专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 构成三角形的条件 题型三 三角形第三边的取值范围 题型四 三角形三边关系的应用 题型五 三角形高线的画法 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形角平分线的定义 题型十 利用网格求三角形面积 题型十一 三角形的稳定性及应用 题型十二 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【经典例题二 构成三角形的条件】 【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上与6表示的点分别为，点B为线段上一点，分别以为中心旋转，若旋转后两点可以重合成一点C（即构成），则点B代表的数不可能的是（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．3 1、（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【经典例题三 三角形第三边的取值范围】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取 ． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【经典例题四 三角形三边关系的应用】 【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 3．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 【经典例题五 三角形高线的画法】 【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有 （填序号）． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：    (1)将向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，画出； (2)画出边上的高； (3)的面积为______； (4)若，点为异于点的格点，则点的个数有______个． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当 时，的面积等于8．    3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，已知分别是中边上的高，，求的长． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（    ）个．    A．7 B．5 C．6 D．4 2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 1．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，点是边上的中点，点是上一点且，、是边上的三等分点，若四边形的面积为，则的面积是（    ） A．24 B．42 C．48 D．56 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于 ． 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【经典例题九 三角形角平分线的定义】 【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【经典例题十 利用网格求三角形面积】 【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】 【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是和，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点．若的面积为2，则的面积是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 5．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ．    8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 10．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面上，为支架连杆，为台灯灯面，它们可绕连接点旋转，已知，台灯长，在旋转接点的过程中，点之间的最大距离是 ．若，则 度． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，画图并填空： (1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的． (2)画出的高和中线． (3)点为格点且（点与点不重合），这样的点共有______个． 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． (1)请画出三角形，并写出三角形的三个顶点坐标； (2)求三角形的面积； (3)轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，画出平移后的三角形，并写出各顶点坐标； (3)若三角形内一点平移后的对应点的坐标为，平移方式与（2）中相同，求的值． 15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． (1)求证：． (2)如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 与三角形有关的线段重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 三角形的相关概念 题型二 构成三角形的条件 题型三 三角形第三边的取值范围 题型四 三角形三边关系的应用 题型五 三角形高线的画法 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 根据三角形中线求长度 题型八 根据三角形中线求面积 题型九 三角形角平分线的定义 题型十 利用网格求三角形面积 题型十一 三角形的稳定性及应用 题型十二 与三角形有关的线段综合应用 知识点 1 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点2 三角形的分类： 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰 的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 知识点3 三角形的三边关系： 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点4 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点5 三角形的重要线段 【经典例题一 三角形的相关概念】 【例1】（23-24八年级上·全国·课后作业）线段上有3个点，，，直线外有一点A，把A和B，，，，C连接起来，可以得到的三角形个数为（    ） A．8个 B．10个 C．12个 D．20个 【答案】B 【分析】根据题意可得，点A和其他任意两个点连接，可得到三角形，点B，，，，C中的每一个点可与4个点组合，再除以2（去掉重复的）即可． 【详解】解：根据题意得： ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的定义，解题的关键是掌握不在同一直线上的三个点的连线围成的图形是三角形． 1．（2024·陕西·中考真题）如图，在中，，是边上的高，E是的中点，连接，则图中的直角三角形有（    ）    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的概念．根据直角三角形的概念可以直接判断． 【详解】解：由图得，，，为直角三角形， 共有4个直角三角形． 故选：C． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，在中，边BE所对的角是 ，所对的边是 ；在中，边AE所对的角是 ，所对的边是 ；以为内角的三角形有 ． 【答案】 CE AC ，， 3．（23-24八年级上·河南驻马店·期中）如图，在中，分别是上的点，连接交于点    (1)图中共有多少个以为边三角形？并把它们表示出来． (2)除外，以点为顶点的三角形还有哪些？ 【答案】(1)以为边的三角形有个，，，， (2)以点为顶点的三角形还有、 【分析】本题考查的是认识三角形， （1）以为边的三角形有个； （2）以为顶点的三角形有个，除外，还有个． 【详解】（1）解：以为边的三角形有个，，，，． （2）解：除外，以点为顶点的三角形还有、． 【经典例题二 构成三角形的条件】 【例2】（2023·河北张家口·三模）如图，数轴上与6表示的点分别为，点B为线段上一点，分别以为中心旋转，若旋转后两点可以重合成一点C（即构成），则点B代表的数不可能的是（    ）    A．1 B．1.5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】设点B代表的数为x，则，、可以用x表示出来，然后根据三角形三边关系求出x 取值范围即可求解． 【详解】解：设点B代表的数为x，则由题意可得： ，，， ∴由三角形的三边关系可得： ，解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次不等式组的求法是解题的关键． 1、（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）已知，关于x的不等式组至少有三个整数解，且存在以为边的三角形，则a的整数解有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】依据不等式组至少有三个整数解，即可得到a＞3，再根据存在以3，a，5为边的三角形，可得2＜a＜8，进而得出a的取值范围是3＜a＜8，即可得到a的整数解有4个． 【详解】解： 解不等式①，可得x＜2a， 解不等式②，可得x≥4， ∵不等式组至少有三个整数解， ∴a＞， 又∵存在以3，a，5为边的三角形， ∴2＜a＜8， ∴a的取值范围是3＜a＜8， ∴a的整数解有4、5、6、7共4个， 故选：B． 【点睛】此题考查的是一元一次不等式组的解法和三角形的三边关系的运用，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 2．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知三条线段的长分别是5，5，m，它们能构成三角形，则整数m的最大值是 ． 【答案】9 【分析】利用三角形三边关系求出m的取值范围，从中找出最大的整数即可． 【详解】解：三条线段的长分别是5，5，m，若它们能构成三角形，则，即，因此整数m的最大值是9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查三角形的三边关系，解题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 3．（23-24七年级下·全国·课后作业）若三边均不相等的三角形三边a，b，c（）满足，则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形的三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． (1)以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为 （填序号） ①4，2，1；    ②13，18，9；    ③19，20，19；    ④9，8，6 (2)已知“不均衡三角形”三边分别为，求出所有符合条件的x的整数值． 【答案】(1)② (2)10，12，13，14 【分析】本题考查了三角形三边关系，求不等式的解集，熟练掌握“不均衡三角形”的定义、以及分类讨论思想的应用是解题的关键． （1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，根据“不均衡三角形”的定义列方程求解即可． 【详解】（1）①∵， ∴4，2，1不能组成“不均衡三角形”； ②∵， ∴13，18，9能组成“不均衡三角形”； ③∵， ∴19，20，19不能组成“不均衡三角形”； ④∵， ∴9，8，6不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：②； （2）∵， ∴． 当时，即， 则， 解得：（舍）      当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为10                                                     当时，即， 则， 解得：，则，符合题意的x取值为12，13，14                                                综合的x的取值为10，12，13，14． 【经典例题三 三角形第三边的取值范围】 【例3】（2024·河北邯郸·模拟预测）如图，一根直的铁丝，欲将其弯折成一个三角形，在同一平面内操作如下： ①量出； ②在点右侧取一点，使点满足； ③将向右翻折，向左翻折． 若要使，两点能在点处重合，则的长度可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 故选D． 1．（23-24七年级下·四川眉山·期中）在中，，若其周长为，则边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的性质；设，由三角形的三边关系定理得出，再由边长为正数得出，即可得出结果．掌握三角形的三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设， ∵在中，，若其周长为， ∴， ∵，即， 解得：， 又∵， 解得：， ∴， 即． 故选：B． 2、．（22-23七年级下·广东揭阳·期末）小朦同学从五根长为，，，，的木条中挑选三根组成三角形，她已经取了和两根木棍，那么第三根木棍不可能取 ． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，确定出第三根木棍的取值范围，即可求解． 【详解】解：已经取了和两根木棍， 第三根木棍的取值范围是， 不可能是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是掌握三角形三边关系，确定出第三边的取值范围． 3．（23-24七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知a、b、c是一个三角形的三边长． (1)若，，则c的取值范围是_______． (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形三边关系，化简绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边；正有理数的绝对值是它本身，负有理数的绝对值是它的相反数． （1）由三角形三边关系定理即可得到答案； （2）由绝对值的意义和三角形三边关系定理即可化简． 【详解】（1）解：由三角形三边关系定理得：， ． 故答案为：． （2）解：，，， ． 【经典例题四 三角形三边关系的应用】 【例4】（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 1．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）若的三边长分别为5，3，k，且关于y的一元一次方程的解为非正数，则符合条件的所有整数k的和为（    ） A．13 B．18 C．21 D．26 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次方程，三角形三边的关系的应用，先解方程得到，再由方程的解为非正数得到，根据三角形三边的关系求出，则符合题意的k的值为5、6、7，据此可得答案． 【详解】解：解方程得， ∵方程的解为非正数， ∴， ∴， ∵的三边长分别为5，3，k， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值为5、6、7， ∴符合条件的所有整数k的和为， 故选：B． 2．（23-24七年级下·陕西西安·期中）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）自从开展了劳动教育课程后，小宇同学喜欢上了小动物．他准备了一段长的篱笆，想在自家院子的一个角落围成一个三角形形状的场地，用于饲养小兔子．由于场地限制，若第一条边长为，则第二条边长只能是第一条边长的3倍还少． (1)请用x表示第三条边长． (2)第一条边长可以为吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)不可以，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的三边关系，列代数式求值，熟练掌握三角形的三边关系并灵活运用是解决本题的关键； （1）三角形的第三边周长另外两边之和，据此解答即可； （2）根据三角形的三边关系即可判断． 【详解】（1）第一条边长为，第二条边长只能是第一条边长的3倍还少， 第二条边长是， 准备了一段长的篱笆， 第三边为：； （2）第一条边长不可以为．理由如下： 当时，三边长分别为4，11，5． ， 不能构成三角形， 第一条边长不可以为． 【经典例题五 三角形高线的画法】 【例5】（23-24八年级上·吉林·阶段练习）如图，中，为上一点，于点E，下列说法中，错误的是（   ） A．中，是上的高 B．中，是上的高 C．中，是上的高 D．中，是上的高 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的概念判断即可． 【详解】解：A、中，是上的高，不是上的高，故本选项说法错误，符合题意； B、中，是上的高，说法正确，不符合题意； C、中，是上的高，说法正确，不符合题意；     D、中，是上的高，说法正确，不符合题意； 故选：A． 1．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，中边上的高是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：由图可得， ∵， ∴中边上的高是， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形高的定义，理解三角形高的概念是解题的关键． 2．（23-24七年级下·山东菏泽·阶段练习）如图，在△中，，为的中点，延长交于．于，交于．下列说法：①线段是的角平分线；②线段是△的边上的高；③是的中线；④△与的面积相等；⑤．其中正确的有 （填序号）． 【答案】①③④⑤ 【分析】由角平分线的定义可判断①；由高的定义可判断②；由中线的定义可判断③；由中线的性质可判断④；由直角三角形的性质可判断⑤． 【详解】∵∠1=∠2， ∴线段AG是△ABE的角平分线， 故①正确； ∵由题目中的已知条件无法确定AE和BE垂直， ∴线段AE不一定是△ABG的边BG上的高， 故②错误； ∵G点为AD的中点， ∴BG是△ABD的中线， 故③正确； ∵BG是△ABD的中线， ∴△ABG与△DBG的面积相等， 故④正确； ∵CF丄AD于H， ∴∠AHC=90º， ∴∠2+∠ACF=90º． ∵∠1=∠2 ∴∠1+∠ACF=90º， 故⑤正确． 因此正确的有①③④⑤． 故答案为①③④⑤． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，中线的定义，高的定义，中线的性质，直角三形两锐角互余．熟练掌握以上定义和性质是解题的关键． 3．（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：    (1)将向上平移2个单位，向左平移1个单位得到，画出； (2)画出边上的高； (3)的面积为______； (4)若，点为异于点的格点，则点的个数有______个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3.5 (4)2 【分析】本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平移作图方法即可； （2）根据三角形高的定义即可作图； （3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可； （4）设中边上的高为，中边上的高为，由，得，则，找过点且平行于的直线上得格点，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得：向上平移个单位，向左平移个单位，如图，      ∴即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）的面积为， 故答案为：． （4）设中边上的高为，中边上的高为， 则，， ∵， ∴，则， 如图，格点，在过点且平行于的直线上，符合题意， 即：当时，异于点的格点的有2个， 故答案为：2． 【经典例题六 与三角形的高有关的计算问题】 【例6】（22-23七年级下·江苏苏州·期中）如图，在中，，，，若四边形的面积为14，则的面积为（  ） A．24 B．28 C．35 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出的值，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：D． 1．（23-24七年级上·江西南昌·开学考试）如图，梯形的面积为，点在上，三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2，的长为5，那么三角形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了梯形、三角形的面积公式，平行线之间的距离处处相等，理解梯形、三角形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是梯形， ∴， ∴三角形边上的高三角形边上的高（平行线之间的距离处处相等）， 又∵三角形的面积是三角形面积的2倍，的长为2， ∴， ∵梯形的面积为，的长为5， ∴梯形的高， ∴和之间的距离，即三角形边上的高， ∴三角形的面积， 故选：A． 2．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）如图，在长方形中，为的中点．动点P从点A出发，以每秒的速度沿的方向运动，最终到达点E．若点P的运动时间为x秒，则当 时，的面积等于8．    【答案】4或 【分析】本题考查了三角形的面积计算，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 分三种情况讨论：①分P在上；②P在上；③P在上三种情况，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵长方形， ∴， 分三种情况讨论： ①当P在上时． ∵的面积等于8， ∴，解得：； ②当P在上时．    ∵的面积等于8， ∴， ∴， 解得：； ③当P在上时，， 解得：（不合题意）． 故答案为4或． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，已知分别是中边上的高，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查三角形等面积法求高，通过三角形面积建立等量关系是解题的关键．三角形的面积等于任意一条底边乘以该边上的高的积的一半，分别以为底，写出的面积的两种表示方法；结合两个面积相等和已知中的数据，进行计算即可解答题目． 【详解】解：， 将代入得到： 解得， ． 【经典例题七 根据三角形中线求长度】 【例7】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，已知是的边上的中线，若，，的周长比的周长多2，则的长为（    ）    A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】 依据 是 的边 上的中线，可得 ，再根据 的周长比 的周长多 2 ， 即可得到 的长； 【详解】 解：∵ 是 的边 上的中线， 又 ∵ 的周长比 的周长多2 ， 即 ， 故选 ：C． 【点睛】本题考查了三角形的中线， 求出两个三角形的周长的差等于两边的差是解题的关键． 1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）如图，的三边长均为整数，且周长为24，是边上的中线，的周长比的周长大3，则长的可能值有（    ）个．    A．7 B．5 C．6 D．4 【答案】D 【分析】依据的周长为24，的周长比的周长大3，可得，再根据的三边长均为整数，即可得到整数值． 【详解】解：是边上的中线， ， 的周长为24，的周长比的周长大3， ， 解得， 又的三边长均为整数，的周长比的周长大3， 为整数， 边长为奇数， ，7，9，11， 即的长可能值有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边． 2．（23-24八年级上·四川广安·期末）如图，在中，，分别是边上的高和中线．若，的面积是，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的定义，先根据的面积求得，再由三角形中线的定义即可求出． 【详解】解：边上的高，，的面积是， ，即， ， 是边上的中线， ， 故答案为：8． 3．（22-23七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，，分别为边上的高和中线，且． (1)求的长； (2)求和的周长之差； (3)若为边的三等分点，连接，与交于点，记的面积为，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2)7cm (3) 【分析】本此题主要考查了三角形的高线和中线，三角形的面积， （1）根据三角形面积公式得，据此可得的长； （2）的周长为，的周长为，据此可得和的周长之差； （3）根据点是边的三等分点，分两种情况讨论如下：①当时，根据为中线得，即，再根据得，即，据此即可得出的值；当时，同理可得，，据此即可得出的值． 【详解】（1）在中，，，，，为边上的高， ， ， 即的长度为； （2）为边上的中线， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长的周长， 即和的周长之差为； （3）点是边的三等分点， 有以下两种情况： ①当时，如图1所示： 在中，，，， ， 为边上的中线， ， ，即， ， ， ，即， ； ②当时，如图2所示： 同理得：， ， ， ，即， ． 综上所述：的值为． 【经典例题八 根据三角形中线求面积】 【例8】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，已知点为的中点，点在边上，且，相交于点，若的面积为，则四边形的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，设，得，，又点为中点，则，，设，从而有，根据得，解出，然后由的面积为即可求出，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 由，设， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴即，解得：， ∴， 解得：， ∴四边形的面积是， 故选：． 1．（23-24七年级下·重庆北碚·期末）如图，点是边上的中点，点是上一点且，、是边上的三等分点，若四边形的面积为，则的面积是（    ） A．24 B．42 C．48 D．56 【答案】C 【分析】本题考查有关中线的三角形面积的求法，解题的关键是求出的面积是． 可利用，得的面积为，的面积为，再由、是边上的三等分点，即，得的面积的面积的面积，从而，解得，代入求解即可． 【详解】解：连接，设的面积为， ∵， ∴的面积为， ∴的面积为， ∵、是边上的三等分点，即， ∴的面积的面积的面积， ∵四边形的面积为， ∴，解得， ∴的面积的面积的面积的面积， ∵点是边上的中点， ∴的面积是． 故选： 2．（23-24七年级下·江苏南通·期末）如图，分别延长四边形的各边，使得点A，B，C，D分别为的中点，顺次连结E，F，G，H，得四边形．若，则的值等于 ． 【答案】20 【分析】此题考查了三角形中线的性质，连接，根据三角形中线平分三角形面积得到，，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点A，B，C，D分别为的中点， ∴， ∴ 同理可得，， ∴， 故答案为：20 3．（23-24七年级下·河南南阳·阶段练习）在中，，D为直线上任意一点，连结，于点E，于点F． 【画图】（1）如图①，当点D在边上时，请画出中边上的高； 【探究】（2）如图①，通过观察、测量，你猜想之间的数量关系为__________；为了说明之间的数关系，小明是这样做的： 证明：∵__________， ∴__________． ∵，∴__________． 【运用】（3）如图②，当点D为中点时，试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展】（4）如图③，当点D在的延长线上时，请直接写出之间的数量关系． 【答案】（1）见详解；（2），，，；（3）与的数量关系为，理由见解析；（4） 【分析】本题考查了中线平分三角形的面积，割补法求三角形的面积． （1）过点B作交于一点E，即可作答． （2），根据已有的过程结合面积之间的关系列式化简，即可作答． （3）同理得，因为点D为中点，所以，结合，化简得，即可作答． （4）同理结合面积之间的关系列式化简，，即可作答． 【详解】解：（1）依题意，边上的高如图所示： （2）； 证明：∵， ∴， ∵， ∴； （3）过点B作交于一点G， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， （4）过点B作交于一点， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， 【经典例题九 三角形角平分线的定义】 【例9】（23-24八年级上·陕西渭南·阶段练习）如图，在中，，为的中点，连接并延长，交于点，过点作于点，延长交于点.下面说法错误的是（    ）    A．是的角平分线 B．是的边上的高线 C．是的角平分线和高线 D．是的边上的中线 【答案】D 【分析】根据三角形的中线、角平分线、高的定义进行判断即可． 【详解】解：A．，则是的角平分线，故选项正确，不符合题意； B．于点，则是的边上的高线，故选项正确，不符合题意； C．，于点，则是的角平分线和高线，故选项正确，不符合题意； D．无法判断是的边上的中线，故选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了三角形的中线、角平分线、高，熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的定义是解题的关键． 1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）如图，在中，，是中线，是角平分线，是高，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中线的性质可得，由角平分线的定义可得；由是的高，可得． 【详解】解：∵是中线， ∴，故A说法正确； ∵是角平分线， ∴，故B说法正确； ∵是的高， ∴，， ∵是角平分线， ∴， ∴ ，故C说法正确； ∵，， 且BD≠CD， ∴，故D说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，熟练掌握以上性质是解题的关键． 2．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面结论：①的面积的面积；②；③；④.其中正确结论的序号是 . 【答案】①②③ 【分析】本题考查了三角形的中线、高、角平分线；根据三角形角平分线和高的性质可确定角之间的数量关系；根据三角形的中线和面积公式可确定和的面积关系以及求出的长度． 【详解】解： 是的中线 的面积等于的面积   故正确； ，是的高 ， 是的角平分线 ∴ 又 故正确；   故正确； 故错误； 故答案为：①②③． 3．（23-24七年级下·江西萍乡·阶段练习）请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)如图，在中，、分别为、的角平分线，请作出的角平分线； (2)如图，在中，，点为边上一点，点，关于对称，请作出的一条垂线． 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析． 【分析】（）根据的三条角平分线交于一点，即可得到结论； （）根据的三条高所在直线交于一点，即可得到结论； 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握三角形的有关线段是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∴即为所求； （2）如图，延长交于点，延长交于点， ∵点，关于对称， ∴， ∴是三角形的高， ∴即为所求． 【经典例题十 利用网格求三角形面积】 【例10】（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 1．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知A（-1，0），B（1，2），C是坐标轴上一点，且△ABC的面积为2，下列不是点C坐标的是（    ） A．(-3，0） B．（1，0） C．（0，-3） D．（0，3） 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，C在x轴或在y轴，求出C的坐标即可． 【详解】解：当C在x轴上时，设， 则 ， 解得m=1或-3， ∴C（1，0）或（-3，0）； 当C在y轴上时，设， 可知AB与y轴的交点为（0，1）， 则， 解得m=-1或3， ∴C（0，-1）或（0，3）； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，三角形的面积的问题，解题的关键是分类讨论． 2．（22-23七年级下·全国·课后作业）如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为 ． 【答案】10 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标分别是，，．三角形平移得到三角形，其中点A，B，C分别对应O，D，E点． (1)请画出三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积等知识．熟练掌握根据点坐标的平移确定平移方式，平移作图，利用网格求三角形面积是解题的关键． （1）由题意可得，图形向右平移1个单位，向下平移4个单位，然后作图即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：∵平移到， ∴图形向右平移1个单位，向下平移4个单位， 由平移的性质作图如下，三角形即为所作； （2）解：由题意知，， ∴三角形的面积为． 【经典例题十一 三角形的稳定性及应用】 【例11】（23-24八年级上·广西南宁·期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【详解】解：根据三角形的稳定性可得，至少要再钉上1根木条． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了三角形具有稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性，而四边形不具有稳定性． 1、（23-24八年级上·湖北武汉·期中）下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（    ）    A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的稳定性在实际生活中的应用，利用三角形的稳定性进行解答即可，解题的关键是分析能否在同平面内组成三角形． 【详解】解：C选项中伸缩门是利用了四边形的不稳定性，A、B、D选项中都是利用了三角形的稳定性， 故选：C． 2．（23-24七年级下·山西临汾·期末）如图所示，要使一个六边形木架在同一平面内不变形，至少还要再钉上 根木条． 【答案】3 【分析】根据三角形的稳定性，要使六边形木架在同一平面内不变形，只要把六边形木架变成几个不重叠的三角形即可． 【详解】如图，过左上角的A点分别钉三根木条AB、AC、AD即可把六边形木架变成三个不重叠的三角形． 故答案为3． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，通过多观察、多思考、多练习熟练掌握三角形稳定性的应用是解题关键． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）[推理意识]如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使六边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，至少要钉多少根木条？    (1)请完成下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 … (2)要使十二边形木架不变形，至少要钉__________根木条； (3)有一个多边形木架，至少要钉18根木条，才能使它不变形，求这个多边形的边数． 【答案】(1)2，3， (2)9 (3)21 【分析】（1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【详解】（1）解：如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … 故答案为：2，3，； （2）解：（根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：9； （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 【点睛】本题考查三角形的稳定性，注意利用图形总结规律是解题的关键． 【经典例题十二 与三角形有关的线段综合应用】 【例12】（22-23七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，，，，若四边形的面积为，则的面积为（    ）    A．60 B．56 C．70 D．48 【答案】A 【分析】连接、，过点作于点，设，根据同高的三角形的面积的比等于底边的比，分别得到、、、、、，再根据四边形的面积，求出，即可得出的面积． 【详解】解：连接、，过点作于点， 设， ，，， ， ， ， 同理可得：， ， ， ， ， 同理可得：， 是的中点， 同理可得：， ， ， 同理可得：， 四边形的面积为28， ， ， ， 故选：A．    【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题关键． 1．（23-24七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，三角形ABC被分成三角形BEF和四边形AEFC两部分，BE=3，BF=4，FC=5，AE=6，那么三角形BEF面积和四边形AEFC面积的比是（　　） A．4：23 B．4：25 C．5：26 D．1：6 【答案】A 【分析】如图：连接AF，根据△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等可得，进而得到，同理得出，进而得到即可解答． 【详解】解：如图：连接AF ∵BE=3，AE=6， ∴AB=9， ∵△BEF的边BE上的高和△ABF边AB上的高相等， ∴，即 同理可得：，即 ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，正确作出辅助线、灵活运用等高的三角形的面积比等于对应边之比是解答本题的关键． 2．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在中，点是边上一点，，连接，点是线段上一点，，连接，与交于点，若，，则与面积之和的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，连接，设，，，由，，可得，，进而可得，，由，可得，由，可得，即得，根据当取最大时，取最大，由当时，取最大值，可得，进而即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大， 当时，取最大值， ∴， 由得，， ∴与面积之和的最大值， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？ 小旭同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知．因为高相同，所以，于是． 据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． (1)【深入探究】 如图2，点D在的边上，点P在上． ①若是的中线，______． ②若，则______． (2)【拓展延伸】 如图3，分别延长四边形的各边，使得A，B，C，D分别为的中点，依次连接E，F，G，H得四边形． ①：直接写出，与之间的等量关系；_______ ②：若，则_______． 【答案】(1)① ② (2)① ②30 【分析】本题考查了三角形的中线，掌握三角形的一条中线把原三角形分成两个等底同高的三角形是题的关键． （1）①根据中线的性质可得，点为的中点，推得是的中线，，得到，即可得出结果； ②设边上的高为，根据三角形的面积公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可证明； （2）①连接，，，根据中线的判定和性质可得，，，，推得，，即可求得，即可证明， ②由①可得，同理可证得，根据，即可推得，即可求解． 【详解】（1）解：①证明：∵是的中线， ∴，点为的中点， ∴是的中线， ∴， ∴， 即， ∴ ②， 解：设边上的高为， 则，， ∵， ∴， 同理， 则， 即， ∴． （2）①证明：连接，，，如图： ∵点、、、分别为、、、的中点， ∴，，，分别为，，，的中线， ∴，，，， ∴， ∵， 即； ②由①可得，同理可证得， ， 即， ∵， ∴． 1．（2024七年级下·全国·专题练习）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是和，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加减运算的应用，三角形三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握． 根据小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家与学校不共线，两种情况进行求解即可． 【详解】解：由题意知，当小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家的直线距离为 ： 或； 当小明家和小亮家与学校不共线， 由三角形三边关系可知，小明家和小亮家的直线距离大于，小于， 综上，小明家和小亮家的直线距离不可能是， 故选：A． 2．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图，已知和分别是和的中线，若的面积是8，则的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等，即可求出的面积，利用三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，是的中线，是上一点，，连接并延长交于点．若的面积为2，则的面积是（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质．连接，由得出，，设，则，即可得出的面积，由是的中线得出，，求出的面积，即可列出关于的方程求解，从而求出的面积． 【详解】解：如图，连接， ， ，， 的面积为2， ， 设， 则， ， 是的中线， ，， ， ， ， ， 解得， ， ， 故选：C． 4．（24-25八年级上·全国·假期作业）在如图正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，、两点在格点上，格点的面积为1，则格点的个数为（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题，能够结合图形进行求解．以为腰可得出4个等腰直角三角形，其面积为1，又有两个钝角三角形，其面积也为1，故满足条件的点共有6个． 【详解】解：如图， 这样的点共有6个． 故选：． 5．（2024·河北邢台·三模）五条线段的长度分别为3，4，m，n，14（m，n均为整数，且），已知任意相邻的三条线段为边长均能构成三角形，则n的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．11 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握任意两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，，则m的值为5或6． 若，，n最大取8，而5，8，14不能构成三角形； 若，，n的值为7或8或9，只有6，9，14能构成三角形， 所以． 故选：C． 6．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质；熟练掌握三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 连接，由题意得，，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：， ∴，，， ∴， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在中，点为中点，连接．点为上一点，连接交于．若，，则 ．    【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线与线段倍和差求面积，连接，由，， 得，又点为中点，则，，设，从而有，解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，    ∵，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴，， 设， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，是的中线，，若的周长比的周长大，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，根据中线的定义得出，由的周长比的周长大，得，代入即可求解，熟练掌握三角形中线的有关计算是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， 由的周长为，的周长， ∵的周长比的周长大， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，先利用网格求出四边形面积，再根据三角形的面积等于四边形面积的，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵三角形的面积等于四边形面积的，P是y轴正半轴上一点， ∴，解得：， 则点P的坐标为， 故答案为：． 10．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）图1是一款充电夹子式折叠台灯，图2为其平面示意图，该台灯放在水平的桌面上，为支架连杆，为台灯灯面，它们可绕连接点旋转，已知，台灯长，在旋转接点的过程中，点之间的最大距离是 ．若，则 度． 【答案】 50 83 【分析】连接，交于点G，根据题意，继而得到即，当三点共线时，取得最大值，结合，解答即可；过C作，过B作，结合，得到，利用平行线的性质解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形不等式，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】如图，连接，交于点G， 根据题意，得， ∴即， 当三点共线时，取得最大值， ∵， ∴的最大值为， 故答案为：50； 过C作，过B作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：83． 11．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，在的方格纸中，的顶点均在格点上，画图并填空： (1)将向左平移格，再向上平移格，请在图中画出平移后的． (2)画出的高和中线． (3)点为格点且（点与点不重合），这样的点共有______个． 【答案】(1)图见详解 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—平移变换，三角形的高和中线，熟练掌握作图技巧是解题的关键；（1）分别作出，，都是对应点，，，然后顺次连接即可；（2）根据三角形的高和中线的定义画出图形即可；（3）过作的平行线，平移至，根据图象可得结论． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，高和中线，即为所求； （3）解：如图，过作的平行线，平移至， 则使的点共有个 故答案为： 12．（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）已知：、、为的三边长，且、满足． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查绝对值的非负性、平方的非负性和三角形三边关系，解一元一次不等式，解题的关键是利用非负性求出，的值． （1）利用非负性求出，的值，再利用三角形三边关系，即可求解； （2）根据第题意，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 解得，， ，， ∴． （2）解：∵， ． 13．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，，是三角形的边上的一点，三角形经过平移后得到三角形，点的对应点为． (1)请画出三角形，并写出三角形的三个顶点坐标； (2)求三角形的面积； (3)轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)图见解析，；； (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查平移的性质和利用网格求面积， 根据题意求得平移方式向左平移2个单位，再向下平移3个单位，利用平移方式即可画出图形并求得对应坐标； 利用网格正方形面积和三角形面积即可； 设，则，由第（2）知的面积为7，则的面积为7，列出求解m即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点为 ∴向左平移2个单位，再向下平移3个单位， 如图所示，即为所作． ∵，，， ∴；；； （2）解：的面积为：； （3）解：设， ， ， ∵的面积为7， ∴的面积为7， ， 解得：或9， 或． 14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）如图，三角形的顶点坐标分别为，，． (1)求三角形的面积； (2)将三角形先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，画出平移后的三角形，并写出各顶点坐标； (3)若三角形内一点平移后的对应点的坐标为，平移方式与（2）中相同，求的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，， (3)5 【分析】本题主要考查平移的性质、利用网格求面积和求代数式的值， （1）利用网格和割补法即可求得面积； （2）结合给定的平移方式即可画出平移后的图形，求出平移后的点； （3）根据给定的平移方式列出方程求解即可． 【详解】（1）解： （2）解：如图所示就是所求作的图形 ，， （3）解：由（2）可得，解得， ∴，  ∴的值为5． 15．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点，，，，其中． (1)求证：． (2)如图2，连接，若点在线段上． ①求的值．（用含n的式子表示） ②若的面积等于的面积的1.5倍，比较与的大小关系． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查了坐标与图形，用代数式表示式，三角形面积，等高模型，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用等高模型解决面积问题，学会构建方程解决问题， （1）根据坐标点的特点可得出轴，轴，即可得出结论； （2）①过点M作于点F，过点A作于点E，过点M作于点G，连接，首先表示出各点坐标，表示出，，，，根据三角形面积即可得出结果； ②过点M作于点G，先得出，利用以及的面积等于面积的1.5倍，列出方程组求出结果，即可求出M点坐标为，结合B点坐标可得出，从而得出结论． 【详解】（1）证明：如图: ∵，， ∴轴， ∴， ∵，， ∴轴， ∴， ∴； （2）①过点M作于点F，过点A作于点E， 过点M作于点G，连接， ∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， ∴； ②过点M作于点G， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于面积的1.5倍， ∴，解得：， 又由①知， ，解得：， 所以M点坐标为． ∵， ∴轴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$