精品解析：广东省广州市第二中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

广州市第二中学 2023 学年第二学期期末 考试高二数学 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 5.圆台体积公式：. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 4. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A. B. 945 C. 2835 D. 5. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ） A. B. 1 C. 2023 D. 2024 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题概率最大 C. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的方程为 C. 过点作，垂足为K，则 D. 点Q的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 等差数列中，，则_____． 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 16. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围. 17. 如图，在三棱柱中，，，，为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 18. 已知点在双曲线上． （1）求双曲线方程； （2）设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； （3）过点作斜率为动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒一条定直线上． 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广州市第二中学 2023 学年第二学期期末 考试高二数学 本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号.用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、座位号填写在答题卡上. 2.答选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的，答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，只需将答题卡交回. 5.圆台体积公式：. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质和交集的定义可得 【详解】， 故选:C 2. 已知复数（是虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合共轭复数定义及复数除法运算化简即可. 【详解】由题意知. 故选：A 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的运算的坐标表示及向量垂直的条件即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为， 所以，即，解得. 故选:D． 4. 若的展开式中各项系数之和为，则展开式中的系数为（ ） A. B. 945 C. 2835 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据赋值法求系数和得，即可根据展开式的通项公式求解. 【详解】令，得，得， 则的展开式的通项， 令，得，则，故展开式中的系数为， 故选：D． 5. 若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角的正切公式建立方程，求出，再利用同角公式计算即可. 【详解】显然，而， 因此，解得，由，得， 所以. 故选：D 6. 已知球与某圆台的上、下底面及侧面均相切，若球与圆台的表面积之比为，则球与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出辅助线，设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，，表达出圆台的高、母线长分别为，，从而利用球和圆台表面积公式得到，并求出两几何体的体积之比. 【详解】设球的半径为，圆台的上、下底面半径分别为，， 由于， 则圆台的高、母线长分别为，， 设外接球的表面积为，圆台表面积为， 由表面积公式知， 则外接球的体积为，圆台的体积为， . 故选：B 7. 当时，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合函数解析式可知函数有两个零点，即可排除，，通过求导判断函数的单调性即可求解. 【详解】令，可得或， 即函数有两个零点，图象与轴有两个交点，排除，， ， 令，得或， 当时，， 函数在上递增； 当时，， 函数在上递减， 即函数图象先增后减再增，所以排除. 故选：. 8. 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则（ ） A. B. 1 C. 2023 D. 2024 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法结合题意可得函数的对称性与周期性，结合题目中所给条件可得，即可得解. 【详解】因为为偶函数，所以①， 因为，所以， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有，所以，所以， 所以的周期为8．因为，所以， 同理，由，得， 所以，， 因为，所以，即， 因，所以， 所以，所以， 所以的周期为8，所以， 由，得， 由，得，所以， 所以． 故选：A. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确是（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 某人在10次答题中，答对题数为，，则答对7题的概率最大 C. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过；当时，我们没有充分证据推断不成立，可以认为和独立 D. 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有14种不同的分派方法 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可求解A，根据二项分布的概率公式，列不等式即可求解B，由独立性检验的思想即可求解C，根据分组分配问题，即可求解D 【详解】对于A，，，故A错误 对于B，，， 令，解得， 又，，即答对7题的概率最大，故B正确； 对于C，根据独立性检验可知C正确， 对于D, 将4名老师分派到两个学校支教，每个学校至少派1人，则共有种不同的分派方案，故D正确， 故选：BCD 10. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 的极大值点为 B. 函数的零点个数为3 C. 函数的零点个数为7 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性可判断A；数形结合判断B、C；赋值方法判断D 【详解】由题意得， 当时，，得， 令，得， 令，得； 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极小值点为1， 又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对； 当时，则，所以， 又是定义在上的奇函数，所以，所以 分别画出和的图象， 得函数的零点个数为3，B对； 令，得或或， 令，得，或， 如图，分别画出的图象， 由图可知：函数的零点个数为7， C 对； 令，则， 故D错； 故选：ABC 【点睛】方法点睛： 对于零点个数的求法：一是通过解方程求出零点，二是数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 11. 费马原理是几何光学中的一条重要原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知、分别是以为渐近线且过点的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点处的切线l交x轴于点Q，则（ ） A. 双曲线C的离心率为 B. 双曲线C的方程为 C. 过点作，垂足为K，则 D. 点Q的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A、B：根据双曲线的渐近线和点的坐标求双曲线的方程，进而可得离心率；对于C：根据题意结合双曲线的定义运算求解；对于D：根据导数的几何意义运算求解. 【详解】因为双曲线的渐近线为，设双曲线方程为， 代入点，可得， 所以双曲线方程为，可得， 所以离心率为，故A错误，B正确； 因为， 设， 因为，且为的角平分线， 所以，且，故C错误； 因为，当时，整理得， 则，可得， 即切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 令，整理得， 又因为，可得， 所以点Q的坐标为，故D正确； 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 等差数列中，，则_____． 【答案】60 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式列式得，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设公差为，则，即， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数，若，，且，则的最小值是______ 【答案】8 【解析】 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第（）个班中有个女生，余下的为男生.在这n个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，第个班中，取三次的方法有种，再求第三次取出的人为男生的方法数，进而求出第个班中第三次取出的人为男生的概率，再由即可求参数. 【详解】每个班被取出的概率为，取第个班中取三次的方法有种； 第三次取出的人为男生的方法，如下四种情况： 男男男：种； 女男男：种； 男女男：种； 女女男：种； 所以，第三次取出为男生的方法数： ， 综上，第个班中第三次取出的人为男生的概率， 所以，任选一个班第三次取出的人恰为男生的概率， 则，即，可得. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：首先求出第个班中，取三次的方法数和第三次取出的人为男生的方法数，进而得到第个班中第三次取出的人为男生的概率为关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，，分别为三个内角，，的对边，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，结合两角和的正弦公式即可推出，即可求解； （2）由正弦定理求出c，由余弦定理求出a，结合三角形面积公式即可求得答案. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，． 又，， ，，， ，． 【小问2详解】 在中，，，， 由正弦定理得，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 的面积为． 16. 已知函数，曲线在处的切线方程为． （1）求的解析式； （2）当时，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合切点既在切线上又在曲线上，建立方程组即可求得a，b的值，进而求得的解析式； （2）构造函数，根据的单调性，证明函数即可； （3）由于，分离出参数k，构造，则原问题转化为，求出函数的最小值即可得k的取值范围． 【小问1详解】 由题可得， ∵曲线在处的切线方程为， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 证明：令， 则，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 ∵对任意的恒成立， ∴对任意的恒成立， 令，， 则， 由（2）可知当时，恒成立， 令，可得；令，可得， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∴， ∴实数k的取值范围为． 17. 如图，在三棱柱中，，，，为的中点，平面. （1）求证：； （2）若，求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据长度关系可得，又根据线面垂直的性质可得，即可求证线面垂直，即可求证， （2）建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，即可利用向量的夹角求解. 【小问1详解】 在三棱柱中，，，则，, 由，，得， 在中，，，， 由余弦定理， 得，， 于是，由平面，平面，得， 而，，平面，因此平面， 又平面，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，，两两垂直，以为原点， 直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 由，，得， 则，，， 于是，， 设为平面的一个法向量， 则，取，得， 显然为平面的一个法向量， 因此， 所以平面和平面夹角的余弦值为. 18. 已知点在双曲线上． （1）求双曲线的方程； （2）设点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值； （3）过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点，满足． （ⅰ）求斜率的取值范围； （ⅱ）证明：点恒在一条定直线上． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入方程，解出即可； （2）利用距离公式即可证明； （3）将直线与双曲线的方程联立，可得到一个二次方程，利用二次方程的性质即可得到的取值范围，再利用韦达定理，可以用表示点的坐标，最后验证点恒在直线上即可. 【小问1详解】 由点在双曲线上，知，故. 展开得到，即，故. 所以，故双曲线的方程为. 【小问2详解】 设的坐标为，则，即. 而双曲线的渐近线为和，故到两条渐近线的距离之积为，此为定值. 【小问3详解】 （ⅰ） 由题意知直线的方程为，即，与即联立，得到. 将展开，即为. 设，，由于与的右支有两个不同的交点，故关于的方程有两个不同的正数根，这等价于，即. 由，知条件等价于. 而 ， 故条件等价于，即，且，且，即. 所以斜率的取值范围是. （ⅱ） 设，由于是关于的方程的两个不同的正数根，故，. 由于，，，且在同一直线上，故，. 而，故，即. 从而，故. 由，，知. 去分母，得，即，所以. 由于点在直线上，而直线的方程为，故. 从而点的坐标为. 由于，故点恒在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对韦达定理的多次运用，在求斜率的取值范围，以及求点的坐标时，均用到了韦达定理. 韦达定理能够让我们先确定关于一个多项式方程的根的初等对称多项式的取值（而不需要解出每个根），再由此确定任意一个对称多项式（或对称的分式表达式等其它对称表达式）的取值. 例如对于二次方程，我们由韦达定理确定和后，就可以由此确定若干对称表达式的值，例如在距离问题中常见的，和在比例问题中常见的. 本题中我们处理的是表达式，将其化为，再利用其取值为零，结合韦达定理即可轻松解出，而不需要解出. 19. 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的． （1）证明：如果是等差数列，则是“优分解”的． （2）记，证明：如果数列是“优分解”，则或数列是等比数列． （3）设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）是等差数列，则，令，可得结论； （2）设，可得，进而可得结论； （3）设，可得是首项为2，公比为的等比数列，设，可得，可得，可得数列是首项，公比为的等比数列，可求的通项公式． 【小问1详解】 是等差数列，设， 令， 则是等差数列，是等比数列，所以数列是“优分解”的． 【小问2详解】 因为数列是“优分解”的，设， 其中， 则． 当时， 当时，是首项为，公比为的等比数列． 【小问3详解】 一方面，数列是“优分解”的，设， 其中，由（2）知 因为，所以． 是首项为2，公比为的等比数列． 另一方面，因为是“优分解”的，设， 其中， 是首项为2，公比为的等比数列， ，且， 化简得， 即数列是首项，公比为的等比数列． 又， 又解得， 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题考查数列新定义，弄清题意，并充分应用等比和等差数列的性质是解题的关徤. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$