精品解析：四川省眉山市东坡区2023-2024学年高二下学期6月期末联考数学试题

东坡区22级高二下学期两校期末联考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 2. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ） 图一 图二 图三 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股树”的规律依次类推求解. 【详解】第一代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为2， 第二代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为3， 第三代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为4， … 第n代“勾股数”中正方形的个数为，面积和为， 故选：D 3. 如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，可得为异面直线与所成的角，求出即可. 【详解】由题知B在直角梯形中，因为B为的中点，， 所以， 连接，易证四边形为矩形，所以， 所以为异面直线与所成的角， 在中，，所以, 连接，在中，由，，得； 在中，，所以， 故选：B. 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线的位置关系分类讨论及充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】当时，直线和直线平行 且或； 当时，直线和直线不平行； 当时，直线和直线不平行． 所以“”是“直线和直线平行”的充分不必要条件. 故选：C． 5. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率，即可求出. 【详解】小王抛掷这枚骰子1次，出现龙的图案朝上的概率为， 所以小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为. 故选：C. 6. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆与圆的公共弦所在直线方程，再由垂直关系求出并验证即得. 【详解】把圆与圆的方程相减得：，即为圆与圆的公共弦所在直线方程， 由直线与直线垂直，得，解得， 当时，圆：，即的圆心，半径， 而圆：的圆心，半径， 于是，则圆与圆相交，符合题意， 所以的值为2. 故选：A 7. 已知点，，，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 异面 【答案】D 【解析】 【分析】计算、、的坐标，由空间向量共线定理可证明选项A，C不正确，再证明三个向量不共面即可求证直线，不相交，即可得直线，的位置关系. 【详解】因为点，，，， 所以，，， 因为不存在实数，使得，所以、不共线， 所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确； 假设、、三个向量共面， 设，则，此方程组无解， 可得、、三个向量不共面， 所以直线，不相交，所以直线，异面， 故选：D. 8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可得夹角的取值范围，整理相关等式，进而可得离心率的函数表达式，利用不等式定义，可得答案. 【详解】设，，，由，则， 显然，则整理可得，由， 则， 解得，由双曲线的定义可知：， 则，整理可得， 化简可得，由，且， 则，可得或， 解得或，所以，解得. 故选：C. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，，，，，则（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B相互独立 C. 事件A与C互斥 D. 事件A与C相互独立 【答案】AD 【解析】 【分析】根据给定条件求出，可判断A，C；计算概率结合相互独立事件的意义判断B，D作答. 【详解】因，由已知得：，，即事件A与B互斥，A正确； 因，，，，事件A与B不独立，B不正确； 因，由已知得：，，即事件A与C不互斥，C不正确； 因，，，有，事件A与C相互独立，D正确. 故选：AD 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 平面 C. 平面与平面所成的二面角为 D. 异面直线与所成角的范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】A应用等体积法，根据特殊点：与重合时求的体积；B利用面面平行的性质证面；C根据正方体的结构特征证面面即可；D由，根据在线段的位置，即可确定异面直线与所成角的范围. 【详解】A：，因为到面的距离不变，且△的面积不变，所以三棱锥的体积不变，当与重合时得，故A正确； B：连接，，，，易证面面，又面，所以面，故B正确； C：根据正方体的结构特征，有面，又面，则面面，故C错误； D：由知：当与线段的两端点重合时，与所成角取最小值，当与线段的中点重合时，与所成角取最大值，故与所成角的范围，故D正确. 故选：ABD． 11. 数列满是，则（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，判断出数列的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以， 由，得到，且易知，时，，当时，， 所以 所以数列的最大项为，最小项为， 故选：BD. 12. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 【答案】AD 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，可判定A正确；设直线，联立方程组，结合韦达定理，可判定B错误；根据，求得，可判定C错误；由，联立方程组得到，结合，可判定D正确. 【详解】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确； 由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0， 设直线，联立方程组，整理得， 可得，所以，所以B错误； 若点，则，所以，所以，， 所以，所以C错误； 又由直线，联立方程组，解得， 由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 抛物线上一点到焦点的距离为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为，所以点在该抛物线上， 又抛物线的准线方程为：， 所以点到焦点的距离为：， 故答案为：3 14. 已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题中条件解不等式得，计算的最小值，从而得出实数的范围. 【详解】因为对一切正整数n均有且恒成立， 所以，化简得到， 的最小值为3. 所以， 故答案为：. 15. 已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切线长最小时直线上对应的点为，则，利用点到直线的距离公式计算的值并构建关于的方程，解方程后可得的值，从而得到所求的斜率. 【详解】设切线长最小时直线上对应的点为，则 又，因为切线长的最小值为 故，解得，故直线的斜率为. 故答案为：. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问题，属于中档题. 16. 已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______ ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据题意，利用空间向量的坐标法或直接运用几何定义法来研究动点轨迹，然后再进行判断即可. 【详解】 对于①，建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为， 对于A，，，，则 ，则，即 此时仅有，所以的轨迹是一个点，故①错误； 对于②，过向作垂线，垂足为，过向作垂线，垂足为， 过向作垂线，垂足为，由于， 又因为，，平面， 所以平面，又因为平面， 所以， 若到直线，距离相等，即， 因为，所以， 则，即，则的轨迹是双曲线，故②正确， 对于③，若到直线，距离相等，面， 面， 所以，所以到直线的距离为到点的距离， 则到直线，点距离相等，由抛物线定义可得，的轨迹是抛物线，故③正确； 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题重点考查立体几何中的轨迹问题，关键在于对于对圆锥曲线定义的理解. 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线； （1）证明：直线l过定点； （2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 【答案】（1） 由直线方程可得，， ， 直线l过恒过定点. （2） 【解析】 【分析】（1）直线方程整理为关于的方程，然后由恒等式知识得结论； （2）利用过定点与的直线和直线垂直时，距离最大可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意可知，点到直线l的距离的最大值为点到定点的距离， 此时直线l与过点与定点的直线垂直， 则过与定点的直线的斜率为，所以， 所以． 18. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答. （2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答. 【小问1详解】 设，由，得， 化简得， 所以P点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆， 当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切； 当直线l的斜率存在时，设，即， 于是，解得，因此直线的方程为，即， 所以直线l的方程为或. 19. 已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点． （1）求的值； （2）当经过抛物线的焦点时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线方程后设出交点坐标，代入抛物线方程即可求解； （2）给出直线方程后和抛物线方程联立，韦达定理结合面积公式即可求解. 【详解】（1）当斜率为时，由得，恰好经过坐标原点， 不妨设，则为抛物线上的点． 代入抛物线的方程得，解得． （2）由（1）可知抛物线的焦点．当经过时，其方程为． 将其与抛物线的方程联立得． 设，，则，． 因此的面积． 20. 眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率； （2）求甲队得2分乙队得1分的概率. 【答案】(1)0分概率；2分概率；(2) 【解析】 【分析】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件，分析可知A事件三人都没有答对，按相互独立事件同时发生计算概率，B事件即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，由n次独立事件恰有k次发生计算即可（2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件，分别有互斥事件概率加法公式及相互独立事件乘法公式计算即可. 【详解】（1）记“甲队总得分为0分”为事件，“甲队总得分为2分”为事件， 甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率； 甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，其概率； （2）记“乙队得1分”为事件，“甲队得2分乙队得1分”为事件； 事件即乙队三人中有2人答错，其余1人答对， 则， 甲队得2分乙队得1分即事件、同时发生， 则． 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率计算，涉及n次独立事件中恰有k次发生的概率公式的应用，互斥事件的概率加法公式，属于中档题. 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） 因为，点O是的中点， 所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面，而平面， 所以； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合面面垂直的性质、线面垂直的性质进行证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； （3）根据线面平行的性质，结合空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为的中点，连接， 因为，，所以，由（1）可知：平面，而平面，所以， 因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为平面平面，平面平面，， 所以平面，因此平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 于是有， 二面角的余弦值为：； 【小问3详解】 假设在棱上存在点M，使得平面，且，可得：，因此， 由（2）可知平面的法向量为， 因为平面，所以， 因此假设成立，. 22. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，即可求出，从而求出椭圆方程； （2）首先表示出直线方程，设、，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由直线、的方程，表示出、，根据得到方程，解得即可； 【小问1详解】 解：依题意可得，，又， 所以，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 若直线斜率不存在，与椭圆只有一个交点，不合题意； 所以直线斜率存在，设过点的直线为， 设、，不妨令， 由，消去整理得， 所以，解得， 所以，， 直线的方程为，令，解得， 直线的方程为，令，解得， 所以 ， 所以， 即 即 即 整理得，解得 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东坡区22级高二下学期两校期末联考 数学试题 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4．全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 2. 图一是美丽的“勾股树”，它是一个直角三角形分别以它的每一边向外作正方形而得到．图二是第1代“勾股树”，重复图二的作法，得到图三为第2代“勾股树”，以此类推，已知最大的正方形面积为1，则第n代“勾股树”所有正方形的个数与面积的和分别为（ ） 图一 图二 图三 A. B. C. D. 3. 如图，圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长，过的中点B作的垂线交圆O于点C，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“直线和直线平行”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 小王同学制作了一枚质地均匀的正十二面体骰子，并在十二个面上分别画了十二生肖的图案，且每个面上的生肖各不相同，如图所示．小王抛掷这枚骰子2次，恰好出现一次龙的图案朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ） A. 2 B. C. 8 D. 7. 已知点，，，，则直线，的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 重合 D. 异面 8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 对于一个古典概型的样本空间和事件A，B，C，其中，，，，，则（ ） A. 事件A与B互斥 B. 事件A与B相互独立 C. 事件A与C互斥 D. 事件A与C相互独立 10. 如图，在棱长为1的正方体中，点P在线段上运动，则下列判断中正确的是（ ） A. 三棱锥的体积是 B. 平面 C. 平面与平面所成的二面角为 D. 异面直线与所成角的范围是 11. 数列满是，则（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最大项为 C. 数列的最小项为 D. 数列的最小项为 12. 用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ） A. C的准线方程为 B. C. 若点，则 D. 设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 抛物线上一点到焦点的距离为__________． 14. 已知满足对一切正整数n均有且恒成立，则实数的范围是_______ 15. 已知圆C的方程为，过直线l：（）上任意一点作圆C的切线，若切线长的最小值为，则直线l的斜率为__________． 16. 已知正方体中，O为正方形的中心．M为平面上的一个动点，则下列命题正确的_______ ①若，则M的轨迹是圆；②若M到直线距离相等，则M的轨迹是双曲线；③若M到直线距离相等，则M的轨迹是抛物线 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知直线； （1）证明：直线l过定点； （2）已知点，当点到直线l的距离最大时，求实数m的值． 18. 在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足 （1）求动点P的轨迹C的方程 （2）若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程. 19. 已知过点的直线与抛物线（）交于，两点，且当的斜率为时，恰为中点． （1）求的值； （2）当经过抛物线的焦点时，求的面积． 20. 眉山市位于四川西南，有“千载诗书城，人文第一州”的美誉，这里是大文豪苏轼、苏洵、苏辙的故乡，也是人们旅游的好地方.在今年的国庆黄金周，为了丰富游客的文化生活，每天在东坡故里三苏祠举行“三苏文化”知识竞赛.已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响. （1）分别求甲队总得分为0分；2分的概率； （2）求甲队得2分乙队得1分的概率. 21. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点O是的中点． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值； （3）在棱上是否存在点M，使得平面?若存在，求的值；若不存在，说明理由． 22. 已知椭圆的一个顶点为，焦距为． （1）求椭圆E的方程； （2）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $