2.3.1一元二次不等式的解法导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教A版（2019）数学必修第一册导学案 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.1　一元二次不等式的解法 知识点一　一元二次不等式及一元二次不等式的解集 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式．一般形式为ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0). 2．一元二次不等式的解集 一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集． 知识点二 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 【典例分析】 类型一　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－3x＋5>0； (2)－6x2－x＋2≥0； (3)－4x2≥1－4x； (4)2x2－4x＋7<0. [变式训练1] (1)不等式2－x－x2>0的解集是(　　) A．{x|x<－1，或x>1} B．{x|x<－1，或x>2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－2<x<1} (2)不等式4x2＋4x＋1>0的解集为_______. 类型二　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　(1)解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． (2)解关于x的不等式：ax2－2x＋a<0(a∈R)． [变式训练2]　解下列关于x的不等式． (1)(ax－1)(x＋1)>0； (2)m2x2＋2mx－3<0. 类型三　三个“二次”间对应关系的应用 [例3]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． [变式训练3]　(1)已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1}，则a，b的值为(　 　) A．a＝－1，b＝－2　　　 B．a＝－2，b＝－1 C．a＝b＝－ D．a＝1，b＝2 【课堂小练】 1．不等式x(2－x)>0的解集为(　　) A．{x|x>0} B．{x|x<2} C．{x|x>2，或x<0} D．{x|0<x<2} 2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n} 3．不等式y＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y的图象为(　　) 4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则实数a＝____，实数b＝_____. 5．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 【答案解析】 类型一　不含参数的一元二次不等式的解法 [例1]　求下列一元二次不等式的解集： (1)x2－3x＋5>0； (2)－6x2－x＋2≥0； (3)－4x2≥1－4x； (4)2x2－4x＋7<0. [思路分析]　先求出对应一元二次方程的解，再结合对应的二次函数的图象写出不等式的解集． [解]　(1)∵Δ＝(－3)2－4×5＝－11<0， ∴x2－3x＋5>0的解集为R. (2)原不等式可化为6x2＋x－2≤0， ∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0， ∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根， 即x1＝－，x2＝， ∴原不等式的解集为. (3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0， 即(2x－1)2≤0. ∴原不等式的解集是. (4)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0， ∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅. [变式训练1]　(1)不等式2－x－x2>0的解集是(　D　) A．{x|x<－1，或x>1} B．{x|x<－1，或x>2} C．{x|－1<x<2} D．{x|－2<x<1} 解析：不等式2－x－x2>0可化为x2＋x－2<0.因式分解可得(x－1)(x＋2)<0，对应方程的解为x＝1或x＝－2，则不等式2－x－x2>0的解集是{x|－2<x<1}． (2)不等式4x2＋4x＋1>0的解集为. 解析：注意到4x2＋4x＋1＝(2x＋1)2≥0，所以不等式的解集为. 类型二　含参数的一元二次不等式的解法 [例2]　(1)解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3>0(a∈R)． (2)解关于x的不等式：ax2－2x＋a<0(a∈R)． [思路分析]　(1)不等式对应的一元二次方程可以因式分解，由此得出一元二次方程的根，然后分类讨论根的大小． (2)先对不等式中二次项的系数进行讨论，再按照不等式的求解方法求解． [解]　(1)将不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0变形为(x－a)(x－a2)>0. 当a<0时，有a<a2， ∴不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}； 当a＝0时，a＝a2＝0， ∴不等式的解集为{x|x≠0}； 当0<a<1时，有a>a2， ∴不等式的解集为{x|x<a2，或x>a}； 当a＝1时，a＝a2＝1， ∴不等式的解集为{x|x≠1}； 当a>1时，有a<a2， ∴不等式的解集为{x|x<a，或x>a2}． (2)若a＝0，则原不等式为－2x<0， 故解集为{x|x>0}． Δ＝4－4a2，若a>0， 当Δ>0，即0<a<1时， 方程ax2－2x＋a＝0的两根为 x1＝，x2＝， ∴原不等式的解集为 . 当Δ＝0，即a＝1时，原不等式的解集为∅. 当Δ<0，即a>1时，原不等式的解集为∅. 若a<0， 当Δ>0，即－1<a<0时，原不等式的解集为 . 当Δ＝0，即a＝－1时， 原不等式可化为(x＋1)2>0， ∴原不等式的解集为{x|x≠－1}． 当Δ<0，即a<－1时，原不等式的解集为R. 综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅； 当0<a<1时，原不等式的解集为 ； 当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>0}； 当－1<a<0时，原不等式的解集为 ； 当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当a<－1时，原不等式的解集为R. 注意: 解含参数的一元二次不等式，与解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分类讨论思想的运用. 1若二次项系数含有参数，需对二次项系数等于0与不等于0进行讨论，对于不为0的情况再按大于0或小于0进行讨论. 2若不等式对应的一元二次方程根的情况不确定，需对其判别式Δ进行讨论. 3若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论. [变式训练2]　解下列关于x的不等式． (1)(ax－1)(x＋1)>0； (2)m2x2＋2mx－3<0. 解：(1)若a＝0，则原不等式为一元一次不等式， 解集为{x|x<－1}． 当a≠0时，方程(ax－1)(x＋1)＝0的两根为x1＝，x2＝－1.当a>0时，解集为； 当－1<a<0，即<－1时， 解集为； 当a<－1，即0>>－1时， 解集为； 当a＝－1时，解集为∅. (2)当m＝0时，－3<0恒成立，解集为R. 当m≠0时，二次项系数m2>0，Δ＝16m2>0，不等式化为(mx＋3)(mx－1)<0. 当m>0时，解集为； 当m<0时，解集为. 类型三　三个“二次”间对应关系的应用 [例3]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1>0的解集． [思路分析]　由一元二次不等式x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}，可知1,2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，由韦达定理或把方程的根代入方程求出a，b的值，从而得解． [解]　∵x2＋ax＋b<0的解集为{x|1<x<2}， ∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根． 由韦达定理有得 代入所求不等式bx2＋ax＋1>0，得2x2－3x＋1>0. 由2x2－3x＋1>0⇔(2x－1)(x－1)>0 ⇔x<或x>1. ∴bx2＋ax＋1>0的解集为. 【方法提炼】 1一元二次不等式ax2＋bx＋c>0a≠0，Δ>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标. 2二次函数y＝ax2＋bx＋ca≠0的图象在x轴上方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c>0；图象在x轴下方的部分，满足不等式ax2＋bx＋c<0，一元二次不等式与对应函数、方程之间相互依存、相互转化. [变式训练3]　(1)已知二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为{x|－2<x<1}，则a，b的值为(　C　) A．a＝－1，b＝－2　　　 B．a＝－2，b＝－1 C．a＝b＝－ D．a＝1，b＝2 解析：由题知a<0且－2,1为方程ax2＋bx＋1＝0的两根，由根与系数的关系可求得． (2)若关于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集为{x|1<x<m}，则a＝－3，m＝－3. 解析：由题可知1，m是方程ax2－6x＋a2＝0的两个根，且a<0.∴解得或(舍去)． 【课堂小练】 1．不等式x(2－x)>0的解集为(　D　) A．{x|x>0} B．{x|x<2} C．{x|x>2，或x<0} D．{x|0<x<2} 解析：原不等式化为x(x－2)<0，故0<x<2. 2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　B　) A．{x|x<－n，或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m，或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：不等式(m－x)(n＋x)>0可化为(x－m)(x＋n)<0， 方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n， 因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象， 得原不等式的解集是{x|－n<x<m}．故选B. 3．不等式y＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y的图象为(　B　) 解析：因为不等式的解集为{x|－2<x<1}，所以a<0，排除C、D，又与坐标轴交点的横坐标为－2,1，故选B. 4．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则实数a＝－2，实数b＝3. 解析：由题意可知－，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根且a<0. 由根与系数的关系得 解得a＝－2，b＝3. 5．解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)． 解：原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a. (1)当a>0时，x1>x2， 不等式的解集为{x|－a<x<2a}； (2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解； (3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}． 综上所述，原不等式的解集为： a>0时，解集为{x|－a<x<2a}； a＝0时，解集为∅； a<0时，解集为{x|2a<x<－a}． 学科网（北京）股份有限公司 $$