3.1.1函数的概念(1)导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第三章 函数的概念与性质 3.1.1　函数的概念（1） 知识点一　函数的有关概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 知识点二　区间及有关概念 (1)一般区间的表示． 设a，b∈R，且a<b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a<x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] (2) 特殊区间的表示. 定义 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x<a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【典例剖析】 类型一　函数关系的判断 [例1]　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) (2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y＝x　　 B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ [变式训练1]　(1)下图中的图象能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　　) A．2个　　 B．3个 C．4个 D．5个 (2)下列四个等式中，能表示y是x的函数的是(　　) ①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4. A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 类型二　用区间表示数集 [例2]　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1，或2≤x<6}． [变式训练2]　集合{x|2≤x<5}用区间表示为_______；集合{x|x≤－1，或3<x<4}用区间表示为_________． 类型三　函数的对应关系的应用 [例3]　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))． (2)求g(f(x))． [变式训练3]　(1)设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝__________，g(2)＝_________，f(g(2))＝_________. 【课堂小练】 1．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　　) 2．已知函数f(x)＝，则f()＝(　　) A.　　 B．　　　　 C．a　　　　 D．3a 3．集合{x|－1≤x<5，且x≠3}用区间表示为_______． 4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝_______. 5．已知函数f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 【答案解析】 【典例剖析】 类型一　函数关系的判断 [例1]　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是(　　) (2)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y＝x　　 B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ [解析]　(1)A中，当1<x≤2时，在N中无元素与之对应，不满足任意性，所以不能构成函数关系；B中，同时满足任意性与唯一性．能构成函数关系；C中，当x＝0或x＝2时，对应元素y＝3∉N，不满足任意性，不能构成函数关系；D中x＝1时，在N中有两个元素与之对应，不满足唯一性．故选B. (2)对于选项C，当x＝4时，y＝>2不合题意．故选C. [答案]　(1)B　(2)C 【方法提炼】 1．判断一个对应是否是函数的方法 2．根据图形判断对应是否为函数的步骤 (1)任作一条垂直于x轴的直线l. (2)在定义域内平行移动直线l. (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示： [变式训练1]　(1)下图中的图象能够作为函数y＝f(x)的图象的有(　A　) A．2个　　 B．3个 C．4个 D．5个 解析：由函数的定义可知①⑤可作为函数图象，②③④对于x的值，可能有多个y值与之对应，所以不是函数图象．故选A. (2)下列四个等式中，能表示y是x的函数的是(　A　) ①x－2y＝2；②2x2－3y＝1；③x－y2＝1；④2x2－y2＝4. A．①② B．①③ C．②③ D．①④ 解析：①可化为y＝x－1，表示y是x的一次函数；②可化为y＝x2－，表示y是x的二次函数；③当x＝5时，y＝2，或y＝－2，不符合唯一性，故y不是x的函数；④当x＝2时，y＝±2，故y不是x的函数． 类型二　用区间表示数集 [例2]　把下列数集用区间表示： (1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1<x<1，或2≤x<6}． [思路分析]　依据区间定义写出集合对应的区间，要注意端点的“取”“舍”与中括号、小括号的关系． [解]　(1){x|x≥－2}用区间表示为[－2，＋∞)； (2){x|x<0}用区间表示为(－∞，0)； (3){x|－1<x<1，或2≤x<6}用区间表示为(－1,1)∪[2,6)． 【方法提炼】 区间是数集的另一种表示形式，它具有简单、直观的优点，是表示函数的定义域、值域及不等式解集的重要工具.使用时要按要求书写. [变式训练2]　集合{x|2≤x<5}用区间表示为[2,5)；集合{x|x≤－1，或3<x<4}用区间表示为(－∞，－1]∪(3,4)． 类型三　函数的对应关系的应用 [例3]　设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝， (1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))． (2)求g(f(x))． [思路分析]　求函数值，首先注意自变量的取值是否在函数的定义域内，然后才能代入运算；对于复合函数，要注意函数值不同的“身份”，函数值在复合函数中也会充当某些函数定义域内的元素． [解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2， 所以f(2)＝2×22＋2＝10， f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20. 因为g(x)＝， 所以g(a)＋g(0)＝＋ ＝＋(a≠－2)， g(f(2))＝g(10)＝＝. (2)g(f(x))＝＝＝. 【方法提炼】 1已知函数y＝fx，fa表示当x＝a时fx的函数值，是一个常量，而fx是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，fa是fx的一个特殊值. 2求形如fgx的函数值时，应遵循先内后外的原则. 3若是抽象函数求值问题，则一般采用赋值法. [变式训练3]　(1)设函数f(x)＝2x－1，g(x)＝3x＋2，则f(2)＝3，g(2)＝8，f(g(2))＝15. 解析：f(2)＝2×2－1＝3；g(2)＝3×2＋2＝8；f(g(2))＝f(8)＝2×8－1＝15. (2)已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，则a＝. 解析：令3x＋2＝4，得x＝，又a＝2x＋1＝， ∴a＝. 【课堂小练】 1．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是(　A　) 解析：根据函数的概念，对于每一个x，只有一个函数值y＝f(x)与之相对应，而只有A项的图象，一个x的值对应多个函数值．故选A. 2．已知函数f(x)＝，则f()＝(　D　) A.　　 B．　　　　 C．a　　　　 D．3a 解析：f＝＝3a. 3．集合{x|－1≤x<5，且x≠3}用区间表示为[－1,3)∪(3,5)． 4．若f(x)＝，且f(a)＝2，则a＝或2. 解析：由f(a)＝＝2，得2a2－5a＋2＝0，解得a＝或a＝2. 5．已知函数f(x)＝x＋， (1)求f(x)的定义域； (2)求f(－1)，f(2)的值； (3)当a≠－1时，求f(a＋1)的值． 解：(1)要使函数有意义，必须使x≠0， ∴f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f(－1)＝－1＋＝－2, f(2)＝2＋＝. (3)当a≠－1时，a＋1≠0， ∴f(a＋1)＝a＋1＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$