函数的概念及其表示专项训练——2025届高三数学一轮复习

函数的概念及其表示 一、单项选择题 1．函数f (x)＝的定义域为(　　) A．(0，1)　　　　　 B．(1，＋∞) C．(0，＋∞) 　 D．(0，1)∪(1，＋∞) 2．已知函数f (x)＝则f＝(　　) A．　 B．1 C．－1　 D．2 3．下列四组函数中，f (x)与g(x)是同一个函数的是(　　) A．f (x)＝x，g(x)＝ B．f (x)＝2lg x，g(x)＝lg x2 C．f (x)＝|x|，g(x)＝ D．f (x)＝，g(x)＝ 4．下列四个函数，定义域和值域不相同的是(　　) A．y＝－x＋1 　 B．y＝ C．y＝ln |x| 　 D．y＝ 5．已知A＝B＝R，y＝x2－2x－2是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，则实数k的取值范围是(　　) A．(－∞，－3] 　 B．(－3，＋∞) C．(－∞，－3) 　 D．[－3，＋∞) 6．图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30 s注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D 7．已知函数f (x)的定义域为R，对任意x∈R均满足2f (x)－f (－x)＝3x＋1，则函数f (x)的解析式为(　　) A．f (x)＝x＋1 　 B．f (x)＝x－1 C．f (x)＝－x＋1 　 D．f (x)＝－x－1 8．设函数f (x)＝则不等式f (x＋1)<f (2x)的解集为(　　) A．(－∞，－1] 　 B．(0，＋∞) C．(－1，0) 　 D．(－∞，0) 二、多项选择题 9．已知函数f (＋1)＝2x＋－1，则(　　) A．f (3)＝9 B．f (x)＝2x2－3x(x0) C．f (x)的最小值为－1 D．f (x)的图象与x轴只有1个交点 10．已知函数f (x)＝ 关于函数f (x)的说法正确的是(　　) A．f ( f (－2))＝0 B．f (x)的值域为(－∞，4) C．f (x)<1的解集为(－1，1) D．若f (x)＝3，则x的值是 三、填空题 11．已知函数f (x)的定义域为[－1，1]，则y＝的定义域为________． 12．(2024·浙江宁波模拟)在平面直角坐标系中，已知A(－2，0)，B(2，0)，C(0，1)三点，请写出2个函数关系式，使函数图象经过A，B，C三点：________，________． 13．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数” D(x)＝它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数f (x)＝x2－D(x)，则下列实数不属于函数f (x)值域的是(　　) A．3　　 B．2 C．1　　 D．0 14．(多选)我们常拿背诵圆周率π( π＝3.14159265358979323846264338327950288…)来衡量某人的记忆水平，如果记圆周率π小数点后第n位数字为f (n)，则下列说法正确的是(　　) A．y＝f (n)，n∈N*是一个函数 B．当n＝6 时，f (n)＝3.14159 C．f (4)＝f (8) D．f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9} 15．(多选)若函数f (x)的定义域与值域的交集为[a，b]，则称f (x)为“[a，b]交汇函数”，下列函数是[0，2]交汇函数的是(　　) A．f (x)＝x2－4x＋4，x∈(－∞，2] B．f (x)＝－＋2 C．f (x)＝－2x＋2 D．f (x)＝ 16．已知定义在R上的函数f (x)满足：对于任意的实数x，y，都有f (x－y)＝f (x)＋y(y－2x＋1)，且f (－1)＝3，则函数f (x)的解析式为________ 参考答案 1．D　[因为f (x)＝， 所以解得x>0且x≠1， 所以f (x)的定义域为(0，1)∪(1，＋∞)． 故选D.] 2．C　[由条件可得f ＝－sin ＝， 则f ＝f ＝log2＝－1. 故选C.] 3．C　[A选项，f (x)＝x的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； B选项，f (x)＝2lg x的定义域是{x|x＞0}，g(x)＝lg x2的定义域是{x|x≠0}，所以不是同一个函数； C选项，g(x)＝＝|x|＝f (x)，两个函数定义域、值域、对应关系完全相同，是同一个函数； D选项，f (x)＝的定义域是R，g(x)＝的定义域是{x|x≥0}，所以不是同一个函数． 故选C.] 4．C　[对于选项A，函数的定义域和值域都是R； 对于选项B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R； 对于选项C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R； 对于选项D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．故选C.] 5．C　[A＝B＝R，y＝x2－2x－2＝(x－1)2－3∈[－3，＋∞)是集合A到集合B的函数，若对于实数k∈B，在集合A中没有实数与之对应，故k不在函数的值域之内，∴k＜－3.故选C.] 6．A　[水壶的结构：底端与上端细、中间粗，所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，由图可知选项A符合．] 7．A　[由2f (x)－f (－x)＝3x＋1， 可得2f (－x)－f (x)＝－3x＋1，① 又4f (x)－2f (－x)＝6x＋2，② ①＋②得：3f (x)＝3x＋3，解得f (x)＝x＋1. 故选A.] 8．D　[因为f (x)＝ 所以函数f (x)的图象如图所示． 由图可知，当x＋1≤0且2x≤0时，函数f (x)为减函数，故f (x＋1)＜f (2x)转化为x＋1＞2x. 此时x≤－1. 当2x＜0且x＋1＞0时，f (2x)＞1，f (x＋1)＝1， 满足f (x＋1)＜f (2x)． 此时－1＜x＜0. 综上，不等式f (x＋1)＜f (2x)的解集为(－∞，－1]∪(－1，0)＝(－∞，0)．] 9．ACD　[令t＝＋1≥1，得＝t－1，则x＝(t－1)2，得f (＋1)＝f (t)＝2t2－3t，故f (x)＝2x2－3x，x∈[1，＋∞)，f (3)＝9，A正确，B错误． f (x)＝2x2－3x＝2－，所以f (x)在[1，＋∞)上单调递增，f (x)min＝f (1)＝－1，f (x)的图象与x轴只有1个交点，C正确，D正确．故选ACD.] 10．ABD　[函数f (x)＝的图象如图所示： 易知f ( f (－2))＝f (0)＝0，故A正确； f (x)的值域为(－∞，4)，故B正确；由f (x)<1解得x∈(－∞，－1)∪(－1，1)，故C错误；f (x)＝3，即 解得x＝，故D正确．故选ABD.] 11．[－2，－1)　[因为f (x)的定义域为[－1，1]，所以函数y＝的x需满足解得x∈[－2，－1)．] 12．y＝1－　y＝1－(答案不唯一，符合题意即可)　[已知A(－2，0)，B(2，0)关于y轴对称，且C(0，1)在y轴上． ①可设y＝k＋m，则 解得故y＝1－. ②可设y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 解得故y＝1－.] 13．C　[由题意可知f (x)＝x2－D(x)＝ 所以f (1)＝12－1＝0，f ()＝()2＝2，f ()＝()2＝3，而f (x)＝1无解．故选C.] 14．ACD　[对任意的n∈N*，都有唯一的f (n)与之对应，故y＝f (n)，n∈N*是一个函数，A正确； 由f (6)＝2，可知当n＝6 时，f (n)≠3.14159，故B错误； 由f (4)＝f (8)＝5，可知C正确； 根据f (n)的定义，可知f (n)的值必定是0到9的十个自然数中的一个，故f (n)∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，D正确．故选ACD.] 15．ABD　[因为f (x)＝x2－4x＋4＝(x－2)2≥0，x∈(－∞，2]， 所以f (x)的值域为[0，＋∞)，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，A正确． f (x)＝－＋2的定义域为[0，＋∞)，值域为(－∞，2]，定义域与值域的交集为[0，2]，B正确． f (x)＝－2x＋2的定义域为R，因为2x＞0， 所以f (x)＝－2x＋2＜2， 即f (x)＝－2x＋2的值域为(－∞，2)，所以f (x)的定义域与值域的交集为(－∞，2)，C错误． 因为方程3x2－4x＋2＝0无解，故f (x)＝的定义域为R， 当x＝0时，f (0)＝0， 当x≠0时，f (x)＝＝， 因为2＋1≥1，所以0＜f (x)≤2， 所以f (x)的值域为[0，2]，f (x)的定义域与值域的交集为[0，2]，D正确．故选ABD.] 16． f (x)＝x2－x＋1　[令x－y＝－1，则y＝x＋1，所以由f (x－y)＝f (x)＋y(y－2x＋1)，可得f (－1)＝f (x)＋(x＋1)(x＋1－2x＋1)．因为f (－1)＝3，所以f (x)＝－(x＋1)(2－x)＋3＝x2－x＋1 学科网（北京）股份有限公司 $$