(1，-1)，黑②的位置是(2，0)，现轮到黑棋走，甲认为黑棋放在(2，4)位置就胜利了；乙认为黑棋放在(7，-1)位置就胜利了．你认为( ____ ) A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都对 D.两人都不对 C 12 【解析】解：根据题意建立平面直角坐标系，如图，由图可知，黑棋放在(2，4)或(7，-1)位置就胜利了． 故选：C． ____ 13 9.中国象棋具有悠久的历史，战国时期，就有了关于象棋的正式记载，如图是中国象棋棋局的一部分，如果用有序数对(2，1)表示“炮”的位置，(-2，2)表示“士”的位置，那么“将”的位置应表示为( ____ ) A.(-3，3) B.(-3，1) C.(-3，-3) D.(-4，-4) A 14 【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，将(-3，3)． 故选：A． 15 10.如图是利用平面直角坐标系画出的故宫博物院的主要建筑分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示太和门的点的坐标为(0，-2)，表示九龙壁的点的坐标为(8，2)，则表示下列宫殿的点的坐标正确的是( ____ ) A 16 _____ A.保和殿(0，2) 17 B.养心殿(-2，3) C.武英殿(-7，-8) D.景仁宫(8，4) 【解析】解：如图所示：保和殿(0，2)，养心殿(-4，6)，武英殿(-7，-6)，景仁宫(4，8)． 故保和殿的点的坐标正确． 故选：A． 18 11.下列描述，能确定具体位置的是( ____ ) A.祖庙附近 B.教室第2排 C.北偏东55° D.东经118°，北纬40° 【解析】解：A．祖庙附近，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； B．教室第2排，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； C．北偏东55°，不能确定具体位置，故此选项不符合题意； D．东经118°，北纬40°，能确定具体位置，故此选项符合题意． 故选：D． D 19 12.2023年山西省大学生篮球锦标赛于12月中旬开赛，图1是某大学篮球场座位图，图2是该篮球场部分座位的示意图．小刚、小芳、小美的座位如图所示．若小刚的座位用(-1，1)表示，小芳的座位用(3，2)表示，则小美的座位可以表示为( ____ ) ______ A.(-1，2) B.(2，0) C 20 C.(2，-1) D.(1，0) 【解析】解：根据小刚、小芳的位置确定坐标系位置如图所示， ∴小美的座位可以表示为(2，-1)， 故选：C． ___ 21 13.如图，已知医院与图书馆、教学楼在同一直线上，则以下哪个数对(规定列号在前，行号在后)可能是医院的位置( ____ ) A.(2，4) B.(11，8) C.(5，5) D.(3，5) 【解析】解：画出过图书馆、教学楼的直线，如图， D 22 ___ 所以，点(3，5)在这条直线上， 故选：D． 23 14.某人从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，再从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C，那么点C在点A的南偏东 ____ 度的方向上． 【解析】解：根据题意作图 ∵从A点沿北偏东60°的方向走了100米到达点B，从点B沿南偏西10°的方向走了100米到达点C， ∴∠1+∠2=60°，AB=BC=100， ∴∠2=50°，且△ABC是等腰三角形， ∴∠BAC=65°， ∴∠4=65°-30°=35°， 55 24 ∴∠5=55°， ∴点C在点A的南偏东55°的方向上． 故答案为55． 25 15.小明去A市旅游，在从景点回酒店的路上迷路了，他连续问了3个人，得到下列3种回答： 甲：你住的酒店在这儿的东面； 乙：从这儿到你住的酒店大约要走两站路； 丙：你从这儿往东走，大约两站路的距离就是你住的酒店． 你认为 ____ 的回答能帮助小明准确找到所住的酒店． 【解析】解：确定一个点的位置时需要两个必要条件：(1)方向，(2)距离；据此来判断可知丙能确定位置． 故答案为：丙． 丙 26 16.如图所示是某市区部分平面示意图，根据图中信息回答下列问题： (1)若公园的位置可表示为(2，1)，那么市政府可表示为　 　，动物园可表示为　 　，图书馆可表示为　 　． (2)商业大厦的东北方是　 　，客运站位于商业大厦的　 　方向，市政府在　 　的西南方向，在　 　的东南方向． (3)若图中每个小正方形的边长为0.5cm,则火车站到中国银行的图上距离是　 　，实际距离为　 　． (4)找出图中两处距离相同的地点　 　． 27 ____ 【解析】解：由公园的位置可表示为(2，1)，那么市政府可表示为原点，建立直角坐标系．通过观察，易得相关结论填空． (1)(0，0)，(9，3)，(2，2)； (2)动物园，正北，图书馆，中国银行； 28 (3) ，5 km； (4)图书馆与火车站、火车站与客运站． 29 17.如图，杭州亚运会数字火炬手A和吉祥物琼琮B、宸宸C、莲莲D在5×5的方格(每小格边长为1m)上沿着网格线运动．数字火炬手从A处出发去寻找B、C、D处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从A到B记为：A→B(+1，+4)，从B到A记为：B→A(-1，-4)，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)A→C( ____ ， ____ )；B→C( ____ ， ____ )；C→ ____ (-3，-4)； +3 +4 +2 0 A 30 (2)若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为 ____ m； (3)若数字火炬手从A处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为(+2，+2)，(+2，-1)，(-2，+3)，(-1，-2)，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置E点． 【解析】解：(1)根据题中的新定义得：A→D(+3，+4)，B→C(+2，0)，C→A(-3，-4)； 故答案为：+3，+4；+2，0；A； (2)若数字火炬手的行走路线为A→B→C→D，则数字火炬手走过的路程为1+4+2+2+1=10； 10 31 故答案为：10； (3)如图所示，点E为火炬手汪顺的位置． ___ 32 18.对于平面直角坐标系xOy中的点A(x,y)，给出如下定义，若存在点B(x±a,y±a)(a为正数)，称点B为点A的等距点．例如：如图，对于点A(1，1)，存在点B(3，3)，点C(-1，3)，则点B、C分别为点A的等距点． (1)若点A的坐标是(0，1)，写出a=4时，点A在第一象限的等距点坐标； (2)若点A的等距点B的坐标是(-3，1)，求当点A的横、纵坐标相同时的坐标； (3)是否存在适当的a值，当将某个点A(x,y) 33 的所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长不大于 ，求a的取值范围． 【解析】解：(1)点A的坐标是(0，1)， 则点A的等距点为(0+4，1+4)，(0+4，1-4)，(0-4，1+4)，(0-4，1-4)， 即(4，5)，(4，-3)，(-4，5)，(-4，-3)， ∴a=4时，点A在第一象限的等距点坐标为(4，5)； (2)由题意得，-3+a=1-a,或-3-a=1+a, 解得，a=2或a=-2， ∵a是正数， 34 ∴a=2， 当点A的横、纵坐标相同时的坐标为(-1，-1)； (3)点A(x,y)的所有等距点的坐标分别为(x+a,y+a)，(x+a,y-a)，(x-a,y+a)，(x-a,y-a)， 则所有等距点用线段依次连接起来所得到的图形周长为|8a|， 由题意得，|8a|≤ ， 解得，0＜a≤ ． 35 19.如图，是某校的平面示意图，已知图书馆、行政楼的坐标分别为(-3，2)，(2，3)．完成以下问题： (1)请根据题意在图上建立直角坐标系； (2)写出图上其他地点的坐标 (3)在图中用点P表示体育馆(-1，-3)的位置． 【解析】解：(1)由题意可得， 36 ___ (2)由(1)中的平面直角坐标系可得， 校门口的坐标是(1，0)，信息楼的坐标是(1，-2)，综合楼的坐标是(-5，-3)，实验楼的坐标是(-4，0)； (3)在图中用点P表示体育馆(-1，-3)的位置，如图所示， 37 ___ 38 20.如图是某市旅游景点的示意图．已知钟楼的坐标是(-2，4)． (1)根据以上条件请在图中建立平面直角坐标系； (2)直接写出图中除钟楼外其余各点的坐标． 【解析】解：(1)建立平面直角坐标系如下： 39 ___ (2)中心广场(0，0)、古塔(-4，0)、购物中心(-1，-2)、碑林(4，2)、公园(5，-4)． 40 21.小明给右图建立平面直角坐标系，使医院的坐标为(0，0)，火车站的坐标为(2，2)．写出体育场、文化宫、超市的坐标． 【解析】解：由题意可建立如图所示的坐标系， ___则体育场的坐标为(-2，5)、文化馆的坐标为(-1，3)、超市的坐标为(4，-1)． 41 三．坐标与图形性质 42 22.在平面直角坐标系中，P(2，3)，若PQ是平行于坐标轴的线段，且PQ=4，则Q点不能在( ____ ) A.第二、第三象限 B.第三、第四象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】解：因为点P坐标为(2，3)，且PQ=4， 当PQ∥x轴时， 2-4=-2，2+4=6， 所以点Q的坐标为(-2，3)或(6，3)； C 43 当PQ∥y轴时， 3+4=7，3-4=-1， 所以点Q的坐标为(2，7)或(2，-1)． 显然点Q不能在第三象限． 故选：C． 44 23.在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，3)，AB∥x轴，且AB=4，则点B的坐标为( ____ ) A.(-2，3) B.(6，3) C.(-2，3)或(6，3) D.(2，-1)或(2，7) 【解析】解：∵AB∥x轴，A(2，3)， ∴B点的纵坐标和A点的纵坐标相同为3， ∵AB=4， ∴在直线AB上可以找到两个到A点距离为4的点， C 45 一个在A点左边为(−2，3)，一个在A点右边为(6，3)， ∴B点坐标为(−2，3)或(6，3)， 故选：C． 46 24.如图，已知点A(-2，1)，B(-2，-4)，点C(x,y)在线段AB上运动，当OC＞OA时，y的取值范围为( ____ ) A.-1＜y＜1 B.y＜1 C.-4≤y＜-1 D.-4≤y≤-1 【解析】解：如图，作点A关于x轴的对称点A′，则A′(-2，-1)． C 47 ___ ∵OC＞OA， ∴点C在A′B上，且不与A′重合． ∵B(-2，-4)， ∴y的取值范围为-4≤y＜-1． 故选：C． 48 25.如果经过点A，B的直线平行于y轴，则A，B两点坐标之间的关系是( ____ ) A.横坐标相等 B.纵坐标相等 C.横坐标互为相反数 D.纵坐标互为相反数 【解析】解：∵经过点A，B的直线平行于y轴， ∴A，B两点坐标的横坐标相等； 故选：A． A 49 26.如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为A(-4，0)，B(4，0)，C(0，3)连接AC，BC，若AC=BC=5．点M是直线BC上的一个动点，当AM最短时，求AM=( ____ ) A.5 B. C. D.3 【解析】解：∵点A，B，C的坐标分别为A(-4，0)，B(4，0)，C(0，3) B 50 ， ∴AB=4-(-4)=8，OC=3， 在Rt△OBC中，BC= =5， 过点A作AD⊥BC交BC的延长线于点D， 根据等面积法可得， AB×OC= ×BC×AD， ∴ = ×AD， ∴AD= ． 点A到直线BD的最短距离即为点A到直线BD的垂线段的长度，即为AD的长度．故选：B． 51 27.过点(2，-1)且平行于y轴的直线上任意一点的( ____ ) A.横坐标都是2 B.纵坐标都是2 C.横坐标都是-1 D.纵坐标都是-1 【解析】解：过点(2，-1)且平行于y轴的直线上所有点的横坐标都等于-2， 故选：A． A 52 28.在y轴上，距离x轴距离为3的点的坐标是( ____ ) A.(0，3) B.(3，0) C.(0，3)和(0，-3) D.(3，0)和(-3，0) 【解析】解：由题知， 因为此点在y轴上， 所以它的横坐标为0； 又因为此点与x轴的距离为3， 所以它的纵坐标的绝对值为3， C 53 即它的纵坐标为3或-3， 所以此点的坐标为(0，3)和(0，-3)． 故选：C． 54 29.已知如图，点A(-2，0)、B(4，0)、D(-5，9)，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒 个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是 _________ 时，点M在整个运动过程中用时最少． 【解析】解：M在整个过程共用时：t= =AF+ DF， 如图分别作CD∥x轴，BC∥y轴，使直线CD、BC交于C， (-2，6) 55 ___ ∵D的坐标为(-5，9)，B(4，0)， ∴BC=|yD|=9，CD=|xB-xA|=|4+5|=9， ∴BC=CD， 56 ∵∠BCD=90°， ∴△BCD为等腰直角三角形， 如图过点F作EF⊥CD于点E，连接AE， ∴△DEF也是等腰直角三角形， ∴EF= DF， ∴t=AF+ DF=AF+EF≥AE， 当AE⊥CD时，AE取得最小值，即AE=BC=9， ∴tmin=9， 此时，AE'与BD交于点F'， 57 ∴F'的横坐标等于A点的横坐标， ∴xF'=-2， 设直线BD的解析式为y=kx+b(k≠0)， 将点B(4，0)和点D(-5，9)代入解析式得 ， 解得 ， ∴解析式为y=-x+4， 将x=-2代入y=-x+4，得y=6， ∴当F的坐标为(-2，6)，点M在整个运动过程中用时最少， 故答案为：(-2，6)． 58 30.如图，在平面直角坐标系中，O是原点，点B、C在x轴正半轴上，点A在第一象限，∠AOC=60°，OA=6，OB=9，∠OAC=∠ABO，在y轴上找一点P，使△ACP是直角三角形，则点P的坐标是 　　． 【解析】解：∵∠AOC=∠BOA，∠OAC=∠ABO， ∴△OAC∽△OBA， ∴ = ， ∴ = ， ∴OC=4， 59 ∴C(4，0)， 当∠ACP=90°时，过点A作AH⊥OB于H，则OH=OA•cos60°=3，AH=3 ， ∵∠ACP=∠OCP=∠AHC=90°， ∴∠ACH+∠OCP=90°，∠OCP+∠OPC=90°， ∴∠ACH=∠OCP， ∴△OCP∽△HAC， ∴ = ， ∴ = ， 60 ∴OP= ， ∴P(0，- )， 当∠P′AC=90°时，同法可得P′(0， )， 当∠APC=90°时，设P(0，m)， 则有( )2+(m- )2=( )2， 方程无解， 此种情形不存在， 综上所述，满足条件的点P的坐标为(0，- )或(0， )． 61 31.对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b)，若点P′的坐标为(a+kb,ka+b)(其中k为常数，且k≠0)，则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P(1，4)的“2属派生点”为P′(1+2×4，2×1+4)，即P′(9，6)．若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P′点．且线段PP'的长度为线段OP长度的3倍，则k的值 ____ ． 【解析】解：设P(m,0)(m＞0)，由题意：P′(m,mk)， ∵PP′=3OP， ∴|mk|=3m,∵m＞0， ∴|k|=3， ∴k=±3．故答案为±3 ±3 62 32.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C(0，-4)，AC交x轴于D，CD=4AD，点A在y= (k≠0)的图象上，且y轴平分∠ACB，则点A的坐标为 　　． 【解析】解：作AH⊥x轴， ∵CD=4AD， ∴AH∥y轴， ∴△ADH∽△COD， ∴ = = = ， ∴AH=1， 63 ∵A点在y= ， ∴k=x, ∴A(k,1)， ∴OD=4HD= x, ∵OC⊥BD，y轴平分∠ACB， ∴BO=OD， ∴BC2=42+ ，AB2=1+ ，AC2=k2+(1+4)2， ∵∠ABC=90°， ∴AC2=AB2+BC2， 64 ∴k2+25=1+ +16+ ， 解得k2= ， ∴k=± ， ∵图象在第一象限， ∴k= ， ∴A点坐标( ，1)； 故答案为：( ，1)． 65 33.如图，在平面直角坐标系中，已知A，B两点的坐标分别是(0，2)，(0，-3)，P是x轴正半轴上的一个动点，过点B作直线BC⊥AP于点D，直线BC与x轴相交于点C．若OP=2，则点C的坐标为 ________ ． 【解析】解：∵A，B两点的坐标分别是(0，2)，0，-3)， ∴OA=2，OB=3． ∵OP=2， ∴OA=OP． ∵∠AOP=90°， ∴∠APO=45°， (3，0) 66 ∴∠CPD=∠APO=45°． ∵BC⊥AP， ∴∠PCD=45°． ∵∠BOC=90°， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∴OC=OB=3， ∴点C的坐标为(3，0)． 67 34.如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，4)，连接 AC，BD，则AC+BD的最小值为 　　． 【解析】解：如图，将线段DB向左平移到CE的位置，作点A关于原点的对称点A′，连接CA′，EA′． 68 ___ 则E(-2，4)，A′(0，-2)，AC+BD=CA′+CE≥EA′， EA′= =2 ， ∴AC+BD的最小值为2 ． 故答案为：2 ． 69 35.如图，A、B两点的坐标分别为(2，4)，(6，0)，点P是x轴上一点，且△ABP的面积为6，则点P的坐标为 __________________ ． 【解析】解：如图，设P点坐标为(x,0)， 根据题意得 •4•|6-x|=6， 解得x=3或9， 所以P点坐标为(3，0)或(9，0)． 故答案为：(3，0)或(9，0)． (3，0)或(9，0) 70 36.如图，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(-2，0)，C(4，4)，D(-2，6)，点E在x轴上，满足∠BED=∠DEC，则点E的坐标为 __________________ ． 【解析】解：①如图，过D作DT⊥AC于T， ∵A (4，0)，B (-2，0)，C (4，4)，D (-2，6)， ∴∠DBA=∠BAT=∠ATD=90°， BD=BA=6， ∴四边形ABDT是正方形， 连接AD，则∠BAD=∠TAD=45°， (1，0)或(4，0) 71 ∴E，A重合时，有∠BED=∠DEC， ∴E点的坐标为 (4，0)． ②如图，过D作DH⊥EC 于H， ∵∠BED=∠DEC，DB⊥BE， ∴DB=DH=6， ∵C (4，4)，D (-2，6)， ∴CD= ， CH= ， 由三角形内角和定理可得：∠BDE=∠HDE， 72 ∵DB⊥BE，DH⊥EH， ∴BE=HE 设BE=x, 则HE=x,CE=x+2，AE=6-x, ∵CA⊥EA，CA=4， ∴(x+2)2=(6-x)2+42， 解得，x=3， ∴BE=3， ∴E点的坐标为(1，0)； 综上，E点的坐标为(1，0)或(4，0)． 故答案为：(1，0)或(4，0)． 73 37.已知点P(x,y)在以原点为圆心，半径为5的圆上运动，则3x+4y的最大值为 ____ ． 【解析】解：设3x+4y=t(t＞0)， ∵点P(x,y)在以原点为圆心，5为半径的圆上运动， ∴当直线3x+4y=t与圆相切时，t有最大值． 此时圆心到直线的距离等于半径R，设直线与x轴，y轴分别交于A，B两点， 当x=0时，y= t,当y=0时，x= ． ∴A( ，0)，B(0， )． 25 74 ∴AB= = t, ∵S△OAB= OA•OB= AB•R． ∴ • = •5 ∴t=25． ∴t的最大值为25． 故答案为25． 75 38.已知长方形ABCD的三个顶点坐标为A(2，1)，B(6，1)，C(6，-3)，则顶点D的坐标为 _________ ． 【解析】解：∵A(2，1)，B(6，1)，C(6，-3)， ∴点D的横坐标与点A的横坐标相同，为2， 点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，为-3， ∴点D的坐标为(2，-3)． 故答案为：(2，-3)． (2，-3) 76 39.在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．下图中的P，Q两点即为“等距点”． (1)已知点A的坐标为(-3，1)， ①在点E(0，3)，F(3，-3)，G(2，-5)中，为点A的“等距点”的是 _____ ； ②若点B的坐标为B(m,m+6)，且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为 _________ ； (2)若T1(-1，-k-3)，T2(4，4k-3)两点为“等距点”，求k的值． E、F (-3，3) 77 _____ 【解析】解：(1)①∵点A(-3，1)到x、y轴的距离中最大值为3， ∴与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有(3，9)、(-3，3 78 )、(-9，-3)， 这些点中与A符合“等距点”的是(-3，3)． 故答案为①E、F；②(-3，3)； (2)T1(-1，-k-3)，T2(4，4k-3)两点为“等距点”， ①若|4k-3|≤4时，则4=-k-3或-4=-k-3 解得k=-7(舍去)或k=1． ②若|4k-3|＞4时，则|4k-3|=|-k-3| 解得k=2或k=0(舍去)． 根据“等距点”的定义知，k=1或k=2符合题意． 即k的值是1或2． 79 40.已知点A(a,3)，点B(b,6)，点C(5，c)，AC⊥x轴，CB⊥y轴，OB在第二象限的角平分线上： (1)写出A、B、C三点坐标； (2)求△ABC的面积； (3)若点P为线段OB上动点，当△BCP面积大于12小于16时，求点P横坐标取值范围． 【解析】解：(1)如图所示： ∵AC⊥x轴，CB⊥y轴， ∴A和C的横坐标相同，B和C的纵坐标相同 80 ， ∴A(5，3)，C(5，6)， ∵B在第二象限的角平分线上， ∴B(-6，6)； (2)∵BC=5-(-6)=11， ∴△ABC的面积= ×11×(6-3)= ； (3)设P的坐标为(p,-p)， 则△BCP的面积= ×11×(6+p)， ∵△BCP面积大于12小于16， 81 ∴12＜ ×11×(6+p)＜16， 解得：- ＜p＜- ； 即点P横坐标取值范围为：- ＜p＜- ． 82 41.如图，点A(a,b)在第二象限，其中a,b满足等式 +|a+b+n|=0，点B在第一象限内，射线BC∥OA，与y轴交于点C(0，5)． (1)当n=1时，求A点的坐标； (2)点P在y轴上从(0，-3)出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动(到达C点后停止运动)，求当时间为t秒时(不考虑点P与点O，C重合的情况)，∠AOP，∠OPB，∠PBC的大小关系； (3)如图，若∠AOF=30°，点D是射线BC上一动点，∠FOD，∠ODC的平分线交于点E．∠E的大小是否随点D的位置变化发生改变，若不变，请求出∠E的度数；若改变，说明理由． 83 _______ 【解析】解：(1)∵a,b满足等式 +|a+b+n|=0，n=1， ∴ 解得：a=-3，b,=2， 84 ∴A(-3，2) 答：当n=1时，A点的坐标为(-3，2)； (2)①当0＜t＜3时，即点P在y轴的负半轴移动时，如图2-1，此时∠AOP=∠OPB+∠PBC； ∵OA∥BC， ∴∠AOP=∠OCQ， 又∵∠OCQ=∠OPB+∠PBC， ∴∠AOP=∠OPB+∠PBC； ②当3＜t＜8时，即点P在OC上移动时，如图2-2，此时∠OPB=∠AOP+∠PBC， ∵OA∥BC， 85 ∴∠AOP=∠PCB， 又∵∠OPB=∠PBC+∠BCP， ∴∠OPB=∠AOP+∠PBC； (3)∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E=75°， 作∠AOD的平分线交DE于点G，如图3所示 ∵OE平分∠FOD，OG平分∠AOD，DE平分∠ODC， ∵∠FOE=∠EOD= ∠FOD，∠AOG=∠GOD= ∠AOD，∠ODE=∠EDC= ∠ODC， ∵OA∥BC， ∴∠AOD+∠ODC=180°， 86 ∴∠ODE+∠GOD=90°，即∠OGD=90°， ∴∠EOG= ∠FOD- ∠AOD= ∠FOA=15°， ∴∠E=90°-15°=75°，即∠E的大小不变，∠E=75°． 答：∠E的大小不会随点D的位置变化发生改变，∠E=75°． 87 42.如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO=OB=2，BC=3 (1)写出点A、B、C的坐标． (2)如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小． (3)如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数． _______ 88 【解析】解：(1)依题意得：A(-2，0)，B(2，0)，C(2，3)； (2)∵BD∥AC， ∴∠ABD=∠BAC， ∴CAB+∠BDO=∠ABD+∠BDO=90°； (3)：∵BD∥AC， ∴∠ABD=∠BAC， ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠CAE+∠BDE= (∠BAC+∠BDO)= (∠ABD+∠BDO)= ×90°=45°， 89 过点E作EF∥AC， 则∠CAE=∠AEF，∠BDE=∠DEF， ∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠CAE+∠BDE=45°． 90 43.定义：对于平面直角坐标系中的任意两点A(x1，y1)和B(x2，y2)，我们把它们的横、纵坐标的差的平方和的算术平方根称作这两点的“湘一根”，记作Q[A，B]，即 ． (1)若A(2，1)和B(-2，3)，则Q[A，B]=　　； (2)若点M(1，2)，N(a,a-3)，其中a为任意实数，求Q[M，N]的最小值； (3)若m为常数，且m＞0，点A的坐标为(0，5m)，B点的坐标为(8m,-m)，C点的坐标为(x,0)，求Q[A，C]+Q[B，C]的最小值以及Q[A，C]-Q[B，C]的最大值．(用含m的代数式表示) 【解析】解：(1)Q[A，B]= =2 ， 91 故答案为：2 ． (2)如图，由题意，点N在直线y=x-3上运动， ___ 根据垂线段最短可知，当MN⊥直线y=x-3时，MN的值最小，此时N(3，0)， 92 ∵M(1，2)， ∴Q[M，N]的最小值= =2 ． (3)如图1中， ___ ∵m＞0，A(0，5m)， ∴B(8m,-m)在第四象限，A在y轴的正半轴上， 93 ∴当A，C，B共线时，Q[A．C]+Q[C，B]的值最小，最小值= =10m. 如图2中，作点B关于x轴的对称点B′，当点C在AB′的延长线上时，Q[A，C]-Q[B，C]的值最大， ___ 最大值=Q[A，B′]= =4 m. 94 44.在平面直角坐标系中描出下列各点，用线段将各点依次连接起来：A(2，5)，B(1，3)，C(5，2)．并求出该图形的面积． 【解析】解：如图，分别过A、B、C三点作x轴的垂线，垂直分别为D、E、F， ___ 95 则S△ABC=S梯形ADEB+S梯形ADFC-S梯形BCFE = ×(3+5)×1+ ×(2+5)×3- ×(2+3)×4 =4.5． 96 45.在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)试作出直角坐标系，使点A的坐标为(2，-1)； (2)在(1)中建立的直角坐标系中描出点B (3，4)，C (0，1)，并求△ABC的面积． 【解析】解：(1)如图所示： ____ (2)如图． 97 ____ S△ABC=3×5- ×3×3- ×2×2- ×5×1 =15-4.5-2-2.5 =6． 98 46.如图在平面直角坐标系中，已知A(a,0)，B(b,0)，M(-1.5，-2)，其中a、b满足|a+1|+(b-3)2=0． (1)求△ABM的面积； (2)在x轴上求一点P，使得△AMP的面积与△ABM的面积相等； (3)在y轴上存在使△BMP的面积与△ABM的面积相等的P点，请直接写出点P的坐标． 【解析】解：(1)∵|a+1|+(b-3)2=0， 又∵|a+1|≥0，(b-3)2≥0， ∴a+1=b-3=0， 99 ∴a=-1，b=3， 过点M作MN⊥x轴于点N， ____ ∵点M(-1.5，-2)， ∴MN=2， ∵A(-1，0)，B(3，0)， ∴AB=1+3=4， ∴S△ABM= AB•MN= ×4×2=4． 100 (2)设点P(p,0)． ∵S△AMP= =4，解得p=3或 p=-5， 当p=3时，△APM与△ABM重合，不合题意，舍去， ∴点P(-5，0)． (3)如图，设BM交y轴于点N，设P(0，m)．N(0，n)． ____ ∵S△BOM= ×3×2= ×(-n)×4.5， 101 ∴n=- ， ∴N(0，- )， ∵S△MAB=S△PBM， ∴ •|m+ |•4.5=4， 解得m= 或- ∴点P坐标为 或 ． 102 47.在平面直角坐标系中． (1)已知点P(2a-6，a+4)在y轴上，求点P的坐标； (2)已知两点A(-3，m-1)，B(n+1，4)，若AB∥x轴，点B在第一象限，求m的值，并确定n的取值范围； (3)在(1)(2)的条件下，如果线段AB的长度是6，试判断以P、A、B为顶点的三角形的形状，并说明理由． 【解析】解：(1)根据题意知，2a-6=0， 解得：a=3， ∴点P的坐标为(0，7)； (2)∵AB∥x轴， 103 ∴m-1=4，解得m=5， ∵点B在第一象限， ∴n+1＞0，解得n＞-1； (3)由(2)知点A(-3，4)， ∵AB=6，且点B在第一象限， ∴点B(3，4)， 由点P(0，7)可得PA2=(-3-0)2+(4-7)2=18、PB2=(3-0)2+(4-7)2=18， ∵AB2=36， ∴PA2+PB2=AB2，且PA=PB， 因此，△PAB是等腰直角三角形． 104 四．两点间的距离公式 105 48.已知点P(m, m-1)，Q(2，1)，则线段PQ的长的最小值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵ B 106 ∴ ， ∵ ， ∴当 时， 有最小值，即PQ有最小值， ∴线段PQ的长的最小值为 ， 故选：B． 107 五．关于x轴 108 49.点B(-5，6)关于y轴的对称点的坐标是( ____ ) A.(5，6) B.(-5，6) C.(5，-6) D.(-5，-6) 【解析】解：根据对称的性质得，点B(-5，6)关于y轴的对称点的坐标为(5，6)， 故选：A． A 109 50.如图，在直角坐标系中，A(-1，5)，B(-3，0)，C(-4，3)． (1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1． (2)写出点C1的坐标． 【解析】解：(1)如图所示： 110 ____ (2)点C1的坐标为：(4，3)． 111 $$