第1章 勾股定理 培优突破练习 作业讲评课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 培优突破练习 【5个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股定理的应用 五．平面展开 2 一．勾股定理 3 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各边为边作三个正方形，点G落在HI上，若AC+BC=7，空白部分面积为10，则AB的长为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵四边形ABGF是正方形， A 4 ∴AB=AF，∠BAN=∠F=90°， ∴∠MAF+∠BAC=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABN+∠BAC=90°， ∴∠ABN=∠MAF， ∵AB=AF，∠BAN=∠F， ∴△BAN≌△AFM(ASA)， ∴△BAN的面积=△AFM的面积， ∴四边形FNCM的面积=△ABC的面积， ∴空白部分的面积=正方形ABGF的面积-2×△ABC的面积， 5 ∴ ①， ∵AC+BC=7， ∴(AC+BC)2=72， ∴AC2+BC2+2AC•BC=49， ∵AB2=AC2+BC2， ∴AB2+2AC•BC=49②， 由①和②得AB2=23， ∴ (舍去负值)． 故选：A． 6 2.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为5，分别以△ABC的三条边为斜边向外作等腰直角△ACE，△BCD和△ABF，则阴影部分的面积为( ____ ) A.25 B. C. D. 【解析】解：∵△ACE为等腰直角三角形， C 7 ∴AE=CE，AE2+CE2=AC2， ∴ ， ∴ ， 同理可得： ， ， ∴S阴影=S△ACE+S△BCD+S△ABF = 8 = ， ∵AC2+BC2=AB2=52=25， ∴ ． 故选：C． 9 3.已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( ____ ) A.3cm2 B.4cm2 C.6cm2 D.12cm2 【解析】解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE=ED． ∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE． ∴BE=9-AE， C 10 根据勾股定理可知AB2+AE2=BE2． 解得AE=4． ∴△ABE的面积为3×4÷2=6(cm2)． 故选：C． 11 4.如图，四边形ABCD，AB=AD=10，CB=CD=20，∠B=∠D=90°，E是AD的中点，过点E作EF//DC交BC于F，则EF的长为( ____ ) A. B.15 C. D.16 【解析】解：延长DA，CB交于M， ∵∠ABC=90°， A 12 ∴∠ABM=∠D=90°， ∵∠AMB=∠CMD， ∴△MAB∽△MCD， ∴MB：MD=AB：CD， ∵AB=10，CD=20， ∴BM：MD=1：2， 令MB=x,则MD=2x, ∵AD=10， ∴MA=2x-10， ∵MA2=AB2+MB2， ∴(2x-10)2=102+x2， 13 ∴x= ， ∴MB= ，AM= ， ∵E是AD中点， ∴AE= AD=5， ∴ME=MA+AE= ， ∵EF∥DC， ∴∠MEF=∠D=90°， ∴∠ABM=∠MEF=90°， 14 ∵∠AMB=∠FME， ∴△AMB∽△FME， ∴AB：EF=MB：ME， ∴10：EF= ： ， ∴EF= ． 故选：A． 15 5.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，它们的面积分别是S1，S2，S3，S4．若S1+S4=100，S3=36，则S2的值是( ____ ) A.8 B.50 C.64 D.136 【解析】解：连接BD， C 16 ___ 根据勾股定理可得AD2+AB2=BD2，BC2+CD2=BD2， 即S1+S4=S2+S3， ∴S2=100-36=64， 故选：C． 17 6.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC于D点，F边BC上一动点，过F作EF⊥CB交CA的延长线于点E，当四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等时，DF的长度为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：∵AB=AC=5，BC=6， ∴CD=6÷2=3，AD⊥CB， D 18 ∵EF⊥CB， ∴AD∥EF， ∴△CAD∽△CEF， ∵四边形ADFE的面积与△ABC的面积相等， ∴△CAD与△CEF面积比=1：3， ∴CD：CF=1： ，即CD：DF=1：( )， ∵CD=3， ∴DF=3 -3． 故选：D． 19 7.如果对于任意图形内的点S与图形内的任意一点P的连线SP，总在图形内部，则称点S为星点．如图1中的点S是星点，图2中的点S不是星点．已知图3中∠A=∠B=∠C=60°，∠D=90°，AB=CD=1，BC=2，则图3中存在星点的区域的面积是( ____ ) ________ A. A 20 B. C. D. 【解析】解：如图所示：延长DE、AE，分别交BC于 F，点G， _____ 21 ∵∠D=90°，∠C=60°， ∠DFC=30° CF=2CD=2(直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半)， ∴点B和点F重合， ∴∠A=∠B=60°， ∴∠AGB=60°， ∴△ABG是等边三角形， 当点S在△ABE内时，当点P在线段DE附近时线段SP无法经过图形内部；同理当点S在四边形EGCD内时，当点P在线段AE附近时线段SP无法经过图形内部， 因此S点只能在△BEG内，此时无论点P在哪里， 22 线段SP都只经过图形内部，星点的区域为△BEG， ∵∠EBG=30°，∠AGB=60°， ∴BEG=90°， 且△ABG是等边三角形， ∴BG=AB=1， ∴EG= BG= ， ∴BE= = ， ∴S△BEG= = ． 故选：A． 23 8.在三边长分别为a,b,c(a＜b＜c)的直角三角形中，下列数量关系不成立的是( ____ ) A.a+b＞c B.a+b＜2c C. D.a2+b2=c2 【解析】解：A、a+b＞c,正确，故A不符合题意； B、由a＜c,b＜c,得到a+b＜2c,故B不符合题意； C、由a+b＞c；a,b,c是正数，得到 + ＞ ，因此 C 24 + +2 ＞ ，所以 ＞ ，得到 + ＞ ，故C符合题意； D、由勾股定理得：a2+b2=c2，故D不符合题意． 故选：C． 25 9.如图，在△ABC中，AB=5，BC=4，AC=7，BD⊥AC，则CD的长为( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：设CD=x,则AD=7-x, ∵BD⊥AC， B 26 ∴∠BDA=∠BDC=90°， 在Rt△ABD和Rt△CBD中，由勾股定理得：BD2=AB2-AD2=BC2-CD2， 即52-(7-x)2=42-x2， 解得：x= ， 即CD的长为 ， 故选：B． 27 10.如图，在△ADC中，∠C=90°，AB是DC边上的中线，∠BAC=30°，AB=12，则AD的长为( ____ ) A. B.8 C. D. 【解析】解：∵∠C=90°，∠BAC=30°，AB=12， ∴ ， ∴ ， D 28 ∵AB是DC边上的中线， ∴CD=2BC=12， ∴ ， 故选：D． 29 11.如图①，四边形ABCD中，AD=CD，AB=CB，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的面积为对角线乘积的一半，如图②，现有Rt△ABC，已知AB=6，AC=8，BC=10，P为BC边上一个动点，点N为DE中点，若筝形ADPE的面积为18，则AN的最大值为 　　． 【解析】解：如图， 30 ____ ∵ADPE是筝形， ∴S四边形ADPE =18， ∴AP•DE=18， 当AP取最小值时，DE有最大值， ∵AB=6，AC=8，BC=10， ∴AB2+AC2=100，BC2=100， ∴AB2+AC2=BC2， 31 ∴△ABC是直角三角形， ∵P为BC边上的一个动点， ∴当AP⊥BC时，AP取到最小值， ∴AP的最小值为： ， ∴ =36， ∴DE= ， 在Rt△ADE中，点N为DE的中点， 32 ∴AN= ， ∴当DE取最大值时，AN有最大值， ∴AN的最大值为 ， 故答案为 ． 33 12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向下作正方形ADEB，过点E作EF∥BC交AC于点F，过点C作CG∥BE交EF于点G，连结DG，若AF=3，DE=15，则四边形CGEB的面积为 ____ ． 【解析】解：∵四边形ADEB是正方形， ∴AD=BE=AB=DE=15， ∵EF∥BC，CG∥BE， ∴四边形CBEG是平行四边形， ∴CG=BE=15， ∴CG=AB， 81 34 ∵∠AFH=∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠AHF=90°，∠FEB+∠EHB=90°， ∵∠AHF=∠EHB， ∴∠CAB=∠FEB， ∵∠FGC=∠FEB， ∴∠CAB=∠FGC， ∵∠GFC=∠ACG=90°， ∴△GFC≌△ACB(AAS)， ∴CF=BC， 设AC=b,CF=BC=a,则b-a=AC-CF=AF=3， ∴(b-a)2=32=9， 35 ∴b2+a2-2ab=9， ∵b2+a2=AC2+BC2=AB2=152=225， ∴225-2ab=9， ∴2ab=216， ∴(b+a)2=b2+a2+2ab=225+216=441=212， ∴b+a＞0， ∴b+a=21， 由 得 ， ∴CF=BC=9， ∵CF⊥BC，且四边形CBEG是平行四边形， 36 ∴S四边形CGEB=BC•CF=9×9=81， ∴四边形CBEG的面积是81， 故答案为：81． 37 13.如图，在四边形ABCD中，AC=BD，AC⊥BD，∠BAD=105°，AD=4 ，CD=13，则AB= ____ ． 【解析】解：如图，将△ADB绕点D顺时针旋转90°得到△DEF，连接AF，AE，作AH⊥EF于H． __ 15 38 ∵AD=DE=4 ，∠ADE=90°， ∴AE= = =8，∠AED=∠DAE=45°， ∵∠DEF=∠BAD=105°， ∴∠AEF=60°， ∵AH⊥EF， ∴EH= AE=4，AH= EH=4 ， ∵AC⊥BD，DF⊥BD， ∴AC∥DF， 39 ∵AC=BD，BD=DF， ∴AC=DF， ∴四边形ACDF是平行四边形， ∴AF=CD=13， ∴FH= = =11， ∴EF=FH+EH=11+4=15， ∴AB=EF=15， 故答案为15． 40 14.在四边形ABCD中，AC=AD，∠ABC=∠BDC=30°，AD=2，BD=5，则BC的长度为 　　． 【解析】解：以CD为边作等边△CDE，连接EA并延长至F，使EF=BD，连接BF、CF，如图： 41 ____ ∵AC=AD，CE=CD， ∴AE是CD的垂直平分线， ∴∠CEH=30°，H是CD中点， ∵CD=CE，∠BDC=∠CEF=30°，BD=EF， ∴△BCD≌△FCE(SAS)， 42 ∴BC=CF，∠BCD=∠FCE， ∴∠BCF=∠DCE=60°， ∴△BCF是等边三角形， ∵∠ABC=30°， ∴AB是∠FBC的平分线， ∴AB是CF的垂直平分线， ∴AF=AC=AD=2， ∵EF=BD=5， ∴AE=EF-AF=3， 设CH=x,则EH= x,AH=3- x, 43 在Rt△ACH中，x2+(3- x)2=22， 解得x= 或x= (舍去)， ∴BC2=CF2=CH2+FH2=( )2+(5- × )2= ， ∴BC= ． 故答案为： ． 44 15.如图，以AB为斜边的Rt△ABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN，正方形BCPQ，正方形ACEF，且边EF恰好经过点N．若S3=S4=6，则S1+S5= ____ ．(注：图中所示面积S表示相应封闭区域的面积，如S3表示△ABC的面积) 【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于W． ____ 6 45 ∵∠ABM=∠CBQ=90°， ∴∠ABC=∠MBQ， ∵BA=BM，BC=BQ， ∴△ABC≌△MBQ(SAS)， ∴∠ACB=∠BQM=90°， ∵∠PQB=90°， ∴M，P，Q共线， ∵四边形CGMP是矩形， ∴MG=PC=BC， ∵∠BCT=∠MGB=90°，∠BTC+∠CBT=90°，∠BQM+∠CBT=90°， ∴∠MQG=∠BTC， 46 ∴△MGW≌△BCT(AAS)， ∴MW=BT， ∵MN=BM， ∴NW=MT，可证△NWE≌MTP， ∴S1+S5=S3=6， 解法二：∵AC2+BC2=AB2， ∴S1+S2+S左空+S右空+S5=S3+S4+S左空+S右空， ∴S1+S5=S4=6 故答案为6． 47 16.如图，四边形ABCD，AD∥BC，对角线BD⊥BC，∠BDC=45°，点E为AB上一点，BE=BD，连接CE并延长交BD于点F，交DA延长线于点G，AD=8，BF=9．则AG的长为 ____ ． 【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠G=∠ECB， ∵BD⊥BC，∠BDC=45°， ∴∠BCD=45°， ∴BC=BD， 2 48 ∵BE=BD， ∴BE=BC， ∴∠AEG=∠BEC=∠ECB， ∴∠G=∠AEG， ∴AE=AG， 设AE=AG=y,DF=x,则BC=BD=x+9，DG=y+8， ∵∠G=∠ECB，∠DFG=∠BFC， ∴△DFG∽△BFC， ∴ ， 即 ， 49 ∴x2+9x-9y=72①， 在Rt△ADB中，82+(x+9)2=(x+9+y)2， 即y2+18y+2xy=64②， ①+②得x2+9x-9y+y2+18y+2xy=136， 整理得(x+y+17)(x+y-8)=0， 解得x+y=8，x+y=-17(舍去)， ∴AB=x+y+9=17， ∴BD= ， ∴x=BD-BF=15-9=6， ∴AG=y=2． 故答案为：2． 50 17.在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，点D、E在AB、AC边上，且AD=CE，则CD+BE的最小值 　　． 【解析】解：如图作CK∥AB，使得CK=CA．作BG⊥KC交KC的延长线于G． ______ ∵CK∥AB， ∴∠KCE=∠A， 51 ∵CK=CA，CE=AD， ∴△CKE≌△CAD， ∴CD=KE， ∵CD+BE=EK+EB≥BK， ∴CD+BE的最小值为BK的长， 在Rt△BCG中，∵∠G=90°，BC=8， ∴CG= BC=4，BG=4 ， 在Rt△KBG中，BK= = =2 ． 故答案为2 ． 52 18.在△ABC中，D为AC边的中点，连接BD，∠ABD=30°，若∠ACB=2∠CBD，则∠BAC的度数为 _____________ ． 【解析】解：∵D为AC的中点， ∴AD=CD． 如图，以点D为圆心，AD为半径画圆，交BC于点E，连接DE交AB于点F，连接DF，EF， ∴DE=DF=DC=DA． ∴∠ACB=∠DEC． ∵∠ACB=2∠CBD． ∴∠DEC=2∠CBD． 60°或105° 53 ∵∠DEC=∠CDB+∠BDE，∠CBD=∠BDE． ∴BE=DE． ____ 54 如图，以E为圆心，以BE为半径画圆，交AB于点G， ∴∠DEG=2∠ABD=60°． ∴DG=DE=EG． 当点G与点E重合时． ∴∠AFC'=90°． ∴∠ABC=90°-30°=60°． ∴∠CBD=30°，∠ACB=60°． ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=60°． 55 ___ 当G与A重合时，如图，则∠AEC=∠BEA=90°． ∴∠EAD=60°，∠BAE=45°． ∴∠BAC=105． 56 ___ 综上所述∠BAC度数为：105°或60°． 故答案为：105°或60°． 57 19.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AC=17，BC=15，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A—C—B—A运动．设点P的运动时间为t(t＞0)． (1)AB=　　； (2)①当P在BC上时，CP的长为 　　(用含t的代数式表示)，t的取值范围是 　　； ②若点P在∠BCA的平分线上，则t的值为 　　． 【解析】解：(1)由勾股定理得，AB= = =8， 故答案为：8； 58 (2)①∵点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线A-C-B-A 运动，AC=17， ∴当P在 BC上时，CP=3t-AC=3t-17， ∵AC≤3t≤AC+BC， ∴ ≤t≤ ， 故答案为：3t-17， ≤t≤ ； ②当点P在∠BCA 的角平分线上时，如图所示，过点P作PE⊥AC于E， 59 __， ∴∠PEA=∠PEC=90°， ∵CP平分∠BCA， ∴∠BCP=∠ECP， ∵∠PEC=∠B=90°，CP=CP， ∴△BCP≌△ECP(AAS)， 60 ∴EC=BC=15，则 AE=AC-CE=17-15=2， 设AP=x,则BP=8-x, 由勾股定理得，AP2=EP2+EA2， ∴x2=(8-x)2+22， 解得：x= ， ∴AP= ，即40-3t= ， 解得：t= ， 点P与点C重合时，点P在∠BCA的平分线上，此时t= ， 故答案为： 或 ． 61 20.已知直角三角形的一条直角边的长是7cm,斜边的长是9cm,求另一条直角边的长． 【解析】解：由直角三角形的一条直角边的长是7cm,斜边的长是9cm, 得另一条直角边的长= =4 ． 62 21.在初中数学中，四边形是一个重要的研究对象，其中涵盖了丰富的知识．研究如图1所示的四边形ABCD，AC，BD相交于点E，且AC⊥BD，我们将对该图形进行不同补充和改变，请你利用所学的知识来探讨以下问题： (1)如图2，若AB=3，BC=4，CD=4，求AD的长； (2)如图3，若AC=BD=5，求四边形ABCD的面积； (3)如图4，若AB=3， ，CD=4，直接写出AD的长． __________ 63 【解析】解：(1)∵CD=BC=4， ∴△BDC为等腰三角形． ∵AC⊥BD， ∴AC为DB的垂直平分线， ∴AD=AB． ∵AB=3， ∴AD=3； (2)∵AC⊥BD， ∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC = 64 = = = ×5×5 = ． (3)∵AC⊥BD， ∴CE2+DE2=CD2，DE2+AE2=AD2，AE2+BE2=AB2，CE2+BE2=BC2， ∴CD2+AB2=CE2+DE2+AE2+BE2， AD2+BC2=DE2+AE2+CE2+BE2， 65 ∴CD2+AB2=AD2+BC2， ∵AB=3， ，CD=4， ∴42+32=AD2+( )2， 解得AD=2 ． 66 二．勾股定理的证明 67 22.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年周中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，由四个全等的直角三角形(△ABF，△BCG，△HCD，△AED)和中间一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD中，点P是AB的中点．连结PE，若BF=3，且P，E，D在同一直线，则AB的长为( ____ ) A. B. C.6 B 68 D.5 【解析】解：由题意得：AE=BF=3，∠HEF=∠EFG=90°， ___ ∴PD∥BG， ∵点P是AB的中点， ∴AE=EF=3，AF=AE+EF=6， ∴ ，故选：B． 69 23.如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形ABCD与四边形EFGH都是正方形．连结DG并延长，交BC于点P，点P为BC的中点．若EF=2，则AE的长为( ____ ) A.4 B. C. D. 【解析】解：由题意，EF=HG=FG=2，AD∥BC，BG⊥HC，DH⊥HG C 70 ，∠ADE=∠GBP， ∴∠ADG=∠GPC． ∵点P为BC的中点， ∴PB=PG=PC． ∴∠BGP=∠GBP，∠GPC=2∠GBP． ∴∠GPC-∠ADE=2∠GBP-∠ADE，即∠GDH=∠GBP． ∴△GDH∽△CBG． ∴ = ，即 = ． 设AE=BF=HD=x, ∴ = ．∴x=1+ 或x=1- (舍去)． 故选：C． 71 24.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形(如图所示)，若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9，设直角三角形较长直角边为b,较短直角边为a,则a+b的值是( ____ ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解析】解：∵大正方形的面积是29，小正方形的面积是9． C 72 ∴一个小三角形的面积是 ×(29-9)=5．三角形的斜边为 ． ∴ab=5．a2+b2=29． ∴(a+b)2=a2+b2+2ab=49． ∴a+b=7． 故选：C． 73 25.意大利著名画家达•芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是( ____ ) _______ A. B. A 74 C. D. 【解析】解：由勾股定理可得a2+b2=c2， 由题意，可得 ， 故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意． 故选：A． 75 26.四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为4的小正方形EFGH．已知AM为Rt△ABM较长直角边，AM=2 EF，则正方形ABCD的面积为 ____ ． 【解析】解：设AM=2a.BM=b.则正方形ABCD的面积=4a2+b2 由题意可知EF=(2a-b)-2(a-b)=2a-b-2a+2b=b, ∵AM=2 EF， ∴2a=2 b, 36 76 ∴a= b, ∵正方形EFGH的面积为4， ∴b2=4， ∴正方形ABCD的面积=4a2+b2=9b2=36， 故答案为：36 77 27.勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理(备注：图中所有直角三角形都是以c为斜边，a,b为直角边的全等三角形) _____ (1)毕达哥拉斯的证法(图1)：(补充完整以下证明过程) 证明：∵正方形①的面积=　　． 正方形②的面积=　　． 78 又∵正方形①与正方形②的边长相等 ∴　　=　　 ∴a2+b2=c2 (2)请你写出弦图(图2)的另一种证法． 【解析】(1)证明：∵正方形①的面积=a2+b2+4× ab=a2+b2+2ab 正方形②的面积=c2+4× ab=c2+2ab, 又∵正方形①与正方形②的边长相等， ∴a2+b2+2ab=c2+2ab, ∴a2+b2=c2， 79 故答案为：a2+b2+2ab,c2+2ab,a2+b2+2ab,c2+2ab； (2)证明：由图可知大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积， ∴c2=4× ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2， 即c2=a2+b2． 80 28.公元3世纪，古人就通过拼图验证了勾股定理：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2．还探索验证了勾股定理的逆定理：如果三角形三边满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形． (1)小明发现证明勾股定理的新方法：如图1，在正方形ACDE边CD上取点B，连接AB，得到Rt△ACB，三边分别为a,b,c,剪下△ACB把它拼接到△AEF的位置，如图2所示，请利用面积不变证明勾股定理． (2)一个零件的形状如图3，按规定这个零件中 81 ∠A和∠C都应是直角，小明测得这个零件各边尺寸(单位：cm)如图③所示，这个零件符合要求吗？ 【解析】(1)证明：如图，连接BF， ____ ∵AC=b, ∴正方形ACDE的面积为b2， ∵CD=DE=AC=b,BC=a,EF=BC=a, ∴BD=CD-BC=b-a,DF=DE+EF=a+b, 82 ∵∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠BAE=90°， ∵∠BAC=∠EAE， ∴∠EAF+∠BAE=90°， ∴△BAF为等腰直角三角形， ∴四边形ABDF的面积为：c2+(b-a)(a+b)=c2+(b2-a2)， ∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等， ∴b2=c2+(b2-a2)， ∴b2=c2+b2-a2， ∴a2+b2=c2， ∴a2+b2=c2． 83 (2)解：这个零件不符合要求． 理由如下：连接BD，如图， ___ 由勾股定理逆定理，知只有当BC2+DC2=AB2+AD2=BD2时，∠A和∠C都是直角， ∵BC2+DC2=152+202=225+400=625， AB2+AD2=232+82=529+64=593， 且625≠593， ∴BC2+DC2≠AB2+AD2，所以∠A和∠C不可能都是直角． 因此，这个零件不符合要求． 84 29._________【回顾旧知】在学习“乘法公式”时，我们分别从两个不同的角度计算如图1所示的正方形ABCD的面积，从而得到公式：(a+b)2=a2+b2+2ab.【类比探究】用图2中四个完全一样的直角三角形可以拼成图3的大正方形，请根据图3，利用图形的面积关系，推导a、b、c之间满足的关系式，写出推理过程． 85 【拓展应用】利用图3中探究的关系式解答下列问题： ①图3中如果大正方形的面积是25，且(a+b)2=49，则小正方形的面积为 　　． ②连接图3中的四条线段得到图4的新图案，若a=7，b=4，则图4中阴影部分的周长为 　　． ③利用图2中八个完全一样的直角三角形可以拼成图5的大正方形，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNXT的面积分别为S1、S2、S3，则三个正方形的面积S1、S2、S3满足的关系式是 　　． 【解析】解：【回顾旧知】∵大正方形的边长为c, ∴大正方形的面积为c2． 86 ∵大正方形由四个直角边长为a、b的直角三角形和一个边长为a-b的小正方形组成， ∴大正方形的面积为：4× ab+(a-b)2． ∴4× ab+(a-b)2=c2． ∴(a-b)2+2ab=c2． ∴a2+b2=c2． 【拓展应用】①∵大正方形的面积是25， ∴c2=25． ∴a2+b2=25． ∵(a+b)2=49， 87 ∴a2+2ab+b2=49． ∴2ab=24． ∴ab=12． ∵(a-b)2=a2+b2-2ab=1， ∴小正方形的面积为1． 故答案为：1； ②∵BD=a=7，AB=b=4， ∴BC=3． 88 __ 由题意得：∠ABC=90°， ∴AC=5． ∴阴影部分的周长=4×(4+5)=36． 故答案为：36； ③由题意得：S1=(a+b)2，S2=a2+b2，S3=(a-b)2， ∴S1+S3=2S2．故答案为：S1+S3=2S2． 89 三．勾股定理的逆定理 90 30.在三边分别为下列长度的三角形中，不能组成直角三角形的是( ____ ) A.1， B.9，40，41 C.2，3， D. 【解析】解：A、 ，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、92+402=412，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形， D 91 故本选项不符合题意； C、 ，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、 ，根据勾股定理，不是直角三角形，故本选符合题意． 故选：D． 92 31.下列条件中，不能使△ABC为直角三角形的是( ____ ) A.a=2.5，b=6，c=6.5 B.a：b：c=1： ：2 C.a2+b2=c2 D.∠A：∠B：∠C=3：4：5 【解析】解：A、2.52+62=6.52，能够成直角三角形，不符合题意； B、12+( )2=22，能够成直角三角形，不符合题意； C、a2+b2=c2，能够成直角三角形，不符合题意； D、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∴∠C=180°× =75°， 不能构成直角三角形，符合题意． 故选：D． D 93 32.已知：如图，四边形ABCD，AB=1，BC= ，CD= ，AD=3，且AB⊥BC．则四边形ABCD的面积为　 　． 【解析】解：连接AC， ∵AB⊥BC ∴△ABC是直角三角形 ∴AC2=AB2+BC2=12+( )2=( )2 ∴AC= ∴S△ABC= AB•BC= ×1× = 94 ∵在△ACD中AC2+AD2=( )2+32=( )2=CD2 ∴△ACD是直角三角形． ∴S△ACD= AC•AD= × ×3= ∴四边形ABCD的面积为S△ABC+S△ACD= + = ． 则四边形ABCD的面积为 ． 95 33.Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，则这个等腰三角形的面积是 ____________________ ． 【解析】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=4， ∴AB= = =3，S△ABC= AB•BC=6． 沿过点B的直线把△ABC分割成两个三角形，使其中只有一个是等腰三角形，有三种情况： __________ 3.6或4.32或4.8 96 ①当AB=AP=3时，如图①所示， S等腰△ABP= S△ABC= ×6=3.6； ②当AB=BP=3，且P在AC上时，如图②所示， 作△ABC的高BD，则BD= = =2.4， ∴AD=DP= =1.8， ∴AP=2AD=3.6， ∴S等腰△ABP= S△ABC= ×6=4.32； ③当CB=CP=4时，如图③所示， 97 S等腰△BCP= S△ABC= ×6=4.8； ④当BP=CP时，点P在线段BC的垂直平分线上， 根据平行线分线段成比例定理得点P是AC的中点， ∴BP是Rt△ABC斜边上的中线， ∴BP=AP， 此时△ABP也是等腰三角形，不符合题意，舍去． 综上所述：等腰三角形的面积可能为3.6或4.32或4.8． 故答案为3.6或4.32或4.8． 98 34.在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a,b,c且满足(a-b)2+|a2+b2-c2|=0，则△ABC是 __________ 三角形． 【解析】解：∵(a-b)2+|a2+b2-c2|=0， ∴a-b=0，a2+b2-c2=0， ∵a2+b2-c2=0， ∴△ABC是直角三角形， ∵a=b, ∴△ABC是等腰直角三角形， 故答案为等腰直角． 等腰直角 99 35.△ABC中，三边长分别为a=6cm,b=3 cm,c=3cm,则△ABC中最小的角为 ____ 度． 【解析】解：∵△ABC中，三边长分别为a=6 cm,b=3 cm,c=3cm, ∴c2+b2=32+(3 )2=9+27=36=62=a2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵a＞b＞c, ∴△ABC中最小的角为边c所对的角， ∵a=6cm,c=3cm, ∴∠C=30°，∴△ABC中最小的角为30度． 30 100 四．勾股定理的应用 101 36.如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程AC比河的宽度AB多2米，则河的宽度AB是( ____ ) A.8米 B.12米 C.16米 D.24米 【解析】解：根据题意可知BC=10米， 设AB=x,则AC=x+2， D 102 Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2， 即(x+2)2=102+x2， 解得x=24． ∴该河的宽度AB为24米． 故选：D． 103 37.已知一轮船以18海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，同时另有一轮船以12海里/时的速度也从港口A出发向东南方向航行，都离开港口2小时后，两船相距多少海里？( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：如图， A 104 ___ ∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴∠BAC=90°， 两小时后，两艘船分别行驶了AB=18×2=36(海里)，AC=12×2=24(海里)， 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC= =12 (海里)． 故选：A． 105 38.图1是一种木质投石机模型，其示意图如图2所示．已知AB=AC，BD=4cm,BC=8cm,木架高AG=8Cm.按压点F旋转至点F'，抛杆EF绕点A旋转至E'F'，弹绳DE随之拉伸至DE'，测得∠CDE'=∠BAE'=90°，则抛杆EF的长为 　　cm.若弹绳自然状态时，点A，E，D在同一直线上，则此次旋转后弹绳被拉长的长度DE'-DE为 　　cm. _____ 106 【解析】解：如图， ___ 延长AB交E′D的延长线于H， 在△ABD和△HBD中， 107 ， ∴△ABG≌△HBD(ASA)， ∴DH=AG=8，BH=AB， ∵∠AGB=90°， ∴AB= = =4 ， ∴AH=AB+BH=8 ， ∵tanH= = = = ， 108 ∴AE′= =4 ， ∴EF=E′F′=2AE′=8 ， 在Rt△AHE′中， HE′= = =20， ∴DE′=HE′-DH=20-8=12， 在Rt△AGD中， AD= = =8 ， ∴DE=AD-AE=AD-AE′=8 -4 ， 109 ∴DE'-DE为=12-(8 -4 )=12-8 +4 ， 故答案为：8 ，12-8 +4 ． 110 39.如图1是某品牌电脑支架，整体支架由3组支撑条和2组活动条组成，支撑条AB=BC=28cm,CD=24cm,相连两根支撑条可绕交点转动，活动条EF，GH一端分别与支撑条BC，CD中点连接，并且可绕固定支点E与支点G转动，通过转动活动条，将末端点F与点H分别卡入支撑条AB及BC上的孔洞中，以此来完成支架调节，其中活动条GH=16cm. 将电脑支架调节到如图2所示，底部一组支撑条贴合水平桌面，调节活动条EF，使得∠ABC=30°，调节活动条GH使得GH⊥CD，此时活动条末端点H到桌面的距离为 　　，如图3某电脑键盘面与显示屏面长度相等，即MP=NP，将其放置到上述状态电脑支架上，使点M与点C重合，此时点P恰好与点D重合，开合电脑显示屏，点N到桌面的最大高度是 　　． 111 _________ 【解析】解：①∵CG= CD=12cm,GH=16cm,GH⊥CD， ∴CH= = =20cm, ∴BH=BC-CH=28-20=8cm, 又∵∠ABC=30°， 112 ∴活动条末端点H到桌面的距离= BH=4cm； ②如图4，当DN⊥AB时，点N到桌面的高度最大， 作CL⊥AB于点L，延长ND交AB于点K，作CS⊥DK于点K，作GT⊥AB于点T，交CS于点O，交BC于点J，作GI⊥BC于点I， 在Rt△CLK中，BC=28cm,∠ABC=30°， ∴CL= BC= ×28=14cm, ∵CL⊥AB，CS⊥DK，NK⊥AB，GT⊥AB， ∴四边形CLKS为矩形，四边形CLTO为矩形， ∴CL=SK=OT=14cm, 113 ∵S△CGH= CG•GH= CH•GI，CG=12cm,GH=16cm,CH=20cm, ∴12×16=20GI， ∴GI= cm, 在Rt△CGI中，CI= = = cm, ∵GT⊥AB，CL⊥AB， ∴GT∥CL， ∴∠CJG=∠BCL=90°-30°=60°， ∵GI⊥BC， 114 ∴GJ= = cm,IJ= GJ= cm, ∴CJ=CI+IJ= cm, ∴BJ=BC-CJ=28- = cm, 在Rt△BJT中，∠ABC=30°， ∴JT= BJ= cm, ∴GT=GJ+JT= + = cm, 115 ∴GO=GT-OT= -14= cm, ∵GT⊥AB，NK⊥AB， ∴GT∥NK， ∵CG=DG， ∴CO=SO， ∴DS=2OG=2× = cm, ∵CD=MP=NP=24cm,DN=NP， ∴NK=DN+DS+SK=24+ +14= cm, 116 即点N到桌面的最大高度是 cm. 故答案为：4cm； cm. 117 40.消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到25m(即AA'=BB'=25m)，消防车高4m,救人时云梯伸长至最长，在完成从19m(即A′M=19m)高的A'处救人后，还要从24m(即B′M=24m)高的B'处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为多少米？ 118 _______ 【解析】解：由题意可知，DM=4m,AA'=BB'=25m,A'M=19m,B′M=24m,AD⊥B′M，点A、B、D三点共线， ∴A'D=A'M-DM=19-4=15(m)，B′D=B′M-DM=24-4=20(m)， 在Rt△AA'D中，由勾股定理得：AD= 119 = =20(m)， 在Rt△BB'D中，由勾股定理得：BD= = =15(m)， ∴AB=AD-BD=20-15=5(m)． 答：这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AB为5m. 120 41.小莉在白莲洞公园划船结束后，如图，在离水面高度为5m的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13m,此人以一定的速度收绳．当绳长为8米时船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？(假设绳子是直的，结果保留根号) 【解析】解：在Rt△ABC中，∠CAB=90°，BC=13m,AC=5m,CD=8m, ∴AB= = =12(m)， AD= = = (m)，∴BD=AB-AD=(12- )m, 答：船向岸边移动了(12- )m. 121 42.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度． 【解析】解：设OA=OB=x尺， ∵EC=BD=5尺，AC=1尺， ∴EA=EC-AC=5-1=4(尺)，OE=OA-AE=(x-4)尺， 在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺， 122 根据勾股定理得：x2=(x-4)2+102， 整理得：8x=116，即2x=29， 解得：x=14.5． 则秋千绳索的长度为14.5尺． 123 43.为了强化实践育人，有效开展劳动教育和综合实践活动，我市某中学现有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校决定开发该空地作为学生劳动实践基地．经学校课外实践活动小组测量得到：∠BAD=90°，AD=3m,AB=4m,BC=13m,CD=12m.根据你所学过的知识，解决下列问题： (1)四边形ABCD的面积； (2)点D到BC的距离． 【解析】解：(1)如图1，连接BD， ∵∠BAD=90°，AD=3m,AB=4m, 124 ∴BD= = =5(m)， ∵52+122=132， ∴BD2+CD2=BC2， ∴△BDC是直角三角形，且∠BDC=90°， ∴S四边形ABCD=SRt△ABD+SRt△BDC= AB•AD+ BD•CD= ×(4×3+5×12)=36(m2)， 答：四边形土地的面积为36m2； (2)如图2，过点D作DE⊥BC于点E， 由(1)可知，△BDC是直角三角形，∠BDC=90°， 125 ∴S△BDC= BC•DE= BD•CD， ∴DE= = = (m)， 答：点D到BC的距离为 m. 126 44.小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到OA的水平距离分别为BD、CE，且∠BOC=90°． (1)若点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m,BD=1.5m,求秋千OB的长度； 127 (2)在(1)的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【解析】解：(1)设OB=x m,则OA=OC=x m, ∵点A、B到地面的距离是分别是0.5m、1m, ∴DA=1-0.5=0.5(米)， 则OD=x-0.5， ∵∠ODB=90°，BD=1.5(米)， ∴OB2=DB2+OD2， ∴x2=1.52+(x-0.5)2，解得x=2.5． 答：秋千OB的长度为2.5m. (2)∵∠BOC=90°，∠OEC=90°， 128 ∴∠BOE+∠EOC=∠EOC+∠OCE=90°， ∴∠BOE=∠OCE， ∵∠BDO=∠OEC=90°，BO=OC， ∴△BDO≌△OEC(AAS)， ∴BD=OE， 则EA=OA-OE=1(米)， 那么C距离地面的高1+0.5=1.5(m)． 答：爸爸在距离地面1.5m高的地方接住小丽的． 129 45.攀岩爱好者小霞想知道某攀岩墙的高度，她将安全绳过开，当绳子底端B刚好在地面上时，绳子底端B到攀岩墙的距离为5m.小霞询问教练后得知安全绳AB的长度为10m,请你帮小霞求墙高AO．(结果保留根号) 【解析】解：在Rt△ABO中，AB=10m,OB=5m, ∴ ， 答：墙高 ． 130 46.小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 _____ 测量数据 ①测得水平距离BC的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD长为1.6米． (1)求风筝到地面的距离线段AD的长； 131 (2)如果小龙想要风筝沿CA方向再上升11米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=24，AB=25， ∵AC2+BC2=AB2， ∴ ， 则AD=AC+CD=7+1.6=8.6； 答：风筝到地面的距离线段AD的长为8.6米； (2)风筝沿CA方向再上升11米后，则AC=11+7=18， 此时在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=24，AC=18， ∵AC2+BC2=AB2， 132 ∴风筝线的长 ， ∴30-25=5(米)， 答：他应该再放出5米的风筝线． 133 47.某中学有一块四边形空地需要绿化，李老师将空地绿化费用预算的任务交给蓝天小组，小组的同学们把“空地绿化的合理预算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告，计算绿化这块空地所需的费用． 课题 空地绿化的合理预算 调查方式 走访调研、实地察看测量 134 测量过程及计算 调研内容及图示 ___ 相关数据及说明： ①在四边形ABCD中，AB⊥BC，相关长度如图所示． ②每平方米的绿化费用为100元． 计算结果 …… 135 【解析】解：如图，连接AC， ___ ∵AB⊥BC， ∴∠ABC=90°， ∴ ， ∵AC2+CD2=102+242=676=262=AD2， ∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， 136 ∴四边形ABCD的面积= ， ∴144×100=14400(元)． ∴绿化这块空地所需的费用为14400元． 137 48.如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点O． (1)若AO=8米，BO=6米．竹竿的顶端A沿墙下滑2米，那么点B将向外移动多少米？ (2)若AO=BO，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小． 【解析】解：(1)如图，由题意可知，∠AOB=90°， 138 AB=A'B'， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB= = =10(米)， ∴A'B'=10米， ∵AA′=2米， ∴OA′=OA-AA'=8-2=6(米)， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：OB'= = =8(米)， ∴BB′=OB′-OB=8-6=2(米)， 答：点B将向外移动2米； 139 (2)不相等．理由如下： 设AO=BO=a米，顶端A下滑的距离为m米，底端B外移的距离为n米， ∵AO=BO，∠AOB=90°， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB= AO= a米， 由勾股定理得：(a-m)2+(a+n)2=( a)2， ∴m2+n2-2am+2an=0， ∴m2+n2=2a(m-n)， ∵m2+n2＞0， ∴m-n＞0，∴m＞n, 即顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离． 140 五．平面展开 141 49.如图，一圆柱高8cm,底面周长是12cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是( ____ ) A.20cm B.24cm C.14cm D.10cm 【解析】解：如图，将圆柱展开： ____ D 142 ∵圆柱高8cm,底面周长为12cm, ∴BC=8cm,AC=6cm, 根据勾股定理得：AB= =10(cm)， 即爬行的最短路程是10cm, 故选：D． 143 50.如图，一个圆柱的底面半径为 ，BC=12，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，则移动的最短距离为( ____ ) A.10 B.12 C.14 D.20 【解析】解：如图所示， A 144 ___ ∵在圆柱中，底面半径为 ，BC=12， ∴展开图中， ， ， ∴ ． 故选：A． 145 $$