2.1 圆的方程（八大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1 圆的方程 课程标准 学习目标 本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力． 1、理解并掌握确定圆的几何要素． 2、理解并探求圆的标准方程和一般方程． 3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法． 4、理解并掌握点与圆的位置关系. 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 【即学即练1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练2】（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【即学即练3】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 知识点04 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【即学即练4】（2024·高二·上海·课后作业）设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 题型一：圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2024·高二·山西大同·阶段练习）（1）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知圆的圆心在直线上，且过点，，求圆的标准方程. 【典例1-2】（2024·高二·甘肃临夏·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程. 【方法技巧与总结】 一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 【变式1-2】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）平面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程． 【变式1-3】（2024·高二·山西朔州·阶段练习）求下列圆的方程 (1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； (2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【典例2-2】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【方法技巧与总结】 一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式2-1】（2024·山东威海·一模）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为 . 【变式2-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）若直线与两坐标轴交点为，，则过、及原点三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 题型三：点与圆的位置关系的判断 【典例3-1】（2024·全国·高二专题练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【典例3-2】（2024·四川巴中·高二统考期末）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【方法技巧与总结】 点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为，半径为，则点在圆内；点在圆上；点在圆外．从数的角度来看，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，则点在圆上；点在圆外；点在圆内． 【变式3-1】（2024·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【变式3-2】（2024·高二·天津和平·阶段练习）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【变式3-3】（2024·高二·江西宜春·期中）已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 题型四：求动点的轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【典例4-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【变式4-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【变式4-2】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【变式4-3】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【变式4-4】（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    题型五：二元二次曲线与圆的关系 【典例5-1】（2024·高二·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例5-2】（2024·高二·河北·期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（    ） A．当时为圆 B．当时不可能为直线 C．当方程为圆时，，满足 D．当方程为直线时，直线方程 题型六：圆过定点 【典例6-1】（2024·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【典例6-2】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式6-1】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 题型七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·高二·河南开封·期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 【变式7-1】（2024·高二·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式7-2】（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-3】（2024·高二·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 题型八：圆的实际应用 【典例8-1】（2024·高二·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【典例8-2】（2024·高二·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论． 【变式8-1】（2024·高二·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【变式8-2】（2024·高二·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    【变式8-3】（2024·高二·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 1．（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·高二·宁夏银川·阶段练习）已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 5．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 10．（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 11．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知点A是圆上任意一点，点A关于直线的对称点也在圆C上，则实数a的值为（    ） A．10 B． C． D．4 13．（2024·高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 14．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程． 15．（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 16．（2024·高二·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 17．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 18．（2024·高二·湖南·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 19．（2024·高二·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 20．（2024·高二·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.1 圆的方程 课程标准 学习目标 本章以“圆”为载体，再次实践和感悟运用解析几何思想研究问题的一般思路．通过本章的学习，学生将在类比直线的研究方法的基础上，进一步体会和掌握在平面直角坐标系中建立圆的方程，进而运用方程研究圆的几何性质及直线和圆、圆和圆的相互位置关系，体会数形结合的思想，逐步形成用代数方法解决几何问题的能力． 1、理解并掌握确定圆的几何要素． 2、理解并探求圆的标准方程和一般方程． 3、理解并掌握圆的标准方程和一般方程的求法． 4、理解并掌握点与圆的位置关系. 知识点01 圆的标准方程 ，其中为圆心，为半径． 知识点诠释： （1）如果圆心在坐标原点，这时，圆的方程就是．有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x轴上：b=0；圆与y轴相切时：；圆与x轴相切时：；与坐标轴相切时：；过原点： （2）圆的标准方程圆心为，半径为，它显现了圆的几何特点． （3）标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径．由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a、b、r这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法． 【即学即练1】（2024·高二·河北邯郸·期末）已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 知识点02 点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有 （1）若点在圆上 （2）若点在圆外 （3）若点在圆内 【即学即练2】（2024·高二课时练习）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【解析】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 知识点03 圆的一般方程 当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径． 知识点诠释： 由方程得 （1）当时，方程只有实数解．它表示一个点． （2）当时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形． （3）当时，可以看出方程表示以为圆心，为半径的圆． 【即学即练3】（2024·高二·浙江宁波·期中）过三点的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设圆的方程为，将A，B，C三点的坐标代入方程， 整理可得，解得， 故所求的圆的一般方程为， 故选：D． 知识点04 轨迹方程 求符合某种条件的动点的轨迹方程，实质上就是利用题设中的几何条件，通过“坐标法”将其转化为关于变量之间的方程． 1、当动点满足的几何条件易于“坐标化”时，常采用直接法；当动点满足的条件符合某一基本曲线的定义（如圆）时，常采用定义法；当动点随着另一个在已知曲线上的动点运动时，可采用代入法（或称相关点法）． 2、求轨迹方程时，一要区分“轨迹”与“轨迹方程”；二要注意检验，去掉不合题设条件的点或线等． 3、求轨迹方程的步骤： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【即学即练4】（2024·高二·上海·课后作业）设平面上有一条长度为4的线段，试建立适当的平面直角坐标系，求： (1)到线段两端点的距离的平方差为16的点的轨迹方程； (2)到线段两端点的距离的平方和为16的点的轨迹方程． 【解析】（1）如图取中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，则有、． 设点到、两点的距离的平方差为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程为，其轨迹是两条垂直于轴的直线． （2）设点到、两点的距离的平方和为16， 则，化简得． 因此，所求轨迹方程，其轨迹是以为直径的圆． 题型一：圆的定义及标准方程 【典例1-1】（2024·高二·山西大同·阶段练习）（1）已知直线经过两条直线和的交点，且与直线垂直，求直线的方程； （2）已知圆的圆心在直线上，且过点，，求圆的标准方程. 【解析】（1）由，得，即两直线的交点为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为1， 所以直线的方程为，即 （2）因为，，所以线段的中点为，， 所以线段的垂直平分线方程为， 由，得， 所以圆的圆心坐标为， 所以圆的半径为， 所以圆的标准方程为 【典例1-2】（2024·高二·甘肃临夏·阶段练习）已知圆C的圆心在y轴上，且经过，两点，求圆C的标准方程. 【解析】点，，则线段的中点坐标为，显然线段的中垂线过点， 而点在y轴上，因此圆C的圆心坐标为，半径， 所以圆C的标准方程为. 【方法技巧与总结】 一般情况下，如果已知圆心或易于求出圆心，可用圆的标准方程来求解，用待定系数法，求出圆心坐标和半径．确定圆的方程的主要方法是待定系数法，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直接求出圆心和半径r，一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为； （2）根据已知条件，建立关于a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中去，就得到所求圆的方程． 【变式1-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知圆C的半径为，圆心在直线上，且过点，求圆C的标准方程. 【解析】因为圆心在直线上，， 所以设圆心为. 所以圆C的标准方程为. 因为圆C过点， 所以. 解得或-1. 所以圆心C的坐标是或. 所以所求圆C的标准方程是或. 【变式1-2】（2024·高二·河北石家庄·阶段练习）平面直角坐标系中，圆C过点，和点，且圆心C在直线上，求圆C的标准方程． 【解析】设圆C的圆心为，半径为， 则圆C标准方程为， 由题意，则， 解得， 故圆C的标准方程为. 【变式1-3】（2024·高二·山西朔州·阶段练习）求下列圆的方程 (1)若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，求圆的标准方程； (2)过点的圆与直线相切于点，求圆的标准方程． 【解析】（1）点关于直线对称的点为， 圆是以为圆心，为半径的圆，圆的标准方程为. （2）两点在圆上，圆的圆心在垂直平分线上； ，中点为，的垂直平分线方程为； 直线与圆相切于点，直线与直线垂直， ，直线方程为：，即； 由得：，圆心，半径， 圆的标准方程为. 题型二：圆的一般方程 【典例2-1】（2024·高二·全国·专题练习）过坐标原点，且在x轴和y轴上的截距分别为2和3的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的方程为， 圆过点，和，所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：. 【典例2-2】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知点，，，四点共圆，则 . 【答案】1 【解析】设过，，的圆的方程为，， 则， 解得， 所以过，，的圆的方程为， 又点在此圆上， 所以， 即， 所以， 故答案为：1 【方法技巧与总结】 一般地，当给出了圆上的三点坐标，特别是当这三点的横坐标和横坐标之间、纵坐标和纵坐标之间均不相同时，选用圆的一般方程比选用圆的标准方程简捷；而在其他情况下的首选应该是圆的标准方程，此时要注意从几何角度来分析问题，以便找到与圆心和半径相联系的可用条件． 【变式2-1】（2024·山东威海·一模）在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】设圆的方程为， 将点的坐标分别代入可得， ，解得 则可得圆的方程为 故答案为: 【变式2-2】（2024·高二·山西太原·阶段练习）若直线与两坐标轴交点为，，则过、及原点三点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，设圆的方程为， 则，解得， 则所求圆的方程为. 故选：A. 题型三：点与圆的位置关系的判断 【典例3-1】（2024·全国·高二专题练习）若点在圆的内部，则a的取值范围是（　　）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，半径，所以，把点代入方程， 则，解得，所以故a的取值范围是. 故选：D 【典例3-2】（2024·四川巴中·高二统考期末）点与圆的位置关系是（    ）． A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不能确定 【答案】C 【解析】因为，所以点在圆外． 故选：C 【方法技巧与总结】 点与圆的位置关系，从形的角度来看，设圆心为，半径为，则点在圆内；点在圆上；点在圆外．从数的角度来看，设圆的标准方程为，圆心为，半径为，则点在圆上；点在圆外；点在圆内． 【变式3-1】（2024·全国·高二专题练习）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径，， 故点在圆内. 故选：B 【变式3-2】（2024·高二·天津和平·阶段练习）已知圆C：，则点在（    ） A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．以上情况均有可能 【答案】A 【解析】根据题意，圆C：，点， 则有，故点P在圆外. 故选：A 【变式3-3】（2024·高二·江西宜春·期中）已知圆的标准方程是，则点（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不能确定 【答案】B 【解析】圆 的圆心为，半径为2， 因为， 所以点在圆内. 故选：B 题型四：求动点的轨迹方程 【典例4-1】（2024·高二·广东佛山·期末）已知点，圆上两动点满足，且四边形是矩形． (1)当点在第一象限且横坐标为3时，求边所在直线的方程； (2)求点的轨迹方程． 【解析】（1）设点，由，得，直线的斜率，而， 所以直线的方程为，即. （2）由于线段是圆的弦，则线段的中垂线必过圆心， 又线段的中垂线是矩形的对称轴，因此该对称轴垂直平分线段，即， 显然不重合，当重合时，点重合，则点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除点外）， 所以点的轨迹方程是. 【典例4-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知的斜边为AB，且.求: (1) 外接圆的一般方程; (2)直角边的中点的轨迹方程． 【解析】（1）由题意知，设圆心为，则， ， 故圆的方程为： 即外接圆的一般方程为：. （2） 设，由此解得： 因为C为直角，所以 代入解得：即 配方得：， 又因为三点不共线， 所以 综上：. 【方法技巧与总结】 用直接法求曲线方程的步骤如下： （1）建立适当的直角坐标系，用表示轨迹（曲线）上任一点的坐标； （2）列出关于的方程； （3）把方程化为最简形式； （4）除去方程中的瑕点（即不符合题意的点）； （5）作答． 【变式4-1】（2024·高二·江苏·专题练习）已知等腰三角形的顶点是，底边一个端点是，另一个端点是，求线段中点的轨迹方程． 【解析】设，又，为线段的中点，∴． 由于,所以， 即可， 由于三点不共线，所以且，所以且， ∴中点的轨迹方程为且 【变式4-2】（2024·高二·山东青岛·阶段练习）已知点，动点P满足． (1)求动点P的轨迹方程： (2)若动点Q满足，求动点Q的轨迹方程； 【解析】（1）依题意，设点，又， 因为，即， 化简可得，即， 所以动点P的轨迹方程为； （2）设，又， 因为，所以， 即，得， 由（1）知，所以， 整理得动点Q的轨迹方程为. 【变式4-3】（2024·高二·全国·专题练习）如图，已知点的坐标为，是以点为圆心的单位圆上的动点(不与点重合)，的角平分线交直线于点，求点的轨迹方程． 【解析】由三角形的角平分线的性质，可得，所以， 设点，则， 所以，所以， 因为，所以， 又因为点在圆上，所以，即， 即点的轨迹方程为. 【变式4-4】（2024·高二·河北保定·期中）已知，动点与点的距离是它与点的距离的倍. (1)求点的轨迹方程； (2)如果把倍改成倍，求点的轨迹. 【解析】（1）设点的坐标为，由， 得，化简得， 即. （2）设点的坐标为，由，得， 化简得， 当时，方程为，可知点的轨迹是线段的垂直平分线； 当且时，方程可化为， 点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 【变式4-5】（2024·高二·全国·课后作业）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程.    【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)， 令动点C(x0，y0)，则D(2x0-1，2y0)， 由重心坐标公式得， 则代入， 整理得 故所求轨迹方程为. 题型五：二元二次曲线与圆的关系 【典例5-1】（2024·高二·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，即. 故选：D. 【典例5-2】（2024·高二·河北·期中）若方程表示一个圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为方程表示一个圆，所以，解得． 故选：B 【方法技巧与总结】 方程表示圆的充要条件是，故在解决圆的一般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为，半径 【变式5-1】（多选题）（2024·高二·江苏·假期作业）已知曲线（    ） A．若，则C是圆 B．若，，则C是圆 C．若，，则C是直线 D．若，，则C是直线 【答案】BC 【解析】对于A，当时，， 若，则C是圆； 若，则C是点； 若，则C不存在.故A错误. 对于B，当时，，且， 则C是圆，故B正确. 对于C，当时，，且，则C是直线，故C正确. 对于D，当，时，， 若，则表示一元二次方程， 若，则表示抛物线，故D错误. 故选：BC 【变式5-2】（多选题）（2024·高二·贵州贵阳·阶段练习）方程表示圆的充分不必要条件可以是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】CD 【解析】可化为：， 因为该方程表示圆，故即或， 即方程表示圆的充要条件为或. 因为，均为的真子集， 不是的真子集， 故，均为方程表示圆的充分不必要条件， 故选：CD. 【变式5-3】（多选题）（2024·高二·全国·课后作业）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（    ） A．当时为圆 B．当时不可能为直线 C．当方程为圆时，，满足 D．当方程为直线时，直线方程 【答案】ACD 【解析】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对. 故选：ACD. 题型六：圆过定点 【典例6-1】（2024·高二·河南信阳·期中）圆恒过的定点是 . 【答案】 【解析】圆方程化为， 由解得故圆恒过点. 故答案为： 【典例6-2】（2024·高二·江西南昌·阶段练习）已知圆，点，平面内一定点（异于点），对于圆上的任意动点，都有为定值，定点的坐标为 ． 【答案】 【解析】设，且， ， 因为为定值，设， 化简得：，与点位置无关， 所以， 解得：或， 因为异于点，所以定点N为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 合并参数 【变式6-1】（2024·高二·上海徐汇·期中）对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为 ． 【答案】或 【解析】，即， 令，解得，，或，， 所以定点的坐标是或． 故答案为：或. 【变式6-2】（2024·高三·上海闵行·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点、、，则的外接圆恒过的定点坐标为 【答案】 【解析】设抛物线交轴于点，交轴于点、， 由题意可知，由韦达定理可得，， 所以，线段的中点为，设圆心为， 由可得，解得， ，则，则， 所以，圆的方程为， 整理可得， 方程组的解为. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 题型七：与圆有关的对称问题 【典例7-1】（2024·高二·河南开封·期末）已知圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得，圆的圆心坐标为，半径为，设圆心关于直线的对称点为，则，解得， 所以圆的标准方程为. 故选：A 【典例7-2】（2024·高二·云南临沧·期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称， 得到直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为， 所以，化简得① 再由的中点在直线上，，化简得② 联立①②，可得， 所以圆心的坐标为， 所以半径为3的圆的标准方程为. 故选：C 【方法技巧与总结】 （1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称 （2）圆关于点对称： ①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点 （3）圆关于直线对称： ①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程 ②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线 【变式7-1】（2024·高二·广西玉林·期末）若直线在轴､轴上的截距相等，且直线将圆的周长平分，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】由已知圆，直线将圆平分，则直线经过圆心， 直线方程为，或，将点代入上式，解得 直线的方程为或. 故选：C. 【变式7-2】（2024·高二·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 【变式7-3】（2024·高二·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 题型八：圆的实际应用 【典例8-1】（2024·高二·全国·专题练习）如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（　　） A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米 【答案】B 【解析】设圆心为，半径为，连接，如下图所示， ，则由勾股定理得， 即，解得，所以拱桥的直径为13米. 故选：B. 【典例8-2】（2024·高二·广东·阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】小岛到航线的距离为，解得. 故选：C 【方法技巧与总结】 解应用题的步骤 (1)建模． (2)转化为数学问题求解． (3)回归实际问题，给出结论． 【变式8-1】（2024·高二·山东聊城·期中）2023年第19届亚运会在中国浙江杭州举行，杭州有很多圆拱的悬索拱桥，经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与相距30米的支柱的高度是 米.（注意：） 【答案】 【解析】以点为坐标原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立平面直角坐标系， 由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为， 由勾股定理可得， 又，即，解得， 所以圆心的坐标为，则圆的方程为， 将代入圆的方程得， 又，解得， 所以(米)． 故答案为：． 【变式8-2】（2024·高二·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少 .    【答案】 【解析】如图，矩形是货车截面图，，则， 故答案为：． 【变式8-3】（2024·高二·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【解析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 1．（2024·高二·甘肃白银·期末）圆的圆心在直线上，且和轴相切于点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆心在直线上，故设圆心， 又因为圆和轴相切于点，所以，即，则半径， 故圆的标准方程为. 故选：B. 2．（2024·高一·重庆沙坪坝·期末）在平面直角坐标系中，已知、两点，若圆以为直径，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，圆心的横坐标为，纵坐标为，即点， 圆的半径为， 因此，圆的标准方程为. 故选：A. 3．（2024·高二·宁夏银川·阶段练习）已知圆C上有三个点，，，则圆C的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，设圆的一般方程为： 解得： 故圆的一般方程为： 故圆的半径，圆的面积 故选：A 4．（2024·高二·上海·期中）方程表示圆的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意可得：，解得或， 所以方程表示圆的充要条件是或. 故选：D. 5．（2024·高二·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 6．（2024·高二·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 7．（2024·高二·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 8．（2024·高二·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 9．（2024·高二·安徽·阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（    ） A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1 【答案】A 【解析】将代入圆方程，得，解得或2，当时，，舍去，所以. 故选：A． 10．（2024·北京平谷·一模）点M、N在圆上，且M、N两点关于直线对称，则圆C的半径（    ） A．最大值为 B．最小值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】C 【解析】由，得， 所以圆心为，半径为， 由题意可得直线经过圆心， 故有，即， 所以半径为， 当时，圆C的半径的最小值为. 故选：C. 11．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知圆关于直线为大于0的常数对称，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【解析】因为圆的圆心为，且圆关于直线为大于0的常数对称， 所以直线过圆心， 所以，又， 所以即当取最大值为， 故选：A. 12．（2024·高一·全国·课后作业）已知点A是圆上任意一点，点A关于直线的对称点也在圆C上，则实数a的值为（    ） A．10 B． C． D．4 【答案】B 【解析】通过配方可得圆C的标准方程为， 由题意，可知直线过圆心， ∴，∴. 此时，∴a的值为， 故选：B. 13．（2024·高二·全国·课后作业）某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身，当船身至少降低 m时，船才能安全通过桥洞．(结果精确到0.01 m) 【答案】1.22 【解析】以水位未涨前的水面AB的中点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 设圆拱所在圆的方程为， ∵圆经过点， ∴解得： ∴圆的方程是，令，得，故当水位暴涨1.5 m后，船身至少应降低，船才能安全通过桥洞. 故答案为：1.22 14．（2024·高二·江苏·课后作业）已知圆C：关于直线x＋2y－4＝0对称，且圆心在y轴上，求圆C的标准方程． 【解析】由题意知：圆心在直线x＋2y－4＝0上，即－－E－4＝0. 又圆心C在y轴上，所以－＝0. 由以上两式得：D＝0, E＝－4，则， 故圆C的标准方程为. 15．（2024·高二·河南南阳·期末）已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为. (1)求圆的标准方程； (2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程. 【解析】（1）由解得，则圆心为，半径为， ∴圆的标准方程为. （2）设，. 由，可得， 则，又点在圆上，所以， 即，化简得， ∴点的轨迹方程为. 16．（2024·高二·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【解析】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 17．（2024·高二·江苏南通·阶段练习）已知点和圆为圆上的动点. (1)求的中点的轨迹方程； (2)若，求线段中点的轨迹方程. 【解析】（1）设点， ，整理得， 点在圆上， ， 整理得点的轨迹方程为. （2）设的中点为，在中，， 设为坐标原点，连接，则， ， . 故线段中点的轨迹方程为. 18．（2024·高二·湖南·期末）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius）在《平面轨迹》一书中，研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下著名结果：平面内到两个定点距离之比为（且）的点的轨迹为圆，此圆称为阿波罗尼斯圆. (1)已知两定点，，若动点满足，求点的轨迹方程； (2)已知，是圆上任意一点，在平面上是否存在点，使得恒成立?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【解析】（1）设，则由可得， 即，整理得点的轨迹方程为：； （2）假设存在满足条件，即有， 设，整理可得①， 又因为点在圆上，则②， 将②代入①可得， 由题可得，解得，， 所以， 故存在点满足条件. 19．（2024·高二·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【解析】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． 20．（2024·高二·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【解析】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$