第1章 勾股定理 基础题过关检测 作业讲评课件 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第1章 勾股定理 基础题过关检测 【6个考点50题专练】 2024-2025学年北师大版 数学八年级上册 1 一．勾股定理 二．勾股定理的证明 三．勾股定理的逆定理 四．勾股数 五．勾股定理的应用 六．平面展开 2 一．勾股定理 3 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( ____ ) A.225 B.200 C.150 D.15 【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， 由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225， ∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225， 故选：A． A 4 2.在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边长分别为a,b,c,则下列式子成立的是( ____ ) A.a2-c2=b2 B.b2=a2+c2 C.c2=2b2 D.b2=2a2 【解析】解：∵在等腰直角△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对应边分别是a,b,c, ∴c为斜边，a,b为直角边， ∴a2+b2=c2，a=b,∴c2=2a2=2b2， 故选：C． C 5 3.如图，直角三角形的三边长分为a、b、c,下列各式正确的是( ____ ) A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2 C.c2+a2=b2 D.以上都不对 【解析】解：∵∠A=90°， ∴由勾股定理得：b2+c2=a2． 故选：B． B 6 4.如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，且BC=6，AC=5．则AD长为( ____ ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】解：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC， ∴ ， ∵AC=5，∴ ． 故选：D． D 7 5.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高是( ____ ) A. B. C. D. 【解析】解：四边形DEFA是正方形，面积是4； C 8 △ABF，△ACD的面积相等，且都是 ×1×2=1． △BCE的面积是： ×1×1= ． 则△ABC的面积是：4-1-1- = ． 在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC= ． 设AC边上的高线长是x.则 AC•x= x= ， 解得：x= ． 故选：C． 9 6.已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是( ____ ) A.5 B.25 C. D.5或 【解析】解：∵3和4都是直角边，由勾股定理得：第三边长是 =5， 即第三边长是5．故选：A． A 10 7.在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为( ____ ) A.7 B.8 C.9 D.10 【解析】解：在直角三角形中， 根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方， ∴斜边长= =10， 故选：D． D 11 8.等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为 ____ ，面积为 ____ ． 【解析】解：根据等腰三角形的三线合一得底边上的高也是底边的中线，则底边的一半是4， 根据勾股定理求得底边上的高是3，则三角形的面积= ×8×3=12． 3 12 12 9.已知直角三角形的两条直角边长分别是1和3，则斜边长等于 　　． 【解析】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是1和3， ∴斜边长= = ， 故答案为： ． 13 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ____ ． 【解析】解：由勾股定理得，AB2=AC2+BC2=42+22=20， ∴正方形的面积是20， 故答案为：20． 20 14 11.如图，在△ABC中，∠C=90°，c=2，则a2+b2= ____ ． 【解析】解：∵△ABC中，∠C=90°，c=2， ∴a2+b2=c2=4， 故答案为：4． 4 15 12.已知一个直角三角形两直角边长分别是1和2，则第三边的长为 　　． 【解析】解：∵直角三角形的两直角边长分别是1和2， ∴斜边= = ， 故答案为： ． 16 13.如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1=4，S2=8，则S3= ____ ． 【解析】解：∵△ABC直角三角形， ∴BC2+AC2=AB2， ∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8， ∴S3=S1+S2=12． 12 17 14.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC和AC为边向两边分别作正方形，面积分别为S1和S2，已知S1-S2=25，则AB的长为 ____ ． 【解析】解：由题意，得： ， ∵S1-S2=25， ∴BC2-AC2=25， ∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴AB2=BC2-AC2=25， ∴AB=5(负值已舍去)． 故答案为：5． 5 18 15.如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上一点，AD=BD，若AB=8，BD=5，则CD= _____ ． 【解析】解：设CD=x,则BC=5+x, 在Rt△ACD中，AC2=AD2-CD2=25-x2， 在Rt△ABC中，AC2=AB2-BC2=64-(5+x)2， 所以，25-x2=64-(5+x)2， 解得x=1.4， 即CD=1.4． 故答案为：1.4． 1.4 19 16.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，S1=25，S2=144，则S3等于 _____ ． 【解析】解：∵分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆， ∴S1+S2=S3． ∵S1=25，S2=144， ∴S3=25+144=169． 故答案为：169 169 20 17.如图，正方形的边长为2cm,剪去四个角后成为一个正八边形，则这个正八边形的边长等于 　　cm. 【解析】解：设剪去三角形的直角边长x,根据勾股定理可得，三角形的斜边长为 x,即正八边形的边长为 x, ∴ x+2x=2， ∴x= =2- ， ∴正八边形的边长等于 x=(2 -2)cm, 故答案为：(2 -2) 21 18.在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,且c≥b≥a. (1)当△ABC是锐角三角形时，小明猜想：a2+b2＞c2．以下是他的证明过程： 小明的证明过程 如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D．设CD=x. ∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2=①， ∴b2-x2=①． 化简得，a2+b2-c2=2ax. ∵a＞0，x＞0，∴②＞0． ∴a2+b2-c2＞0． ∴a2+b2＞c2． 22 其中，①是 　　；②是 　　． (2)如图②，当△ABC是钝角三角形时，猜想a2+b2与c2之间的关系并证明． _____ 【解析】解：(1)如图①，过点A作AD⊥CB，垂足为D，设CD=x, ∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 23 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a-x)2， ∴b2-x2=c2-(a-x)2， 化简得，a2+b2-c2=2ax, ∵a＞0，x＞0， ∴2ax＞0， ∴a2+b2-c2＞0， ∴a2+b2＞c2． 其中，①是c2-(a-x)2；②是2ax； 故答案为：c2-(a-x)2，2ax； (2)a2+b2＜c2； 证明：如图， 24 ____ 过点A作AD⊥BC的延长线，垂足为D，设CD=x, ∵在Rt△ADC中，AD2=b2-x2， 在Rt△ADB中，AD2=c2-(a+x)2， ∴b2-x2=c2-(a+x)2， 化简得，a2+b2-c2=-2ax, ∵a＞0，x＞0， ∴-2ax＜0，∴a2+b2-c2＜0， ∴a2+b2＜c2． 25 19.如图，在△ABC中，D是边BC上一点，AD=12，AC=13，CD=5． (1)求证：AD⊥BC； (2)若AB=15，求BC的长． 【解析】(1)证明：∵AD=12，AC=13，CD=5， ∴AD2+CD2=122+52=169，AC2=132=169， ∴AD2+CD2=AC2， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ADC=90°， ∴AD⊥BC； 26 (2)解：∵∠ADC=90°， ∴∠ADB=180°-∠ADC=90°， ∵AB=15，AD=12， ∴BD= = =9， ∵CD=5， ∴BC=BD+CD=9+5=14， ∴BC的长为14． 27 20.如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=2， ，求BC长． 【解析】解：过点B作BD⊥CA的延长线于点D，则∠D=90°， ______ ∵∠BAC=135°， ∴∠BAD=45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴BD=AD， 28 ∴BD2+AD2=2BD2=AB2， ∴2BD2=22， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 29 21.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，∠D=30°，AB=2，BC=3，求CD的长． 【解析】解：如图，延长BA，DC交于点E， ____ ∵∠ABC=120°， ∴∠CBE=60°， 30 ∵∠A=90°，∠D=30°， ∴∠E=60°， ∴∠CBE=∠E=∠BCE=60°， ∴△BCE是等边三角形， ∴BE=CE=BC=3， ∴AE=AB+BE=5， 在Rt△ADE中，∠D=30°， ∴DE=2AE=10， ∴CD=DE-CE=7． 31 22.如图，小明计划周末到离家正东方向800m的书店买书，买完书后再去距离书店正北方向600m的体育中心打篮球，求小明家距离体育中心有多远？ 【解析】解：依题意．∵AB⊥CB，AB=800m,BC=600m, ∴AC= = =1000(m)， ∴小明家距离体育中心为1000m. 32 23.如图，四边形ABCD中，∠B=30°，过点A作AE⊥BC于点E，E恰好是BC的中点，若 ，DC=1， ． (1)直接写出四边形ABCD的周长； (2)求四边形ABCD的面积． 【解析】解：(1)在Rt△ABE中，∠B=30°， ∴AB=2AE=2 ， ∴BE= 33 ， ∵E恰好是BC的中点， ∴BC=2BE=6， ∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=2 +6+1+ = ； (2)解：连接AC． _______ ∵AE⊥BC，E为BC的中点， 34 ∴AB=AC． 又∠B=30°， ， ∴ ，BE=CE=3． 在△ACD中， ∵ ，DC=1， ， ∴AC2+DC2=AD2， ∴∠ACD=90°． ∴ ， ， ∴ ． 35 24.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，求BC． 【解析】解：如图， ____ 根据勾股定理可得： ． 故答案为：5． 36 25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm,CD⊥AB于D． 求：(1)AC的长和△ABC的面积；(2)CD的长． 【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm,BC=3cm, AC= = =4(cm)； S△ABC= AC•BC= ×4×3=6(cm2)； (2)∵CD⊥AB， ∴S△ABC= AC•BC= AB•CD，∴CD= = =2.4(cm)． 37 26.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c (1)已知a=12，b=5，求c； (2)已知c=10，b=9，求a. 【解析】解：(1)由勾股定理得，c= =13； (2)由勾股定理得，a= = ． 38 二．勾股定理的证明 39 27.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用如图所示的图形验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．实际上它也可用于验证数与代数、图形与几何等领域中的许多数学公式和规律，它体现的数学思想是( ____ ) ______ A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 C 40 D.方程思想 【解析】解：这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想， 故选：C． 41 28.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a,较长直角边为b,下列说法： ①a2+b2=13；②b2=1；③a2-b2=12；④ab=6． 其中正确结论序号是 ____ ． 【解析】解：直角三角形的斜边长是c,则c2=a2+b2， 大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确； ∵小正方形的面积是1， ①④ 42 ∴b-a=1， 则(b-a)2=1，即a2+b2-2ab=1， ∴ab=6， 故④正确； 根据图形可以得到a2+b2=13，b-a=1， 而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误． 故答案为：①④ 43 三．勾股定理的逆定理 44 29.下列各组数，能作为直角三角形三边长的是( ____ ) A.2，3，4 B.3，4，5 C.1，1，2 D.4，6，7 【解析】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意； B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意； C、1+1=2，不能组构成三角形，故不符合题意； B 45 D、42+62≠72，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意． 故选：B． 46 30.将下列各组数据作为三角形的边长，能够组成直角三角形的是( ____ ) A.4，5，6 B.1.5，2，2.5 C.2，3，4 D.1， ，3 【解析】解：A、∵42+52=41≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； B、∵1.52+22=6.25=2.52，∴能构成直角三角形，故本选项正确； C、∵22+32=13≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误； B 47 D、∵12+( )2=3≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项错误． 故选：B． 48 31.满足下列条件的△ABC，其中是直角三角形的为( ____ ) A.∠A：∠B：∠C=3：4：5 B.AB：BC：AC=3：4：5 C.AB=1，BC=4，AC=5 D.∠A=30°，∠B=75° 【解析】解：A、∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠C+∠B+∠A=180°， ∴最大角为∠C= ×180°=75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设AB、BC、AC分别为3k,4k,5k, B 49 ∵(3k)2+(4k)2=25k2=(5k)2， ∴AB2+BC2=AC2， ∴△ABC是直角三角形， 故本选项符合题意； C、∵AB=1，BC=4，AC=5，1+4=5， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、∵∠A=30°，∠B=75°，∠C+∠B+∠A=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC不是直角三角形， 故该选项不符合题意；故选：B． 50 32.下列条件不能判断一个三角形是直角三角形的是( ____ ) A.三个角的比为1：2：3 B.三条边满足关系a2=c2-b2 C.三条边的比为1：2：3 D.三个角满足关系∠B+∠C=∠A 【解析】解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x,则x+2x+3x=180°，x=30°，3x=90°，故正确； B、三条边满足关系a2=b2-c2，故正确； C、三条边的比为1：2：3，12+22≠32，故错误； D、三个角满足关系∠B+∠C=∠A，则∠A为90°，故正确．故选：C． C 51 33.以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( ____ ) A.1，1，1 B.2，3，4 C. D.1，2，3 【解析】解：A．∵12+12≠12， ∴以1，1，1为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵22+32≠42， ∴以2，3，4边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵12+( )2=( )2， C 52 ∴以1， ， 为边能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．∵1+2=3， ∴以1，2，3为边不能组成三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 53 34.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( ____ ) A.1，1， B.2，3，4 C.4，5，6 D.6，8，11 【解析】解：A、∵12+12=( )2，∴三条线段能组成直角三角形，故A选项正确； B、∵22+32≠42，∴三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误； C、∵42+52≠62，∴三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误； D、∵62+82≠112，∴三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；故选：A． A 54 35.下列条件中，a,b,c分别为三角形的三边，不能判断△ABC为直角三角形的是( ____ ) A.a2=b2+c2 B.a=8，b=15，c=17 C.a=9，b=16，c=18 D. 【解析】解：A、a2=b2+c2，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意； B、82+152=172，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意； C、92+162≠182，不能判断△ABC为直角三角形，故本选项符合题意； C 55 D、设 ，则 ，能判断△ABC为直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 56 36.下列各组数中，能作为直角三角形边长的是( ____ ) A.1，2，3 B.6，7，8 C.1，1， D.5，12，13 【解析】解：A、∵12+22≠32，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵62+72≠82，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵12+12≠( )2，∴不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D 57 D、∵52+122=132，∴能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 58 37.下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是( ____ ) A.3，4，5 B.1，1， C.7，25，24 D.8，17，19 【解析】解：A、32+42=52，故是直角三角形，故此选项不合题意； B、12+12=( )2，故是直角三角形，故此选项不合题意； C、72+242=252，故是直角三角形，故此选项不合题意； D、82+172≠192，故不是直角三角形，故此选项符合题意． 故选：D． D 59 38.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a,b,c,有以下5个条件：①∠A：∠B：∠C=3：4：5；②a：b：c=5：12：13；③a2：b2：c2=2：5：7；④a2=(b+c)(b-c)；⑤∠A=∠C-∠B．其中能判断△ABC是直角三角形的是 ______ (填序号)． 【解析】解：①∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=75°， ∴△ABC是锐角三角形， 所以此选项不符合题意； ②∵a：b：c=5：12：13， 设a=5x,则b=12x,c=13x, ②③④⑤ 60 ∴a2+b2=169x2=c2， ∴△ABC是直角三角形， 所以此选项符合题意； ③a2：b2：c2=2：5：7， 设a2=2x,则b2=5x,c2=7x, ∴a2+b2=7x=c2， ∴△ABC是直角三角形， 所以此选项符合题意； ④∵a2=(b+c)(b-c)， ∴a2=b2-c2， ∴a2+c2=b2， 61 ∴△ABC是直角三角形， 所以此选项符合题意； ⑤∵∠A=∠C-∠B， ∴∠C=∠A+∠B， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴2∠C=180°， 解得∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形， 所以此选项符合题意； 故答案为：②③④⑤． 62 39.四边形ABCD中，∠B=90°，AB=4，BC=CD=2， ．求证：∠ACD=90°． 【解析】证明：在Rt△ABC中， AC= = =2 ， 在△ACD中， ∵AC2+CD2=(2 )2+22=24，AD2=(2 )2=24． ∴AC2+CD2=AD2． ∴△ACD是直角三角形， ∴∠ACD=90°． 63 40.如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，且 ， ． (1)试判断△ABD的形状，并说明理由； (2)求四边形ACBD的面积． 【解析】解：(1)△ABD是直角三角形，理由： ∵∠C=90°，AC=8，BC=6， ∴AB2=AC2+BC2=82+62=100， ∵ ， ，(4 )2+(2 )2=80+20=100， ∴AB2=AD2+BD2， ∴△ABD是直角三角形； 64 (2)由(1)知△ABD是直角三角形， ∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD = AC•BC+ AD•BD = ×8×6+ ×4 ×2 =24+20 =44． 65 41.如图，6x6网格中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在网格的格点上． (1)填空：AB=　　，BC=　　，AC=　　； (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)求△ABC的面积． 【解析】解：(1)根据题意， ， ， ； 故答案为： ， ，5； (2)△ABC是直角三角形，理由如下： 66 ∵( )2+( )2=52， ∴∠ABC=90°， ∴△ABC是直角三角形； (3)S△ABC= ×AB×BC= × × =5． 67 四．勾股数 68 42.下列各组数中，是勾股数的是( ____ ) A.1，2，3 B.8，15，17 C. D.1，2， 【解析】解：A、∵12+22≠32，∴不是勾股数； B、∵82+152=172，∴是勾股数； C、∵ ，∴不是勾股数； D、∵ 不是正整数，∴不是勾股数．故选：B． B 69 43.下列各组数据中是勾股数的是( ____ ) A.0.3，0.4，0.5 B.1，2， C.4，5，7 D.5，12，13 【解析】解：A、由题可知，勾股数中三个数都不是正整数，故不符合题意； B、由题可知，勾股数中三个数 不是正整数，故不符合题意； C、42+52=41≠72=49，故不符合题意； D、52+122=169=132，故符合题意；故选：D． D 70 五．勾股定理的应用 71 44.《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远( ____ ) A.10.5步 B.16.5步 C.24.5步 D.25.5步 【解析】解：设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：AB=3x, C 72 ____ 甲共行走：AC+BC=7x, ∵AC=10， ∴BC=7x-10， 又∵∠A=90°， ∴BC2=AC2+AB2， ∴(7x-10)2=102+(3x)2， 73 解得：x=0(舍去)或x=3.5， ∴AB=3x=10.5， AC+BC=7x=24.5， 即甲走了24.5步， 故选：C． 74 45.有两根木棒，分别长12cm,5cm,要再在14cm的木棒上取一段，用这三根木棒为边做成直角三角形，这第三根木棒要取的长度是　　cm. 【解析】解：①12cm是直角边， 第三根木棒要取的长度是 =13(cm)； ②12cm是斜边， 第三根木棒要取的长度是 = (cm)； 故答案为：13或 ． 75 46.有一长，宽，高分别为5cm,4cm,3cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细，形变忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是　 　cm. 【解析】解：木箱底面对角线长： = cm, 则木箱对角线长： =5 cm, 放入的细木条的最大长度是5 cm. 76 47.【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度． 【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知． 【实践探究】设计测量方案： 第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是m米； 第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离，测得距离为n米； 【问题解决】设旗杆的高度AB为x米，通过计算即可求得旗杆的高度． (1)用含有x的式子表示AC为 _____ 米； (2)若m=6米，n=12米，请你求出旗杆的高度． x+m 77 (3)保持(2)条件不变，小明在C处，用手拉住绳子的末端，伸直手臂(拉绳处E与脚底F的连线与地面垂直)，后退至将绳子刚好拉直为止(如图3)，测得小明手臂伸直后的高度EF为2米，问小明需要后退几米？ _______ 【解析】解：(1)∵旗杆的高度AB为x米，多出部分绳子的长度是m米， ∴AC为(x+m)米， 78 故答案为：x+m； (2)∵m=6米，n=12米， ∴AB=x米，BC=n米，AC=(x+6)米， ∵AB2+BC2=AC2，即x2+122=(x+6)2， 解得x=9(米)， 答：旗杆的高度是9米； (3)由(2)知AB=9米，BC=12米，AC=9+6=15米， 过点E作EM⊥AB于点M，则BM=EF=2米，EM=BF， ∵AM2+EM2=AE2，即(9-2)2+EM2=152， 解得EM=4 (米) ∵BC=12， 79 ∴CF=BF-BC=EM-BC=(4 -12)米． 答：小明需要后退(4 -12)米． 80 六．平面展开 81 48.如图，圆柱的高为8cm,底面半径为2cm,在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是 ____ cm.(π取3) 【解析】解：把圆柱体沿着AC直线剪开，得到矩形如下： 则AB的长度为所求的最短距离， 根据题意圆柱的高为8cm,底面半径2cm, 则可以知道AC=4cm,BC= 底面周长， ∵底面周长为2πr=2×π×2=4π(cm)， 10 82 ∴BC=2π cm≈6cm, ∴根据勾股定理得出AB2=AC2+BC2， 即AB2=82+62， ∴AB=10(cm)． 答：蚂蚁至少要爬行10cm路程才能食到食物， 故答案为：10． 83 49.如图①，圆柱的底面直径为6cm,高12cm,蚂蚁在圆柱侧面爬行，探究蚂蚁从点A爬到点B的最短路径长多少厘米． (1)图②是将圆柱侧面沿AC裁剪后展开形成的四边形AA′C′C，点B在线段CC′上，求CC′的长(π取3)； (2)在侧面展开图形中画出蚂蚁爬行的最短路径，并求出最短路径的长度． 【解析】解：(1)CC′=6×3=18(cm)， 答：CC′的长为18cm； 84 (2)蚂蚁爬行的最短路径为线段AB，如图， ____ 由题意，知AC=12cm,BC= CC'=9cm,∠C=90°， 由勾股定理，得AB= = =15(cm)， 答：最短路径的长度为15cm. 85 50.如图，小方同学发现学校三栋楼围成的平面图是一个扇形AOB，经过测量，OA=OB=10m,∠AOB=150°．小方同学站在1号楼梯口A处，她想走到2号楼梯口B处，三栋楼都有通道可以．请你帮她计算一下，应该走哪条路线比较近．(π取3) 【解析】解：∵OA=OB=10m,∠AOB=150°． ∴ 的长度= = =25(m)， ∵OA+OB=20(m)，∵25＞20， ∴应该走线段OA+OB这条路线比较近． 86 $$