精品解析：湖南省岳阳市临湘市第二中学2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题

2024年6月高二数学月考试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 预报变量 的值由解释变量 唯一确定 C. 相关指数越小，说明该模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 4. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每题5分，共40分） 9. 已知，函数的导函数为 ，则下列说法正确的是（    ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为1 D. 方程有两个不同的解 10. 下列说法中正确的是（ ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 已知离散型随机变量，则 B. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C. 若，则事件 与 相互独立 D. 根据分类变量 与 的观测数据，计算得到，依据 的独立性检验可得：变量 与 独立，这个结论错误的概率不超过0.05 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 12. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线平面 三、填空题（共4小题，每题5分，共40分） 13. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________. 14. 过点与曲线相切的直线方程为______． 15. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 16. 已知、为椭圆的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 四、解答题（共5小题，共70分） 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列； （3）设 表示取到的粽子的种类，求 的分布列. 18. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 19. 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示： 应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计 广泛应用 60 50 110 没有广泛应用 40 50 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率 的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？ （2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值． 附：，其中 ． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 20. 已知函数. (1)当时，求曲线 的单调减区间； (2)若 有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 21. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为． （1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为； （ⅰ）若，试运用概率与统计的知识，求 关于的函数关系， （ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（，，，，，） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年6月高二数学月考试题 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1. 函数的导函数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助导数的运算法则计算即可得. 【详解】. 故选：B. 2. 已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程即可求解. 【详解】的标准方程为，故所求分别为，. 故选：A. 3. 对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得回归直线方程为，则以下说法正确的是（ ） A. 至少有一个样本点落在回归直线上 B. 预报变量 的值由解释变量 唯一确定 C. 相关指数越小，说明该模型的拟合效果越好 D. 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 【答案】D 【解析】 【分析】由线性回归方程的特点判断A与B；由相关指数与预报效果间的关系判断C；由残差图的形状与拟合效果间的关系判断D，即可求解. 【详解】对于一组具有线性相关关系的数据，可能所有的样本点都不在回归直线上，故A不正确； 预报变量 的值由解释变量 进行估计，所以B不正确； 相关系数越小，残差的平方和越大，说明该模型的拟合效果越不好，所以C不正确； 在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，所以D正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了统计的相关关系的概念及其应用，其中解答中正确理解统计中相关性的概念是解答的关键，属于基础题. 4. 已知双曲线C经过点，离心率为，则C的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意得出双曲线的焦点在 轴上，设出双曲线的标准方程；再根据双曲线C经过点及离心率公式即可求解. 【详解】因为双曲线C经过点， 所以双曲线的焦点在 轴上，设双曲线的方程为. 因为双曲线 经过点 ， 所以，解得 ． 又因为， 所以， 则， 所以双曲线的标准方程为． 故选：C. 5. 随机变量ξ服从标准正态分布，已知，则等于（ ） A. 0.025 B. 0.050 C. 0.950 D. 0.975 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布曲线的性质直接计算即可求解. 【详解】由正态分布曲线的对称性可知，. 故选：C. 6. 衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出 ， ，根据条件概率公式求解即可． 【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B， 事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则， 又，则， 即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为． 故选：D． 7. 已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的导数求出函数的单调区间，确定极小值点，结合函数在区间上存在最小值，列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得． 当 时，得或，当 时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为， 即时，函数取得极小值， 当时，即， 解得 或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得， 即实数a的取值范围为 故选：A． 8. 已知，且，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再比较自变量的大小关系，最后利用函数单调性得到函数值的大小关系. 【详解】因函数的定义域为R， 且 ， 所以函数为偶函数； 当时，因单调递增，而在定义域内也为增， 故由同增异减原则，也为增， 也为增，又因 在上为增函数，故在上为增函数. 又因， 由， 因，故， 由在上为增函数可得:，即. 故选：D. 二、多选题（共4小题，每题5分，共40分） 9. 已知，函数的导函数为 ，则下列说法正确的是（    ） A. B. 单调递增区间为 C. 的极大值为1 D. 方程有两个不同的解 【答案】AB 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与极值，先求出的导数，再逐项分析即可. 【详解】函数的定义域为 , 求导得. 对于A，，A正确. 对于B，由 解得，函数的单调递增区间为 ，B正确. 对于C，当 时, ，当时, ，则函数在上递减，在上递增，当 时, 取得极小值, 无极大值， C错误. 对于D，显然函数在上递减，在上递增, ，则方程有唯一解，D错误. 故选: AB. 10. 下列说法中正确的是（ ） 附：独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 A. 已知离散型随机变量，则 B. 一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C. 若，则事件 与 相互独立 D. 根据分类变量 与 的观测数据，计算得到，依据 的独立性检验可得：变量 与 独立，这个结论错误的概率不超过0.05 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据二项分布的方差公式和方差的性质进行计算； B选项，根据百分位数的定义进行计算； C选项，根据对立事件的概率和事件独立的条件进行判断； D选项，根据独立性检验的标准进行判断. 【详解】对于A：根据二项分布的方差公式，可得， ∴，∴A错误； 对于B：，根据百分位数的定义， 这组数据的第75百分位数为第8个数158，∴B正确； 对于C：∵，∴，∴， 根据事件独立性的定义可知，事件 与 相互独立，∴C正确； 对于D：根据的值以及常用的概率值与相应临界值可知， 依据 的独立性检验，可得变量 与 相互独立， 即认为变量 与 不相互独立，犯错误的概率大于0.05小于0.1，∴D错误． 故选：BC 11. 若图象上存在两点A，B关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”(点对与视为同一个“友情点对”)若恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据所给新定义，进行转化，首先求出时关于原点对称的函数为，即在上有两解，构造函数，研究 的图像与性质，即可得解. 【详解】首先求出时关于原点对称的函数为， 若要恰有两个“友情点对”， 则有两解，即在上有两解， 令，求导可得， ， 当 ， ， 为减函数， 当， ， 为增函数， 则， 所以其图像为： 若要在上有两解，则， 故选：BD 【点睛】本题考查了函数新定义，考查了利用导数研究函数，考查了函数方程思想，同时考查了转化思想，有一定计算量，属于中档题.本题的关键有： （1）理解“友情点对”，并转化为一侧函数图像关于原点对称过去后和另一侧函数图像的交点； （2）把方程解得问题转化为函数图像交点问题. 12. 将两个各棱长均为1的正三棱锥和的底面重合，得到如图所示的六面体，则（ ） A. 该几何体的表面积为 B. 该几何体的体积为 C. 过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D. 直线平面 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，首先求得其中一个正三角形的面积，进一步即可验算；对于B，首先求得，进一步即可验算；对于C，证明面面 即可判断；对于D，建立适当的空间直角坐标系，验算平面法向量与直线方向向量是否垂直即可. 【详解】对于A，，所以表面积为，故A对； 对于B，如图所示： 设点 在平面 内的投影为， 为 的中点，则由对称性可知为三角形 的重心， 所以，又因为 ， 所以正三棱锥的高为， 所以题图所示几何体的体积为，故B错； 对于C，由B选项可知面 ，由对称性可知三点共线， 所以面 ，而面， 所以面面 ，故C正确； 对于D，建立如图所示的空间直角坐标系： 其中轴平行 ，因为， 所以， 设平面的法向量为，所以， 不妨取 ，解得，所以取， 又， 而，所以直线 与平面不平行，故D错. 故选：AC. 三、填空题（共4小题，每题5分，共40分） 13. 两批同种规格的产品，第一批占，次品率为；第二批占，次品率为，将两批产品混合，从混合产品中任取1件.则取到这件产品是次品的概率为__________. 【答案】0.043 【解析】 【分析】代入全概率公式，列式求解. 【详解】设取到一件产品，是第一批产品，为事件 ，取到一件产品是第二批产品，为事件 ，取得一件产品，为次品，为事件 ， 则. 故答案为： 14. 过点与曲线相切的直线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义得出切线方程，进而由切点的位置得出，从而得出切线方程. 【详解】设切点坐标为，，. 则切线方程为，因为在切线上， 所以，即 又，所以， 令，，当时，， 所以在上单调递增， 所以方程只有唯一解为. 即切点坐标为，故所求切线方程为，即. 故答案为： 15. 某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果： 投资成功 投资失败 192次 8次 则该公司一年后估计可获收益的期望是____________（元）． 【答案】4760 【解析】 【分析】设可获收益为x万元，先求出投资成功与失败的概率和收益，再计算收益的期望即得. 【详解】设可获收益为x万元，如果成功，x的取值为5×12%，如果失败，x的取值为， 一年后公司成功的概率估计为＝，失败的概率估计为＝， 所以一年后公司收益的期望为（元）. 故答案为：4760. 16. 已知、为椭圆的左、右焦点，点 为该椭圆上一点，且满足，若的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得，再根据正弦定理可知外接圆半径，由等面积法可知内切圆半径，再根据面积比即可计算出离心率. 【详解】根据题意画出图象如下图所示： 利用椭圆定义可知，且； 又，利用余弦定理可知： ， 化简可得； 所以的面积为； 设的外接圆半径为 ，内切圆半径为； 由正弦定理可得，可得； 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得； 又的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即， 所以，即可得，所以； 离心率. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式可计算出内切圆半径，即可实现问题求解. 四、解答题（共5小题，共70分） 17. 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设 表示取到的豆沙粽个数，求 的分布列； （3）设 表示取到的粽子的种类，求 的分布列. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据组合数公式和古典概型概率公式，即可求解； （2）根据超几何概率公式，列式求解； （3）根据题意，结合互斥事件，对立事件概率公式，即可求解. 【小问1详解】 令 表示事件“三种粽子各取到1个”，则； 【小问2详解】 的所有可能值为 ， 且 综上知， 的分布列为 1 2 3 【小问3详解】 由题意知 的所有可能值为，且，. 综上知， 的分布列为 1 2 3 18. 已知直三棱柱中，侧面 为正方形，，E，F分别为 和的中点，D为棱上的点． （1）证明： ； （2）当 为何值时，面与面 所成的二面角的正弦值最小? 【答案】（1）[方法一]：几何法 因为 ，所以 ． 又因为， ，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示， 过E作 的平行线分别与 交于其中点，连接 ， 因为E，F分别为 和的中点，所以 是BC的中点， 易证 ，则 ． 又因为 ，所以 ． 又因为，所以 平面． 又因为 平面，所以 ． [方法二] 【最优解】：向量法 因为三棱柱是直三棱柱， 底面 ， ，， ，又 ， 平面．所以两两垂直． 以 为坐标原点，分别以所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图． ， ． 由题设 （）． 因为 ， 所以 ，所以 ． [方法三]：因为， ，所以 ，故 ， ，所以 ，所以 ． （2） 【解析】 【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直； （2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案； 【详解】（1）略 （2）[方法一]【最优解】：向量法 设平面 的法向量为 ， 因为 ， 所以，即． 令 ，则 因为平面的法向量为 ， 设平面与平面 的二面角的平面角为 ， 则． 当时， 取最小值为， 此时 取最大值为． 所以，此时． [方法二] ：几何法 如图所示，延长 交的延长线于点S，联结 交于点T，则平面 平面 ． 作 ，垂足为H，因为 平面，联结 ，则为平面与平面 所成二面角的平面角． 设 ，过作交 于点G． 由得 ． 又，即，所以． 又，即，所以． 所以． 则， 所以，当时，． [方法三]：投影法 如图，联结 ， 在平面的投影为 ，记面与面 所成的二面角的平面角为 ，则． 设 ，在 中，． 在 中，，过D作 的平行线交 于点Q． 在 中，． 在中，由余弦定理得，， ， ，， 当，即，面与面 所成的二面角的正弦值最小，最小值为． 【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维. 第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面 所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面 在面上的投影三角形的面积与 面积之比即为面与面 所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维． 19. 随着人工智能的进一步发展，逐渐进入大众视野．是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家企业开展调查，统计每家企业一年内应用的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示： 应用广泛性 招聘人数减少 招聘人数增加 合计 广泛应用 60 50 110 没有广泛应用 40 50 90 合计 100 100 200 （1）根据小概率 的独立性检验，是否有99%的把握认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性有关？ （2）用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用的企业有X家，事件“”的概率为．求X的分布列并计算使取得最大值时k的值． 附：，其中 ． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）无关； （2）且 ；． 【解析】 【分析】（1）计算出，对照临界值表即可作出判断； （2）根据二项分布概率公式即可得分布列，由和，列不等式组求解可得k. 【小问1详解】 零假设企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关， 因为， 所以，根据 的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与应用的广泛性无关． 【小问2详解】 由题知，从招聘人数减少的企业中随机抽取1家企业，该企业广泛应用的概率为，没有广泛应用的概率为， 因为， 所以X的分布列为且． 若是最大值，则且， 根据， 即，整理得，解得, 又且，所以． 即使取得最大值时k的值为18. 20. 已知函数. (1)当时，求曲线 的单调减区间； (2)若 有两个极值点，且，，若不等式恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【解析】 【分析】(1)时，对f(x)求导，解 得递减区间； (2)分析出由 所得的一元二次方程的两根的关系，再对分离参数，消元，构建新函数，求其最小值即得. 【详解】(1)， 令 得，，由 得. 所以，的单调减区间为. (2)，∵有两个极值点，且， ∴是方程 的两正根，则，， 不等式恒成立，即恒成立， ∴ ， 由，，得，∴， 令，， 令，，h(x)在上递增， 则有即， ∴在上是减函数， ∴，故 【点睛】不等式的恒成立，求参数的取值范围问题，等价转化是解题的关键，借助分离参数，构造函数，求其最值的思想. 21. 某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有份血液样本每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这份血液样本只需检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪份为阳性，就需要对这份再逐份检验，此时这份血液的检验次数总共为次假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果总阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为． （1）假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率． （2）现取其中的份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为；采用混合检验的方式，样本简要检验的总次数为； （ⅰ）若，试运用概率与统计的知识，求 关于的函数关系， （ⅱ）若，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求的最大值（，，，，，） 【答案】（1）（2）（ⅰ）．（ⅱ）8 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率求出恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率； （2）（ⅰ）先求出，再化简即得解；（ⅱ）由，得到，再利用导数解不等式得解. 【详解】（1）设“恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来”为事件 ，则 ， 即恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的事件的概率为． （2）（ⅰ）由题意知，取值的可能有1，， ， ， 所以， 由，得，即，所以， 所以 关于的函数关系． （ⅱ）由题意知，，所以，即， 所以，又，所以， 两边同时取对数，得，即， 设，则，易知函数在上单调递减， ，， 所以的最大值为8． 【点睛】本题主要考查古典概型的概率的计算，考查独立重复试验的概率的计算，考查随机变量的期望的计算，考查利用导数解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $