微专题1 双变量任意与存在问题 专项训练-2025届高三数学一轮知识点复习

微专题1-双变量任意与存在问题-专项训练（原卷版） 一、 单项选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞) D．[－4，＋∞) 2．已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　) A． B． C． D． 3．已知函数f(x)＝2x-1，g(x)＝，若对任意x1∈[1，＋∞)，总存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．[1，2] D．∪ 4．已知函数f(x)＝x2＋3，g(x)＝mx＋5－m(m＞0)，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围是(　　) A．[12，＋∞) B．[10，＋∞) C．[14，＋∞) D．[8，＋∞) 二、 填空题 5．已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为____． 6．设a＞0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为__． 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为_． 8．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2). (1) 若存在x0∈[2，＋∞)，使得f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为_＋__； (2) 若对任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为___． 9．设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0). (1) f(x)在x∈(0，1)上的值域为__； (2) 若对任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围为___． 10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a＞0，x≠0.若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)＞g(x)恒成立，则实数a的取值范围为___． 微专题1-双变量任意与存在问题-专项训练（解析版） 一、 单项选择题 1．已知函数f(x)＝x2＋x，g(x)＝ln (x＋1)－a，若存在x1，x2∈[0，2]，使得f(x1)＞g(x2)，则实数a的取值范围为(　C　) A．(－∞，－4) B．(－∞，－4] C．(－4，＋∞) D．[－4，＋∞) 【解析】问题可转化为f(x)max＞g(x)min，易得f(x)max＝4，g(x)min＝－a，由f(x) max ＞g(x) min，得4＞－a，故a＞－4. 2．已知f(x)＝ln (x2＋1)，g(x)＝－m，若对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　C　) A． B． C． D． 【解析】易知f(x)＝ln (x2＋1)在[0，3]上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，g(x)＝－m在[1，2]上单调递减，g(x)max＝g(1)＝－m.对任意x1∈[0，3]，x2∈[1，2]，使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max，所以－m≤0，即m≥. 3．已知函数f(x)＝2x-1，g(x)＝，若对任意x1∈[1，＋∞)，总存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　C　) A． B． C．[1，2] D．∪ 【解析】对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＝2x-1≥20＝1，即函数f(x1)的值域为[1，＋∞).若对任意x1∈[1，＋∞)，总存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，设函数g(x)的值域为A，则只需满足[1，＋∞)⊆A即可．当x＜0时，函数g(x)＝x2＋2a为减函数，此时g(x)＞2a；当x≥0时，g(x)＝a cos x＋2∈[2－a，2＋a].当a≥时，2a≥1，要使[1，＋∞)⊆A成立，需满足即得1≤a≤2.综上，实数a的取值范围为[1，2]. 4．已知函数f(x)＝x2＋3，g(x)＝mx＋5－m(m＞0)，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，则实数m的取值范围是(　C　) A．[12，＋∞) B．[10，＋∞) C．[14，＋∞) D．[8，＋∞) 【解析】因为x1∈[1，2]，所以2x1∈[2，4]，所以f(2x1)＝(2x1)2＋3∈[7，19].因为对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[－1，2]，使得f(2x1)＝g(x2)成立，所以g(x2)的值域包含区间[7，19].又m＞0，所以g(x)＝mx＋5－m在[－1，2]上是增函数，所以g(x2)∈[5－2m，5＋m]，所以解得m≥14. 二、 填空题 5．已知函数f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，若对任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为__[0，＋∞)___． 【解析】由题意，f(x)＝ax－x2＋3，g(x)＝4x－2，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有f(x1)≥g(x2)成立，则f(x1)min≥g(x2)max.因为g(x)＝4x－2在(0，1]上单调递增，所以g(x)max＝g(1)＝2，所以ax－x2＋3≥2对任意x∈(0，1]恒成立，即a≥x－对任意x∈(0，1]恒成立．设h(x)＝x－，易知h(x)在区间(0，1]上单调递增，所以h(x)max＝h(1)＝0，所以a≥0，则实数a的取值范围为[0，＋∞). 6．设a＞0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－ln x＋4，若对任意的x1∈[1，e]，存在x2∈[1，e]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围为____． 【解析】问题可转化为f(x)min≥g(x)min.当x∈[1，e]时，g′(x)＝1－≥0，故g(x)在[1，e]上单调递增，则g(x)min＝g(1)＝5.f(x)min≥5，即f(x)＝x＋≥5恒成立，分离参数得a2≥x(5－x)，易得[x(5－x)]max＝，又a＞0，故a≥.所以实数a的取值范围为. 7．已知函数f(x)＝x2－2x＋3a，g(x)＝.若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f(x1)|≤g(x2)成立，则实数a的值为__－__． 【解析】由题意可得|f(x1)|max≤g(x2)max.对于f(x)＝x2－2x＋3a，易知其图象对称轴为x＝1，所以当x1∈[0，3]时，f(x1)min＝f(1)＝3a－1，f(x1)max＝f(3)＝3a＋3，即f(x1)∈[3a－1，3a＋3].对于g(x)＝，当x2∈[2，3]时，易得g(x2)∈[1，2]，所以解得a＝－. 8．已知函数f(x)＝(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1，x≥2). (1) 若存在x0∈[2，＋∞)，使得f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为__[3，＋∞)__； 【解析】因为f(x)＝＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x＝2时等号成立，所以若存在x0∈[2，＋∞)，使得f(x0)＝m成立，则实数m的取值范围为[3，＋∞). (2) 若对任意x1∈[2，＋∞)，存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为__(1，]__． 【解析】当x≥2时，f(x)≥3，g(x)≥a2.若对任意的x1∈[2，＋∞)，存在x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则解得a∈(1，]. 9．设函数f(x)＝，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0). (1) f(x)在x∈(0，1)上的值域为__(0，1)__； 【解析】f′(x)＝＝≥0在x∈(0，1)上恒成立，所以f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)在(0，1)上的值域为(0，1). (2) 若对任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，则实数a的取值范围为____． 【解析】由(1)知f(x)在[0，1]上的值域为[0，1]，g(x)＝ax＋5－2a(a＞0)在x∈[0，1]上的值域为[5－2a，5－a].由题意知，[0，1]⊆[5－2a，5－a]，所以解得≤a≤4. 10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，g(x)＝，其中a＞0，x≠0.若对任意的x∈[1，2]，都有f(x)＞g(x)恒成立，则实数a的取值范围为____． 【解析】由题意知，f(x)－g(x)＞0对x∈[1，2]恒成立，即x2－2ax＋1－＞0对x∈[1，2]恒成立，即a＜对x∈[1，2]恒成立．令φ(x)＝，只需a＜φ(x)min(x∈[1，2]).由于φ′(x)＝＞0，故φ(x)在x∈[1，2]上是增函数，φ(x)min＝φ(1)＝，所以a的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $$