精品解析：广东省深圳外国语学校2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年深圳外国语学校八年级（下）期末 数学试卷 命题人：初一数学组 审题人：初一数学组 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x= D. x≠ 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得，2x-3≠0， 解得，x≠， 故答案为：D． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 2. 如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（ ） A. 点N B. 点 C. 点 D. 点 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的位似、位似中心等知识，熟练掌握寻找位似中心的作图方法是解决问题的关键．根据题意，结合位似中心的定义及作法：成位似关系的两个图形的对应点的连线交于位似中心，数形结合，作出图形即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 点为位似中心， 故选：B． 3. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断．本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得， 故， 故选B． 4. 如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D、E，F，若，，则的长为（　　） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，据此可得答案． 详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答． 【详解】设蜡烛火焰的高度是， ， ， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即䇎烛火焰的高度是． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 6. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似图形的性质，相似图形的对应边成比例，面积比等于相似比的平方．证明，从而可得答案． 【详解】解：∵矩形矩形，，， ∴，， ∴， 故选：C． 7. 在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有人,则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设参加游览的同学共x人，则原有的几名同学每人分担的车费为：元，出发时每名同学分担的车费为：元，根据每个同学比原来少摊了3元钱车费即可得到等量关系． 【详解】设参加游览的同学共x人，根据题意得： 3． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是首先弄清题意，根据关键描述语，找到合适的等量关系；易错点是得到出发前后的人数． 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， ， ， 的取值范围是：且． 故选：A． 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，求出，然后通过，进一步求出即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 已知，那么_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是比例的基本性质，根据比例的基本性质可得，由，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知关于x的方程有一个根为，则m为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，理解方程的解的意义是解答的关键．将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程即可解答． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴， 解得：， 故答案为：6． 13. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质．熟练掌握正方形的性质，余弦，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可求，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 14. 如图，在直角中，，四边形为的内接正方形，若在内取一点，这点取自正方形的概率为________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，求出△ABC面积，利用相似性质，求出正方形边长和面积，利用面积的比，即可求出概率． 【详解】解：在直角中，，，． ，． 四边形为的内接正方形． ．． ． 即：． ． 正方形的面积为：． 在内取一点，这点取自正方形的概率为． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质、勾股定理、概率的公式，比较综合，关键在于求出相应图形的面积，属于拔高题． 15. 如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先证明，，，可得，，如图，过作，可得，，可得，设，则，再建立方程求解即可 【详解】解：∵等腰中，，，N为边上中点， ∴，，， ∵， ∴，， 如图，过作， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，经检验符合题意； ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法，利用平方根的含义解方程； （1）找出方程的最简公分母为，去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，将x的值代入检验即可得到原分式方程的解； （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可； 【小问1详解】 解：， 方程两边都乘以后得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：或； 17. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键． 先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值． 【详解】解：原式， 当时，原式． 18. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以计算出从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率； （2）根据题意可以画出相应的树状图，然后即可求出摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【小问1详解】 由题意可得，数字1，1，2，3中，数字1有2个， 所以，从袋中机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为， 故答案为：； 小问2详解】 树状图如下： 由上可得，一共有16种等可能性，其中两数之积是偶数的可能性有7种， 摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 【点睛】本题考查列表法与树状图法、概率公式，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率． 19. 某商场销售一种学生用的计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台．根据市场调查，发现如果每台计算器的售价每上涨1元，每周就会少卖10台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元． （1）设每台售价上涨x元，每周的销售量为y台，则y与x之间的函数关系式为______； （2）当计算器售价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？（主要步骤列方程解答） 【答案】（1） （2）当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元． 【解析】 【分析】本题考查是一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解本题的关键； （1）由实际销售量等于原来销量减去减少的销量即可得到关系式； （2）由每件计算器的利润乘以销售数量建立方程求解即可； 【小问1详解】 解：由题意可得：； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴， 解得，，， ∵， ∴符合题意， ∴此时计算器的售价为（元）， 即当计算器定价为32元时，商场每周的利润恰好为1680元． 20. 如图，中，，，D为边上一点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）5 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质， （1）根据对应边成比例且夹角相等判定相似； （2）利用相似三角形的性质即可求得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴ ∴， ∵， ∴． 21. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 【答案】（1）该方程不是“邻2根方程” （2）或 【解析】 【分析】本题以新定义题型为背景，考查了一元二次方程的求解． （1）求解方程，即可进行判断． （2）利用因式分解求解方程，根据该方程是“邻2根方程”即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵， 故该方程不是“邻2根方程”． 【小问2详解】 解：∵ ∴． ∴． 由题意得：或， 解得：或． 22. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）由四边形为矩形，得到一对直角相等，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质，以及同角的补角相等得到，利用相似三角形对应边成比例即可得证． （4）过点C作于点M，作于点N，连接，设，利用三角形全等，相似和勾股定理，解得即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴； （2）∵四边形是矩形，，， ∴，,， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵四边形为平行四边形， ∴，， 如图，在的延长线上取点，使， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． （4）过点C作于点M，作于点N，设， ， 四边形为矩形，， 为公共边， ， ， ， ， ，即， ， 在中，， 即， 解得（舍），或， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握和运用各图形的性质和定理进行推理是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023—2024学年深圳外国语学校八年级（下）期末 数学试卷 命题人：初一数学组 审题人：初一数学组 一、选择题（共10小题，每题3分） 1. 若分式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. x> B. x< C. x= D. x≠ 2. 如图，在正方形网格中，两个阴影部分的格点三角形位似，则位似中心为（ ） A. 点N B. 点 C. 点 D. 点 3. 如果方程是关于x的一元二次方程，则p的值是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4. 如图，直线，直线依次交于点A，B，C，直线依次交于点D、E，F，若，，则的长为（　　） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2 5. 两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（ ） 图1 图2 A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，，点E，F分别在，上，且，矩形与矩形相似，则矩形的面积为（ ） A. 16 B. C. D. 7. 在阳明山国家森林公园举行中国·阳明山“和”文化旅游节暨杜鹃花会期间,几名同学包租一辆车前去游览,该车的租价为180元,出发时,又增加了两名同学,结果每名同学比原来少分摊了3元车费.设参加游览的学生共有人,则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 10. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作于点F，交于点E．已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分） 11. 已知，那么_____． 12. 已知关于x的方程有一个根为，则m为______． 13. 如图，正方形的边长为3，点E为边的中点，连接，与相交于点F，则的长为______． 14. 如图，在直角中，，四边形为的内接正方形，若在内取一点，这点取自正方形的概率为________________． 15. 如图，在等腰中，，P为边上的动点，于点M，连接并延长交于点N，当N为边上中点时，若，则______． 三、解答题（共8小题） 16. 解方程： （1） （2） 17. 先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值． 18. 一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是1，1，2，3，这些小球除标有的数字外都相同． （1）从袋中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标有的数字是1的概率为 　　； （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是偶数的概率． 19. 某商场销售一种学生用的计算器，进价为每台20元，售价为每台30元，每周可卖160台．根据市场调查，发现如果每台计算器的售价每上涨1元，每周就会少卖10台，但厂家规定最高每台售价不能超过33元． （1）设每台售价上涨x元，每周的销售量为y台，则y与x之间的函数关系式为______； （2）当计算器售价为多少元时，商场每周的利润恰好为1680元？（主要步骤列方程解答） 20. 如图，中，，，D为边上一点，． （1）求证：； （2）如果，求的长． 21. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“邻2根方程”．例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻2根方程”． （1）通过计算，判断方程是否是“邻2根方程”； （2）已知关于x的一元二次方程（m是常数）是“邻2根方程”，求m的值． 22. 已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】 （1）如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】 （2）如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】 （3）老师上课时提出这样的问题：如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：； 小圳同学冥思苦想不得其解，提问到：在做题过程中，我先将转化成：，发现与显然不相似，所以没办法直接得出，怎么办呢？ 老师提示说：你是不是可以考虑引入一个桥梁或者考虑下添加辅助线来帮助解题呢？ 同学们，请你帮助小圳同学解决此题，写出完整证明过程； （4）如图4，若，，，于G，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $