专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 根据直角三角形的性质求角度 题型七 利用直角三角形的性质探究角的关系 题型八 直角三角形的存在性问题 题型九 三角形外角的性质 题型十 三角形外角与内角的综合 题型十一 三角形中翻折问题综合 题型十二 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 1．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    3．（23-24七年级下·山东滨州·期中）在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明： 如图1所示，，，是的三个内角， 过点A作 ∵（已知） ∴（理由： ① ） ∵（理由： ② ）， ∴（理由： ③ ） (2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用． 对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是的三个内角， 延长到E， 过点B作．请你按照小亮同学的解答思路证明 ． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？ 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，， 分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图：，平分．若，于H点，则 度． 3．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆忠县·期中）如图，的角平分线相交于F，，，且于G，下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，点在上，，交于点．若，，则 ． 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．    (1)若，则的度数为_______； (2)猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由． 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 3．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在 的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 1．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是　　 结论Ⅰ： 结论Ⅱ：若的度数每增加，则的度数会减少 A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确 2．（23-24七年级下·山西太原·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，时，求的度数． ②记，，当时，求，之间的等量关系． (2)如图3，已知有三个平面镜，其中镜面放在水平地面上固定，调整镜面与镜面的摆放角度，使得入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，，时，求的度数． ②记，，当m，n存在怎样的等量关系时，有成立，请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 【经典例题六 根据直角三角形的性质求角度】 【例6】（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ． 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求的度数． (2)求的度数． 【经典例题七 利用直角三角形的性质探究角的关系】 【例7】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：①的度数；②的度数． (2)已知，则 （用表示）． 【经典例题八 直角三角形的存在性问题】 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）如图，一根木棒斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子构成一个直角三角形，若与的角平分线交于点P，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，点在边上，平分，在上取一点，若为直角三角形，则的度数为 ． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【经典例题九 三角形外角的性质】 【例9】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点分别在边上，与交于点． (1)若，，则_____； (2)若，求证：． 【经典例题十 三角形外角与内角的综合】 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    3、（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【经典例题十一 三角形中翻折问题综合】 【例11】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【经典例题十二 三角形中旋转问题综合】 【例12】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，则的关系为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、，点在直线上方且在内部，连接，连接并延长交的角平分线于点，交于点，下列说法中正确的有（    ）个 ①若，则 ②若、分别平分，，则与互补 ③若、分别平分，，则 ④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ． 7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ． 8．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为 °． 9．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 10．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，点在上，，交于点．若，，则 ． 11．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图， 、、分别是的高线、角平分线和中线． (1)若 ， ， 求的面积． (2)若， 求的度数． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，是上一点，于点，，分别是，上一点，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，请说明． 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 14．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，射线交直线于点G，连接并延长交的角平分线于点Q，设.当时，请直接用含的代数式表示． 15．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知，点为平面内一点，点、分别在直线，上，连接、． (1)如图①，点在直线，之间时，若，则________； (2)如图②，点在直线，之间（且在连线左侧），和的平分线交于点，当时，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图③，当点在下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 与三角形有关的角重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形内角和定理的证明 题型二 与平行线有关的三角形内角和问题 题型三 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型四 三角形折叠中的角度问题 题型五 三角形内角和定理的应用 题型六 根据直角三角形的性质求角度 题型七 利用直角三角形的性质探究角的关系 题型八 直角三角形的存在性问题 题型九 三角形外角的性质 题型十 三角形外角与内角的综合 题型十一 三角形中翻折问题综合 题型十二 三角形中旋转问题综合 知识点 1 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点2 直角三角形： ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点3 三角形的外角 ①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角 ②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角大于与它不相 邻的任何一个角。 【经典例题一 三角形内角和定理的证明】 【例1】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 1．（22-23九年级下·河北石家庄·开学考试）在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中能证明“的内角和是”的有（    ）    ①过点C作 ②延长到点F，过点C作 ③作于点D ④过上一点D作， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 【详解】解：①．由，则，．由，得． ②．由，则，．由，得． ③．由于，则，无法证得三角形内角和是． ④．由，得，．由，得，，那么．由，得． ∴能证明的内角和是的有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东滨州·期中）在学习完七年级下册第五章《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，张老师围绕平行线这一节在班级内开展了一个课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)观察发现：在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个平角． 问题1：请同学们尝试用说理的方式证明该结论正确． 聪明的小明同学给出如下解答，请补全证明过程． 证明： 如图1所示，，，是的三个内角， 过点A作 ∵（已知） ∴（理由： ① ） ∵（理由： ② ）， ∴（理由： ③ ） (2)拓展探究：听完小明的说理过程后，善于思考的小亮同学提出：小明作辅助线的方法，就是借助平行线把三角形的三个内角转化成一个平角，这就启发我们构造平行线能起到转移角的作用． 对于问题1，小亮还有其他证明方法：如图2所示，已知 是的三个内角， 延长到E， 过点B作．请你按照小亮同学的解答思路证明 ． (3)由（1）和（2），你能得出什么结论？ 【答案】(1)①两直线平行，内错角相等；②平角的定义；③等量代换 (2)见解析 (3)三角形内角和为 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质进行解答即可； （2）根据平行线的性质，进行证明即可； （3）由（1）（2）中的结论，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1所示，，，是的三个内角，过点A作． ∵（已知） ，（理由：两直线平行，内错角相等） （平角的定义）， （理由：等量代换）． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴． （3）解：由（1）（2）中的结论可知，三角形内角和为． 【经典例题二 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例2】（2024·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 1．（23-24七年级上·河南洛阳·期末）如图，， 分别平分、、，有下列结论：①；②；③；④与互余．其中，结论正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由两直线平行，同旁内角互补，及角平分线的定义，可得，根据三角形内角和定理，即可判断①正确， 由角平分线的定义，和平角的定义，即可判断②正确， 由①②的结论，根据同旁内角互补，两直线平行，即可判断③正确， 由②的结论，，根据两直线平行同位角相等，得到，根据等角的余角相等，即可判断④正确， 本题考查了，平行线的性质与判定，交平分线的定义，等角的余角相等，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别平分、， ∴，， ∴， ∴，故①正确， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确， ∵， ∴， ∴,故③正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与互余，故④正确， 综上所述，其中正确的个数是4个， 故选：． 2．（23-24七年级下·安徽池州·期末）如图：，平分．若，于H点，则 度． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理．根据平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东日照·期中）如图，点O，P，Q分别在上，与交于M点，连接，已知，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，邻补角的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据邻补角的性质，得出，证明，结合，即可作答． （2）由角平分线的定义得出，再进行角的等量代换，得出，且，得出，再根据三角形的内角性质，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴在中，， ∴． 【经典例题三 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例3】（2024·甘肃武威·二模）如图，在中，于D，平分交于点E，交于点F，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及直角三角形的性质．在中，由三角形的内角和定理得到的度数，又根据平分，得到的度数，再根据余角的定义即可求解； 【详解】解：在中，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴为直角三角形， ∴． 故选：C． 1．（23-24七年级下·重庆忠县·期中）如图，的角平分线相交于F，，，且于G，下列结论： ①； ②； ③； ④平分． 其中正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】①根据，得到，结合角平分线，解答即可正确； ②根据题意，得，得到，结合，故正确． ③根据，得到，利用角的平分线，平行线的性质，证明即可，故正确； ④无法证明平分， 本题考查了角的平分线定义，平行线的性质，直角三角形的特征量，三角形内角和定理，熟练掌握定义，性质和定理是解题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， 又∵是的角平分线， ∴， 故正确； ②∵， ∴， ∴， ∵由题意知 ∴， ∴， ∴， 故正确． ③∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． ∵，且， ∴，即， ∴， 故正确； ④无法证明平分， 故错误； ∴正确的为：①②③， 故选：C． 2．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，点在上，，交于点．若，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，利用设参数进行角度运算是解答的关键．设，，利用平行线的性质和角平分线的定义得到，，，然后分当时、当时、当时三种情况，利用三角形的内角和定理列方程求解值即可． 【详解】解：∵，， ∴设，，则，，， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 当时，，则， 由得，即， 将代入，得， 解得； 当时，，则， 由得，即， 将代入，得，解得， 当时，，这种情况不存在， 故或， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，在中，，是角平分线，它们相交于点 O．    (1)若，则的度数为_______； (2)猜想的度数与的度数存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知三角形内角和为180度是解题的关键． （1）先由三角形内角和为180度求出，再由角平分线的定义推出，则由三角形内角和定理可得． （2）根据角平分线的定义得出，求出，然后根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中， ， ∵是角平分线，它们相交于点O， ∴， ∴ ， ∴ ． 【经典例题四 三角形折叠中的角度问题】 【例4】（23-24七年级下·重庆万州·期末）如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了多边形的内角和定理及三角形的内角和定理，关键是运用多边形的内角和定理求出的度数． 利用四边形的内角和定理求出，再利用三角形的内角和定理可得结果． 【详解】，， ， ． 故选：B． 1．（23-24七年级下·重庆奉节·期末）如图，把三角形纸片折叠，使得点，点都与点重合，折痕分别为，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理、折叠的性质，由三角形内角和定理得出，由折叠的性质可得：，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，将沿翻折，使点落在点处，过点作交于点D，若°，，则的度数为 ． 【答案】130°/130度 【分析】本题考查三角形内角和定理，轴对称的性质，平行线的性质等，利用轴对称的性质得出，是解题的关键． 【详解】解：∵沿翻折得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，点，在边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在 的延长线上的点处， (1)求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题主要考查了折叠变换的性质、三角形面积等知识： （1）由折叠可得，，，再根据，即可得出； （2）在中，得出，再计算出，由三角形面积公式可得结论． 【详解】（1）由折叠可得，，， 又， ， 即； （2）由折叠，得，． ． ． ． ． 【经典例题五 三角形内角和定理的应用】 【例5】（23-24七年级下·云南昭通·阶段练习）将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ） ①平分；②；③；④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，余角，补角，三角形内角和定理，由交的和差得，即可判断②；由图得，即可判断④；与交于点P，由角的和差得，即可判断③；无法判断①；能正确表示出角的和差是解题的关键． 【详解】解：， ， 即， 故②正确； ， ， 故④正确； 如图，与交于点P， ，，， ， ， 故③正确； 没有条件能证明平分， 故①错误． 故选：D． 1．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）如图，，，，垂足为，平分．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是　　 结论Ⅰ： 结论Ⅱ：若的度数每增加，则的度数会减少 A．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 B．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 C．只有结论Ⅰ正确 D．只有结论I正确 【答案】A 【分析】此题主要考查了垂直的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，理解垂直的定义，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．由得，进而得，由此可对结论Ⅰ进行判断；由得，根据角平分线定义得，再根据及三角形内角和定理得，则，当的度数每增加时，，据此可对结论Ⅱ进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故结论Ⅰ正确； ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 当的度数每增加时，， 即若的度数每增加，则的度数会减少， 故结论Ⅱ正确． 综上所述：结论Ⅰ、Ⅱ都正确． 故选：A 2．（23-24七年级下·山西太原·期末）健康骑行越来越受到大众的喜欢，某自行车的示意图如图所示，其中平分．若，则的度数为 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查的是平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．根据和、的度数分别求出和的度数，然后根据求出，进而求出，再求解结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵，平分， ∴， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角（锐角）与反射光线与镜面的夹角（锐角）相等，例如：在图1中，有． (1)如图2，已知有两个平面镜镜面与镜面，入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，时，求的度数． ②记，，当时，求，之间的等量关系． (2)如图3，已知有三个平面镜，其中镜面放在水平地面上固定，调整镜面与镜面的摆放角度，使得入射光线能够经镜面形成反射，记反射光线分别为． ①当，，时，求的度数． ②记，，当m，n存在怎样的等量关系时，有成立，请写出关于m，n之间的等量关系，并说明相应理由． 【答案】(1)①；②； (2)①；②，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理： （1）①根据题意可得，则由平角的定义得到，再由平行线的性质得到，据此根据平角的定义可得答案；②根据平角的定义得到,，再由平行线的性质可得，据此可得答案； （2）①先根据题意和平角的定义求出，，则，过点G作，由平行线的性质得到，则，再证明，得到，则，即可得到．②先求出，过点G作，则，证明，得到，得到，进而推出，则，即． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ②∵，， ∴, ， ∵， ∴， 即，∴， ∴． （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点G作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ②，理由如下： ∵， ∴， 过点G作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 【经典例题六 根据直角三角形的性质求角度】 【例6】（2024·山东青岛·二模）两个直角三角板如图摆放，其中，，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形中两锐角互余的性质，熟练掌握其内容是解题的关键．由，可得，根据，可得，而，由此可求出． 【详解】解： ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期中）《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：“…直角的一半的角叫做宣，宣角加它的一半叫做欘…”．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），问题：图（1）为中国古代一种强弩图，图（2）为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了余角有关的计算，根据题意可知，，然后余角知识即可求得的度数，解答本题的关键是明确题意，正确解答． 【详解】解：∵1宣矩，1欘宣，1矩，矩，欘， ∴，， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·河南南阳·期末）一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则 ． 【答案】/110度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，对顶角的性质，余角性质，邻补角的性质，由直角三角形两锐角互余可得，，进而由余角性质可得，即可得到，再利用邻补角的性质即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】 3．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，，，平分，于点． (1)求的度数． (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、角的平分线的定义、直角三角形的性质，解题的关键是熟知三角形内角和定理、角的平分线的定义、直角三角形的性质． （1）由三角形内角和定理可求得的度数， 是角平分线，故； （2）在中，可求得的度数，于是． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ； （2）解：， ， ， ， ． 【经典例题七 利用直角三角形的性质探究角的关系】 【例7】（23-24七年级上·江苏南京·期末）如图，，，垂足分别为． 下列说法正确的个数是（   ） ①点到线段的距离为线段的长度； ②； ③； ④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】 本题主要考查了点、线、面、体，解题关键是熟练掌握点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可；④根据已知条件，找出旋转后的几何体，进行判断即可． 【详解】 解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，， 点到线段的距离为线段的长度， 故①说法正确； ②， ， ， ， ， ， 故②说法正确； ③， ， ， ， ， ， 故③说法正确； ④是由和组成， 将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是同一个底面的两个圆锥叠在一起的纺锤体， 故④的说法错误； 综上可知，说法正确的是①②③，共3个， 故选：C 1．（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，中，于点D，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质可得，再由，可得，再根据等角的余角相等可得，，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴，故选项C不符合题意； 又∵， ∴， ∴不一定成立，故B选项符合题意； ∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、余角的性质，利用直角三角形的性质和等角的余角相等得出，，是解题的关键． 2．（23-24八年级上·广东珠海·期中）如图，中，分别是高和角平分线，点在的延长线上，，交于点，交于点．下列结论：①；②；③；其中正确的是 ．    【答案】①② 【分析】由，为的高线，根据同角的余角相等可得①正确；根据三角形外角的性质和角平分线的性质变形得到，进而可得②正确；根据且，变形可得，故③错误． 【详解】解：①∵， ∴， ∵为的高， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴，故②正确； ③∵，， ∴，即， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴，故③错误， ∴正确的结论有①②， 故答案为：①②． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形的高线、角平分线的概念以及三角形外角的性质等知识，灵活运用是解题的关键． 3．（23-24七年级下·广东深圳·期中）如图所示，在中，是角平分线，是高． (1)若，求：①的度数；②的度数． (2)已知，则 （用表示）． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）根据， ①根据计算即可；②，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可． （2）根据(1)的解答，推理一般化解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ①∴； ②． （2）∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，． ∴； ∴． ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的高，角的平分线，内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握内角和定理，直角三角的性质是解题的关键． 【经典例题八 直角三角形的存在性问题】 【例8】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）在下列条件中：①；②；③；④；⑤；能确定为直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和直角三角形的定义，根据已知条件，熟练运用三角形内角和定理进行求解判定是解题的关键．根据已知条件，结合三角形内角和定理，如果有一个角是，则可确定为直角三角形． 【详解】解：①∵ ， ∴， ∵， ∴，故可确定为直角三角形； ②∵，， ∴， 解得： ， 则，故不能确定为直角三角形； ③， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ④∵，， ∴， ∴，故可确定直角三角形； ⑤∵， ∴， ∵， ∴， 解得： ， 故不能确定为直角三角形． 综上，能确定为直角三角形的条件有3个． 故选：C． 1．（22-23八年级上·湖南株洲·期中）如图，一根木棒斜靠在墙上，木棒与它在墙壁及地板上的影子构成一个直角三角形，若与的角平分线交于点P，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可将与的和作为一个整体看待，根据已知条件先求出的度数，根据平分与，求出的度数，进而求得的度数；根据木棒向上或向下滑动，的大小不变，可知的值均不变，由此可得结论． 【详解】解：在中，，而， ∴． ∵平分与， ∴，， ∴， 在中，． ∴仍为，还是， ∴． 故选：A 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质和角平分线的定义、三角形的内角和定理，熟知直角三角形的两个锐角互余是解题的关键． 2．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）在中，，，点在边上，平分，在上取一点，若为直角三角形，则的度数为 ． 【答案】40°或20° 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，运用分类讨论思想是解题的关键．先根据三角形内角和定理求出，再求出，根据直角的不同位置讨论，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴ ∵平分， ∴， 若为直角三角形， 当时，如图， ∴， ∵， ∴， 当时，如图， ∴， 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·吉林长春·期中）已知长方形中，，，连结，点P从点A出发，以的速度沿的方向运动，设P点运动的时间为t（秒）（）． (1)当时，______；当时，_______． (2)若点P在上，用含t的代数式表示的面积． (3)在整个运动过程中，当的面积为长方形面积的时，求t的值． (4)若动点Q与点P同时从点A出发，以的速度沿的方向运动，当P、Q相遇时，他们同时停止运动．当为直角三角形时，直接写出t的值或取值范围． 【答案】(1)6；3； (2)； (3)当的面积为长方形面积的时，t的值为或或或； (4)当为直角三角形时，或或． 【分析】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识是解题的关键． （）直接把时间代入即可求解； （）点在上，先表示出，即可表示的面积； （）先求出四边形的面积，再让的面积为长方形面积的，求出点的运动路程，即可求出； （）当为直角三角形时，分情况讨论即可． 【详解】（1）当时，点在上， ∴， 当时，点在上， ∴的运动路程为， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）∵点在上， ∴， ∴； （3）四边形的面积为， ∴的面积为长方形面积的时，， 当点在上时，， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 当在上时，， ∴， 解得； 综上，当的面积为长方形面积的时，的值为或或或； （4）有三种情况： 当点在上时，是直角三角形， 此时， 当点在上，点在上时，是直角三角形， 即， ∴， 解得， 则后，都在上，不是直角三角形， ③当点Q在上，点P刚好运动到点D时，是直角三角形， 此时， ∴， 综上，当为直角三角形时，或或． 【经典例题九 三角形外角的性质】 【例9】（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，高、交于点O，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质． 由垂直的定义可得，在中根据三角形内角和定理求出，再根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：∵和为的高， ∴． ∵， ∴在中，， ∴． 故选：D 1．（23-24七年级下·河南郑州·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、对顶角相等、三角形外角的定义及性质，由平行线的性质得出，由对顶角相等得出，最后由三角形外角的定义及性质即可得出答案． 【详解】解：如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，的两个外角的平分线交于点P．若，则 ． 【答案】/52度 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理．解题的关键在于找出角度的数量关系．利用角平分线的定义结合三角形外角的性质，可得，由，利用三角形内角和定理可得，即可得到，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ，即， , 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，点分别在边上，与交于点． (1)若，，则_____； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握相关性质定理是解题关键． （1）由内角和定理可得，再根据可计算出结果； （2）根据三角形外角性质可得，利用角度间的关系得出，推出，再利用外角性质得到，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：70． （2）证明：是的外角， ． 又，， ． ， ． ， ． ． ． 是的外角， ． 又， ． 【经典例题十 三角形外角与内角的综合】 【例10】（23-24七年级下·河北邢台·阶段练习）如图1，2，3．，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理以及三角形的外角性质， 图1：根据三角形内角和定理求出的度数，继而得出的度数，再根据三角形内角和定理即可求出的度数；图2：利用三角形的外角性质并结合，，得出及，即可求出的度数；图3：利用三角形外角的性质并结合，，得出的度数，根据三角形内角和定理即可求出的度数，即可求出结论．利用三角形内角和定理及三角形的外角性质求出，，的度数是解题的关键． 【详解】解：图1： ∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 图2： ∵是的外角，， ∴， ∵，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴； 图3： ∵是的外角，是的外角，， ∴，， ∴ ， 又∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 1．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，在中，，的平分线交于点D，点P是射线边上的动点，连接交于M，若，，则的度数是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质；根据点P是射线边上的动点分类讨论并计算即可；准确地画出图形并根据相关性质计算是关键． 【详解】解：当点P在边上时， 的平分线交于点D， ， 是的一个外角 当点在的延长线上时， 是的一个外角 的度数是或 故选：D． 2．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中、，，点是边上一点，连接，将沿着折叠，点落在点处、若，则的度数为 °．    【答案】35 【分析】本题考查轴对称的性质，三角形外角的性质，平行线的性质．熟练掌握轴对称的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 先由轴对称的性质得出，，再由平行线的性质得，从而求得，然后根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：由折叠可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：35． 3、（23-24七年级下·河北沧州·期末）如图1，，点分别在上运动（不与点重合），是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．    【特殊探究】 (1)若，则______； 【推理论证】 (2)随着点的运动，的大小是否会变化？如果不变，求的度数；如果变化，请说明理由． 【拓展探究】 (3)如图2，直线与直线相交于点，夹角为，点在点右侧，点在上方，点在点左侧，点在射线上运动（不与重合），平分平分交直线于点，当时，求的度数． 【答案】(1) (2)的大小不会变， (3)的度数为或 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形内角和定理，角平分线，三角形外角的性质并分情况求解是解题的关键． （1）由题意可得，，由平分，平分，可得，根据，计算求解即可； （2）同理（1）求解即可； （3）由平分平分，可得，，设，，则，，由题意知，分点在上方，点在下方两种情况，利用三角形外角的性质，三角形内角和定理求解作答即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵平分，平分， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴的大小不会变，度数为； （3）解：∵平分平分， ∴，， 设，，则，， 由题意知，分点在上方，点在下方两种情况求解； 当点在上方时，如图2，    ∴，即， 解得，， ∴； 当点在下方时，如图3，              图3 由题意知，， ∵， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，的度数或． 【经典例题十一 三角形中翻折问题综合】 【例11】（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，长方形纸片，点、分别在边、上，连接，分别将，对折，使、分别落在直线上的点和处，折痕分别为、，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及性质，设，由折叠的性质得：，，则，，再由平角的定义得，则，由此解出即可得出的度数． 【详解】解：设， 由折叠的性质得：，， ，， ， ， 解得：， ． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏扬州·期末）如图，、是边、上的点，沿翻折后得到，沿翻折后得到，且点在边上，沿翻折后得到，且点在边上，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理．根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，，将已知数据代入，即可求解． 【详解】解：如图所示，    依题意，， ∴ ， 即， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，将纸片先沿折叠，再沿折叠，若，则 °． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的外角，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 根据三角形外角的性质及，求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，由折叠的性质得出的度数，进而得出结论． 【详解】解：如图进行标注： 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：92． 3．（23-24八年级上·河南新乡·阶段练习）在学习三角形之后，八（1）班实践课上，乐乐把一个三角形纸片沿折叠，使点落在内部的点处． (1)如图1，若，则___________°； (2)利用图1，探究，与之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，把折叠后，，恰好分别是与的平分线，若，利用（2）中的结论求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）可求，可得，，即可求解； （2）设，可得，可求，，即可求解； （3）可得，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：， ， 由折叠得：，， ， ， ； 故答案：． （2）解：，理由如下： 设， ， 由折叠得：，， ， ， ， ； ； （3）解：由（2）得 ， ， ，恰好分别是与的平分线， ， ， ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题的关键． 【经典例题十二 三角形中旋转问题综合】 【例12】（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图①，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现按住三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），给出下列四个说法： ①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为； ②当时，； ③当时，．其中正确的说法的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，三角形内角和定理，平行线的判定，正确理解题意是解题的关键．先证明，然后求出当时，，由此按照图①求解即可判断①；当时，求得，，则，即可判断②；当时，先求出，则，，即可判断③． 【详解】解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②， 设直线与直线交于F， ∴， ∴， 当时，即，如图①所示， ∴， ∴； 当三角板旋转角度大于时，如图②所示， ∴， ∴当时，即， ∴， ∴此时在图中的位置， ∴，故①正确； 当三角板旋转角度小于度时，如图③所示， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当三角板旋转角的大于时，如图④所示， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴，故②错误； 如图⑤所示，当时， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴，故③正确． 故选：C． 1．（22-23七年级下·江苏镇江·阶段练习）如图，分别将三角板与的一边与放置在直线l上，边与所在直线重合．现将三角板绕点A逆时针旋转，三角板绕点A顺时针旋转．当与第一次重合时，三角板停止运动． 在旋转过程中，下列说法不正确的是（   ） A．当与垂直时， B．当与平行时， C．当与垂直时， D．当与平行时， 【答案】B 【分析】画出各选项对应的图形，然后根据平行线的性质，三角形内角和定理进行求解判断即可． 【详解】解：当与垂直时，如图1， 由题意知， ∴， ∴， ∴A正确，故不符合要求； 当与平行时，如图2，过作，则， ∴，， ∴， ∴B错误，故符合要求； 当与垂直时，如图3， ∴， ∴， ∴C正确，故不符合要求； 当与平行时，如图4， ∴， ∴D正确，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理等知识．解题的关键在于正确的作图求解． 2．（23-24七年级下·四川成都·期中）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点B以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点C以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了 秒．    【答案】25或65 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，一元一次方程的应用，过点E作，延长，先求出，设运动时间为t，则，，分两种情况：当点P在点B的左侧时，当点P在点B的右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：过点E作，延长，如图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设运动时间为t，则，， 当点P在点B的左侧时，如图所示：   ， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点P在点B的右侧时，如图所示：    此时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上分析可知：射线旋转了25秒或65秒． 故答案为：25或65． 3．（23-24七年级下·河南南阳·期末）【问题背景】 在一副三角板和（顶点C重合）中，， ， ． 【问题发现】 （1）如图1，当时，求的度数． 【问题探究】 （2）如图2，若，判断与的位置关系，并说明理由． 【问题拓展】 （3）如图2，将三角板绕点C按顺时针方向旋转，在旋转一周的过程中，当与三角板的直角边重合时，请直接写出两个三角板斜边所夹的锐角的度数． 【答案】（1）；（2），理由见解析； （3）或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握平行线的判定和性质，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据，得到，即可得解； （2）若与交于点，利用， ，求得，再得到，，即得证； （3）当与三角板的直角边和直角边重合时，分别讨论两种情况即可得解； 【详解】解：（1） ， ， ， ． （2），理由如下， 若与交于点，如图， ，，， ， ， ， ， 又， ， ， 又， ， ． （3）当与三角板的直角边重合时，与交于点，如图所示， ，， ， 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为． 当与三角板的直角边重合时，和延长线交于点，如图所示 ，， ， ， ． 此时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为 综上，当与三角板的直角边重合时，两个三角板斜边所夹的锐角的度数为或． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，一块含的直角三角板的一个顶点落在直线b上，若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形的内角和等知识，掌握两直线平行同位角相等是解答本题的关键． 设的同位角为，的邻补角为，三角板的一个锐角为，根据等腰三角板的特点可求出，根据三角形内角和即可求出，再根据平角的性质即可求出，进而根据两直线平行同位角相等即可求出． 【详解】解：设的同位角为，的邻补角为，三角板的一个锐角为，如图， ∵直角三角板含一个的锐角， ∴该三角板为等腰三角形， ∴， ∵， 又∵在三角形中有， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，，则的关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角的性质、平行线的性质，通过作辅助线，构造三角形以及由平行线构成的内错角，掌握三角形的外角的性质以及平行线的性质：两条直线平行，内错角相等，是解题的关键．延长交与，延长交于，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质得到，从而即可得到答案． 【详解】解：延长交与，延长交于， ， 则在直角中，；在中，， ， ， ， ， 故选：D． 3．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，中，，的度数为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形的内角，解不等式组，根据题意得，然后解不等式组即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得： 故选：． 4．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查矩形性质，翻折性质，三角形内角和定理等．根据题意利用矩形性质可得，继而求得，再利用折叠性质得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 故选：B． 5．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，已知直线，点、分别在直线、上，点是直线与外一点，连接、，点在直线上方且在内部，连接，连接并延长交的角平分线于点，交于点，下列说法中正确的有（    ）个 ①若，则 ②若、分别平分，，则与互补 ③若、分别平分，，则 ④若，，则 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的外角性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，利用三角形的外角性质可判断①，利用平行线的性质及三角形的外角性质可判断②③④． 【详解】解：如图， ①∵，， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵、分别平分，，平分， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∴，即与互补，故②正确； ∵，， ∴，， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∴正确的个数为个， 故选：． 6．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．先求出，再由三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：如图， ，， ， ． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，在中，平分，过点作．若，，则 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和，角平分线的相关求解，先根据两直线平行同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数，根据角平分线以及三角形内角和即可得出结果． 【详解】解：，， ， ， 平分， ， ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·重庆江北·期末）如图1是一盏可调节台灯，图2为示意图，固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线，组成的始终保持不变，现调节台灯使外侧光线，，若，则的度数为 °． 【答案】66 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，过点作，延长交于点，由平行线的性质可求得，从而可求的度数，再由平行线的性质可得，，从而可求的度数．解答的关键是作出适当的辅助线． 【详解】解：过点作，延长交于点，如图所示： ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ，则， ， ， 故答案为：66． 9．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）如图，和是的外角，和分别是和的角平分线，延长和交于点．设，，则与之间的数量关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角性质，角平分线的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，由三角形外角性质可得，，由角平分线定义得，，进而得，，再根据三角形内角和定理可得，即可得到，进而即可求解，掌握三角形外角性质是解题的关键． 【详解】解：由三角形外角性质可得，，， ∵和分别是和的角平分线， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，在中有两个内角相等，且是的角平分线，点在上，，交于点．若，，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理，利用设参数进行角度运算是解答的关键．设，，利用平行线的性质和角平分线的定义得到，，，然后分当时、当时、当时三种情况，利用三角形的内角和定理列方程求解值即可． 【详解】解：∵，， ∴设，，则，，， ∵， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， 当时，，则， 由得，即， 将代入，得， 解得； 当时，，则， 由得，即， 将代入，得，解得， 当时，，这种情况不存在， 故或， 故答案为：或． 11．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）如图， 、、分别是的高线、角平分线和中线． (1)若 ， ， 求的面积． (2)若， 求的度数． 【答案】(1)20 (2)22 【分析】（1）根据是中线，且，得到 结合是的高，且， 利用，解答即可． （2）根据，结合，结合三角形内角和定理，角的平分线解答即可． 本题考查了三角形的高线，中线，角的平分线，三角形内角和定理，正确理解概念是解题的关键． 【详解】（1）解：根据是中线，且， ∴ ， ∴是的高，且， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵是角平分线，是高， ∴，，． ∴． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，是上一点，于点，，分别是，上一点，，．    (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，请说明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练使用平行线的性质是解题的关键． （1）根据三角形内角和定理可知，由可知，即可推出； （2）由可知，得到，连接，由得到，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： ， （2）解：连接    ， 13．（23-24七年级下·江苏镇江·期末）【概念】如果两个角的度数之差为，我们称这两个角互为“好友角”，其中一个角叫做另一个角的“好友角”，例如，，，则和互为“好友角”，即是的“好友角”，也是的“好友角”． 【理解】（1）若，则的“好友角”的度数为 ； （2）已知和互为“好友角”，，且和互补，的度数为 ； （3）如图，将纸片沿折叠，使点落在四边形内部处，已知，，若和互为“好友角”，则的度数为 ； 【拓展】如图，在中，，是角平分线，过点作的垂线，垂足为，相交于点．若与互为“好友角”，求的度数． 【答案】【理解】（）或；（）；（）或； 【拓展】或． 【分析】【理解】（）根据“好友角”定义，分情况讨论即可； （）根据“好友角”定义和互补的性质求解即可； （）连接，由三角形内角和得出，由折叠性质可知，然后根据外角性质得出，由题意分情况讨论即可； 【拓展】由平分，，得，，从而可得，再根据与互为“好友角”进行分类讨论即可； 本题考查了新定义，角分线的定义，三角形的内角和，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】【理解】（）根据“好友角”定义可得： 的“好友角”的度数为或， 故答案为：或； （）∵和互为“好友角”，， ∴， ∵和互补， ∴， 联立， 解得， 故答案为：； （）如图，连接， ∵，， ∴， ∴由折叠性质可知， ∵，， ∴， 即， ∵和互为“好友角”， ∴或， ∴或； 【拓展】∵平分，， ∴，， ∵，， ∴， ∵与互为“好友角”， ∴或， 则或， ∵， ∴或． 14．（23-24七年级下·湖南常德·期末）已知，点P是平面内一点，过点P作射线与相交于点B． (1)如图1，若点P为直线上一点，，，求的度数； (2)如图2，若点P为直线之间区域的一点，射线交于点E，和的角平分线交于点F．请说明； (3)如图3，若点P、H是直线上的点，射线交直线于点G，连接并延长交的角平分线于点Q，设.当时，请直接用含的代数式表示． 【答案】(1) (2)说明见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，三角形外角性质等．解题的关键是作出适当的辅助线，学会利用参数解决问题． （1）运用平行线性质即可； （2）过点作，过点作，运用平行线性质、角平分线定义及三角形内角和定理等即可证得结论； （3）分两种情况：当点在点的左侧时，当点在点的右侧时，分别求得即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴. ∵，， ∴. （2）证明：过点作，过点作， ，， ， ，， ，． 平分， ， 同理可得：． 设，， ，， ，， ，， ， ， ， ． （3）解：或． 当点在点的左侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； 当点在点的右侧时，如图， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； 综上所述，或． 15．（23-24七年级下·广东汕头·期末）已知，点为平面内一点，点、分别在直线，上，连接、． (1)如图①，点在直线，之间时，若，则________； (2)如图②，点在直线，之间（且在连线左侧），和的平分线交于点，当时，求的度数（用含的式子表示）； (3)如图③，当点在下方时，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，求出的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形外角的性质，角平分线的定义等，解题的关键是作出恰当的辅助线． （1）过点作，然后根据平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补）即可求解； （2）仿照（1）的解法思路同样可以求解； （3）也可另寻思路，延长，与相交于点G．并设与相交于点H． 利用“两直线平行，内错角相等”、“对顶角相等”、“三角形外角的性质”、“平角的定义”也可求解． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴ （2）解；如图②，过点作，过点作 ∵． ∴ ∴， ∴ ∵ ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴ （3）如图③，延长，与相交于点G．并设与相交于点H． ∵平分，， ∴ ∴ ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$