第1章 勾股定理 中档题拓展训练 作业讲评课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 中档题拓展训练 【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股定理的应用 五．平面展开 2 一．勾股定理 3 1.小丽在半径为100m的圆形广场内(包含边界)散步，从圆周上的点A处出发，沿直线行走到点B处，然后直角拐弯，沿直线行走到圆周上的点C处时停止行走，则小丽行走的路程AB+BC的最大值为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：根据题意图形如下： C 4 ___ ∵AB+BC＞AC， ∴由题意可知AC应该为定值时，AB+BC=AC， 设半径为r,则r= AC，AC=100 ， AB+BC≤AC， ∵AC≤200， 5 ∴AB+BC≤ AC≤200 ， 故选：C． 6 2.如图，三个正方形围成一个直角三角形，其中两个正方形的面积分别是3和7，则字母A所代表的正方形的面积是( ____ ) A.2 B.10 C. D.4 【解析】解：由勾股定理得：字母A所代表的正方形的面积7-3=4． 故选：D． D 7 3.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=8，BC=6，则点C到直线AB的距离为( ____ ) A.8 B.4.8 C.6 D.10 【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴ ， 设点C到直线AB的垂线段的长为h, B 8 ∴ ， ∴ ， ∴h=4.8， 故选：B． 9 4.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为5，分别以△ABC的三条边为斜边向外作等腰直角△ACE，△BCD和△ABF，则阴影部分的面积为( ____ ) A.25 B. C. D. 【解析】解：∵△ACE为等腰直角三角形， C 10 ∴AE=CE，AE2+CE2=AC2， ∴ ， ∴ ， 同理可得： ， ， ∴S阴影=S△ACE+S△BCD+S△ABF = 11 = ， ∵AC2+BC2=AB2=52=25， ∴ ． 故选：C． 12 5.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是( ____ ) A.2025 B.2024 C.22023 A 13 D.22021-1 【解析】解：如图， ___ 由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， 14 ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025． 故选：A． 15 6.如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，∠BAC=30°，AB=12，则AD的长为( ____ ) A. B.8 C. D. 【解析】解：∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12， ∴ ， ∴ ， D 16 ∵AB是DC边上的中线， ∴CD=2BC=12， ∴ ， 故选：D． 17 7.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一．如图1，以直角三角形ABC的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大的正方形内，三个阴影部分面积分别记为S1，S2，S3，若已知S1=2，S2=5，S3=8，则两个较小正方形纸片的重叠部分(四边形DEFG)的面积为( ____ ) ____ D 18 A.7 B.10 C.13 D.15 【解析】解：设直角三角形的斜边长为a,较长直角边为c,较短直角边为b, 由勾股定理得，a2=c2+b2， ∴a2-c2-b2=0， ∴S阴影=a2-c2-(b2-S四边形DEFG)=a2-c2-b2+S四边形DEFG=S四边形DEFG ∴S四边形DEFG=S1+S2+S3=2+5+8=15， 故选：D． 19 8.将一副直角三角板和一把宽度为3cm的直尺按如图方式摆放；先把60°和45°角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于A，B两点，则AB的长是( ____ ) A. B. C.3 D. A 20 【解析】解：在Rt△ACD中，∠ACD=45°， ∴∠CAD=45°=∠ACD， ∴AD=CD=3cm, 在Rt△BCD中，∠BCD=60°， ∴∠CBD=30°， ∴BC=2CD=6cm, ∴BD= = =3 (cm)， ∴AB=BD-AD=(3 -3)(cm)． 故选：A． 21 9.如图，在四边形ABCD中，∠DCB=135°，∠B=∠D=90°，BC=1， ，则四边形ABCD的面积为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：延长AD，与BC的延长线于点E， C 22 ___ ∵∠DCB=135°，∠ADC=90°， ∴∠DCE=45°，∠EDC=90°， ∴∠DEC=∠DCE=45°， ∴DE=DC， ∵BC=1，CD= ， 23 ∴DE= ， ∴CE= = =2， ∴BE=BC+CE=1+2=3， ∵∠B=90°，∠E=45°， ∴∠A=∠E=45°， ∴AB=BE=3， ∴S四边形ABCD=S△EAB-S△EDC = 24 = = = ． 故选：C． 25 10.如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，求BC边上的高为 　　． 【解析】解：由题意可得 ， 又 ， ∴△ABC中BC边上的高长= ， 故答案为： ． 26 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D为AB的中点，过D作ED⊥AB交AC于E点，则AE的长为 　　． 【解析】解：连接BE， ∵D为AB的中点，过D做ED⊥AB交AC于E点， ∴AE=BE， ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB= ， 设AE=BE=x,则CE=8-x, 在Rt△ECB中，CE2+BC2=BE2， 即x2=62+(8-x)2， 27 解得：x= ， 即AE= ， 故答案为： ． 28 12.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则AB的长为 　　． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2， ∴ ， 故答案为： ． 29 13.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以△ABC的三边为边向外作正方形ACDE，正方形CBGF，正方形ABIH，连接FB并延长交IH于N，过C作CM∥FN交IH于M，若HM=MN=NI= ，则正方形ACDE的面积等于 ____ ． 【解析】解： 36 30 ___ 31 ∵HM=MN=NI= ， ∴HI=3 ， ∵四边形ABIH是正方形， ∴AB∥HI，AB=HI=3 ， ∵CM∥FN， ∴四边形MNBP是平行四边形， ∴BP=MN= ，AP=AB-BP=2 ， ∴ = ， ∵CM∥FN， 32 ∴∠ACP=∠AFB，∠APC=∠ABF， ∴△APC∽△ABF， ∴ ， ∵四边形BCFG是正方形， ∴BC=CF，即AF=AC+BC， ∴ ， ∴AC=2BC， ∵在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2， ∴(3 )2=AC2+( AC)2， 33 解得：AC=6， ∴正方形ACDE的面积=AC2=36， 故答案为：36． 34 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，AB=4，AC=2，则CD的长为 　　． 【解析】解：∵∠ACB=90°，AB=4，AC=2， ∴BC= = =2 ， ∵CD是△ABC的高， ∴S△ABC= AB•CD= AC•BC， ∴CD= = = ， 即CD的长为 ，故答案为： ． 35 15.如图，在3×3的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为　　． 【解析】解：由勾股定理得：AC= ， ∵S△ABC=3×3- ， ∴ ， ∴ ， ∴BD= ，故答案为： ． 36 16.在平面直角坐标系中，点A坐标为(-3，0)，点P(m,5-m)在第一象限，连接AP，在AP下方作等腰△APB，使∠APB=120°，则AB的最小值为 　　． 【解析】解：作PC⊥AB于点C，作PD⊥x轴于点D． 37 ___ ∴∠ACP=90°，∠ADP=90°． 38 ∵PA=PB，∠APB=120•， ∴AB=2AC，∠APC=60°． ∴AC=AP•sin∠APC= AP， ∴AB= AP． ∵点A坐标为(-3，0)，点P(m,5-m)， ∴PD=5-m,AD=m-(-3)=m+3． ∴AP= = = ． ∵2＞0， 39 ∴m=- =1时，2m2-4m+34有最小值，最小值是32． ∴AP的最小值是 =4 ． ∴AB的最小值是 ×4 =4 ． 故答案为：4 ． 40 17.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若AD=1，BC=4，则AB2+CD2= ____ ． 【解析】解：∵AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， ∴AB2+CD2=AD2+BC2， ∵AD=1，BC=4， ∴AB2+CD2=12+42=17． 故答案为：17． 17 41 18.如图，长方形E的长是宽的2倍，图中所有阴影四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为5、23、10，则正方形D的面积为 ____ ． 【解析】解：设正方形D的面积为x(x＞0)． ∵长方形E的长是宽的2倍． ∴长方形E的长的平方是长方形E的宽的平方的4倍． ∵正方形A、B、C、D的面积依次为5、23、10、x. ∴根据图形得：5+23=4(10-x)． 解得：x=3．∴正方形D的面积为3． 故答案为：3． 3 42 19.一个直角三角形的两条直角边相差5cm,面积是7cm2．求斜边的长． 【解析】解：设较短的直角边长是xcm,较长的直角边就是(x+5)cm,则 x•(x+5)=7， 整理得：x2+5x-14=0， ∴(x+7)(x-2)=0， ∴x=2或x=-7(舍去)． 5+2=7cm, = cm. 故斜边的长为 cm. 43 20.如图，在△ABC中，AB=AC=10，CD⊥AB于点D，CD=6，求BC的长． 【解析】解：∵AB=AC=10，CD⊥AB于点D，CD=6， ∴AD= =8，DB=10-8=2， ∴BC= =2 ． 44 21.在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： (1)如图2，若AB=3，BC=4，CD=4，求AD的长； (2)如图3，若AC=BD=5，求四边形ABCD的面积； (3)如图4，若AB=3， ，CD=4，直接写出AD的长． __________ 45 【解析】解：(1)∵CD=BC=4， ∴△BDC为等腰三角形． ∵AC⊥BD， ∴AC为DB的垂直平分线， ∴AD=AB． ∵AB=3， ∴AD=3； (2)∵AC⊥BD， ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC = 46 = = = ×5×5 = ． (3)∵AC⊥BD， ∴CE2+DE2=CD2，DE2+AE2=AD2，AE2+BE2=AB2，CE2+BE2=BC2， ∴CD2+AB2=CE2+DE2+AE2+BE2， AD2+BC2=DE2+AE2+CE2+BE2， 47 ∴CD2+AB2=AD2+BC2， ∵AB=3， ，CD=4， ∴42+32=AD2+( )2， 解得AD=2 ． 48 22.如图，△ABC中，AB=AC，作 BD⊥AC，∠BDF=∠BAF=∠C，BD=3，CD=1． (1)求证：∠CBD=∠EDA； (2)求AB的长． 【解析】(1)证明：∵BD⊥AC， ∴∠C+∠CBD=∠EDA+∠BDF， ∵∠BDF=∠C， ∴∠CBD=∠EDA； (2)解：设AD=x,则AC=AD+CD=AB=x+1， ∵BD=3， 49 ∴x2+32=(x+1)2， 解得：x=4， ∴AB=x+1=5． 50 二．勾股定理的证明 51 23.数学家发现在一个直角三角形中，两个直角边边长的平方和等于斜边长的平方．如图①，设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b(a＜b)，斜边长度是c,那么可以用数学语言表达：a2+b2=c2． 52 (1)如图②所示，将4块与图①完全相同的直角三角形拼成一个边长为c的正方形ABCD，则四边形EFGH是一个 　　(填“长方形”或“正方形”)，其面积为 　　(用含a、b的代数式表示)； (2)观察图②，利用面积之间的恒等关系，试说明a2+b2=c2的正确性； (3)如图③所示，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=12，BC=20，利用上面的结论求EF的长． 【解析】解：(1)由题意知：∠HEF=∠EFG=∠FGH=∠GHE=90°， EF=FG=GH=HE=b-a, ∴四边形EFGH是一个正方形，且边长为(b-a)， 故答案为：正方形，(b-a)2； 53 (2)∵S正方形ABCD=4×SRt△ABE+S正方形EFGH， ∴c2=4× ab+(b-a)2， 整理，得a2+b2=c2， 故a2+b2=c2的正确； (3)∵ABCD是长方形，△AFE是由△ADE折叠得到的， ∴AF=AD=BC=20，DC=AB=12，EF=DE， 在Rt△ABF中， ∵AB=12， ∴由勾股定理，得BF= = =16， ∴CF=BC-BF=20-16=4， 54 设EF=x,则EC=DC-DE=12-x, 在Rt△EFC中， 由勾股定理，得EF2=CF2+EC2， 即x2=42+(12-x)2， 解得x= ， 即EF的长为 ． 55 24.(1)计算：(2a+b)(a+b)=　　； (2)图形是一种重要的数学语言，它直观形象，我们可以用几何图形的面积来解释一些代数中的等量关系．例如：上面的计算是否正确我们可以通过图1来进行验证和解释．请同学们分别写出图2、图3能解释的乘法公式： 图2：　　； 图3：　　； (3)利用几何图形的面积，我们还可以去探究一些其它的等量关系： 做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b,斜边为c,再做1个长分别为c的正方形，把它们按图4所示的方式拼成一个大正方形．试用不同的方法计算正方形的面积， 56 就可以得到直角三角形的三边的数量关系：a2+b2=c2．这一个数量关系，我们叫做“勾股定理”，请你利用图4来证明勾股定理，即a2+b2=c2． (4)如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上高，AC=4，BC=3，求CD的长度． 57 _____ 58 【解析】解：(1)原式=2a2+2ab+ab+b2=2a2+3ab+b2． 故答案为：2a2+3ab+b2． (2)(a-b)2=a2-2ab+b2， (a+b )(a-b)=a2-b2， 故答案为：(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b )(a-b)=a2-b2． (3)在图4中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，即 ， 化简，得 a2+b2=c2． (4)在 Rt△ABC中， ∵∠ACB=90°， 59 ∴由勾股定理得AB2=AC2+BC2=42+32=25 ∴AB=5， ∵CD⊥AB， ∴ ， ∴ ． 60 三．勾股定理的逆定理 61 25.下列条件中，不能使△ABC为直角三角形的是( ____ ) A.a=2.5，b=6，c=6.5 B.a：b：c=1： ：2 C.a2+b2=c2 D.∠A：∠B：∠C=3：4：5 【解析】解：A、2.52+62=6.52，能够成直角三角形，不符合题意； B、12+( )2=22，能够成直角三角形，不符合题意； C、a2+b2=c2，能够成直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°× =75°，不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． D 62 26.以下列长度的三条线段为边能组成直角三角形的是( ____ ) A.6，7，8 B.6，8，10 C.3，4，6 D.2，3，4 【解析】解：A．∵62+72=36+49=85，82=64， ∴62+72≠82， ∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵62+82=36+64=100，102=100， ∴62+82=102， B 63 ∴以6，8，10为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； C．∵32+42=9+16=25，62=36， ∴32+42≠62， ∴以3，4，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵22+32=4+9=13，42=16， ∴22+32≠42， ∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 64 27.以下列数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是( ____ ) A.3，4，5 B.1，2，3 C.6，9，12 D.5，8，10 【解析】解：A、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故本选项符合题意； B、12+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； C、62+92≠122，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意； D、52+82≠102，不符合勾股定理的逆定理，故本选项不符合题意．故选：A． A 65 28.△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列条件中能判断△ABC为直角三角形的是( ____ ) A.a=b=c B.∠A：∠B：∠C=3：4：5 C.a：b：c=1：2：3 D.a=3，b=4，c=5 【解析】解：A、∵a=b=c, ∴△ABC是等边三角形，不是直角三角形，本选项不符合题意； B、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5， ∵∠A+∠B+∠C=180°， D 66 ∴最大角 ， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵a：b：c=1：2：3， ∴b=2a,c=3a, ∴ ， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项不符合题意； D、∵a=3，b=4，c=5， ∴a2+b2=32+42=25=c2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 67 四．勾股定理的应用 68 29.已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图， A 69 ___ ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了AB=18×2=36(海里)，AC=12×2=24(海里)， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= =12 (海里)． 故选：A． 70 30.如图，一棵树(树干与地面垂直)高18米，在一次强台风中树被强风折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为12米，则这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为( ____ ) A.12米 B.14米 C.3米 D.5米 【解析】解：由题意得：∠BAC=90°，AB+BC=18米，AC=12米， 设AB=x米，则BC=(18-x)米， D 71 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+122=(18-x)2， 解得：x=5， 即这棵树断裂处点B离地面的高度AB的值为5米， 故选：D． 72 31.如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高为12cm.若铅笔的长为20cm,则这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是( ____ ) A.9cm≤l≤12cm B.5cm≤l≤8cm C.5cm＜l＜9cm D.12cm≤l≤20cm 【解析】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得： ， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为：20-15=5(cm)； B 73 当铅笔垂直于笔筒底面放置时，铅笔在笔筒外面部分的长度为20-12=8(cm)， 即铅笔在笔筒外面最长不超过8cm, 所以这只铅笔露在笔筒外面的长度l的取值范围是5cm≤l≤8cm. 故选：B． 74 32.有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB=3米，BC=4米，AD=12米，CD=13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积( ____ ) A.24m2 B.36m2 C.48m2 D.60m2 【解析】解：连接AC，如图， B 75 __ ∵AB⊥CB， ∴∠ABC=90°， ∵AB=3米，BC=4米， ∴AC=5米， ∵AD=12米，CD=13米， ∴AC2+AD2=CD2， 76 ∴△ACD为直角三角形， ∴这块草坪的面积=S△ABC+S△ACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(m2)． 故选：B． 77 33.如图，在水塔O的东北方向16m处有一抽水站A，在水塔的东南方向12m处有一建筑工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为( ____ ) A.21m B.20m C.19m D.22m 【解析】解：由题意可知，∠AOB=90°，OA=16m,OB=12m, ∴AB= (m)， 故选：B． B 78 34.数学兴趣小组为测量学校A与河对岸的科技馆B之间的距离，在A的同岸选取点C，测得AC=20米，∠A=45°，∠C=90°，如图，据此可求得A，B之间的距离为 　　米． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°， ∴∠B=90°-∠A=45°=∠A， ∴BC=AC=20米， ∴AB= = =20 (米)， 即A，B之间的距离为20 米，故答案为：20 ． 79 35.如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子底端距离墙7m,如果梯子的顶端下滑4m,那么梯子底端将向外滑动 ____ ． 【解析】解：由题意得∠AOB=90°，AB=A′B′=25m,OA=7m,BB′=4m, 在Rt△AOB中，AB=25m,OA=7m, ∴ ， 在Rt△A′OB′中，A′B′=25m,OB′=OB-BB′=24-4=20(m)， ∴ ， ∴AA′=OA′-OA=15-7=8(m)， ∴梯子底端将向外滑动了8m,故答案为：8m. 8m 80 36.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高7米，两树相距12米，一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢B，则小鸟至少要飞行 ____ 米． 【解析】解：过B作BC∥地面，连接AB， ____， 13 81 由题意得，BC=12米，AC=12-7=5(米)， 由勾股定理得，AB= =13(米)， 故答案为：13． 82 37.笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B．其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H(A，H，B在同一直线上)，并新修一条路CH，测得BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米．则原路线AC=　　千米． 【解析】解：在△CHB中，BC=5千米，CH=4千米，BH=3千米． ∴CH2+BH2=BC2， ∴△HBC是直角三角形，∠CHB=90°， ∴CH⊥AB， 设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=(x-3)千米， 83 在Rt△ACH中，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2， 即x2=(x-3)2+42， 解得：x= ， 即原路线AC的长为 千米， 故答案为： ． 84 38.如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB=6，AD=8，BC=24，CD=26，则四边形ABCD的面积为 _____ ． 【解析】解：如图，连接BD， ∵AB⊥AD， ∴∠A=90°， ∴BD= = =10， 在△CBD中，BC=24，CD=26，BD=10， ∴CD2=BD2+BC2， ∴△CBD是直角三角形，且∠CBD=90°， 144 85 ∴S四边形ABCD=S△ABD+S△CBD= AD•AB+ BD•BC= ×6×8+ ×10×24=24+120=144， 即四边形ABCD的面积为144， 故答案为：144． 86 39.某校“综合与实践”小组开展了测量学校旗杆的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表(不完整)． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：张组长组员：甲同学，乙同学，丙同学 工具 皮尺等 87 测量示意图 ____ 说明：线段AB表示学校旗杆，AB垂直地面于点B．如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处，用皮尺测出BD的长度． 测量数据 测量项目 数值 88 图1中BC的长度 1.2米 图2中BD的长度 6.2米 …… …… (1)请你根据“综合与实践”小组测量得到的相关数据，计算学校旗杆AB的高度(结果保留一位小数)． (2)如果想要更加准确计算学校旗杆AB的高度，请你帮助该小组提出一条可行的建议(写出一条即可)． 【解析】解：(1)由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1.2米， 设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为(x+1.2)米 由图2可得，在Rt△ABD中，AB2+BD2=AD2， 89 (x+1.2)2-x2=6.22， 解得，x≈16.0， 答：旗杆的高度为16.0米． (2)想要更加准确计算学校旗杆AB的高度，每个数据多测量几遍，求其平均数．(不唯一，合理即可)． 90 40.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心由西向东，从A行驶向B，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A，B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,以台风中心为圆心周围200km以内为受影响区域． (1)求∠ACB的度数； 91 (2)海港C受台风影响吗？并说明理由． 【解析】解：(1)∵AC=300km,BC=400km, 又∵AB=500km, ∴AC2+BC2=3002+4002=5002=AB2， ∴△ABC 是直角三角形， ∴∠ACB=90°； (2)海港C不受台风影响，理由如下： _______ 92 过点C作 CD⊥AB， ∵△ABC 是直角三角形， ， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240km, ∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， 200＜240， ∴海港C不受台风影响． 93 41.6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 94 【解析】解：(1)海港C受台风影响，理由： ∵AC=300km,BC=400km,AB=500km, ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC•BC=CD•AB， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240km, ∵ 95 以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； (2)当EC=260km,FC=260km时，正好影响C港口， ∵ED= (km)， ∴EF=2ED=200km, ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25=8(小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 96 42.为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD=90°，AD=3m,AB=4m,BC=13m,CD=12m.根据你所学过的知识，解决下列问题： (1)四边形ABCD的面积； (2)点D到BC的距离． 【解析】解：(1)如图1，连接BD， ∵∠BAD=90°，AD=3m,AB=4m, 97 ∴BD= = =5(m)， ∵52+122=132， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴S四边形ABCD=SRt△ABD+SRt△BDC= AB•AD+ BD•CD= ×(4×3+5×12)=36(m2)， 答：四边形土地的面积为36m2； (2)如图2，过点D作DE⊥BC于点E， 由(1)可知，△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， 98 ∴S△BDC= BC•DE= BD•CD， ∴DE= = = (m)， 答：点D到BC的距离为 m. 99 43.如图，小明先把升旗的绳子贴紧旗杆，将其拉直到旗杆底端，绳子的末端刚好接触地面D处．然后又将绳子拉紧，将末端拉到距旗杆水平距离8米的C处，此时绳子末端距离地面2米．求旗杆的高度AD． 【解析】解：设旗杆高度为x米， ∴AC=AD=x米，AB=(x-2)米，BC=8米， 在Rt△ABC 中，由题意得： (x-2)2+82=x2， 解得x=17， ∴旗杆的高度为17米． 100 44.如图，台风中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC=60km,BC=80km,又已知AB=100km,经测量，距离台风中心50km及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为4千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【解析】解：(1)海港C受台风影响， 101 理由：∵AC=300km,BC=400km,AB=500km, ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC×BC=CD×AB， ∴60×80=100×CD， ∴CD=48(km)， ∵以台风中心为圆心周围50km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； (3)当EC=50km,FC=50km时，正好影响C港口， 102 ∵ED= = =14(km)， ∴EF=2ED=28km, ∵台风的速度为4千米/小时， ∴28÷4=7(小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为7小时． 103 45.如图，一块四边形草地ABCD，其中∠B=∠D=90°，AB=15m,BC=20m,CD=7m,求这块草地的面积． 【解析】解：如图，连接AC， ∵∠B=90°，AB=15m,BC=20m, ∴AC= = =25(m)， ∵∠D=90°，CD=7m, ∴AD= = =24(m)， ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= AB•BC+ AD•CD= ×15×20+ ×24×7=234(m2)． 104 46.如图1，一个梯子AB长为5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C之间的距离是4米． (1)求梯子的顶端与墙角C之间的距离． (2)如图2，将梯子的底端B向C的方向挪动1米，若在墙AC的上方点E处须悬挂一个广告牌，点E与C之间的距离是4.2米，试判断：此时的梯子的摆放位置能否够到点E处？ 105 _____ 【解析】解：(1)如图1，在Rt△ABC中， AB=5米，BC=4米， ∴AC= =3米， 答：梯子的顶端与墙角C之间的距离为3米； 106 (2)如图2，在Rt△ABC中， ∵AB=5米，BC=4-1=3(米)， ∴AC= =4米， ∵4＜4.2， ∴AC＜EC， ∴此时的梯子的摆放位置不能够到点E处． 107 47.6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,AB=500km,经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 108 【解析】解：(1)海港C受台风影响，理由： ∵AC=300km,BC=400km,AB=500km, ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°； 过点C作CD⊥AB于D， ∵△ABC是直角三角形， ∴AC•BC=CD•AB， ∴300×400=500×CD， ∴CD=240km, ∵ 109 以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域， ∴海港C受台风影响； (2)当EC=260km,FC=260km时，正好影响C港口， ∵ED= = =100(km)， ∴EF=2ED=200km, ∵台风的速度为25千米/小时， ∴200÷25=8(小时)． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 110 五．平面展开 111 48.如图，教室墙面ADEF与地面ABCD垂直，点P在墙面上，若PA= 米，AB=2米，点P到AF的距离是4米，一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是( ____ ) 米． A.3 B.4 C.5 D.6 【解析】解：如图，过P作PG⊥BF于G，连接PB， C 112 此时PB的长为这只蚂蚁从点P爬到点B的最短行程， ∵ 米，AB=2米，点P到AF的距离是4米， ∴PG=4米， ∴ (米)， ∴BG=GA+AB=1+2=3(米)， ∴ (米)， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是5米． 故选：C． 113 49.如图，已知圆柱底面的周长为12m,圆柱高为4m,BC为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为( ____ ) m. A. B. C. D. 【解析】解：如图，将圆柱侧面展开， B 114 则AC长即为从点A爬到点C的最短距离， AC= = =2 (m)， 故选：B． _____ 115 50.如图，实心圆柱的底面周长为30cm,高为8cm.蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ____ 厘米． 【解析】解：沿过A点和过B点的母线剪开，展开成平面，连接AB， ____ 则AB长时蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B的最短路程， ∴ ， 17 116 在Rt△ABC中， ， 故答案为：17． 117 $$