2.3.2一元二次不等式的应用导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2　一元二次不等式的应用 知识点一　简单的分式不等式的解法 若f(x)与g(x)是关于x的多项式，则不等式 >0 (或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式． 解分式不等式总的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解． (1)>0⇔f(x)g(x)>0； (2)<0⇔f(x)g(x)<0； (3)≥0⇔； (4)≤0⇔. 知识点二　不等式中的恒成立问题 1．不等式的解集为R的条件 不等式的解集为R(或恒成立) 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 2．有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 y≤a恒成立⇔ymax≤a y≥a恒成立⇔ymin≥a 【典例剖析】 类型一　简单的分式不等式的解法 [例1]　解下列不等式． (1)≥0； (2)>1. [变式训练1]　(1)下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　　) A．x<－1　　 B．－1<x<0 C．0<x<1 D．x>1 (2)不等式：>1的解集为_______． 类型二　不等式恒成立问题 命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 [例2]　关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围． [变式训练2]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是______. 命题视角2：一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题 [例3]　已知y＝x2＋ax＋3－a，若{x|－2≤x≤2}，y≥2恒成立，求a的取值范围． [变式训练3]　若1≤x≤4时，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围． 类型三　一元二次不等式的实际应用 [例4]　某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ [变式训练4]　某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若要求该商品一天的销售额至少为10 260元，求x的取值范围． 类型四　解含参不等式时忽略分类的完备性 [例5]　解不等式>1(a∈R)． 【课堂小练】 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　　) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　) A．－4≤a≤4 B．－4<a<4 C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4 3．不等式≤3的解集为________. 4．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的m≤x≤m＋1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为_______. 5．已知当2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立．求a的取值范围． 【答案解析】 【典例剖析】 类型一　简单的分式不等式的解法 [例1]　解下列不等式． (1)≥0； (2)>1. [思路分析]　等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组． [解]　(1)∵≥0 ⇔ ⇔ ⇔x<－或x≥， ∴原不等式的解集为 . (2)方法一：原不等式可化为 或⇔ 或⇔－3<x<－. ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－}． 方法二：原不等式可化为 >0⇔>0 ⇔<0⇔(2x＋1)(x＋3)<0 ⇔－3<x<－. ∴原不等式的解集为{x|－3<x<－}． 【方法提炼】 1对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元二次不等式组求解，但要注意分母不为零. 2对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分不要去分母，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解. [变式训练1]　(1)下列选项中，使不等式x<<x2成立的x的取值范围是(　A　) A．x<－1　　 B．－1<x<0 C．0<x<1 D．x>1 解析：由x<<x2可得 即解得所以x<－1. (2)不等式：>1的解集为{x|－1<x<1}． 解析：因为x2＋x＋1＝2＋>0，所以原不等式可化为x＋2>x2＋x＋1，即x2－1<0，解得－1<x<1，所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}． 类型二　不等式恒成立问题 命题视角1：一元二次不等式在实数集上恒成立问题 [例2]　关于x的不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R，求实数a的取值范围． [思路分析]　→ →→ [解]　①若a2－1＝0，即a＝±1时， 若a＝1，不等式变化为－1<0，解集为R； 若a＝－1，不等式变为2x－1<0， 解集为{x|x<}．∴a＝1时满足条件． ②若a2－1≠0，即a≠±1时，原不等式解集为R的条件是 解得－<a<1. 综上所述，当－<a≤1时，原不等式解集为R. 【方法提炼】 一元二次不等式在R上恒成立问题的题型及求解 1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立的条件是 2一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是 3一元二次不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立的条件是 4一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是 注意：当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x恒成立应满足的条件为或 [变式训练2]　若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是－2<a≤2. 解析：当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，恒成立，解集为R，∴a＝2满足条件； 当a－2≠0时，则原不等式解集为R时， a满足解得－2<a<2. 综上所述，a的范围是－2<a≤2. 命题视角2：一元二次不等式在某特定范围上恒成立问题 [例3]　已知y＝x2＋ax＋3－a，若{x|－2≤x≤2}，y≥2恒成立，求a的取值范围． [思路分析]　对于含参数的函数在某特定范围上函数值恒大于等于或小于等于常数问题，通常利用函数最值转化． [解]　若x∈{x|－2≤x≤2}，y≥2恒成立可转化为： ∀x∈{x|－2≤x≤2}，ymin≥2 ⇔或或 解得a的取值范围为－5≤a≤－2＋2. 【方法提炼】 解决一元二次不等式在某范围上恒成立问题，可结合二次函数的图象进行求解. 设fx＝ax2＋bx＋ca≠0， 1a>0时，fx<0在α≤x≤β时恒成立⇔ 2a<0时，fx>0在α≤x≤β时恒成立⇔ 3fx>0在α≤x≤β时恒成立⇔{x|α≤x≤β}⊆A，其中A是fx>0的解集. [变式训练3]　若1≤x≤4时，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，求实数a的取值范围． 解：1≤x≤4时，不等式x2－(a＋2)x＋4≥－a－1恒成立，即1≤x≤4时，a(x－1)≤x2－2x＋5恒成立． ①当x＝1时，不等式为0≤4恒成立，此时a∈R； ②当1<x≤4时，a≤＝x－1＋. ∵1<x≤4，∴0<x－1≤3， ∴x－1＋≥2＝4(当且仅当x－1＝，即x＝3时取等号)，∴a≤4. 综上，实数a的取值范围为{a|a≤4}． 类型三　一元二次不等式的实际应用 [例4]　某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满．该农家院欲提高档次，并提高租金，经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间．每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1 800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ [思路分析]　设每间客房租金提高x个10元，可以得到每间客房日租金提高到(80＋10x)元，根据每天客房的租金总收入不低于1 800元和每间客房日租金不得超过130元列不等式．解不等式即可． [解]　设每间客房日租金提高x个10元，即每间客房日租金提高到(80＋10x)元，则客房出租数减少x间，此时客房的租金总收入为(80＋10x)(20－x)元．因为每天客房的租金总收入不低于1 800元， 所以(80＋10x)(20－x)≥1 800. 化简，得x2－12x＋20≤0. 解得2≤x≤10，所以20≤10x≤100. 又由题意可知80＋10x≤130，所以10x≤50.因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20～50元． 【方法提炼】 与一元二次不等式有关的实际应用问题，经常涉及物价、路程、产值、环保等最值问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确立相应的函数解析式，然后应用函数、方程和不等式的有关知识加以综合解答．操作步骤如下： [变式训练4]　某商品每件的成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x成(1成＝10%)，则售出商品的数量就增加x成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商品一天的销售额为y元，试求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)若要求该商品一天的销售额至少为10 260元，求x的取值范围． 解：(1)若售价降低x成，则降低后的商品售价为100元，售出商品的数量为100件， 由题意，得y与x之间的函数关系式为 y＝100·100. 因为售价不能低于成本低， 所以100－80≥0，解得x≤2， 所以y＝20(10－x)(50＋8x)，x的取值范围为{x|0≤x≤2}． (2)由题意，得20(10－x)(50＋8x)≥10 260，化简得8x2－30x＋13≤0，解得≤x≤，因为0≤x≤2，所以x的取值范围是≤x≤2. 考点四　解含参不等式时忽略分类的完备性 [例5]　解不等式>1(a∈R)． [解]　原不等式等价于－1>0， 即>0， 所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0　①. 当a＝1时，①式可以转化为x>2； 当a>1时，①式可以转化为(x－)(x－2)>0； 当a<1时，①式可以转化为(x－)(x－2)<0. 又当a≠1时，2－＝， 所以当a>1或a<0时，2>； 当a＝0时，2＝；当0<a<1时，2<. 故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}；当a>1时，原不等式的解集是{x|x<，或x>2}；当0<a<1时，原不等式的解集是{x|2<x<}；当a＝0时，原不等式的解集是∅；当a<0时，原不等式的解集是{x|<x<2}． 【课堂小练】 1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B＝(　B　) A．{x|－1≤x<0} B．{x|0<x≤1} C．{x|0≤x≤2} D．{x|0≤x≤1} 解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0<x≤2}， ∴A∩B＝{x|0<x≤1}． 2．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　A　) A．－4≤a≤4 B．－4<a<4 C．a≤－4，或a≥4 D．a<－4，或a>4 解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0， 解得－4≤a≤4，故选A. 3．不等式≤3的解集为. 解析：≤3⇔－3≤0⇔≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0⇔x<0或x≥. 4．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意的m≤x≤m＋1都有f(x)<0，则实数m的取值范围为－<m<0. 解析：根据题意得 解得－<m<0. 5．已知当2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a<0恒成立．求a的取值范围． 解：∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a<0恒成立， ∴当2≤x≤3时，a<－2x2＋9x恒成立． 令g(x)＝－2x2＋9x， ∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝， ∴g(x)min＝g(3)＝9，∴a<9.∴a的取值范围为a<9. 学科网（北京）股份有限公司 $$