专题1.8 正方形的性质与判定（题型分类拓展专题）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.8 正方形的性质与判定（题型分类拓展专题） 【题型目录】 【题型1】正方形中的作图问题； 【题型2】正方形中的折叠问题； 【题型3】正方形中的最值问题； 【题型4】正方形中的平移问题； 【题型5】正方形中的旋转问题； 【题型6】正方形中动点问题. 1、 单选题（每个题型2个题） 【题型1】正方形中的作图问题； 1．（2023·广东深圳·三模）如图所示，按以下操作方式：1．以线段为边作正方形；2．取的中点E，连接；3．以E点为圆心，为半径画弧，交的延长线于点F；4．再以A点为圆心为半径画弧，交边于点G；则线段的值为（    ） A． B． C． D． 2．（18-19八年级下·山西吕梁·期末）如图，正方形的对角线、交于点，以为圆心，以长为半径画弧，交于点，连接，则的度数为（    ） A．45° B．60° C．67．5° D．75° 【题型2】正方形中的折叠问题； 3．（2024·安徽淮南·二模）如图，E，F两点分别在正方形的边上，，沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在正方形中，，点E，F分别在边上，．若将四边形沿折叠，点B恰好落在边上，则的长度为（    ） A．1 B． C． D．2 【题型3】正方形中的最值问题； 5．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）如图，点P，Q分别是菱形的边，上的两个动点，若线段长的最大值为，菱形的边长为10，则线段长的最小值为（    ） A． B．8 C．6 D． 6．（23-24八年级下·广东惠州·期中）如图，正方形的面积为6，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（    ） A．3 B．6 C． D． 【题型4】正方形中的平移问题； 7．（2023·天津河西·模拟预测）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则重叠部分的小正方形边长为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（    ）    A． B． C． D． 【题型5】正方形中的旋转问题； 9．（23-24九年级上·重庆江津·期末）如图，正方形的边长为4，，将绕点按顺时针方向旋转得到．若，则的长为(     ) A．3 B． C． D．4 10．（23-24九年级下·广东江门·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，按如图所示放置正方形，D为上一点，其坐标为，将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转2025秒后点D的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【题型6】正方形中动点问题. 11．（23-24八年级下·山东德州·期中）如图，在正方形中，点M，N为边和上的动点（不含端点），若则的周长是（   ） A． B．2 C． D．4 12．（2024·四川泸州·中考真题）如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是（    ）    A．4 B．5 C．8 D．10 2、 填空题（每个题型2个题） 【题型1】正方形中的作图问题； 13．（23-24八年级下·吉林四平·期中）如图，在正方形中，按以下步骤作图：连接相交于点；分别以点为圆心，以大于长为半径画弧，两弧相交于点；连接，交于点，连接，若，则的长为 ． 14．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）如图，以正方形的顶点A为圆心，以的长为半径画弧，交对角线于点E，再分别以D，E为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于图中的点F，连接并延长，与的延长线交于点P，则 ． 【题型2】正方形中的折叠问题； 15．（22-23八年级下·江苏南京·期末）将正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合，折痕交于点E，交折痕于点H，已知正方形的边长为4，则的长度为 ．    16．（2023·江苏徐州·模拟预测）如图，将边长为的正方形折叠，使得点落在上的点处．若折痕的长为，则 ． 【题型3】正方形中的最值问题； 17．（19-20八年级下·浙江金华·期中）如图，点P，Q分别是菱形的边、上的两个动点，若线段长的最大值为，最小值为8，则菱形的边长为 ． 18．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当 时，的值最小． 【题型4】正方形中的平移问题； 19．（2024·内蒙古包头·一模）如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ． 20．（23-24八年级下·四川泸州·阶段练习）如图，正方形的顶点A，分别在轴，轴上，点在直线：上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为 ． 【题型5】正方形中的旋转问题； 21．（2024·云南楚雄·三模）如图，点是正方形内部一点，连接，将绕点旋转一定角度得到，当三点共线时，的度数为 ． 22．（23-24八年级下·四川成都·阶段练习）喜欢数学的小西同学在学习旋转的时候想到了一个新的定义：对于线段，先将线段绕点M逆时针旋转，再绕点N顺时针旋转，我们称点P为线段的“双旋点”．如图，已知直线与x轴和y轴分别相交于点A，则线段的“双旋点”P的坐标为 ． 【题型6】正方形中动点问题. 23．（23-24八年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，正方形的边长为，点E是边的中点，点F是边上不与点A、D重合的一个动点，将沿直线折叠，使点A落在点处．当为等腰三角形时，的长为 ． 24．（2024·河南许昌·一模）正方形的边长为8，点在边上，且，点是正方形边上的一个动点，连接交于点，若，则的长为 ． 3、 解答题（每个题型1个题） 【题型1】正方形中的作图问题； 25．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）如图，在正方形中，连接，以点B为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点E，连接，过点B作，垂足为点F，交于点G． (1)写出图中一对全等三角形 ． (2)求的度数． 【题型2】正方形中的折叠问题； 26．（2022·广东珠海·一模）如图，E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点，将△ABF沿BF折叠，点A落在点Q处，连接FQ并延长，交DC于G点． (1)求证：CE＝BF； (2)若AB＝4，求GF的值． 【题型3】正方形中的最值问题； 27．（23-24八年级下·福建泉州·期中）某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形中，，P为对角线上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角． (1)的最小值为_______，最大值为________； (2)求证：点M在射线上； 【题型4】正方形中的平移问题； 28．（20-21九年级上·广东深圳·开学考试）如图，BD 是正方形ABCD的对角线，BC=2, 边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP. (1)请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形? (2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明. 【题型5】正方形中的旋转问题； 29．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点G，连接．   (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求． 【题型6】正方形中动点问题. 30．（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，则__________； (2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接． ①求的大小； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】令正方形的边长为，则根据勾股定理求得，推得，即可求得． 【详解】解：令正方形的边长为，则， 由题可知，，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 即， 则， 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质，勾股定理等，根据题意得到，是解题的关键． 2．C 【分析】由正方形的性质得出∠CBD =45°，证明△BCE是等腰三角形即可得出∠BCE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBD =45°，BC =BA, ∵BE= BA， ∴BE= BC， ∴∠BCE=(180°-45°)÷2=67.5°. 故选：C． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形和等腰三角形的性质进行求解是解决问题的关键． 3．B 【分析】本题考查了正方形的性质以及折叠性质，勾股定理等知识内容，根据正方形性质得出，结合折叠性质得，运用勾股定理列式得，整理得，即可作答． 【详解】解：如图： 设， ∵四边形是正方形，， ∴， ∵沿折叠，沿折叠，使得B，D两点重合于点G ．且E，G，F在同一条直线上， ∴， 在中，由勾股定理有：， 即， 整理得出， 则， 故选：B． 4．D 【分析】本题考查正方形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练运用以上性质；根据可得根据折叠后对应角相等、对应边相等，可得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，设，则，列方程求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 将四边形沿折叠，点B恰好落在边上， ， ， 设，则， ， ， ， 故选：D． 5．B 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=，利用勾股定理求出AH，再由当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH的长． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即AC=， ∵菱形的边长为10，即AB=BC=10， 设BH=x，则AH=10+x， 则， 即， 解得：x=6， ∴AH=16， ∴CH==8， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为8，即CH=8， 故选B． 【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 6．D 【分析】连接．由正方形的对称性可知，则，依据两点之间线段最短可知当点、、在一条直线上时，有最小值，最小值，然后依据正方形和等边三角形的性质求解即可． 本题主要考查的是正方形的性质、轴对称最短路径问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，明确当点、、在一条直线上是，有最小值是解题的关键． 【详解】解：连接． 点与关于对称， ， ． 由两点之间线段最短可知当点为点处时，有最小值，最小值． 正方形的面积为6， 又是等边三角形， ． 的最小值为． 故选：D． 7．C 【分析】由有题意可知，，从而求出，设重叠部分的小正方形边长为由勾股定理求解即可． 【详解】解：由有题意可知， ， 设重叠部分的小正方形边长为 则有 解得： 故选：C． 【点拨】本题考查平移性质、正方形的性质及勾股定理解直角三角形，熟练掌握平移性质是解答的关键． 8．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论． 【详解】将代入中 直线得函数解析式为 过作轴于，过作轴于    如图所示：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 同理可证 ，， ， 平移后 将代入中 故选：D 9．C 【分析】本题考查旋转的性质、勾股定理及全等三角形的判定与性质．利用三角形全等得出，再利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：由旋转可知， ， ，，，． 又四边形是正方形， ，， ， 则． 在和中， ， ， ． 令， 则，，． 在中， ， 即， 解得， 即． 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查了点坐标规律的探索，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，正确找到旋转2025秒后点的位置是解题的关键．根据旋转4秒恰好旋转，说明旋转2025秒后点在x轴下方，且，再求出点的坐标即可． 【详解】解：将正方形绕坐标原点O顺时针旋转，每秒旋转，旋转4秒恰好旋转， …1， ∴点在x轴下方，且， 过点D作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 故选：D 11．D 【分析】本题主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，先将绕点A顺时针旋转得，再根据条件证得与，得出的周长为，进而求解． 【详解】解：如图，将绕点A顺时针旋转得， 则，， 四边形是正方形， ，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的周长为： ， ， 的周长为． 故选：D． 12．B 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质，勾股定理等等，先证明得到，进而得到，则由直角三角形的性质可得，如图所示，在延长线上截取，连接，易证明，则，可得当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，求出，在中，由勾股定理得，责任的最小值为5． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点M是的中点， ∴； 如图所示，在延长线上截取，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为5， 故选：B． 13． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，正方形的性质，勾股定理，由作图可知，垂直平分，利用正方形的性质和勾股定理可得，，再由勾股定理即可求出的长，由作图得出垂直平分是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了尺规作图——作角平分线，正方形的性质，根据作图的步骤推知是的角平分线，是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 由作图可知为的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】根据题意得，垂直平分，，，，则，即，根据得，即，根据勾股定理得，，则，进行计算即可得． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为4， ∴， ∵正方形纸片对折，展开得到折痕，再次折叠，使顶点D与点M重合， ∴垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，等角对等边，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 16．9 【分析】本题主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 作于，连接， 则四边形是矩形， ， 由翻折知，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 故答案为：9． 17．10 【分析】过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即，当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AC，直线BD的距离为8，由面积法可求CH=8，由勾股定理可求解． 【详解】解：如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB=BC， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即， 当PQ⊥BC时，PQ有最小值，即直线AD，直线BC的距离为8， ∵S菱形ABCD=AD×8=AB×CH， ∴CH=8， ∴， ∵BC2=CH2+BH2， ∴BC2=（16-BC）2+64， ∴BC=10， 故答案为：10． 【点拨】本题考查了菱形的性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 18．2 【分析】在上截取，使得，连接，交于点T， 得到，继而得到点F是点N关于直线的对称点，利用三角形不等式，垂线段最短原理，正方形的判定和性质证明即可． 【详解】在上截取，使得， ∵矩形中，的平分线交边于点E， ∴，， 连接，交于点T， ∴， ∴点F是点N关于直线的对称点， ∴， 连接， 则， 根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小， ∵矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 同理可证，四边形是正方形， ∴， 故答案为：2． 【点拨】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，三角形不等式，垂线段最短，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握三角形不等式，垂线段最短，正方形的判定和性质是解题的关键． 19． 【分析】本题考查了平移的性质，正方形的性质，勾股定理．连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， 依题意，，， 又， ∴， 故答案为：． 20． 【分析】过B作于M，过C作于N，根据定理证得，，根据全等三角形的性质求出C点的坐标为，由待定系数法求出直线l的解析式为，设平移后点C的坐标为，代入解析式即可求出m． 【详解】解：过B作于M，过C作于N， ， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 同理可证， ，， ， ， ∵点在直线上， ， ， ∴直线l的解析式为， 设正方形沿y轴向右平移m个单位长度后点C的坐标为， ∵点C在直线l上， ， 解得： 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了一次函数图象上点的特征，正方形的性质，坐标与图形的变化-平移，全等三角形的判定与性质定理，根据定理证得，，求出C点的坐标是解决问题的关键． 21． 【分析】本题考查了正方形的性质以及旋转性质，根据正方形的性质得，结合旋转性质得出，，则为等腰直角三角形，因为点共线，即可列式进行计算作答． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵由旋转得到， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵点共线， ∴， ． 故答案为： 22． 【分析】根据直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B，得到，从而得到，根据题意，得，继而得到，过点P作于点G，继而得到，过点B作交于点Q，过点A作于点D，解直角三角形计算即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于点A，点B， ∴， ∴， 根据题意，得， ∴， ∴， 过点P作于点G，过点B作交于点Q， ∴， ∴， ∴， 过点A作于点D，    ∴四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点， 故答案为：． 【点拨】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，平行线的性质，正方形的判定和性质，坐标与线段的关系，熟练掌握旋转性质，直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 23．或 【分析】本题考查翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解答本题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题．首先证明，只要分两种情形讨论即可：当时，连接．构建方程即可；当点F在中点时，满足条件． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的边长为，点E是边的中点， ∴， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， 当时，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点三点共线， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即； 如图，当点F为的中点时， 由折叠的性质得：． ∴四边形是菱形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 即垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴垂直平分， ∴，此时为等腰三角形，满足条件， 此时； 综上所述，的长为或． 故答案为：或 24．或 【分析】本题考查正方形的性质，三角形全等判定与性质，勾股定理．分在上和点在上两种情况讨论，利用三角形全等判定与性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形的边长为8， ∴，， 当点在上时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点在上时，如图， 同理， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：或． 25．(1)（答案不唯一） (2)的度数为 【分析】本题考查正方形性质、全等三角形的判定、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． （1）根据已知写出一对全等三角形即可； （2）由四边形是正方形，可得，而，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （2）∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴； ∴的度数为． 26．(1)见解析 (2)GF的值为． 【分析】（1）先判断出AF=BE，进而得出△FAB≌△EBC（SAS），即可得出结论； （2）连接BG，根据HL证明Rt△BQG≌Rt△BCG，得QG=GC，设QG=b，在Rt△DFG中，根据勾股定理列方程可得b，从而可得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠A=∠ABC=90°， ∵E、F分别是正方形ABCD边AB、AD的中点， ∵AF=BE， ∴△FAB≌△EBC（SAS）， ∴CE=BF； （2）解：如图，连接BG， 由折叠得：AB=BQ，∠BQF=∠A=90°， ∵AB=BC， ∴BC=BQ， ∵BG=BG， ∴Rt△BQG≌Rt△BCG（HL）， ∴QG=GC， ∵AB=4，F是正方形ABCD边AD的中点， 设QG=b， 则DF=AF=FQ=2，FG=2+b，DG=4-b， 在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2， ∴， ∴b=，即QG=， ∴GF=FQ+QG=2+=． ∴GF的值为． 【点拨】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是本题的关键． 27．(1)4， (2)见解析 【分析】（1）当点P运动到对角线的中点时，值最小；当点P运动到点A或点C时，最大； （2）分点P在线段与两种情况讨论，连接，过M作于E，证明，可得出，进而求出，然后证明B、C、M在同一条直线上即可． 【详解】（1）解：由于点P运动到与垂直时，根据“垂线段最短”可知最短，则最短，此时与对角线重合，与重合， ∴． 由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此最长，此时：， 则， 故答案为：4，； （2）证明：连接，连接交于点，过M作于E， ①如图，当点在线段上时， ∵正方形， ∴，，，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴B、C、M三点共线， ∴点在线段的延长线上． ②如图，当点在线段上时，    同理， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴ ∴B、C、M三点共线， ∵点在线段上． 综上所述，点在射线上上． 【点拨】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等相关知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 28．（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP；OA⊥OP；证明见解析. 【分析】（1）根据正方形性质和平移得：AD∥PQ，AD＝PQ，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得：APQD是平行四边形； （2）OA⊥OP，OA＝OP，理由是：根据SAS证明△ABO≌△PQO，得OA＝OP，∠AOB＝∠POQ，再根据∠BOQ＝90°，得∠BOP＋∠AOB＝90°，得出结论． 【详解】（1）四边形APQD是平行四边形，理由是： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝BC，AD∥BC， 由平移得：BC＝PQ， ∴AD∥PQ，AD＝PQ， ∴四边形APQD是平行四边形； （2）解：OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， 在△AOB和△OPQ中， ∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP． 【点拨】本题考查了正方形和平移的性质，明确正方形的各边相等且平行，每个角都是90°，且一条对角线平分一组对角；在证明两条线段的位置关系时，要分别说出位置和大小关系，根据全等三角形的性质得出即可． 29．(1)正方形，理由见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，又由可得，由此得四边形是矩形，又由得四边形是正方形． （2）过点D作于H，则可得，进而可得，，在中，根据勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）四边形是正方形，理由如下：      ∵将点B按顺时针方向旋转， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； （2）如图，过点D作于H，    ∵四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， ， 在中，． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 30．(1)15 (2)①；②，见解析 【分析】（1）利用正方形性质得到，利用等边三角形性质得到，进而得到，利用对称的性质得到，再利用计算求解，即可解题； （2）①利用正方形性质得到，，利用对称的性质得到，，进而得到，设，分别利用等腰三角形性质得到，，再根据计算求解，即可解题； ②过点作交于点，连接，理由直角三角形性质和正方形性质证明，进而得到，再理由勾股定理求解，即可解题， 【详解】（1）解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ， 点C关于直线的对称点为F， ， ， 故答案为：． （2）解：①四边形是正方形， ，， 点C关于直线的对称点为F， ，， ， 设， ， ， ； ②解：数量关系为：， 理由如下： 过点作交于点，连接， ， ， ，， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 即． 【点拨】本题主要考查了正方形性质，等边三角形性质，对称的性质，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，掌握相关性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$