精品解析：浙江省宁波市镇海区蛟川书院联合校2023-2024学年八年级下学期6月月考数学试题

2023学年联合校学科素养测试（下）初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义；根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、被开方数含有开得尽的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； B、当时，不是一元二次方程，不符合题意； C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形中，对角相等，邻角互补的性质，可以设出未知数，列出方程，进而即可求解，熟练掌握平行四边形对角相等，邻角互补的性质是解题的关键． 【详解】设度数为，如图， ∵平行四边形中，对角相等，邻角互补得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质和混合运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的性质和运算法则分别判断． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、和不是同类二次根式，不能合并，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 有两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形、平行四边形和菱形的判定，解题的关键是熟练掌握它们的判定方法． 根据正方形、平行四边形和菱形的判定即可得到答案． 【详解】解：A、一组对边相等，一组对角相等四边形不能判断是平行四边形，故此选项不符合题意； B、有两组邻边相等的四边形不能判断是菱形，故此选项不符合题意； C、对角线互相垂直的矩形是正方形，故此选项符合题意； D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：C． 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案． 【详解】解：， ， 配方得，即， 故选：A． 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于，交于，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为18， ， ， 在和中， ， ， ， 则周长， 故选：B． 8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，涉及新定义运算、解一元一次不等式等知识，根据题中新定义运算得到，再由一元二次方程根的情况确定，解不等式即可得到答案，掌握由一元二次方程根的情况求参数范围是解决问题的关键． 【详解】解：实数定义新运算：， 由可知，，即， 关于方程有两个不相等的实数根， ，即， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和等知识点，设，用x表示出和，再由和三角形的内角和列出方程求出x，进而即可得解，熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【详解】设， ∵四边形平行四边形， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，点为线段上一个动点，若垂直平分，且与、、、分别交于点、、、，若已知正方形的面积，可以求得（ ） A. 与面积之和 B. 与面积之和 C. 与面积之和 D. 与面积之和 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形中位线性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质和判定、正方形的判定与性质是解题的关键；根据题意可以作，，，连接；设，先由直角三角形斜边上中线的性质得是三角形中位线，则有；再证明四边形是正方形，证明，则易得；设正方形的边长为，正方形面积为，则可计算出，再根据图形即可求解； 【详解】解：作，，，连接，如图； 设， 由四边形是正方形，则， 点是直角三角形斜边上的中点， ， ∵， ∴为中点， 为的中位线； ∴； 由四边形为正方形，则， ∵， ∴； ∵，，， 故四边形是正方形， ； 垂直平分 ， ∵， ， 则， ， ， ∴， 得：， 设正方形的边长为，则正方形面积为， 则，， 故； ∵， 故已知正方形的面积可以求出与面积之和． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，代数式求值． 先根据二次根式的定义求出x的值，继而可得出y的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得出：， 解得：， ∴ ∴． 故答案为：1． 12. 如图，在矩形中，点在边上，且平分．若，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，过点作，根据角平分线的性质可得，结合矩形的性质可得，进而得出即可解答． 【详解】解：过点作，如图， 四边形是矩形， ，，， ， 平分． ， ， ． 故答案为：． 13. 若，则的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据开平方和一个数的平方的性质将式子进行化简，利用负数的绝对值等于它的相反数即可求出的取值范围．本题考查了二次根式以及绝对值化简，解题的关键在于一个未知数开方的结果要带绝对值，一个带根号的未知数的平方等于原来的数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当_____时，三角形为等腰三角形． 【答案】15或16 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及一元二次方程的根的判别式，先进行分类讨论，即当，或当，代入解出；再或者为腰长时，得出，解出，即可作答． 【详解】解：∵三角形为等腰三角形 ∴当，则把代入 得出 解得 同理：∴当，则把代入 得出 解得 当为腰长时，方程 则 解得 故答案：15或16 15. 若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d，则由根与系数的关系得到，，进而得到，，据此求出p、q的值即可得到答案． 【详解】解：设方程的两个根分别为a、b，方程的两个根分别为c、d， ∴，， ∵关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在五边形中，，，，，连接，若，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 如图，连接，延长交的延长线于，由，，，可得，则，，证明，则，设，则，由勾股定理得，，即；，即；则，可求满足要求的解，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即； ，即； ∴， 解得，或（舍去）， ∴， 解得，或（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法和除法法则、乘法公式是解决问题的关键． （1）先化简二次根式和计算二次根式的乘除，最后再计算加减法即可； （2）先化简二次根式和计算完全平方式，最后再计算加减法即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 18. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键． （1）用配方法求出方程的解即可； （2）先化简，再利用因式分解法，求出方程的解即可； 【小问1详解】 解： 可化为：， 配方为：， 开平方得：， 即． 【小问2详解】 解： 可化为：， 因式分解得：， 即或， 解得：． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． （1）在图1中画一个以为一边的菱形，点均在格点上，且菱形的面积为8． （2）在图2中画一个以为边，且有一个内角为的平行四边形． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了作图−应用与设计作图，平行四边形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识， （1）根据菱形的性质和题目要求画出图形即可； （2）根据平行四边形的定义以及题目要求画出图形即可； 解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题． 【小问1详解】 如图所示， ∵， ∴四边形菱形， ∵，， ∴菱形的面积为， ∴如上图所示，即为所求； 【小问2详解】 如图所示， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴如上图所示，即为所求． 20. 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m． （1）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由． 【答案】（1）AB的长为10m （2）花圃的面积不能达到130m2，理由见解析 【解析】 【分析】（1）设的长为，则的长为，且，由题意知，求出满足要求的解即可； （2）花圃的面积为S，则有，求最大值，与130作比较即可． 【小问1详解】 解：设的长为，则的长为 ∵ ∴ 由题意知 解得（舍去）， ∴花圃一边的长为10． 【小问2详解】 圃的面积不能达到130． 解：令花圃的面积为S 则 ∵ ∴ ∴花圃的面积不能达到130． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数最大值．解题的关键在于根据题意列正确的方程并求解． 21. 如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形ABCD是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质得到两组角对应相等，由中点的性质以及线段的和差得到一组对边相等，利用判定． （2）由对角线互补判定四边形是平行四边形，进而由对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴，， ∵O为的中点，即，， ∴，即， 在和中， ∴． 【小问2详解】 证明：∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴，即， ∴四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，平行四边形的判定，矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握这些判定定理与性质定理． 22. 在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法： 以为例，易知的整数部分为10，且更接近11； 则，，； ．（实际上，……） （1）的整数部分为_______；_______（结果保留两位小数）． （2）小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． （3）对任一正整数，若与最接近的完全平方数为，且，用含有，的代数式表示的近似值． 【答案】（1）8；8.88 （2） （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，读懂所给材料是解题的关键． （1）参照题干中所给方法进行估算即可； （2）利用放缩法得出，再仿照题干中所给方法进行估算即可； （3）分和两种情况，仿照题干中所给方法进行估算即可． 【小问1详解】 解：， ， 的整数部分为8； 的整数部分为8，且更接近9，则，， ， ， 故答案为：8；8.88． 【小问2详解】 解：， ，更接近1.4， ，， ， ； 【小问3详解】 解：当时，， ， ； 当时，， ， ； 综上可知，当时，；当时，． 23. 某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题的探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程 转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求的最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___ 的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___． 任务3 应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 【答案】任务1：的最小值为；任务2：；；；任务3： 【解析】 【分析】任务1：令，将其看作关于x的一元二次方程，利用判别式列出不等式求解即可； 任务2：令，将代入原式得，将其看作关于字母的一元二次方程，利用判别式求的k得范围，即可确定的最大值； 任务3：过点A作于点D，根据题意可得，，，利用勾股定理得，令，则有，将其看成关于a的一元二次方程，利用判别式求的y得范围，可知最大值，则有，结合代入消元法求解即可． 【详解】解：任务1：令， ， ，解得， 则的最小值为； 任务2：令，将代入原式得， 将新得到的等式看作关于字母的一元二次方程，整理得， ，解得， 则的最大值为； 故答案为：；；； 任务3：过点A作于点D，如图， ∵， ，， ∴，，， ∵，， ∴，整理得， 令，则，代入，整理得， 将其看成关于a的一元二次方程，则，解得， 那么，最大为26， 则有，， 故当最大时，求此时． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的判别式、解一元一次不等式、勾股定理、含30度角的直角三角形以及解一元二次方程，解题的关键是理解题目给定的求解方式，并利用解不等式和解方程的思想进行作答． 24. 如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接． （1）求证：． （2）求线段，，间的数量关系． （3）①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①变化，，；②6 【解析】 【分析】（1）根据四边形是菱形，，得出，即可证明是等边三角形，，证明，根据全等三角形的性质即可证明； （2）由（1）得，即可得出，过点作交于点，得，根据直角三角形的性质得出，根据勾股定理得出在中，，根据勾股定理即可求解； （3）①∵，故，根据，，得出，根据直角三角形的性质得出，勾股定理得出，过点作交于点，得出，再根据即可表示出，结合，即可求出； ②根据，，得出，从而得出，，由①得，即可得出． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 小问2详解】 解：由（1）得， ∴， 即， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， 化简得：； 【小问3详解】 解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ， ∴； ②∵，， ∴， ∴， ∴， 由①得， ∴． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，勾股定理，菱形的性质，直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年联合校学科素养测试（下）初二数学试卷 （满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平行四边形中，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 B. 有两组邻边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的矩形是正方形 D. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 6. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于，交于，若平行四边形的周长为18，，则四边形的周长为（ ） A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 8. 对于实数定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（ ） A. B. C. 且 D. 且 9. 如图，在平行四边形中，点在对角线上，连接，，过点作交于点，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点为线段上一个动点，若垂直平分，且与、、、分别交于点、、、，若已知正方形面积，可以求得（ ） A. 与面积之和 B. 与面积之和 C. 与面积之和 D. 与面积之和 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知，那么_____． 12. 如图，在矩形中，点在边上，且平分．若，则的长为_______． 13. 若，则的取值范围是_____． 14. 已知三角形的一边长为5，另外两边，为方程的解，则当_____时，三角形为等腰三角形． 15. 若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则_____． 16. 如图，在五边形中，，，，，连接，若，则的长为______． 三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分，20-21题每题8分，22-23题每题10分，24题12分，共66分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解下列方程： （1）； （2）． 19. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点，均在格点上． （1）在图1中画一个以为一边的菱形，点均在格点上，且菱形的面积为8． （2）在图2中画一个以为边，且有一个内角为的平行四边形． 20. 如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃ABCD，其中，墙长18m，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆32m． （1）若花圃的面积为120m2，求花圃一边AB的长； （2）花圃的面积能达到130m2吗？说明理由． 21. 如图，已知四边形的对角线，交于点O，O是的中点，E，F是上的点，且，． （1）求证：； （2）若，求证：四边形ABCD是矩形． 22. 在二次根式学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由，可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢？小明同学在查询资料后，发现了一种方法： 以为例，易知的整数部分为10，且更接近11； 则，，； ．（实际上，……） （1）的整数部分为_______；_______（结果保留两位小数）． （2）小明在采用这种方法估算时，得到，与熟知数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差．请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）． （3）对任一正整数，若与最接近的完全平方数为，且，用含有，的代数式表示的近似值． 23. 某学习小组的同学在学完一元二次方程后，发现配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求二次三项式的最值；他们对最值问题产生了浓厚兴趣，决定进行深入的研究．下面是该学习小组收集的素材，汇总如下，请根据素材帮助他完成相应任务： 关于最值问题探究 素材1 “主元法”是指在有多个字母的代数式或方程中，选取其中一个字母为主元（未知数），将其它字母看成是常数，这样可以把一些陌生的代数式或方程 转化为我们熟悉的代数式或方程．例如：当时，方程可以看作关于的一元二次方程．但若把看成“主元”，看作常数，则方程可化为：，这就是一个关于的一元一次方程了 素材2 对于一个关于的二次三项式，除了可以利用配方法求该多项式的最值外，还有其他的方法，比如：令，然后移项可得：，再利用根的判别式来确定的取值范围，这一方法称为判别式法． 问题解决 任务1 感受新知：用判别式法求的最小值． 任务2 探索新知：若实数、满足，求最大值．对于这一问题，该小组的同学有大致的思路，请你帮助他们完成具体计算：首先令，将代入原式得___将新得到的等式看作关于字母___ 的一元二次方程，利用判别式可得的最大值为___． 任务3 应用新知：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时的值． 24. 如图1，在菱形中，，，点、分别在边，上运动，满足，连接． （1）求证：． （2）求线段，，间的数量关系． （3）①如图2，连接对角线，与交于点，作于点，设，则的值是否变化？若变化，请用含的式子表示并求其取值范围；若不变，则求出这个定值； ②如图3，作，直接写出的值为______． 第1页/共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$