函数的奇偶性、周期性专项训练——2025届高三数学一轮复习

函数的奇偶性、周期性

一、单项选择题

1．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的为(　　)

A．y＝0　　　　　　 B．y＝

C．y＝x2 　 D．y＝2x

2．已知f (x)＝2－x＋a·2x为奇函数，则f (1)的值为(　　)

A．－　 　B．1　 　C．　 　D．

3．已知函数f (x)的图象关于原点对称，且周期为4，f (1)＝－2，则f (2 023)＝(　　)

A．2 　 B．0 

C．－2 　 D．－4

4．设函数f (x)＝，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．f (x－1)－1 　 B．f (x－1)＋1

C．f (x＋1)－1 　 D．f (x＋1)＋1

5．已知奇函数f (x)与偶函数g(x)满足f (x)＋g(x)＝，则f (x)＝(　　)

A． 　 B．

C． 　 D．

6．设函数f (x)＝(a－1)x|x－b＋1|为奇函数且在R上为减函数，则关于a，b的值表述正确的是(　　)

A．a＞1，b＝1 　 B．a＞1，b＜1

C．a＜1，b＝1 　 D．a＜1，b＞1

7．函数f (x)是定义域为R的奇函数，f (x)在(0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝0，则不等式>0的解集为(　　)

A．(－2，2)

B．(－∞，0)∪(0，2)

C．(2，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

8．定义在R上的函数f (x)满足f (x＋6)＝f (x)，当－3≤x<－1时，f (x)＝－(x＋2)2；当－1≤x<3时，f (x)＝x，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 023)等于(　　)

A．336 　 B．338 

C．337 　 D．339

二、多项选择题

9．已知y＝f (x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　)

A．y＝f (|x|) 　 B．y＝f (－x)

C．y＝xf (x) 　 D．y＝f (x)＋x

10．已知函数f (x)的定义域为R，∀x1，x2∈R，x2－x1＝2，都有f (x1)＋f (x2)＝0，且f (1)＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．f (23)＝1

B．f (－23)＝1

C．f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1

D．f (x)＋f (x＋1)＋f (x＋2)＋f (x＋3)＝0

三、填空题

11．已知奇函数f (x)＝则g(x)＝________．

12．已知f (x)为定义在R上的奇函数，且f (x)＋f (2－x)＝0，当－1＜x＜0时，f (x)＝2x，则f (2＋log25)的值为________．

13．函数f (x)＝x(ex＋e－x)＋1在区间[－2，2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为(　　)

A．－2　　 B．0　　

C．2　　 D．4

14．(多选)已知定义域为R的函数f (x)满足：∀x，y∈R，f (x＋y)＋f (x－y)＝f (x)f (y)，且f (1)＝1，则下列结论正确的是(　　)

A．f (0)＝2 　 B．f (x)为偶函数

C．f (x)为奇函数 　 D．f (2)＝－1

15．设f (x)是定义在R上的函数，且f (x＋2)＝，f (3)＝3，则f (5)f (2 023)＝________．

16．(2024·贵州模拟)已知函数f (x)＝ln (＋x)＋x，若f (2x－1)＋f (2－x)＞0，则x的取值范围是________

参考答案

1．D　[对于A，定义域为R，且f (－x)＝0＝f (x)，则f (x)为偶函数，故A不满足题意；对于B，因为定义域为{x|x≠0}，f (－x)＝－＝－f (x)，所以f (x)为奇函数，故B不满足题意；对于C，因为定义域为R，且f (－x)＝(－x)2＝x2＝f (x)，所以f (x)为偶函数，故C不满足题意；对于D，因为f (－x)＝2－x，f (－x)≠－f (x)，f (－x)≠f (x)，所以f (x)既不是奇函数，也不是偶函数．故选D.]

2．A　[因为f (x)为定义在R上的奇函数，

所以f (0)＝0，即20＋a·20＝0，解得a＝－1，

当a＝－1时，f (x)＝2－x－2x，

此时f (－x)＝2x－2－x＝－(2－x－2x)＝－f (x)，则f (x)为奇函数，故f (1)＝－2＝－.故选A. ]

3．A　[依题意，函数f (x)的图象关于原点对称，则函数f (x)是奇函数，又f (x)的周期为4，且f (1)＝－2，则f (2 023)＝f (－1＋506×4)＝f (－1)＝－f (1)＝2．]

4．B　[f (x)＝＝＝－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f (x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f (x－1)＋1.故选B.]

5．C　[由f (x)＋g(x)＝可得，

f (－x)＋g(－x)＝，

又f (x)，g(x)分别为奇，偶函数，

所以g(x)－f (x)＝，

由解得f (x)＝.故选C.]

6．C　[因为函数f (x)＝(a－1)x|x－b＋1|为R上的奇函数，且是R上的减函数，

所以a－1≠0且f (－1)＝－f (1)，