3.1.1函数的概念（2）导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3.1.1　函数的概念（2） 函数的定义域与值域 知识点一　函数相等 1．条件：①定义域相同；②对应关系完全一致． 2．结论：两个函数相等． 知识点二　函数的定义域 函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合．求函数的定义域时，一般遵循以下原则： 1．f(x)是整式时，定义域是全体实数的集合． 2．f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的一切实数的集合． 3．f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值的实数的集合． 4．零(负)指数幂的底数不能为零． 5．对于含字母参数的函数，求其定义域时，需根据问题的具体情况对字母参数进行讨论． 6．由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． 知识点三　函数的值域 求函数的值域是一个较复杂的问题，要首先明确两点： 一是值域的概念，即对于定义域A上的函数y＝f(x)，其值域就是指其函数值的集合：{f(x)|x∈A}； 二是函数的定义域、对应关系是确定函数的依据．另外，在求函数的值域时，要根据所给的函数的形式，采用相应的方法． 【典例剖析】 类型一　函数相等的判断 [例1]　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1；②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝；④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [变式训练1]　下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f(x)＝6x，g(x)＝6； (2)f(x)＝，g(x)＝x＋3； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 类型二　函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域 [例2]　求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y＝＋；(2)y＝ . [变式训练2]　求下列函数的定义域： (1)y＝＋；(2)y＝. 命题视角2：求抽象函数的定义域 [例3]　(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域． (2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域． [变式训练3]　已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则g(x)＝的定义域为(　　) A．[0,1)∪(1,2]　　　　 B．[0,1)∪(1,4] C．[0,1) D．(1,4] 类型三　求函数的值域 [例4]　求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝； (4)y＝2x－； [变式训练4]　求下列函数的值域． (1)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； (2)y＝； (3)f(x)＝＋. 类型四　复合函数与抽象函数 [例5]　已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m>0)的定义域． [变式训练5]　(1)已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为_______. 【课堂小练】 1．函数f(x)＝＋ 的定义域为(　　) A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[－1,2) D．[－1，＋∞) 2．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(　　) A．{x|x≥1} B．{x|x>1} C．{2,3} D．{2,5} 3．若函数f(x)与g(x)＝是相等的函数，则函数f(x)的定义域是_______． 4．已知f(x＋1)的定义域为[－3,1]，则f(x2－1)的定义域为_____． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f(x)＝(x－1)2＋1； (2)y＝； (3)y＝x－. 【答案解析】 【典例剖析】 类型一　函数相等的判断 [例1]　下列各组函数： ①f(x)＝，g(x)＝x－1； ②f(x)＝，g(x)＝； ③f(x)＝·，g(x)＝； ④f(x)＝，g(x)＝x＋3； ⑤汽车匀速运动时，路程与时间的函数关系f(t)＝80t(0≤t≤5)与一次函数g(x)＝80x(0≤x≤5)． 其中表示相等函数的是____________(填上所有正确的序号)． [思路分析]　判断两个函数是否是同一个函数，只需看这两个函数的定义域和对应关系是否完全一致即可． [解析]　①不同，定义域不同，f(x)定义域为{x|x≠0}，g(x)定义域为R.②不同，对应关系不同，f(x)＝，g(x)＝.③相同，定义域、对应关系都相同．④不同，值域不同，f(x)≥0，g(x)∈R.⑤相同，定义域、对应关系都相同． [答案]　③⑤ 【方法提炼】 函数具有三要素：定义域、值域和对应关系，其中定义域和对应关系确定后，值域随之确定.所以要判定两个函数是否是同一个函数，只需看两个函数的定义域和对应关系是否完全一致，若完全一致就是同一个函数，若不完全一致，就不是同一个函数. [变式训练1]　下列各组中两个函数是否表示相等函数？ (1)f(x)＝6x，g(x)＝6； (2)f(x)＝，g(x)＝x＋3； (3)f(x)＝x2－2x－1，g(t)＝t2－2t－1. 解：(1)g(x)＝6＝6x，它与f(x)＝6x定义域相同，对应关系也相同，所以是相等函数． (2)f(x)＝＝x＋3(x≠3)，它与g(x)＝x＋3的定义域不同，故不是相等函数． (3)虽然自变量用不同的字母表示，但两个函数的定义域和对应关系都相同，故是相等函数． 类型二　函数的定义域 命题视角1：求具体函数的定义域 [例2]　求下列函数的定义域，结果用区间表示： (1)y＝＋；(2)y＝ . [思路分析]　分析所给函数表达式，列出不等式组，求出x的范围即得定义域． [解]　(1)要使函数有意义， 则有⇒ 故函数的定义域是(－2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，必须满足 解得 故函数的定义域是(－∞，－1)∪(－1,0)． 【方法提炼】 求函数的定义域就是求使函数式有意义的自变量的取值范围.当一个函数式由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合. [变式训练2]　求下列函数的定义域： (1)y＝＋；(2)y＝. 解：(1)由已知得 解得x≤1且x≠－5. 所求定义域为{x|x≤1，且x≠－5}． (2)由已知得 解得x≤1且x≠0. 所求定义域为{x|x≤1，且x≠0}． 命题视角2：求抽象函数的定义域 [例3]　(1)已知函数f(x)的定义域是[－1,4]，求函数f(2x＋1)的定义域． (2)已知函数f(2x＋1)的定义域是[－1,4]，求函数f(x)的定义域． [思路分析]　在对应关系相同的情况下， f(x)中x应与f(g(x))中g(x)的取值范围相同，据此可解答该题． [解]　(1)由已知f(x)的定义域是[－1,4]， 即－1≤x≤4， 故对于f(2x＋1)应有－1≤2x＋1≤4， ∴－2≤2x≤3， ∴－1≤x≤. ∴f(2x＋1)的定义域是. (2)由已知f(2x＋1)的定义域是[－1,4]， 即f(2x＋1)中，应有－1≤x≤4， ∴－1≤2x＋1≤9. ∴f(x)的定义域是[－1,9]． 【方法提炼】 因为fgx就是用gx代替了fx中的x，所以gx的取值范围与fx中的x的取值范围相同.若已知函数fx的定义域为[a，b]，则函数fgx的定义域是指满足不等式a≤gx≤b的x的取值范围；而已知fgx的定义域是[a，b]，指的是x∈[a，b]，要求fx的定义域，就是求x∈[a，b]时gx的值域. [变式训练3]　已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则g(x)＝的定义域为(　C　) A．[0,1)∪(1,2]　　　　 B．[0,1)∪(1,4] C．[0,1) D．(1,4] 解析：由题意可知，解得0≤x<1，故g(x)＝的定义域为[0,1)，故选C. 类型三　求函数的值域 [例4]　求下列函数的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝； (4)y＝2x－； (5)y＝. [思路分析]　(1)可由观察法求解；(2)中是二次函数，可采用配方法结合图象求解；(3)中是一个分式型函数，可采用分离常数法将其整理为一个常数加一个分式，或用y表示出x，由分母不等于0求解；(4)利用变量的代换，即换元法求值域；(5)转化成关于x的二次方程，由Δ≥0求值域． [解]　(1)(观察法)　因为x∈{1,2,3,4,5}，可得函数的值域为{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)　y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)． (3)方法一：(分离常数法) y＝＝＝2＋， 显然≠0，所以y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 方法二：(反表示法)　易得x＝，则y≠2，故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(换元法)　设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为. (5)(判别式法)　由y＝可知x∈R， 整理得(y－2)x2＋(y－2)x＋y－5＝0. 当y＝2时，方程无解； 当y≠2时，Δ＝(y－2)2－4(y－2)(y－5)≥0， 即2<y≤6.故所求函数的值域为(2,6]． 【方法提炼】 求函数值域的方法 求函数值域的常用方法有：观察法、配方法、分离常数法、换元法、判别式法、反表示法、中间变量法. 1观察法.通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”观察函数的值域.如函数y＝的值域为{y|0<y≤1}. 2配方法.求形如Fx＝a[fx]2＋bfx＋ca≠0的函数的值域可用配方法，但要注意fx的取值范围.如求函数y＝x＋2＋3的值域，因为y＝＋12＋2≥3，所以所求值域为{y|y≥3}.同时要注意在给定区间上二次函数最值的求法. 3分离常数法.形如y＝ac≠0，ad≠bc的函数常用分离常数法求值域.转化过程为y＝＝，其结论是{y|y≠}. 4换元法.形如y＝ax＋b＋a≠0的函数常用换元法求值域，即先令t＝，求出x，并注明t的取值范围，再代入上式将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域. 5判别式法.一般地，形如y＝a，d中至少有一个不为零的函数的值域，常把函数转化成关于x的二次方程Fx，y＝0，通过方程有实根，判别式Δ≥0，求出y的取值范围. 6反表示法：根据函数解析式反解出x，根据x的取值范围转化为关于y的不等式组求解. [变式训练4]　求下列函数的值域． (1)f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)； (2)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (3)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； (4)y＝； (5)f(x)＝＋. 解：(1)∵x∈[－5,2)，∴－15≤3x<6， ∴－16≤3x－1<5， ∴函数f(x)＝3x－1，x∈[－5,2)的值域是[－16,5)． (2)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴2x＋1∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}． (3)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示， 当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11. ∴所求函数的值域为[2,11)． (4)y＝＝ ＝＝－. ∵≠0，∴y≠， ∴函数y＝的值域为{y∈R|y≠}． (5)由题意可得，x∈[2,4]， 因为f2(x)＝2＋2 ＝2＋2， 所以f2(x)∈[2,4]，故函数f(x)的值域为[，2]． 类型四　复合函数与抽象函数 1．复合函数的概念 如果函数y＝f(t)的定义域为A，函数t＝g(x)的定义域为D，值域为C，则当C⊆A时，称函数y＝f(g(x))为f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中t叫做中间变量，t＝g(x)叫做内层函数，y＝f(t)叫做外层函数． 2．抽象函数的概念 没有给出具体解析式的函数，称为抽象函数． 3．抽象函数或复合函数的定义域 理解抽象函数或复合函数的定义域，要明确以下几点： (1)函数f(x)的定义域是指x的取值范围． (2)函数f(φ(x))的定义域是指x的取值范围，而不是φ(x)的取值范围． (3)f(t)，f(φ(x))，f(h(x))三个函数中的t，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同． [例5]　已知函数f(x)的定义域为[0,1]，求函数g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)(m>0)的定义域． [思路分析]　由f(x)的定义域为[0,1]可知对应关系f作用的范围为[0,1]，而f(x＋m)＋f(x－m)的定义域是指当x在什么范围内取值时，才能使x＋m，x－m都在[0,1]这个区间内，从而使f(x＋m)＋f(x－m)有意义． [解]　由题意得⇒ ∵－m<m,1－m<1＋m，而m与1－m的大小不确定， ∴对m与1－m的大小讨论(m>0)． ①若m＝1－m，即m＝，则x＝m＝； ②若m<1－m，即0<m<，则m≤x≤1－m； ③若m>1－m，即m>，则x∈∅，与题意不符，故m不可能大于. 综上所述，当0<m<时，函数g(x)的定义域为{x|m≤x≤1－m}；当m＝时，函数g(x)的定义域为. [变式训练5]　(1)已知函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]，则函数f(2x－3)的定义域为. 解析：∵函数f(x＋3)的定义域为[－4,5]， ∴－4≤x≤5，∴－1≤x＋3≤8， 即函数f(x)的定义域为[－1,8]．由－1≤2x－3≤8， 解得1≤x≤.故函数f(2x－3)的定义域为. (2)已知f(x2－1)定义域为[0,3]，则f(x)的定义域为[－1,8]． 解析：根据f(x2－1)定义域为[0,3]，得x∈[0,3]， ∴x2∈[0,9]，∴x2－1∈[－1,8]． 故f(x)的定义域为[－1,8]． 【课堂小练】 1．函数f(x)＝＋ 的定义域为(　A　) A．[－1,2)∪(2，＋∞) B．(－1，＋∞) C．[－1,2) D．[－1，＋∞) 解析：由解得x≥－1且x≠2.故选A. 2．函数f(x)＝x2＋1(0<x≤2且x∈N*)的值域是(　D　) A．{x|x≥1} B．{x|x>1} C．{2,3} D．{2,5} 解析：∵0<x≤2且x∈N*，∴x＝1或x＝2.∴f(1)＝2，f(2)＝5，故函数的值域为{2,5}． 3．若函数f(x)与g(x)＝是相等的函数，则函数f(x)的定义域是[2,6)∪(6，＋∞)． 解析：∵2－≠0，∴x≠6，又x－2≥0，∴x≥2，∴g(x)的定义域为[2,6)∪(6，＋∞)． 4．已知f(x＋1)的定义域为[－3,1]，则f(x2－1)的定义域为{x|－≤x≤}． 解析：因为x∈[－3,1]，所以－2≤x＋1≤2，即f(x)的定义域为{x|－2≤x≤2}．所以解得－≤x≤，所以所求函数的定义域为{x|－≤x≤}． 5．试求下列函数的定义域与值域： (1)f(x)＝(x－1)2＋1； (2)y＝； (3)y＝x－. 解：(1)函数的定义域为R，因为(x－1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y|y≥1}． (2)由题意得x－1≠0，所以函数的定义域为{x|x≠1}，y＝＝5＋，所以函数的值域为{y|y≠5}． (3)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝(t－)2－，又t≥0，故y≥－，所以函数的值域为. 学科网（北京）股份有限公司 $$