精品解析：新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度第二学期教育质量监测 高二 数学 （考试时间:120分钟 总分:150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 对变量，由观测数据得散点图1，对变量，由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A. 变量与负相关，与正相关 B. 变量与负相关，与负相关 C. 变量与正相关，与正相关 D. 变量与正相关，与负相关 2. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为（ ） A. 6.25t B. 5t C. 4.65t D. 3.25t 3. 已知的展开式的二项式系数的和为64，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项 4. 已知随机变量，则 =（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 5. 有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（　　） x 3 m 5 6 y 2.5 3 4 n A. n﹣0.7m＝1.7 B. n﹣0.7m＝1.5 C. n+0.7m＝1.7 D. n+0.7m＝1.5 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知随机变量X服从两点分布，E（X）=0.7，则其成功的概率为0.3 B. 已知数据x₁，x₂，……的平均数为2，方差为3，那么数据…的平均数和方差分别为5，13 C. 在经验回归方程.中，相对于样本点（2，1.2）的残差为-0.8 D. 样本相关系数r∈（-1，1） 9. 设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 10. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 252 B. 210 C. 126 D. 120 11. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 4 12. 设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，求得数值依次为0.57，-0.93，0.89，则这三组数据中，线性相关性最强的是______组数据. 14. 已知函数则a的值为______. 15. 随机变量ξ的分布列如下表所示，且，则E（ξ）的值为______. ξ 0 1 2 3 p 0.1 m n 0.1 16. 有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有_________种（写出具体数字结果）． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 18. （1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 19. 已知的展开式中，所有项的系数之和是. （1）求展开式中的有理项有几项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 20. 2024年5月4日是“五四运动”105周年纪念日，为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为．甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． （1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率； （2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，求这个问题回答正确的概率． 21. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断，依据小概率值的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 12 女生 5 合计 30 （2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记出高三女生的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 22. 已知函数 （1）已知直线l过点且直线l与曲线在处的切线方程平行，求直线l的方程； （2）证明:； （3）若函数有且只有两个零点，求a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年度第二学期教育质量监测 高二 数学 （考试时间:120分钟 总分:150分） 注意事项： 1.答题时，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的） 1. 对变量，由观测数据得散点图1，对变量，由观测数据得散点图2．由这两个散点图可以判断（　　） A. 变量与负相关，与正相关 B. 变量与负相关，与负相关 C. 变量与正相关，与正相关 D. 变量与正相关，与负相关 【答案】B 【解析】 【详解】由图1可得，变量与负相关， 由图2可得，与正相关， 则与负相关． 2. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格x（万元）和需求量y（t）之间的一组数据，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为若价格定为1.9万元，则预测需求量大约为（ ） A. 6.25t B. 5t C. 4.65t D. 3.25t 【答案】A 【解析】 【分析】根据经验回归方程，令，计算即可求解. 【详解】由题意知，经验回归方程为， 令，得， 即预测需求量大约为6.25t. 故选：A 3. 已知的展开式的二项式系数的和为64，则展开式中二项式系数最大的项为（ ） A. 第2项 B. 第3项 C. 第4项 D. 第5项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的二项式系数的和为64得，再根据二项式系数性质得二项式系数最大的项的项数 【详解】由的展开式的二项式系数的和为64，即， 的展开式中共7项，第4项的二项式系数最大， 故选：C 4. 已知随机变量，则 =（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.5 D. 0.6 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态分布曲线的对称性计算即可. 【详解】，由题意可知该正态分布的对称轴， 所以， 所以. 故选:D. 5. 有3个旅游爱好者分别从4个不同的景点中选择一处游览，则不同的选择方法数为（ ） A. 81 B. 64 C. 24 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】由分步计数原理求解即可. 【详解】3个旅游爱好者分步去选择景点游览得种不同的选择方法数. 故选：B. 6. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对等式两边求导，求导的时候注意是个常数，求导之后令即可得出答案. 【详解】因为，所以，令，则，． 故选：C 7. 根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程＝0.7x+0.35，则实数m，n应满足（　　） x 3 m 5 6 y 2.5 3 4 n A. n﹣0.7m＝1.7 B. n﹣0.7m＝1.5 C. n+0.7m＝1.7 D. n+0.7m＝1.5 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出x，y的平均数，代入回归方程，求出n﹣0.7m的值即可． 【详解】解：由题意： ＝（3+m+5+6）＝（14+m）， ＝（2.5+3+4+n）＝（9.5+n）， 故（9.5+n）＝0.7×（14+m）+0.35， 解得：n﹣0.7m＝1.7， 故选A． 【点睛】本题考查了回归方程，其中样本点的中心在直线上是解题的关键． 8. 下列说法中，正确的是（ ） A. 已知随机变量X服从两点分布，E（X）=0.7，则其成功的概率为0.3 B. 已知数据x₁，x₂，……的平均数为2，方差为3，那么数据…的平均数和方差分别为5，13 C. 在经验回归方程.中，相对于样本点（2，1.2）的残差为-0.8 D. 样本相关系数r∈（-1，1） 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用两点分布的性质判断A；根据平均数和方差的性质判断B；利用残差公式求出残差判断C；根据样本相关系数取值范围判断D 【详解】随机变量X服从两点分布，设成功的概率为p， 所以，故A错 已知数据x₁，x₂，……的平均数为2，方差为3，那么数据…的平均数为，方差分别为，故B错， 残差，故C对； 样本相关系数，故D错； 故选：C 9. 设为实数，若函数在处取得极小值，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，根据极值点求出的值，然后根据极值的概念检验即得． 【详解】由题可得， 令，解得；或， 因为函数在处取得极小值， 所以，即， 当时，，或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，满足题意. 故选：B. 10. 在的展开式中，项的系数为（ ） A. 252 B. 210 C. 126 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理可得的展开式中项的系数为，再结合组合数的性质即可得解. 【详解】的展开式的通项为， 则的展开式中项的系数为， 所以的展开式中项的系数为 ． 故选：B． 11. 已知离散型随机变量服从二项分布，且，，则的最小值为 A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 根据二项分布的性质可得，，化简即，结合基本不等式即可得到的最小值. 【详解】离散型随机变量X服从二项分布， 所以有， ， 所以，即，（，） 所以 ， 当且仅当时取得等号． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题． 12. 设对于曲线上任一点处的切线，总存在曲线上一点处的切线，使得，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设两曲线任意一点切线斜率分别为、，根据垂直关系及指数函数、正弦函数的性质确定、的范围，进而判断包含关系，即可求参数范围. 【详解】由，则的切线斜率为， 由，则的切线斜率为， 而两曲线上总存在切线、有，即， 而，即，故， 所以，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：由导数的几何意义及指数函数、正弦函数的性质确定切线斜率的范围，根据恒存在确定包含关系求参数范围. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 为了比较甲、乙、丙三组数据的线性相关性强弱，某同学分别计算了甲、乙、丙三组数据的线性相关系数，求得数值依次为0.57，-0.93，0.89，则这三组数据中，线性相关性最强的是______组数据. 【答案】乙 【解析】 【分析】根据相关系数的含义，其绝对值越接近1，线性相关性越强即可得到答案． 【详解】根据题意，因为线性相关系数的绝对值越大，线性相关性越强， 由甲、乙、丙三组数据的线性相关系数分别为0.57，-0.93，0.89， 所以 故乙组数据的线性相关性最强， 故答案为：乙 14. 已知函数则a的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】求导可得，进而得，结合题意即可求解. 【详解】由，得， 所以，又 所以，解得. 故答案为：1 15. 随机变量ξ的分布列如下表所示，且，则E（ξ）的值为______. ξ 0 1 2 3 p 0.1 m n 0.1 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合分布列的性质求得，进而求期望即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以. 故答案为：1.5 16. 有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有_________种（写出具体数字结果）． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定仅会唱歌、仅会跳舞和既会唱歌又会跳舞的演员人数，以仅会唱歌的人被选派的人数为分类依据，分别求得每种情况的选派方法数，根据分类加法计数原理可求得结果. 【详解】由题意可知：名演员中，既会唱歌又会跳舞的演员有：人， 则有人仅会唱歌，人仅会跳舞； ①仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ②仅会唱歌的人中有人表演唱歌节目，则选派方法有种； ③仅会唱歌的人中无人表演唱歌节目，则选派方法有种； 由分类加法计数原理可知：不同的选派方法有种. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 【答案】（1） （2）单调区间见详解，极大值为，极小值为 【解析】 【分析】（1）由导函数，求出切线斜率，由点斜式得切线方程，整理即得； （2）由导函数可得的解，列表确定的正负，得的单调区间与极值． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴，又 所以切线方程为. 即； 【小问2详解】 设可得或. 令，得或；令，得. 当变化时，，的变化情况如下表： x 5 + 0 0 + 单调递增↗ 单调递减↘ 单调递增↗ 所以，的单调增区间为，单调减区间为， 当时，有极大值，并且极大值为 当时，有极小值，并且极小值为． 18. （1）求的值； （2）若等式成立，求正整数的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用组合数的性质计算化简即可. （2）利用给定式子建立方程，求解即可. 【详解】（1）原式 （2）由展开得，因， 故可化简得：， 解得或（舍），故. 19. 已知的展开式中，所有项的系数之和是. （1）求展开式中的有理项有几项； （2）求展开式中系数绝对值最大的项是第几项. 【答案】（1）4 （2）2 【解析】 【分析】（1）先借助赋值法求得，从而求出二项式的通项公式，然后利用求解即可； （2）设第项的系数绝对值最大，列出相应不等式组，解出即可得. 【小问1详解】 由于所有项的系数之和是. 令，得，， 展开式的通项（）， 令，， 展开式中有理项共有4项. 【小问2详解】 设第项系数的绝对值最大. 则， 得，解得， ，， 展开式中系数绝对值最大的项为第2项. 20. 2024年5月4日是“五四运动”105周年纪念日，为弘扬五四爱国主义精神，某学校开展了爱国主义知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关历史的问题，每个人回答正确与否互不影响．已知甲回答正确的概率为．甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是． （1）若规定三名同学都回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率； （2）若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，，，求这个问题回答正确的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助独立事件的概率乘法公式计算即可得； （2）借助全概率公式计算即可得. 【小问1详解】 设乙答题正确的概率为，丙答题正确的概率为， 则甲、丙两人都回答正确的概率是，解得， 乙、丙两人都回答正确的概率是，解得， 所以若规定三名同学都需要回答这个问题， 则甲、乙、丙三名同学都回答正确的概率为； 【小问2详解】 记事件为“甲抢答到这道题”，事件为“乙抢答到这道题”，事件为“丙抢答到这道题”， 记事件B为“这道题被答对”， 则，，， 且，，， 由全概率公式可得． 21. 为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占． （1）根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断，依据小概率值的独立性检验，分析学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别是否有关？ 感兴趣 不感兴趣 合计 男生 12 女生 5 合计 30 （2）若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记出高三女生的人数为，求的分布列与数学期望． 附：，其中； 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）填表： 男生 12 4 16 女生 9 5 14 合计 21 9 30 认为对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关 （2）分布列： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意，完成列联表，计算值并根据其与的比较得出结论； （2）由题意，可分析得出变量服从超几何分布，按照其概率公式写出分布列，计算数学期望即得. 【小问1详解】 列联表如图所示： 男生 12 4 16 女生 9 5 14 合计 21 9 30 零假设为：：对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关． 根据列联表数据计算可得：， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此认为成立，即认为对“数学建模”选修课的兴趣度与性别无关． 【小问2详解】 由（1）可知对“数学建模”选修课的感兴趣的女生有9人，其中高三女生4人， 依题意可知服从超几何分布，且，，； 的分布列为，； 即： 0 1 2 3 数学期望为， （或 22. 已知函数 （1）已知直线l过点且直线l与曲线在处的切线方程平行，求直线l的方程； （2）证明:； （3）若函数有且只有两个零点，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求斜率，然后根据平行直线斜率相等结合点斜式即可得方程 （2）构造函数，利用导数求最小值即可得证； （3）构造函数，将问题转化为函数的图象与直线有两个交点，利用导数研究函数单调性，然后作出函数的图象，根据图象即可求解. 【小问1详解】 由，得， 曲线在处的斜率为， 直线l与曲线在处的切线方程平行，所以， 又直线l过点故方程为 【小问2详解】 记，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 所以当时，取得最小值， 所以，即. 【小问3详解】 ， 由题知，有且只有两个不相等实数根， 即有且只有两个不相等实数根， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 当x趋近于时，趋近于0， 当x趋近于时，趋近于， 又，所以可得的图象如图： 由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 所以a的取值范围为 【点睛】思路点睛：根据函数零点个数求参数范围，一般采取参变分离，转化为两个函数图象的交点问题，然后利用导数研究单调性，结合函数变化趋势、极值等作出函数图象，结合函数图象即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $