浙江省金华市第六中学2023-2024学年高二上学期第一次阶段考模拟练习数学试题

金华六中高二数学10月17日练习卷 学号： 姓名： 一．单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 2. 若直线经过第一、二、三象限，则有（ ） A. B. C. D. 3. 两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(　　) 4. 直线，，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 6. 圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 8.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 二．多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线与直线垂直 D. 时，直线的一个方向向量为 10. 圆和圆的交点为A，B，则（    ） A. 公共弦AB所在直线的方程为 B. 线段AB中垂线方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 11. 已知两圆为与，则（ ） A. 若两圆外切，则 B. 若两圆有3条公切线，则 C. 若两圆公共弦所在直线方程为，则 D. 为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ） A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 三．填空题（每小题5分，共20分） 13. 当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________. 14. 已知点是圆：上动点，.若线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为______. 15. 若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________． 16. 已知点，，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为______． 四．解答题（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，的平分线方程为.（1）求所在直线方程； （2）求所在直线方程. 18. 已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2．（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由． 19.　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． 20.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B­PD­A的大小； (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 21. 已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，离心率，过的直线l交椭圆C于A，B两点.的内切圆的半径为.（1）求椭圆的方程； （2）求直线l的方程. 22.已知四边形ABCD为直角梯形,∠BCD=90°,AD∥CB,且AD=3,BC=2CD=4,点E,F分别在线段AD和BC上,四边形FEDC为正方形,将四边形ABFE沿EF翻折,使二面角B'-EF-C为60°. (1)求证:CE∥平面A'DB'; (2)求直线A'B'与平面FEDC所成角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二数学10月17日练习卷参考答案 一．单选题（每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．－， C．－3,2 D．2,2 解析：选A　∵a∥b，∴b＝ka，即(6,2μ－1,2λ)＝k(λ＋1,0,2)，∴解得或 2. 若直线经过第一、二、三象限，则有（ ） A. B. C. D. 【详解】因为直线经过第一、二、三象限， 所以直线的斜率，在y轴上的截距. 故选：A 3. 两直线－＝a与－＝a(其中a是不为零的常数)的图象可能是(　　) 解析：选B　直线方程－＝a可化为y＝x－na，直线－＝a可化为y＝x－ma，由此可知两条直线的斜率同号，故选B. 4. 直线，，则“”是“”的（ ）条件 A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【详解】解：①充分性：当时，，，所以与斜率相等，且截距不相等，故，所以充分； ②必要性：，，当时， 则，解得：或， 当时，两直线重合，所以舍去， 当时，两直线斜率相等且截距不相等，符合题意，所以必要. 所以“”是“”的充要条件 故选：C. 5. 已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1的左，右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF1F2的重心G的轨迹方程为(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋y2＝1(y≠0) C.＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋＝1(y≠0) 解析：选C　依题意知F1(－1,0)，F2(1,0)，设P(x0，y0)，G(x，y)，则由三角形重心坐标关系可得即代入＋＝1得重心G的轨迹方程为＋3y2＝1(y≠0)． 6. 已知圆C：，直线l的横纵截距相等且与圆C相切﹐则满足条件的直线l有（ ）条. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【详解】由圆，则圆心，半径， 若截距为0，设，则，此时； 若截距不为0，设，则，此时； 综上，共有3条件满足条件的直线l. 故选：C 7.已知F是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为(　　) A. B. C. D. 解析　过椭圆C的下顶点(0，－b)且斜率为的直线方程为y＝x－b，即x－y－b＝0， F(c，0)，由点到直线距离公式，得c＝， 即c2＝－bc＋b2，即(2c－b)(c＋2b)＝0，则2c－b＝0，b＝2c. 又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得＝. 8.已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 解析：选A　圆C1，C2的图象如图所示．设P是x轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|－1，同理|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4.作C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，连接C1′C2，与x轴交于点P，连接PC1，可知|PC1|＋|PC2|的最小值为|C1′C2|＝＝5，则|PM|＋|PN|的最小值为5－4. 二．多选题（每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错得0分，部分选对得2分） 9. 已知直线，则（ ） A. 直线不过原点 B. 直线可能与坐标轴垂直 C. 时，直线与直线垂直 D. 时，直线的一个方向向量为 【详解】因为直线， 所以不满足直线方程，即直线不过原点，故A正确； 由直线方程可知直线的斜率为，且不为0，故直线不可能与坐标轴垂直，故B错误； 当时，直线，由可知直线与直线垂直，故C正确； 当时，直线，直线的一个方向向量为，而，故D错误. 故选：AC. 10. 圆和圆的交点为A，B，则（    ） A. 公共弦AB所在直线的方程为 B. 线段AB中垂线方程为 C. 公共弦AB的长为 D. P为圆上一动点，则P到直线AB距离的最大值为 【答案】ABD 【详解】对于选项A，因为圆，， 两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为，即，故A正确； 对于选项B，圆的圆心为， 则线段AB中垂线的斜率为，即线段AB中垂线方程为， 整理可得，故B正确； 对于选项C，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以，故C不正确； 对于选项D，P为圆上一动点，圆心到的距离为， 又圆的半径，所以P到直线AB距离的最大值为，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知两圆为与，则（ ） A. 若两圆外切，则 B. 若两圆有3条公切线，则 C. 若两圆公共弦所在直线方程为，则 D. 为圆上任一点，为圆上任一点，若的最大值为，则 【答案】BCD 【详解】解：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 对于A，若两圆外切，则圆心距，得，故A错误； 对于B，若两圆有3条公切线，则两圆外切，则，故B正确； 对于C，两圆得方程相减得， 若两圆公共弦所在直线方程为，则，解得，故C正确； 对于D，圆心距，则的最大值为，解得，故D正确. 故选：BCD。 12. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（ ）A. 椭圆的离心率为 B. 的周长为4 C. 若，则的面积为3 D. 若，则 【答案】AD 【详解】对A，由题意，，故，，故A正确； 对B，的周长为，故B错误； 对C，， ，当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：AD 三．填空题（每小题5分，共20分） 13. 当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆的面积取最大值时，直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α＝________. 解析：由题意知，圆的半径r＝＝≤1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k＝0，r＝1，所以直线方程为y＝－x＋2，则有tan α＝－1，又α∈[0，π)，故α＝. 14. 已知点是圆：上动点，.若线段的中垂线交于点，则点的轨迹方程为______. 【详解】由题意，可作图如下： 因为为线段中垂线上一点，所以，则， 显然为圆：的半径，则， 则动点的轨迹为以定点为焦点的椭圆，其中，， 解得，故其轨迹方程为.故答案为：. 15. 若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________． 【详解】解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，因为焦点在y轴上，所以－，解得．故答案为： 16. 已知点，，若直线与线段相交，则直线的倾斜角的取值范围为______． 【详解】由直线，可得，故直线经过定点， 已知点，， 的斜率为，的斜率为， 由直线与线段AB相交，故直线斜率的取值范围为或， 设直线的倾斜角为，则，画出图像如图所示， 由，，观察图像可知，当或时，直线倾斜角的取值范围为． 四．解答题（本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知，的平分线方程为.（1）求所在直线方程； （2）求所在直线方程. 【小问1详解】，直线的方程为，， 所在直线方程：. 【小问2详解】 由解得，设 ，依题意，的平分线为直线， 由正弦定理得，， 由于，由此整理得,则， 设，则， 整理得，解得或（舍去）， 则，，直线的方程为，. 18. 如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2． （1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线方程；若不存在，请说明理由． 【小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上， 设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得， 所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为； 【小问2详解】 解：因为点，有，所以点P在圆C的内部， 假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即， 检验，圆心C到直线AB的距离为 ，所以直线AB与圆C相交， 所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为. 19.　已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点． (1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程． [解]　(1)设AP的中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)． 因为P点在圆x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|. 设O为坐标原点，连接ON(图略)，则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2， 所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 21.已知椭圆C：的左､右焦点分别为，，离心率，过的直线l交椭圆C于A，B两点.的内切圆的半径为.（1）求椭圆的方程；（2）求直线l的方程. 【小问1详解】由题意得，，又，则，所以， 所以椭圆方程为 【小问2详解】依题意可知直线与轴不平行， 故可设直线的方程为，此时由于在椭圆内部， 所以直线与椭圆必有两个交点，设， 由，消去并化简得， 则，， 所以 。设的内切圆的半径为，则， 因为的周长为， 又因为， 因为， 即，则解得或（舍去），则， 所以直线的方程为或. 20.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4. (1)求证：M为PB的中点； (2)求二面角B­PD­A的大小； (3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值． 解：(1)证明：如图，设AC，BD的交点为E，连接ME.因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，所以PD∥ME.因为底面ABCD是正方形，所以E为BD的中点．所以M为PB的中点． (2)取AD的中点O，连接OP，OE. 因为PA＝PD，所以OP⊥AD. 又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，OP⊂平面PAD，所以OP⊥平面ABCD. 因为OE⊂平面ABCD，所以OP⊥OE. 因为底面ABCD是正方形，所以OE⊥AD. 以O为原点，以，，为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz， 则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)， ＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)． 设平面BDP的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令x＝1，得y＝1，z＝.于是n＝(1,1，)．又平面PAD的一个法向量为p＝(0,1,0)， 所以cos〈n，p〉＝＝.由题知二面角B­PD­A为锐角，所以二面角B­PD­A的大小为60°. (3)由题意知M，C(2,4,0)，则＝. 设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝. 所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为. 21.已知四边形ABCD为直角梯形,∠BCD=90°,AD∥CB,且AD=3,BC=2CD=4,点E,F分别在线段AD和BC上,四边形FEDC为正方形,将四边形ABFE沿EF翻折,使二面角B'-EF-C为60°. (1)求证:CE∥平面A'DB'; (2)求直线A'B'与平面FEDC所成角的正弦值. 22.解:(1)证明:如图,取FB'的中点M,连接CM,A'M,EM. ∵A'E􀱀B'M,∴A'B'∥EM. ∵A'M􀱀CD,∴A'D∥CM, 又∵CM∩EM=M,A'B'∩A'D=A', ∴平面CME∥平面A'DB',∵CE⊂平面CME, ∴CE∥平面A'DB'. (2)方法一:由(1)可知A'B'∥EM,∴直线A'B'与平面FEDC所成的角就是直线EM与平面FEDC所成的角.过点M作MN⊥CF于点N,连接EN.∵四边形FEDC为正方形,∴∠EFC=90°,∠EFB'=90°, 又B'F∩CF=F,∴EF⊥平面B'FC,∴EF⊥MN,又EF∩CF=F,∴MN⊥平面FEDC, ∴∠MEN为直线A'B'与平面FEDC所成的角. ∵M为FB'的中点,∴MF=1. ∵∠B'FC为二面角B'-EF-C的平面角,∴∠B'FC=60°,∴MN=. 又∵EM=,∴sin∠MEN==. 方法二:取DE的中点为坐标原点O,建立如图所示的空间直角坐标系,则B'(0,2,),A',0,, ∴=-,2,. 平面EFCD的一个法向量为n=(0,0,1), ∴cos<,n>==, ∴直线A'B'与平面FEDC所成角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$