安徽省皖中名校联盟合肥市第八中学2023-2024学年高二下学期期末检测数学试题

智学大联考•皖中名校联盟 合肥八中 2023-2024 学年 第二学期高二年级期末检测数学答案 注意事项: 1.你拿到的试卷满分为 150 分，考试时间为 120 分钟。 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上 答题无效。 第Ⅰ卷（选择题 共 58分） 一、选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上） 1．已知     4 3 , lg 1 0A x x B x x       ，则 A B （ ） A． 4 2x x   B． 4 2x x   C． 2 3x x  D． 2 3x x  【答案】D 2．已知双曲线 2 2 : 1 3 x yC m m    ，则“ 3m  ”是“双曲线C 的离心率为 3 ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 3．已知随机变量  2~ ,X N   ，  ~ 6,Y B p ，且   14 2 P X   ，    E X E Y ，则 p （ ） A． 1 3 B． 2 3 C． 1 4 D． 1 2 【答案】B 4．为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校在周三上午开设了陶艺、剪纸、插 花等 5门课程．安排在某天上午，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排 方案种数为（ ） A．18 B．24 C．36 D．42 【答案】C 5．从一批含有 8件正品，2件次品的产品中不放回地抽 3次，每次抽取 1件，设抽取的次 品数为ξ，则 E(5ξ＋1)＝( ) A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 6．设数列 na 的前n项和为 nS ，若 2 1n nS n a   ，则 5a （ ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 7．在直角坐标系 xOy 中，已知点  1,0F ，  2,0E  ，  3, 2M ，动点 P 满足线段 PE 的中点 在曲线 2 2 2y x  上，则 PM PF 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 8. 已知定义域为 R的函数  f x 满足     2f x f x x   ，  0 2f  ，且  1 1y f x   为奇函数，则下列结论错误的是（ ） A.  1 1f  B. 函数  y f x x  为偶函数 C.  2024 2022f   D.   19 1 150 i f i    【答案】D 二、选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分. 请把正确答案 涂在答题卡上） 9．下列命题中，正确的命题是（ ） A．若随机事件 A，B满足： ( | ) ( ) 1P A B P A  ，则 A，B 相互独立 B．若相关系数 r 的值越大，则两个变量的线性相关性越强 C．样本甲中有m件样品，其方差为 21s ，样本乙中有n件样品，其方差为 22s ，则由甲乙组成 的总体样本的方差为 2 2 1 2 m ns s m n m n      D．对具有线性相关关系的变量 x，y，其线性回归方程为 ˆ 0.3y x m  ，若样本点的中心为  , 2.8m ，则实数 m的值是 4 【答案】AD 10．投掷一枚质地均匀的骰子，规定抛出偶数点得 2 分，抛出奇数点得 1分，记投掷若干次 后，得 n 分的概率为 nP，下列说法不正确的是（ ） A． 1 1 2 P  B． 2 1 2 P  C．当 3n  时， 1 2 1 1 2 2n n n P P P   D．当 10n≥ 时， 11 2n nP P   【答案】BD 11.已知�(�) = (� + 1)���，�(�) = �(�� + 1)(其中� = 2.71828…为自然对数的底数)，则下 列结论正确的是 ( ) A.函数�(�)在(0, + ∞)上存在唯一极值点 B. 任意� ∈ (0, + ∞)，� � > �(�) C. 若对任意� > 0，不等式�(�2 + �� + �) ≤ �(2��)恒成立，则实数�的最大值为 2 D. 若�(�1) = �(�2) = �(� > 0)，则 ln� 2�2 �1+1 的最大值为 1 2� 【答案】BCD 第Ⅱ卷（非选择题共 92分） 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置. 12．在    31 2 1ax x  的展开式中，若各项系数的和为0，则a ． 【答案】 1a  13．在线性回归分析中，已知    1 77 i n i ix x y y     ， 1 182i i i n x y   ， 3 7x y ， ，则 n ． 【答案】5 14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点出发的入射光线 经双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，已知双曲线 C：   2 2 2 2 1 0, 0 x y a b a b     的左、右焦点分别为 1F， 2F，M是 C的右支上一点，直线 l 与 C 相切于点 M．由点 2F出发的入射光线碰到点 M后反射光线为 MQ，法线（在光线投射点 与分界面垂直的直线）交 x轴于点 N，此时直线 l 起到了反射镜的作用．若 2 2 3 4 MF NF  ，则 C的离心率为______． 【答案】 4 3 三､解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15．（13分）函数 2( )f x mx bx c   ,满足 ( ) ( 1), (0) 2f x f x f     . (1)若不等式 ( ) 2f x x m   对一切实数 x恒成立，求实数 m的取值范围； (2)在（1）的条件下，求 2 3 6 1 m m m    的最小值； 【答案】(1) 1 , 3    (2)5 【详解】（1）易知当 0m ， ( ) 2f x   ；当 0m  ， 2( ) 2f x mx mx   由 ( ) 2f x x m   恒成立得： 2 ( 1) 0mx m x m    对一切实数 x 恒成立. 当 0m 时，不等式为 0x  ，不合题意； 当 0m  时，  2 2 0 Δ 1 4 0 m m m       ，解得： 1 3 m  ； 综上所述：实数 m 的取值范围为 1 , 3    ． （2） 1 3 m ， 41 3 m   ， 2 23 6 ( 1) 1 4 4 41 1 2 ( 1) 1 5 1 1 1 1 m m m m m m m m m m                      ， （当且仅当 41 1 m m    ，即 1m  时取等号），的最小值为 2 3 6 1 m m m    为 5 16．（15分）若等比数列 na 的首项 1 1a  且满足 1 22 3 ( 3n n na a a n   ）． (1)求 na 通项公式； (2)若公比小于 1,求数列 nna 的前 n项和 nS ． 【答案】（1）由题设公比为 q ,当 3n  时, 2 2 1 2,n n n na q a a qa    . 因为 na 为等比数列，所以 2 0na   ，所以 22 3 1q q  ，解得： 1q  或 1 2 q . 1na  或 11 2 n na        （2）当 1 2 q 时， na 为等比数列，由 1 1a  ，所以 11 2 n na        ，所以 11 2 n nna n         . 所以数列 nna 的前 n项和： 2 11 1 11 2( ) 3( ) ( ) 2 2 2 n nS n      ① 两边同乘以 1 2 ，得： 2 31 1 1 1 12( ) 3( ) ( ) 2 2 2 2 2 n nS n     ② ①式减去②式,得： 2 11 1 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 n n nS n       11 ( ) 12 ( )1 21 2 n nn     所以 * 1 24 ( N ) 2n n nS n     . 17．（15分）某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产．经过调研和试生 产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为 92%；乙工厂试生产的另 一批零件的合格品率为 97%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为 96%． (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少？ (2)从混合放在一起的零件中随机抽取 4个，用频率估计概率，记这 4个零件中来自甲工厂 的个数为 X，求 X的分布列和数学期望； 【答案】（1）设甲工厂试生产的这批零件有 m件，乙工厂试生产的这批零件有 n件， 事件M  “混合放在一起零件来自甲工厂”，事件N “混合放在一起零件来自乙工厂”， 事件C  “混合放在一起的某一零件是合格品”， 则   mP M m n   ，   nP N m n   ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P C P C M P M P C N P N  92% 97% 96%m n m n m n        ， 计算得 4:1: nm ． （2）由（1）知所以   1 5 mP M m n    ． X的可能取值为 0，1，2，3，4 1~ 4, 5 X B      ，   1 44 5 5 E X    ，   0 4 4 0 4 2560 C 5 625 1 5 P X              ，   1 3 1 4 1 4 6 2 25 561 C 5 5 P X              ，   2 4 2 2 1 42 C 5 5 6 96 25 P X              ，   3 1 3 4 1 6 4 163 C 25 55 P X                4 0 4 4 625 1 4 14 C 5 5 P X              ．所以，X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 256 625 256 625 96 625 16 625 1 625 18．（17分）为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘 法得到电动汽车销量 y（单位：万台）关于 x（年份）的线性回归方程 4.8 9459.2y x  ， 且销量 y的方差为 2 256 5y s  ，年份 x的方差为 2 2xs  . (1)求 y与 x的相关系数 r，并据此判断电动汽车销量 y与年份 x的线性相关性的强弱. (2)该机构还调查了该地区 90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表： 性别 购买非电动汽车 购买电动汽车 总计 男性 39 6 45 女性 30 15 45 总计 69 21 90 依据小概率值 0.05  的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？ ①参考数据： 0.4 0.63 . ②参考公式：线性回归方程为 ˆ ˆy bx a  ，其中      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ， ˆâ y bx  ；相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ，若 | | 0.9r  ，则可判断 y与 x线性相关较强； 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d       ，其中 n a b c d    .附表：  2 0P K k 0.10 0.05 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】【详解】（1）由 2 2xs  ，得   2 2 1 2 n i x i x x ns n     ， 由 2 256 5y s  ，得  2 2 1 256 5 n i y i ny y ns     ， 因为线性回归方程 4.8 9459.2y x  ，则      1 2 1 4.8ˆ n i i i n i i x x y y b x x          ， 即     2 1 1 4.8 4.8 2 9.6 n n i i i i i x x y y x x n n           ， 因此相关系数        1 2 2 1 1 9.6 0.6 0.6 0.95 0.9 0.60.4 32562 5 n i i i n n i i i i x x y y nr nnx x y y                 ， 所以电动汽车销量 y与年份 x的线性相关性的较强. （2）零假设 0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得： 2 2 90(39 15 30 6) 5.031 3.841 45 45 69 21 K         ， 依据小概率值 0.05  的独立性检验，推断 0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有 关，此推断犯错误的概率不大于 0.05. 19．（17分）已知函数    2 ln 1f x mx x  ， 0m  ． (1)讨论函数  f x 的单调性； (2)    sing x f xx   ，若 0x  是  g x 的极小值点，求 m的取值范围； 【详解】(1) 函数定义域为 ( 1, )  ，    2 ln 1f x mx x  ,   21 2 2 12 1 1 mx mxf x mx x x        , ①当 2 0m   时，   0f x  ，  f x 在 ( 1, )  上单调递减； ②当 2m   时，令   0f x  得 2 1 1 2 2 2 m mx m     ， 2 2 1 2 2 2 m mx m     ，则 2 11 x x   ， ∴  f x 在 2( 1, )x 上单调递减，在 2 1( , )x x 上单调递增，在 1( , )x  上单调递减. (2)由题意知     2ln 1sing x x x mx    ，  0 0g  ，   1 2 1 cosg ' x mx x x    ，  0 0g '  ．令    h x g ' x ，则    2 12 1 sinh' x m x x      ，  0 2 1h' m   ， ①若 1 2 m   ，因为当  1,1x  时，  2 1 1 y x    单调递增，所以  h' x 在  1,1 上单 调递增．当 1x  时，    2 sin12 1 h' x m x x       ，又因为  0 2 1 0h' m    ， 因此存在  0 1, 0x   ，使得  0 0h' x  ， 所以当  01,x x  时，    0 0h' x h' x  ，    g ' x h x 在  01, x 上单调递减， 当  0 ,1x x 时，    0 0h' x h' x  ，    g ' x h x 在  0 ,1x 上单调递增． 又因为    0 0 0g ' h  ，所以当  0 , 0x x 时，   0g ' x  ； 当  0,1x 时，   0g ' x  ， 所以  g x 在  0 , 0x 上单调递减，在  0,1 上单调递增，符合题意． ②若 1 0 2 m   ，当  1, 0x   时，      2 2 sin1 12 1 s 0in 1 1 h' x m x x x x          ， 所以  h x 在  1, 0 上单调递减，    ( ) 0 0h x g ' x g '   ，  g x 在  1, 0 上单调递增， 因此 0x  不可能是  g x 的极小值点． 综上，当 0x  是  g x 的极小值点时，m的取值范围为 1 2         ， ． 智学大联考·完中名校联盟 合肥八中2023-2024学年第二学期高二年级期末检测 数学试题卷 全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。 2. 请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷(选择题共58分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的,请把正确答案涂在答题卡上 1. 知A-(-4<x<3},B=(xlg(x-1)>o,则AB=( ~ A.{x-4sx<2) B.(x-4<x2) C.(x2<x<3} D.{x2<x3 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4} 2}C D2 4. 为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安 排在周一到周五,每天一节,其中陶艺课不排在周一,剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为( B.24 A.18 C.36 D.42 5. 从一批含有8件正品,2件次品的产品中不放回地抽3次,每次抽取1件,设抽取的次品数为,则 E(5+1)-( ) B.1 C.3 4.2 D.4 6. 设数列fa.)的前n项和为S.,若S.+n=2a.-1,则a=( B.31 C.47 A.16 D. 63 7.在直角坐标系XOY中,已知点F(1.0).E(-2.0),M(3,2),动点P满足线段PE的中点在曲线y2-2x+2 上,则PM+PF 的最小值为 B.3 A.2 C.4 D.5 8. 已知定义域为R的函数f(x)满足f(-x)=f(x)+2x,f(o)-2,且y=f(x+1)-1为奇函数 则下列结论错误的是( ) A.f(1)-1 B.函数y-f(x)+x为偶函数 D.2/()-150 C. f(2024)--2022 二、选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全 部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分,请把正确答案涂在答题卡上) 9. 下列命题中,正确的命题是( ) A.若随机事件A,B满足:P41B+P-1:则A.B相互独立 B.若相关系数r的值越大,则两个变量的线性相关性越强 C.样本甲中有m件样品,其方差为s{,样本乙中有r件样品,其方差为s},则由甲乙组成的总体样本的 方第 D.对具有线性相关关系的变量×y,其线性回归方程为-0.3x-m,若样本点的中心为(m.2.8),则 实数m的值是-4 10. 投掷一枚质地均匀的般子,规定抛出偶数点得2分,抛出奇数点得1分,记投掷若干次后,得分的 概率为P,下列说法不正确的是( ) -1 B.- D.当n>10时,P=1-2P 11.已知/(x)=(x+1)lnx,g(x)=x(e+1),则下列结论正确的是( _ A.函数f(x)=(x+1)lnx,在(0,+o)上存在唯一极值点 B.任意xE(0.+oo),有f(x)<g(x)恒成立 C.若对任意xE(0.+co),不等式g(x+ax+a)<g(2e)恒成立,则实数a的最大值为2 n 高二数学 第2页 共4页 第II卷(非选择题共92分) 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在答题卡的相应位置.) 12.在(ax-1)(2x-1)'的展开式中,若各项系数和为0,则a=_ 13.在线性回归分析中,已知(x-x)(y-y)-77. xv=182,x-3.y-7,则n- 14. 在天文望远镜的设计中利用了双曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点出发的入射光线经双曲线镜面 * 左、右焦点分别为E,,M是C的右支上一点,直线/与C相切于点M. 由点E出发的入射光线碰到点M后反射光线为MO.法线(在光线投射点 与分界面垂直的直线)交x轴于点N,此时直线/起到了反射镜的作用.若 三、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 15.(13分)函数/(x)=mx}+bx+c.满足f(-x)=/(x-1)./(0)--2. (1)若不等式/(x)>x-n-2对一切实数x恒成立,求实数n的取值范围 (2)在(1)的条件下.求”{+3m+6的最小值. m+1 16.(15分)若等比数列fa)的首项a=1且满足2a.-3,-a(n>3) (1)求fd通项公式; (2)若公比小于1.求数列.)的前n项和S. 17.(15分)某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产,质检人员 抽样发现:甲工厂试生产的一批零件的合格品率为92%:乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为97% 若将这两批零件混合放在一起,则合格品率为96% (1)混合零件中甲厂零件和乙厂零件的比例是多少? (2)从混合放在一起的零件中随机抽取4个,用频率估计概率,记这4个零件中来自甲工厂的个数为X. 求X的分布列和数学期望 18.(17分)为了解某一地区新能源电动汽车销售情况,一机构根据统计数据,用最小二乘法得到电动汽 年份x的方差为s?-2 (1)求y与x的相关系数r,并据此判断电动汽车销量y与年份x的线性相关性的强弱 (2)该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况,得到的数据如下表 表进拉行 购买电动汽车 购买非电动汽车 总计 39 6 45 30 15 A 69 21 90 依据小概率值g=0.05的独立性检验,能否认为购买电动汽车与车主性别有关 ①参考数据:0.4~0.63. 艺(x-x)(-y) ②参考公式:线性回归方程为y-6x+ā,其中6-短 一,=y-x:相关系数 2(x-)} 2(x-x)(u-y) nad-bc)2 #2(-2# ,若lr0.9,则可判断y与x线性相关较强:K2-- (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 其中n=a+b+c+d.附表; P(r22。) 0.10 0.05 o.oio 0.001 3.841 2.706 6.635 10.828 ) 19.(17分)已知函数f(x)-mx2-ln(x+1).m<0 ) (1)讨论函数/(x)的单调性 (2)g(x)=-sinx-f(x),若x-0是g(x)的极小值点,求m的取值范围; 1.) ).