第2章 实数 培优突破练习【17个考点50题专练】2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第2章 实数 培优突破练习 【17个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．平方根 2 1.若2n-5与n-1是整数x的两个平方根，则x= ____ ． 【解析】解：∵2n-5与n-1是整数x的两个平方根， ∴2n-5+n-1=0， ∴n=2， ∴n-1=2-1=1， ∴x=12=1． 故答案为：1． 1 3 二．算术平方根 4 2.设S1=1+ ， ， ，…， ，则 + +…+ 的值为( ____ ) A. B. C.24 C 5 D.23 【解析】解： =1+1- ， =1+ - ， =1+ - ， = =1+ - ，…， ， 6 ∴ =1+1 …+1+ - =24+1- = =24 ． 故选：C． 7 3.设S1=1 ，S2=1 ，S3=1 ，…，Sn=1 ，则 的值为( ____ ) A. B. C. D. A 8 【解析】解： ， ， ， = ，…， ， ∴ =1+1 …+1+ - 9 =24+1- = ． 故选：A． 10 三．非负数的性质 11 4.已知 ，则x+y= ____ ． 【解析】解：∵ ， ∴x+3=0，y-2=0， ∴x=-3，y=2， ∴x+y=-1， 故答案为：-1． -1 12 四．立方根 13 5.方程 + =6的实数解的个数为( ____ ) A.0 B.1 C.2 D.大于2 【解析】解：令a= ，b= ， ∴a3+b3=6， ∴(a+b)(a2+b2-ab)=6， ∴a2+b2-ab=1， A 14 ∵a+b=6， ∴a2+b2+2ab=36， ∴ab= ， ∴a、b是方程t2-6t+ =0的两个实数根， ∵Δ=- ＜0， ∴方程无解， ∴方程无实数根， 故选：A． 15 6.下列说法中错误的是( ____ ) A.36的算术平方根是6 B. 的平方根是 C.-1的立方根是-1 D.0没有立方根 【解析】解：A、36的算术平方根是6，原说法正确，不符合题意； B、 ，7的平方根是 ，原说法正确，不符合题意； C、-1的立方根是-1，-1的立方根是-1，原说法正确，不符合题意； D、0的立方根是0，原说法错误，符合题意， 故选：D． D 16 7.下列运算正确的是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：A．∵负数没有算术平方根， ∴ 不正确； B． ，故原式不正确； C． ，正确； C 17 D．43=64，∴ 不正确 故选：C． 18 8.已知 ， ， ，则 _________ ． 【解析】解：∵ ， ∴ 13.326． 故答案为：13.326． 13.326 19 9.计算：(1)(-1)3=　　；(2) =　　；(3) =　　；(4) =　　． 【解析】解：(1)(-1)3=-1； (2) ； (3) ； (4) ． 故答案为：(1)-1；(2)±5；(3)2；(4) ． 20 五．无理数 21 10.在实数0、π、 中，无理数的个数有( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解： ， 在实数 中，无理数有π， ，共有2个； 故选：B． B 22 11.下列实数 中，无理数有( ____ ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】解： ， 下列实数 中，无理数有 ，共2个， 故选：B． B 23 六．实数 24 12.我们把M={1，3，x)叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性(如x必然存在)，互异性(如x≠1，x≠3)，无序性(即改变元素的顺序，集合不变)．若集合N={x,1，3}，我们说M=N．已知集合A={0，|x|，y}，集合 ，若A=B，则x+y的值是( ____ ) A.4 B.2 C.0 D.-2 【解析】解：由题可得，集合A中|x|≠0，即x≠0，y≠0， D 25 ∴xy≠0． ∴B中的 =0， ∴x=y, ∴|x|=xy, ∵|x|≠y, ∴x与y都为负数， ∵|x|=-x, ∴-x=xy, ∴xy+x=0， ∴x(y+1)=0， ∵x≠0， 26 ∴y+1=0， ∴y=-1， ∴x=-1， ∴x+y=-2． 故选：D． 27 七．实数的性质 28 13. 的相反数是 　　． 【解析】解： 的相反数为- ． 故答案为：- ． 29 八．实数与数轴 30 14.如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC=2，OA=2OB，若C点所表示的数为m,则B点所表示的数正确的是( ____ ) A.-2(m+2) B. C. D. 【解析】解：由点A、B、C在数轴上的位置，AC=2， D 31 若C点所表示的数为m, ∴点A表示的数为m-2， ∴OA=|m-2|=2-m ∵OA=2OB， ∴OB= OA= ， 故选：D． 32 15.如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上形成一个矩形，以表示3的点为圆心，以矩形的对角线长度为半径作圆与数轴有两个交点，其中点P表示的数是( ____ ) A.5.2 B. C. D. 【解析】解：圆的半径= = ， C 33 ∴点P表示的数为3+ ， 故选：C． 34 16.数轴上A，B两点对应的实数分别是2和 ，C为数轴上异于A，B的一点，若AC=AB，则点C对应的实数是 　　，这三个点表示的数的积为 　　． 【解析】解：由题意知，点C的位置如图所示， ____________ ∵A，B两点对应的实数分别是2和 ， ∴ ， ∵AC=AB， ∴ ， 35 ∴C表示的数为 ； ∴这三个点表示的数的积为 ， 故答案为： ， ． 36 17.实数a在数轴的位置如图所示，则|a+1|= ______ ． 【解析】解：∵a＜-1， ∴a+1＜0，|a+1|=-(a+1)=-a-1， 故答案为：-a-1． -a-1 37 九．实数大小比较 38 18.已知数a,b,c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②-a-b+c＜0；③ ；④|a-b|+|c+b|-|a-c|=-2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x-b|+|x-a|的最小值为a-b.其中正确结论的个数是( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|， B 39 则 ①ab+ac＞0，故原结论正确； ②-a-b+c＞0，故原结论错误； ③ + + =1-1+1=1，故原结论错误； ④|a-b|+|c+b|-|a-c|=a-b+c+b-(-a+c)=2a,故原结论错误； ⑤当b≤x≤a时，|x-b|+|x-a|的最小值为a-b,故原结论正确． 故正确结论有2个． 故选：B． 40 19.比较大小：-5 ____ -2 (填“＞”“＜”或“=”)． 【解析】解：(-5 )2=50，(-2 )2=12， ∵50＞12， ∴-5 ＜-2 ， 故答案为：＜． ＜ 41 20.比较大小(要有具体过程)． (1) 和4； (2) 和0.5． 【解析】解：(1) ，42=16， ∵15＜16， ∴ ． (2) ， ∵ ， 42 ∴ ， ∴ ． 43 一十．估算无理数的大小 44 21.二次根式除法可以这样理解：如 = = +1．像这样通过分子、分母同乘以一个式子，把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．判断下列选项正确的是(　　) ①若a是 的小数部分，则 的值为 ； ②对于式子 ，对它的分子分母同时乘以 或( - )，均不能对其分母有理化； ③比较两个二次根式的大小 ＞ ； 45 ④计算 + + =1- ． A.①② B.③④ C.②③ D.②④ 【解析】解：①若a是 的小数部分，则a= -1， = = +1，故①错误； 46 ② = = ， = = ， ∴均不能对其分母有理化， 故②正确； ③ = = ， = = + ， 47 ∵ + ＞ + ， 故③错误． ④ + + = + + =1- - + - =1- ． 故④正确． 故选：D． 48 22.如果 ，[m]表示m的整数部分，则[m]=( ____ ) A.2701 B.2700 C.2703 D.2702 【解析】解：设2+ =x,2- =y, 则y＜1，xy=1，x+y=4， ∴x2+y2=(x+y)2-2xy=14， ∴x6+y6 =(x2)3+(y2)3 A 49 =(x2+y2)[(x2)2-x2y2+(y2)2] =14×[(x2+y2)2-3(xy)2] =14×(142-3) =2702， 即(2+ )6+(2- )6=2702， ∵0＜(2- )6＜1， ∴2701＜(2+ )6＜2702， ∴[m]=2701． 故选：A． 50 23.若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如：[2.5]=2，[2]=2， ，则式子 的值为(　　) (式子中的“+”，“-”依次相间) A.22 B.-22 C.23 D.-23 51 【解析】解：∵442=1936，452=2025， ∴原式=1-1+2-2+2-2+2-3+3-3+3-3+3-3+4-...-44+44 =+2-2+2-2+2-3+3-3+3-3+3-3+4-...-44+44 ∵从2到44，每个数不考虑符号都是奇数个， ∴原式=+2-3+4-5+...-43+44 =-21+44 =23， 故选：C． 52 24.综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较 与 的大小． 数学思考： (1)解答白老师提出的问题． 深入探究： (2)白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若 ， ，请通过计算，判断p与q的大小． 53 ②“智慧小组”提出问题：已知 ，其中x是整数，且0＜y＜1，请直接写出x-y的值． 【解析】解：(1)∵ ， ，且12＜18， ， ， ∴ 即 ； (2)①∵ ， ， ∴ ， ， 54 ∵ ， ∴p2＜q2， ∴p＜q； ②∵ ，x是整数，且0＜y＜1， ， ∴x=11， ， ∴ ． 55 一十一．实数的运算 56 25.对于任意实数x,y,z,定义运算“*”为：x*y= ，且x*y*z=(x*y)*z,则2013*2012*…*3*2的值为( ____ ) A. B. C. D. C 57 【解析】解：设2013*2012*…*4=m,则2013*2012*…*3=m*3， 则m*3= =9， 9*2= = ， 则2013*2012*…*3*2的值为 ． 故选：C． 58 26. -2014=( ____ ) A.20142 B.20142-1 C.2015 D.20152-1 【解析】解： -2014 = -2014 B 59 =(2014.52-1.25)-2014 =2014.52-2014.5+0.25-1 =(2014.5-0.5)2-1 =20142-1． 故选：B． 60 27.有一个密码系统，其原理如图所示，当输入x的值为 时，输出的结果是 　　． 【解析】解：原式= ． 故答案为： ． 61 28.对于任何实数，我们规定符号 的意义 ，按照这个规定请你计算：当x=1时，则 的值 ____ ． 【解析】解： =3x(x-2)-(x+1)(x-1) =3x2-6x-x2+1 =2x2-6x+1， 当x=1时， 2x2-6x+1=2-6+1=-3，故答案为：-3． -3 62 29.计算： +( )-1-(π- )0+|-1|． 【解析】解：原式= = = ． 63 30.计算： ． 【解析】解： =-1+4+(-6)÷(-2) =-1+4+3 =6． 64 31.计算： ． 【解析】解：原式= = ． 65 32.计算： ； 【解析】解： = = = ． 66 33.当x=1时，二次根式 的值为 ____ ． 【解析】解：当x=1时，原式= ， 故答案为：3． 3 67 34.已知a,b,c为正数，判断 与 的关系是(　　)(提示：数形结合) A.≤ B.≥ C.= D.＜ 【解析】解：作MB⊥BN，BP平分∠MBN，取BA=a,BC=b,BD=c,连接AC，BD，AD，CD，如图， 68 ___ ∵AB⊥BC， ∴AC= = ． ∵BP平分∠MBN， ∴∠ABD=∠CBD=45°． 过点A作AE⊥BD于点E，过点C作CF⊥BD于点F，如图， 69 ___ ∵AE⊥BD，∠ABE=45°， ∴AE=BE= a, ∴ED=BD-BE=c- a, 由勾股定理得： 70 AD= = = = ， 同理可得：CD= ， ∵AD+CD≥AC， ∴ ≥ ． 故选：B． 71 35.计算：( + )( - )= ____ ． 【解析】原式=( + )( - )=3-2=1． 故答案为：1． 1 72 36.设x、y、z是两两不等的实数，且满足下列等式： ，则x3+y3+z3-3xyz的值是( ____ ) A.0 B.1 C.3 D.条件不足，无法计算 【解析】解：依题意得： A 73 ， 解得x=0， ∵ ， ∴ ， ∴y=-z ∴把x=0，y=-z代入x3+y3+z3-3xyz得：原式=(-z)3+z3=0 故选：A． 74 37.二次根式除法可以这样解：如 = =7+4 ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是(　　) ①若a是 的小数部分，则 的值为 +1； ②比较两个二次根式的大小 ＞ ； ③计算 + + +…+ =1- ； ④对于式子 ，对它的分子分母同时乘以 - 或 75 或7-2 ，均不能对其分母有理化； ⑤设实数x,y满足(x+ )(y+ )=2022，则(x+y)2+2022=2022； ⑥若x= ，y= ，且19x2+123xy+19y2=1985，则正整数n=2． A.①④⑤ B.②③④ C.②④⑤⑥ D.②④⑥ 76 【解析】解：①若a是 的小数部分，则 = = =3 +3， 故①错误，不符合题意； ②∵ = = ， = ， ＞ + ， ∴ ＞ ， 故②正确，符合题意； 77 ③ + + +…+ = + + +...+ =1- + - + - +...+ - =1- =1- ， 故③错误； 78 ④ = = ， = = ， = = ， ∴均不能对其分母有理化， 故④正确； ⑤∵(x+ )(y+ )=2022， ∴(x+ )= 79 ， ∴x+ = -y, 同理y+ = -x, 两式相加得，x+y=0， ∴(x+y)2+2022=2022， 故⑤正确； ⑥x= = =2n+1-2 ， y= = =2n+1+2 ， 80 ∴x+y=4n+2，xy=1，x＞0，y＞0， ∴19x2+123+19y2=1985， ∴x2+y2=98， ∴(x+y)2=x2+y2+2xy=100， ∴x+y=10， ∴n=2， 故⑥正确； 故选：C． 81 38.计算： = ____ ． 【解析】解：原式=(2 - )× ×1 = × ×1 = ×6 =10． 故答案为：10． 10 82 39.计算( )( )的结果等于 ____ ． 【解析】解：原式=7-3 =4． 故答案为4． 4 83 40.计算： =　　． 【解析】解： =2 - ×1+4 =2 - +4 = +4， 故答案为： +4． 84 41.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1)原式= =0； (2) = = = ． 85 42.定义：若两个二次根式m,n满足m•n=p,且p是有理数．则称m与n是关于p的和谐二次根式． (1)若m与 是关于6的和谐二次根式，求m； (2)若 与 是关于4的和谐二次根式，求m的值． 【解析】(1)解：由题意可得， ， ∴ ； (2)解：由题意可得， ， 整理得， ， ∴m=2． 86 43.计算： (1) ； (2) ． 【解析】解：(1) = 87 = ； (2) =3-4 +4- + =3-4 +4-3+2 = ． 88 44.计算： (1)| ； (2) ． 【解析】(1)解：原式= = =3． (2)解：原式= = = = ． 89 45.计算： 【解析】解： = = =60． 90 46.(1) +2 -( - ) (2)( )2+2 ×3 ． 【解析】解：(1)原式=2 +2 -3 + =3 - ； (2)原式=5-2 +2 =5． 91 47.某数学兴趣小组在学习二次根式的时候发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，例如，( -2)( +2)=1， • =a,(2 - )(2 + )=10．通过查阅相关资料发现，这样的两个代数式互为有理化因式．小组成员利用有理化因式，分别得到了一个结论： 甲： = ； 乙：设有理数a,b满足： + =-6 +4，则a+b=6； 丙： ＞ ； 92 丁：已知 - =2，则 + =8； 戊： + + +…+ = ． 以上结论正确的有( ____ ) A.甲丙丁 B.甲丙戊 C.甲乙戊 D.乙丙丁 B 93 【解析】解： = = = ， 甲正确； + 94 = a+ b =( -1)a+( +1)b =(a+b) -a+b, (a+b) -a+b=-6 +4， ∴ ， 解得 ， ∴a+b=-6，乙错误； 95 = = ， = = + ， ＞ ， ∴丙正确； 已知 - =2， ∴ = ， ∴ = ， 96 ∴ = ， 则 + =16， ∴丁错误； + + +…+ = = + + +...+ = - + - + - +...+ - 97 = - = - = = ， 戊正确， ∴正确的有甲丙戊，故选：B． 98 48.在数学课外学习活动中，小光和他的同学遇到一道题： 已知 ，求2a2-8a+1的值．他是这样解答的： ∵ ， ∴ ， ∴(a-2)2=3a2-4a+4=3 ∴a2-4a=-1 ∴2a2-8a+1=2(a2-4a)+1=2×(-1)+1=-1． 请你根据小光的解题过程，解决如下问题： 99 (1) =　　； (2)化简 ； (3)若 ，求a4+6a3+6a+2023的值． 【解析】解：(1) = = -1． 故答案为： ； (2) 100 = + + +...+ = -1+ - + - +...+ - = -1 =15-1 =14； (3)∵ = = -3， 101 ∴ ， ∴ ， ∴(a+3)2=10，即 a2+6a+9=10， ∴a2+6a=1， ∴a4+6a3+6a+2023 =a2(a2+6a)+6a+2023 =a2×1+6a+2023 =a2+6a+2023 =1+2023 =2024． 102 49.已知 ， ，求a2+b2的值． 【解析】解：∵ ， ， ∴a+b= +1+ -1=2 ，ab=( +1)× -1)=7-1=6， ∴a2+b2 =(a+b)2-2ab =(2 )2-2×6 =28-12 =16． 103 50.已知 ，分别求下列代数式的值： (1)x2y-xy2； (2)x2-2xy+y2． 【解析】解：(1)∵ ， ∴ ， ∴ ； (2)由(1)知 ， ∴ ． 104 $$