2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项三：综合压轴题型

压轴专项三：综合压轴题型（解析版） 1、【分析】（1）根据图形可知S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b），根据两个面积相等即可求解； （2）根据平方差公计算即可求解； （3）设一个奇数为2n﹣1，另一个相邻的奇数为2n+1，根据（1）中结论，即可求解． 【解答】解：（1）根据题意，S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）， ∵S1＝S2， ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2；（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． （2）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）+1 ＝（24﹣1）（24+1）（28+1）+1 ＝（28﹣1）（28+1）+1 ＝（216﹣1）+1 ＝216； （3）设一个奇数为2n﹣1，另一个相邻的奇数为2n+1，则（2n+1）2﹣（2n﹣1）2 ＝[（2n+1）+（2n﹣1）]（2n+1）﹣（2n﹣1）] ＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1） ＝4n•2 ＝8n， ∴任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 2、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同． （1）求A，B两种类型笔记本的进货单价； （2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元． ①请直接写出y与m之间的函数关系式为：　y＝﹣m+2500　； ②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 【分析】（1）设A型笔记本的进货单价为x元，则B型笔记本的进货单价（x+3）元，根据“用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同”列出方程，解方程即可，注意验根； （2）①根据总利润＝A、B两种笔记本利润之和列出函数解析式； ②根据最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值即可． 【解答】解（1）设A型笔记本的进货单价为x元，则B型笔记本的进货单价（x+3）元， 根据题意得：＝， 解得x＝12， 经检验，x＝12是原方程的根， 此时x+3＝15， 答：A，B两种类型笔记本的进货单价分别为12元、15元； （2）①根据题意得：y＝（16﹣12）m+（20﹣15）（500﹣m）＝4m+2500﹣5m＝﹣m+2500， 故答案为：y＝﹣m+2500； ②根据题意得：12m+15（500﹣m）≤6900， 解得m≥200， ∵y＝﹣m+2500，﹣1＜0， ∴当m＝200时，y有最大值，最大值为2300， 此时500﹣200＝300（本）， ∴超市购进A型笔记本200本，B型笔记本300本时才能获得最大利润，最大利润是2300元． 【点评】本题主要考查了一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和写出相应的函数关系式，利用一次函数的性质求最值． 3、【分析】（1）题目中给的代数式是图形的面积，因式分解的话恰好是长方形形长与宽的乘积从而得出答案； （2）①根据长方形的周长是2（3a+3b）＝30即可得出a+b的值； ②由图可得空白部分的面积是5ab，故我们可以根据第一步中求出的a+b的值，以及阴影部分的面积，即可推出空白部分的面积． 【解答】解：（1）通过观察图形可以得出图形的面积是：（2a2+5ab+2b2）cm2的面积 长方形的长是（2a+b）cm，宽是（a+2b）， 由此可得：（2a2+5ab+2b2）＝（a+2b）（b+2a）， 故答案为：（a+2b）（b+2a）； （2）①根据长方形的周长为30cm，可得： 2（2a+b+a+2b）＝30， 2（3a+3b）＝30， 6（a+b）＝30， a+b＝5． 答：a+b的值为5． ②空白部分的面积为5ab cm2， 根据①得：a+b＝5， ∵阴影部分的面积为34cm2， 且阴影部分的面积表示为2a2+2b2， 故a2+b2＝17， ∵（a+b）2﹣2ab＝a2+b2， ∴52﹣2ab＝17， ∴ab＝4， ∴5ab＝20． 答：空白部分的面积为20cm2． 【点评】本题考查了因式分解的应用，通过图形得出面积的表达得出等量关系是解决本题的关键，熟练掌握公式即可解决问题． 4、【分析】（1）根据平移的意义及性质即可知道平移的距离等于AD的长，根据平移后的图4中的图形与▱ABCD的面积相等求出一个基本图形的面积，再看图5中有几个基本图形即可求出图5的面积； （2）设一块边长为1的正三角形瓷砖x元，根据题意列出分式方程，解方程并检验后即可求出一块边长为1的正三角形瓷砖的单价，易得一块边长为1的正六边形瓷砖的单价，即可解决问题； （3）根据一块边长为1 的正三角形瓷砖与一块边长为1的正六边形瓷砖的单价与面积之间的关系推出哪种瓷砖更实惠，然后在图7中多用哪种瓷砖，即可求出费用最少的方案及最少费用． 【解答】解：（1）∵图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成， ∴平移的距离就是AD的长， ∵AD＝3， ∴平移的距离是3； 由平移的性质可知：平移前后不改变图形的大小， ∴由平行四边形经过两次切割平移而成的图4的面积与▱ABCD的面积相等， 如图1，过D作DE⊥BC于E， ∵▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°， ∴CE＝CD＝1，BC＝AD＝3， 根据勾股定理可得：DE＝， ∴▱ABCD的面积＝BC×DE＝3， ∴平行四边形经过两次切割平移而成的基本图形（图4）的面积等于3， ∵图5由6个基本图形组成， ∴图5的面积＝6×3＝18， 故答案为：3；18； （2）设一块正三角形瓷砖的单价为x元，则一块正六边形瓷砖的单价为（x+40）元， 由题意得：， 去分母得：2500x＝500（x+40）， 解得：x＝10， 经检验，x＝10是原分式方程的解， x+40＝10+40＝50（元）， 答：边长为1的正三角形瓷砖每块10元，边长为1的正六边形瓷砖每块50元； （3）∵每个边长为1的正六边形的面积等于边长为1的正三角形的面积的6倍， 每个边长为1的正六边形的单价等于边长为1的正三角形的单价的5倍， ∴用边长为1的正六边形瓷砖越多，费用就越少， 如图7， 图中有黑点的三角形用三角形瓷砖，其余部分用正六边形瓷砖时，用正六边形最多， ∴总费用最少， ∵正六边形8个，正三角形12个， ∴最少费用＝8×50+12×10＝520（元）． 故答案为：520． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查平面图形的镶嵌，平行四边形的性质，平移的性质，勾股定理，分式方程的应用等知识点，深入理解题意是解决问题的关键． 5、【分析】（1）先分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1即可画出图形； （2）先分别作出点A、B、C关于（0，﹣1）的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2即可画出图形； （3）连接A1A2、B1B2、C1C2，交点坐标即为对称中心坐标； （4）过点C作关于x轴的对称点C′，连接AC交x轴于点P，连接CP，易得CP＝C′P，∠OPC＝∠OPC′，以此可得∠OPC＝∠DPA，此时PA+PC＝PA+PC′＝AC′，利用两点间的距离公式计算即可求解． 【解答】（1）分别作出点A、B、C向上平移6个单位的对应点A1、B1、C1，再顺次连接A1、B1、C1，如图， （2）如图，分别作出点A、B、C关于（0，﹣1）的对称点A2、B2、C2，再顺次连接A2、B2、C2，如图， （3）连接A1A2、B1B2、C1C2，交于点Q，如图， 则Q（0，2），即对称中心坐标为（0，2）； 故答案为：（0，2）； （4）过点C作关于x轴的对称点C′，连接AC交x轴于点P，连接CP，如图， 则CP＝C′P，∠OPC＝∠OPC′， ∵∠DPA＝∠OPC′， ∴∠OPC＝∠DPA， 此时，PA+PC＝PA+PC′＝AC′， ∵点C与点C′关于x轴对称，（﹣2，﹣1）， ∴C′（﹣2，1）， ∵A（﹣5，﹣4）， ∴AC′＝＝，即PA+PC＝， ∴当PA+PC＝时，∠OPC＝∠DPA． 故答案为：． 【点评】本题主要考查旋转变换和平移变换作图、轴对称的性质，解题关键是：（1）（2）利用网格结构作出平移或旋转后对应的点；（3）连接对应点得出对称中心的坐标；（4）利用轴对称找出点P的位置，熟知两点间的距离公式． 6、【分析】（1）根据定义及垂线段最短即可得出答案； （2）根据定义及垂线段最短即可得出答案； （3）画出图形，进行分类讨论即可； （4）根据定义画出图形，可得出答案． 【解答】解：（1）∵A（4，3），B（﹣4，3），四边形ABCD是平行四边形， ∴根据题意可知，当点G在边AD上时，即OG⊥AD时， ∴OG的最小值是4， 因此d[点O，线段AD]＝4， 故答案为：4，4； （2）∵A（4，3），B（﹣4，3），四边形是平行四边形， ∴根据题意可知，当点G在边任意边上时，即OG⊥AB或OG⊥CD时， ∴OG的最小值是3，因此d[点O，▱ABCD]＝3， 故答案为：3，3； （3）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∴AC平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠DAC＝∠DCA， ∴AD＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴BD平分∠ABC和∠ADC， ∴线段EF到四边形ABCD的距离为|3﹣n|， d[线段EF，▱ABCD]＝|3﹣n|， ∴1＜|3﹣n|＜2， 解得：1＜n＜2或﹣2＜n＜﹣1， 故答案为：1＜n＜2或﹣2＜n＜﹣1； （4）由（3）得：四边形ABCD是菱形，过点F作FG⊥AB于点G，交CD于点P，作FH⊥AD于点H，如图，则有FG＝3﹣n， ∴FP＝FH＝3+n， ∴＝； 故答案为：； （4）由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米， 则所需彩绳的长度为：2×（4+6）+2 π×0.5＝（20+π ）（米）． 【点评】此题考查了平面直角坐标系中，点与点、点与直线的距离问题，不等式运用和菱形的性质和判定等，理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键． 7、【分析】（1）作差即可作出判断； （2）分别求出S1，S2，然后作差，根据a是正整数即可做出判断； （3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次，分别求出A，B方案的费用，然后作差，分三种情况讨论得出答案． 【解答】解：（1）∵x﹣3﹣2﹣x＝﹣5＜0， ∴x﹣3＜2+x， 故答案为：＜； （2）S1＝（a+7）（a+1）＝a2+8a+7， S2＝（a+4）（a+2）＝a2+6a+8， S1﹣S2 ＝a2+8a+7﹣（a2+6a+8） ＝a2+8a+7﹣a2﹣6a﹣8 ＝2a﹣1， ∵a为正整数， ∴a≥1， ∴2a≥2， ∴2a﹣1≥1＞0， ∴S1＞S2； （3）设原价为a（a＞0）元，游泳x次， 则A方案的费用＝ax•90%＝0.9ax； B方案的费用＝5a+a（x﹣5）•80%＝0.8ax+a； ∵0.9ax﹣（0.8ax+a）＝0.1ax﹣a， ∴当0.1ax﹣a＞0时，即x＞10时，0.9ax＞0.8ax+a； 当0.1ax﹣a＝0时，即x＝10时，0.9ax＝0.8ax+a； 当0.1ax﹣a＜0时，即x＜10时，0.9ax＜0.8ax+a； ∴当游泳次数多于10次时，选择B方案； 当游泳次数等于10次时，选择A，B方案都可以； 当游泳次数少于10次时，选择A方案． 【点评】本题考查了公式法，整式的加减，一元一次不等式的应用，第三问无法判断0.1ax﹣a的正负，所以分类讨论得出结果，这是解题的关键． 8、【分析】（1）设小明每分钟行走x米，根据1.5分钟后，小刚比小明多行走15米，列方程可解得答案； （2）①设电梯每分钟行驶m米，根据当小刚到达B处时，小明还剩20米才到达B处得：＝，可解得电梯每分钟行驶40米； ②根据小明到达B点后等待的时间不超过4分钟得：++﹣≤4，解不等式可得答案． 【解答】解：（1）设小明每分钟行走x米，则小刚每分钟行走1.2x米， ∵1.5分钟后，小刚比小明多行走15米， ∴1.5×1.2x﹣1.5x＝15， 解得x＝50， ∴1.2x＝1.2×50＝60， ∴在地面上小明每分钟行走50米，小刚每分钟行走60米； （2）①设电梯每分钟行驶m米， 根据题意得：＝， 解得m＝40， 经检验，m＝40是原方程的解，符合题意； ∴电梯每分钟行驶40米； ②根据题意得：++﹣≤4， 解得a≥90， ∴a的最小值是90． 【点评】本题考查一元一次方程，分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题． 9、【分析】（1）分别解不等式组和解一元一次方程，再根据“子方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，即可求得此子方程的解； （3）解不等式组得出m＜x≤m+2，再解一元一次方程得出方程的解，根据不等式组整数解的确定可得答案． 【解答】解：（1）解不等式组，得：1＜x＜4， ∵方程①5x﹣2＝0的解为x＝；方程②x+1＝0的解为x＝﹣；方程③x﹣（3x+1）＝﹣5的解为x＝2， ∴不等式组的子方程是是③， 故答案为：③； （2）解不等式组得：﹣≤x≤， 所以不等式组的整数解为﹣1，0， 则此子方程的解是﹣1或0， 故答案为：﹣1或0； （3）， 解不等式①，得：x＞m， 解不等式②，得：x≤m+2， 所以不等式组的解集为m＜x≤m+2． 方程2x+3＝x+6的解为x＝3， 方程2x+5＝（x+4）的解为x＝2， 所以m的取值范围是1≤m＜2． 【点评】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“子方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力． 10、【分析】（1）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标； （2）根据（1）中结论即可解决问题； （3）先判断出可能为直角的角，分两种情形分别求解即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动， ∴OP＝t，而OC＝2， ∴P（t，0）， 设CP的中点为F，过D点作DE⊥OA，垂足为E， 则F点的坐标为（，1）， ∵F点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D， ∴∠CPD＝90°， ∴∠DPE+∠OPC＝90°， ∵∠POC＝90°， ∴∠OCP+∠OPC＝90°， ∴∠OCP＝∠EPD， ∴△OCP∽△EPD， ∵PD：CP＝1：2， ∴DE：PO＝PE：CO＝PD：CP＝1：2， ∴DE＝PO＝，PE＝CO＝1， ∴D点坐标为（t+1，）， ∴当t＝2时，D（3，1）． 故答案为：（3，1）； （2）由（1）可知D（t+1，）． 故答案为：（t+1，）； （3）能构成直角三角形，理由如下： ①当∠PDA＝90°时，PC∥AD， 由勾股定理得，PD2+AD2＝AP2，PD2＝DE2+PE2，AD2＝DE2+AE2， 即（）2+1+（4﹣t﹣1）2+（）2＝（4﹣t）2， 解得，t＝2或t＝﹣6（舍去）． ∴t＝2秒． ②当∠PAD＝90°时，此时点D在AB上， 可知，△COP∽△PAD， ∴＝＝， ∴2＝， PA＝1， 即t+1＝4， ∴t＝3秒． 综上所述，当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 11、【分析】（1）依据题意，解一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0即可得解； （2）依据题意，仿照例题分析即可得解； （3）依据题意，首先两边同时平方，然后解高次方程可以得解． 【解答】解：（1）由题意，解方程x2﹣2x﹣3＝0， ∴（x﹣3）（x+1）＝0． ∴x2＝3，x3＝﹣1． 故答案为：3；﹣1． （2）由题意，∵x3＝6x2+16x， ∴x3﹣6x2﹣16x＝0． ∴x（x2﹣6x﹣16）＝0． ∴x（x﹣8）（x+2）＝0． ∴x1＝0，x2＝8，x3＝﹣2． （3）由题意，两边同时平方得， 2x3﹣6x+3＝x2﹣2x+1． ∴2x3﹣x2﹣4x+2＝0． ∴x2（2x﹣1）﹣2（2x﹣1）＝0． ∴（x2﹣2）（2x﹣1）＝0． ∴x1＝，x2＝﹣，x3＝． ∵＝x﹣1≥0， ∴x2＝﹣，x3＝均不符合题意． ∴方程＝x﹣1的解为x＝． 【点评】本题主要考查了一元一次方程的解、一元二次方程的解、高次方程，解题时要能读懂题意，灵活运用分解因式是关键． 12、【分析】（1）根据路程与速度的关系解决问题即可． （2）利用勾股定理构建方程即可解决问题． （3）①利用分割法构建方程即可解决问题． ②根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）∵AB＝10cm， ∴PB＝（10﹣2t）cm 故答案为：（10﹣2t）； （2）由题意得：（10﹣2t）2+（3t）2＝102， 解得t1＝0（不合题意，舍去），t2＝． 当t＝秒时，PQ的长度等于10cm． （3）①根据题意得，S＝矩形ABCD的面积﹣△BPQ的面积＝12×10﹣（10﹣2t）×3t﹣﹣， 即S＝3t2﹣12t+60， 故答案为：3t2﹣12t+60； ②∵S＝3t2﹣12t+60＝3（t﹣2）2+48， ∴当t＝2秒时，S的最小值为48cm2． 故答案为：2，48． 【点评】本题考查四边形综合题，考查了矩形的性质，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 13、【分析】（1）依据每天生产的时间为300分钟列出函数关系式即可； （2）由A种奶茶不少于73杯，B种奶茶的杯数为非负数列不等式组求解即可； （3）列出利润与x的函数关系式，然后依据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）因为每天生产的时间为300分钟，所以4x+y＝300，y＝﹣4x+300； 故答案为：y＝﹣4x+300． （2）由题意得：，解得：73≤x≤75． ∵x为正整数， ∴x的值为73或74或75． 方案一：A种73杯，B种8杯 方案二：A种74杯，B种4杯 方案三：A种75杯，B种0杯． （3）利润为：3x+（﹣4x+300）＝﹣x+300 故生产A种奶茶73杯，B种奶茶8杯时，利润最大为227元． 故答案为：227元． 【点评】本题主要考查的是一次函数的应用，列出关于x的不等式组是解题的关键． 14、【分析】（1）利用矩形面积即可求出三角形面积； （2）待定系数法直接求出解析式即可； （3）设点P的坐标为（m，m）利用面积是15建立含有绝对值的方程，解出即可； （4）分两种情况：P分别在直线y＝6或y＝﹣6上，利用轴对称最短路径求出坐标即可． 【解答】解：（1）根据条件可知：S矩形OBCD＝15， ∵S△POB＝S矩形OBCD． ∴S△POB＝15． （2）根据条件可知：C（5，3）， 设直线OC的解析式为y＝kx， 代入C点的坐标得：k＝， ∴直线OC的解析式为：y＝x． （3）当点P在矩形的对角线OC上时设点P的坐标为（m，m）， ∵S△POB＝S矩形OBCD＝15， ∴×5×‖m‖＝15， m1＝10，m2＝﹣10， ∴P（10，6）或P（﹣10，﹣6）． （4）∵S△POB＝S矩形OBCD＝15， ∴点P的运动轨迹有两条：在直线y＝6或y＝﹣6上， ①当点P在直线y＝6上时，找到点B关于直线y＝6的对称点G，则G（5，12），连接OG交直线y＝6于点P，则该点即为OP+BP的最小值． 设OG解析式为：y＝kx，代入点G坐标得，k＝， ∴OG解析式为：y＝x，令y＝6，则x＝． ∴P（，6）． ②当点P在直线y＝﹣6上时；根据对称性和①的求法，可直接得PO+PB取最小值时，P点坐标是（，﹣6）． 综上，当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，P（，6）或（，﹣6）． 【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，轴对称最短路径问题，找到对称点是关键． 15、【分析】（1）根据图2得出结论即可； （2）根据（1）中的运动速度得出关系式即可； （3）分情况求出t的值即可． 【解答】解：（1）由图2知，点E在BA上的运动时间是8秒， 在DC上的运动时间为20﹣16＝4（秒）， ∵CD＝8cm， ∴在DC上运动的速度为8÷4＝2（cm/s）， △BEC的面积S的最大值为32cm2， 故答案为：8；2；32； （2）点E在DC上运动时，S＝BC•CE＝×8×[8﹣（t﹣16）×2]＝160﹣8t， 即S＝160﹣8t； （3）①当点E在BA上运动时， S＝BC•BE＝×8×（8÷8）t＝20， 解得t＝5； ②点E在DC上运动时， S＝160﹣8t＝20， 解得t＝17.5； ∴当t为5s或17.5s时，△BEC的面积为20cm2． 【点评】本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，三角形的面积等知识是解题的关键． 16、【分析】（1）①先描点，然后连线即可；②根据函数图象进行求解即可； （2）如图所示，过点P作PE⊥AD．证明四边形ABPE是矩形，得到AE＝BP，由三线合一定理可得QE＝DE＝QD，设点P的运动时间为t秒．则AQ＝t，QD＝6﹣t，QE＝QD＝3﹣，BP＝2t，则可得t+（3﹣）＝2t，得到t＝2，进而求出DE＝2cm，过点D作DH⊥BC于H，同理可证四边形ABHD是矩形，则DH＝AB＝PE，BH＝AD＝6cm，求出DH＝cm，则PD＝＝cm，则当PQ＝PD时，点P的运动时间为2秒，此时PD＝cm． 【解答】解：（1）①y1的图象如图所示， ②由函数图象可知，当x＝4时，y1≈8.0， ∴表格中a的值是8.0； 观察表格和函数图象可知，当x＝2时，y1＝y2，即此时PQ＝PD， ∴运动时间为2秒时，△PQD为等腰三角形， 故答案为：8.0，2； （2）如图所示，过点P作PE⊥AD于点E． ∴∠AEP＝90°， 又∵AD∥BC，∠A＝90°， ∴∠B＝90°， ∴四边形ABPE是矩形， ∴AE＝BP， 又∵PQ＝PD，PE⊥AD， ∴QE＝DE＝QD， 设点P的运动时间为t秒．则AQ＝t，QD＝6﹣t，QE＝QD＝3﹣，BP＝2t， 又∵AE＝BP， ∴t+（3﹣）＝2t， ∴t＝2， ∴AE＝4cm， ∴DE＝2cm， 过点D作DH⊥BC于H， 同理可证四边形ABHD是矩形， ∴DH＝AB＝PE，BH＝AD＝6cm， ∴CH＝BC﹣BH＝4cm， ∴DH＝＝4cm， ∴PD＝＝cm， ∴当PQ＝PD时，点P的运动时间为2秒，此时PD＝cm． 【点评】本题主要考查了画函数图象，从函数图象获取信息，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 17、【分析】（1）设每辆A种客车的租金是x元，每辆B种客车的租金是y元，根据“租用2辆A种客车和3辆B种客车，共需1700元；租用1辆A种客车和2辆B种客车，共需1000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设租用m辆A种客车，则租用（7﹣m）辆B种客车，根据租用的7辆客车可乘载人数不少于（5+280）人，可列出关于m的一元一次不等式，结合m，（7﹣m）均为正整数，可得出共有2种租车方案，再求出各租车方案所需总租金，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每辆A种客车的租金是x元，每辆B种客车的租金是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每辆A种客车的租金是400元，每辆B种客车的租金是300元； （2）设租用m辆A种客车，则租用（7﹣m）辆B种客车， 根据题意得：45m+33（7﹣m）≥5+280， 解得：m≥， 又∵m，（7﹣m）均为正整数， ∴m可以为5，6， ∴学校共有2种租车方案， 方案1：租用5辆A种客车，2辆B种客车，所需总租金为400×5+300×2＝2600（元）； 方案2：租用6辆A种客车，1辆B种客车，所需总租金为400×6+300×1＝2700（元）． ∵2600＜2700， ∴租用5辆A种客车，2辆B种客车最便宜． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 18、【分析】（1）根据B（2，0）坐标和菱形性质，易得点E坐标为（1，0），将横坐标代入直线CD解析式可得C点坐标，CE长的二倍即为AC长； （2）求出菱形面积，设出P点坐标，利用面积公式列出方程解出即可． 【解答】解：（1）∵四边形OABC为菱形，点B在x轴上，点B的坐标为（2，0）， ∴OE＝1，E（1，0）， 令x＝1，则y＝x+1＝2， ∴C（1，2）， ∴AC＝2CE＝4． （2）设P的坐标为（m，m+1）， 令y＝0，x＝﹣1， ∴D（﹣1，0）， S菱形＝＝×4×2＝4， ∴S△POC＝S菱形＝2， 又∵S△POC＝S△POD+S△COD＝OD•‖m+1‖+OD•yC＝2， ∴‖m+1‖＝2， ∴m＝1（舍去）或m＝﹣3， ∴P（﹣3，﹣2）． 【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足函数解析式． 19、【分析】（1）过点D作DM⊥AB，根据勾股定理分别求出AD，AB，BD，根据勾股定理的逆定理进而证明； （2）由可视度的定义连接AF和FD，△AFD为等边三角形，即可求出点F的坐标，进而求出点E的坐标； （3）点A，B，E，M为顶点的四边形为平行四边形，分情况讨论，AB为一边和对角线讨论，根据平行四边形的性质进而作答． 【解答】（1）证明：过点D向AB作垂线交AB于点H． 在Rt△ADM中， AM＝4，DM＝2， 根据勾股定理， AD＝＝＝2， 同理可得，BD＝， 又AB＝5， AD2+BD2＝25＝AB2， ∴△ABD是直角三角形 ∴∠ADB＝90°； （2）解：∵点F对正方形ABCD的可视度为60°， ∴∠AFD＝60°， 又∵AD＝AB＝2， ∴△AFD为等边三角形，AF＝FD＝AD＝2， ∴FM＝•AF•Sin60°＝2×＝， ∴点F的坐标为（0，1+）， 又∵点F在直线上， ∴b＝1+， 即解析式为线y＝x+1+， 点E是与x轴交点， ∴E的坐标为（﹣3﹣，0）； （3）解：在平面直角坐标系内存在点M，使以点A，B，E，M为顶点的四边形为平行四边形， 理由如下： ①以AB为一边，EM为平行四边形的对边时， 由平行四边形对边平行且相等得， EM∥AB且EM＝AB， 设点M的坐标为（﹣3﹣，n）， 即|n|＝1﹣（﹣1）＝2， ∴n＝2或﹣2， 点M的坐标为（﹣3﹣，2），（﹣3﹣，﹣2）， ②以AB为对角线，又AB⊥EM交于点O， ∴点M与点E关于AB对称， ∴点M的坐标为（1+，0）， 综上，点D的坐标为（﹣3﹣，2），（﹣3﹣，﹣2），或（1+，0）． 【点评】本题考查一次函数，正方形，平行四边形，新定义等的综合题，解题的关键是正确理解新定义，分类讨论． 20、【分析】（1）先根据题意求出点B、点E的坐标，再用待定系数法求解直线BE的解析式； （2）先作出符合条件的图形，即找到AF与BE的交点，再用直线BE，和直线AF的解析式联立，求出交点P的坐标即可求解； （3）分三种情况讨论：①当PD＝PF时；②当PD＝DF时；③当PF＝DF时，因为点P（a，b）且ab＞0，所以求出点P的坐标在第三象限即符合题意，否则舍去． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝AD， ∵C（6，0），D（0，2）， ∴A（﹣6，0），B（0，﹣）， ∴BD＝4，AD＝＝4， ∴AD＝AB＝BD＝BC＝CD， ∴△ABD和△BCD都是等边三角形． ∵BE⊥AD于E，F是BC的中点， ∴点E是AD中点，DF⊥BC， ∴E（﹣3，）， 设直线BE的解析式为y＝kx+b，将E（﹣3，），B（0，﹣）代入得， ，解得， ∴直线BE的解析式为y＝； （2）如图1，连接AF，交BE于点P， ∵EB垂直平分AD， ∴PA＝PD， ∴DP+FP＝PA+FP， ∵A、P、F三点共线， ∴DP+FP＝PA+FP＝AF最短， ∵B（0，﹣），C（6，0），F是BC的中点， ∴F（3，﹣）， 设直线AF的解析式为y＝kx+b，将F（3，﹣），A（﹣6，0）代入得， ，解得， ∴直线AF的解析式为y＝， ∴，解得， ∴P（）； （3）在菱形ABCD中，AD∥BC， ∵BE⊥AD，DF⊥BC， ∴BE＝DF＝＝6，DE＝BF＝， ∵△DPF是等腰三角形，点P（a，b）在直线BE上．且ab＞0， ∴点P在第三象限， ①当DP＝PF时， Rt△DEP≌Rt△FBP（HL） ∴EP＝BP，即点P为BE中点， 又∵E（﹣3，），B（0，﹣）， ∴P（）； ②当PD＝FD＝6时， 如图2，作PH⊥y轴于点H， 在Rt△PDE中，PD＝6，DE＝， ∴PE＝＝， ∴BP＝6﹣， ∵P在直线BE上， ∴b＝﹣﹣2， ∴PH＝﹣a，BH＝b﹣（﹣2）＝﹣a， 在Rt△PBH中，PH2+BH2＝BP2， 即，a2+3a2＝（6﹣2）2， ∴a＝﹣（3﹣）＝﹣3，b＝﹣3， ∴P（﹣3，﹣3）； ③当PF＝FD时， 如图2，连接FM， 设BE交x轴于点M， ∵∠BOM＝∠BED，∠OBM＝∠EBD， ∴△BOM∽△BED， ∴，即， 解得BM＝4， ∴FM＝＝＜6， ∴PF＞FM， 即点P在第二象限，不合题意，舍去， 综上所述，当△DPF是等腰三角形，且ab＞0时，P的坐标为（）或（）． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，用待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，将军饮马模型，等腰三角形中的分类讨论是本题的难点． 21、【分析】（1）先求得OC＝3，再根据含30度角的直角三角形的性质求得点D、A得坐标，进而可求解； （2）①可根据已知得到∠OGA＝90°，再根据含30度角的直角三角形的性质求解FE＝2EG＝2（OG﹣OE）即可；②根据平行四边形的性质，进而解方程，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得出结论； （3）由（2）过P作PM⊥EF于M，利用等边三角形的性质求，则此时△EFP与△AOC重叠部分为△EFP，可求得S值；取CG中点，根据三角形的中位线性质可证得重合，根据等边三角形的性质证得 则点P在OE上，故△EFP与△AOC 重叠部分为△FPG，进而求解即可． 【解答】解：（1）∵点C是直线y＝kx+3与y轴的交点， ∴C（0，3）即OC＝3， 又∵在Rt△COD中，∠COD＝30°， ∴CD＝， ∴D（，3）， ∵在Rt△AOC中，∠OAC＝30°， AO＝3， ∴A（3，0）， 又∵点A在直线上， ∴k+3＝0， ∴k＝﹣， 故k的值为﹣； （2）①∵∠AOC＝90°，∠OAC＝∠COD＝30°， ∴∠OGA＝90°，即OD⊥AC于点G， 又∵直线m平行于OA， ∴∠GFE＝∠OAC＝30°， ∴FE＝2EG＝2（OG﹣OE）＝2（OC﹣t）＝2（×3﹣t）＝﹣t+3， ∴L＝﹣t+3； ②∵四边形CFED为平行四边形， ∴FE＝CD＝， ∴FE＝﹣t+3＝， ∴t＝， 又∵∠AOC＝90°，∠OAC＝∠COD＝30°， ∴∠OGA＝90°即OD⊥AC于点G， ∴平行四边形CFED为菱形； （3）当t＝时，E（，），F（，），则EF＝﹣＝， 过P作PM⊥EF于M， ∵△EFP是等边三角形， ∴∠EPM＝30°，EM＝MF＝， ∴MP＝EM＝， 则此时△EFP与△AOC重叠部分为△EFP， ∴S＝EF•PM＝××＝， 取CG中点F′， ∵点E在GD中点， EF′是△CDG的中位线， ∴EF′∥CD∥x轴， ∵EF∥x轴， ∴F′和F重合， 则ef＝， ∵∠COD＝30°，△EFP是等边三角形， ∴EP＝EF＝， 则点P在OE上， ∴△EFP与△AOC重叠部分为△FPG，如图， ∵FG⊥EP， ∴∠EFG＝30°， ∴EG＝GP＝EF＝，FG＝EG＝EF＝， ∴S＝GP•FG＝×＝． 【点评】本题考查一次函数，直角三角形，等边三角形性质等综合问题，解题的关键是作出正确的辅助线． 声明： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专项三：综合压轴题型（原卷版） 1、我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题．如图1，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2． （1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝　 　，S2＝　 　；写出利用图形的面积关系所得到的公式：　 　（用式子表达）； （2）请依据（1）得到的公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）+1； （3）请用（1）中的公式证明任意两个相邻奇数的平方差必是8的倍数． 2、经调研发现，目前市场上有A，B两种类型的笔记本比较畅销．某超市计划最多投入6900元购进A，B两种类型的笔记本共500本，其中B型笔记本的进货单价比A型笔记本的进货单价多3元；用2400元购进A型笔记本与用3000元购进B型笔记本的数量相同． （1）求A，B两种类型笔记本的进货单价； （2）若A型笔记本每本的售价定为16元，B型笔记本每本的售价定为20元，该超市计划购进A型笔记本m本，两种类型的笔记本全部销售后可获利润为y元． ①请直接写出y与m之间的函数关系式为：　 　； ②该超市如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少元？ 3、如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为a cm的大正方形，2块是边长都为b cm的小正方形，5块长是a cm，宽为b cm的相同的小长方形，且a＞b． （1）观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 　 　； （2）若图中阴影部分的面积为34cm2，大长方形纸板的周长为30cm． ①求a+b的值； ②求图中空白部分的面积． 4、【综合与实践】生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，上面的图案常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的镶嵌． （1）如图1，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，∠BAD＝60°，图2右侧的阴影部分可以看成是左侧阴影部分沿射线AD方向平移而成，其中，平移的距离是 　 　.同理，再进行一次切割平移，可得图3，即图4可以看成由平行四边形经过两次切割平移而成．我们可以用若干个如图4所示的图形，平面镶嵌成如图5的图形，则图5的面积是 　 　． （2）小明家浴室装修，在墙中央留下了如图6所示的空白，经测量可以按图7所示，全部用边长为1的正三角形瓷砖镶嵌．小明调查后发现：一块边长为1的正三角形瓷砖比一块边长为1的正六边形瓷砖便宜40元；用500元购买正三角形瓷砖与用2500元购买正六边形瓷砖的数量相等． ①请问两种瓷砖每块各多少元？ ②小明对比两种瓷砖的价格后发现：用若干块边长为1的正三角形瓷砖和边长为1的正六边形瓷砖一起镶嵌总费用会更少，按小明的想法，将空白处全部镶嵌完，购买瓷砖最少需要 　 　元． 5、如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，△ABC的顶点均在格点上，在建立平面直角坐标系后，点C的坐标为（﹣2，﹣1）． （1）将△ABC向上平移6个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1； （2）以（0，﹣1）为对称中心，画出△ABC关于该点对称的△A2B2C2； （3）经探究发现，△A1B1C1和△A2B2C2成中心对称，则对称中心坐标为 　 　； （4）已知点P为x轴上不同于O、D的动点，当PA+PC＝　 　时，∠OPC＝∠DPA． 6、【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为d[M，N]． 【理解】如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若点A，B的坐标分别为（4，3），（﹣4，3），点G是▱ABCD边上任意一点． （1）当点G在边AD上时，OG的最小值是 　 　，因此d[点O，线段AD]＝　 　； （2）当点G在任意边上时，OG的最小值是 　 　，因此d[点O，▱ABCD]＝　 　； 【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，点A，B的坐标分别为（4，3），（，3），点E（a，n）是对角线AC上与点A，C，O不重合的一点，点F（b，n）是对角线BD上与点B，D，O不重合的一点． （3）当1＜d[线段EF，▱ABCD]＜2时，则n的取值范围为 　 　； （4）当n＞0时，＝　 　（结果用含n的式子表示）； 【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度． 7、【阅读理解】我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若x﹣y＞0，则x＞y；若x﹣y＝0，则x＝y；若x﹣y＜0，则x＜y． 例：已知M＝a2﹣ab，N＝ab﹣b2，其中a≠b，求证：M＞N． 证明：M﹣N＝a2﹣ab﹣ab+b2＝（a﹣b）2， ∵a≠b， ∴（a﹣b）2＞0，故M＞N， 【新知理解】 （1）比较大小：x﹣3 　 　2+x．（填“＞”，“＝”，“＜”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示（a为正整数），其面积分别为S1，S2．请比较S1，S2的大小关系． 【拓展应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A，B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打9折收费；B方案：前5次按照原价收费，从第6次起每次打8折．请问游泳的学生选择哪种方案更合算？ 8、为了方便乘客出行，深圳宝安国际机场安装了图1所示的平地电梯，如图2是其示意图，已知电梯AB的长度为200米，小刚和小明两人不乘电梯在地面匀速行走时，小刚每分钟行走的路程是小明的1.2倍，且1.5分钟后，小刚比小明多行走15米． （1）求两人在地面上每分钟各行走多少米？ （2）若两人同时从A点出发在平地电梯上行走，电梯向前行驶的同时两人仍保持原来在地面上匀速行走的速度在电梯上行走，当小刚到达B处时，小明还剩20米才到达B处． ①求电梯每分钟行驶多少米？ ②当小刚到达B处时，发现有一袋行李忘在了A处，于是马上以每分钟a米的速度从地面返回A处，拿了行李后立即乘平地电梯（同时按原来在地面上匀速行走的速度行走）去B处和小明汇合，要使小明到达B点后等待的时间不超过4分钟，求a的最小值． 9、定义：若一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称此一元一次方程为此一元一次不等式组的子方程．例如：方程4x﹣16＝0的解为x＝4，不等式组的解集为2＜x＜5，因2＜4＜5，故方程4x﹣16＝0是不等式组的子方程． （1）在方程①5x+2＝0，②x+1＝0，③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式组的子方程是 　 　（填序号）； （2）若不等式组的一个子方程的解为整数，则此子方程的解是 　 　； （3）若方程2x+3＝x+6，2x+5＝（x+4）都是关于x的不等式组的子方程，求m的取值范围． 10、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，OC＝2，点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒，将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA． （1）当t＝2时，点D的坐标是 　 　； （2）请用含t的代数式表示出点D的坐标 　 　； （3）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求t的值，若不能，请说明理由． 11、阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想一一转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3﹣2x2﹣3x＝0通过因式分解可以把它转化x（x2﹣2x﹣3）＝0，解方程x＝0和x2﹣2x﹣3＝0，可得方程x2﹣2x2﹣3x＝0的解． 问题：（1）方程x3﹣2x2﹣3x＝0的解是x1＝0，x2＝　 　，x3＝　 　； （2）求方程x3＝6x2+16x的解； 拓展：（3）用“转化”思想求方程＝x﹣1的解． 12、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿边AB向终点B以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向终点C以3cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒（t＞0）． （1）填空：PB＝　 　cm（用含t的代数式表示）； （2）当t为何值时，PQ的长度等于10cm？ （3）连接DPDQ，记△DPQ的面积为S． ①S＝　 　cm2（用含t的代数式表示）； ②当t＝　 　秒时，S的最小值为 　 　cm2． （相关材料阅读： 2x2﹣8x+3 ＝2（x2﹣4x+22）+3﹣2×22 ＝2（x﹣2）2﹣5 易知，当x＝2时，2x2﹣8x+3的最小值为﹣5．） 13、小俊奶茶店厂生产A．B两种奶茶，由于地处旅游景点区域，每天都供不应求．经过数学计算，小俊发现A种奶茶每杯生产时间为4分钟，B种奶茶每杯生产时间为1分钟，由于原料和运营时间限制，每天生产的总时间为300分钟． （1）设A种奶茶生产x杯，B种奶茶生产y杯，则y与x之间的函数关系式y＝　 　． （2）由于A种奶茶比较受顾客青睐，小俊决定每天生产A种奶茶不少于73杯，那么不同的生产方案有多少种？并写出每种生产方案． （3）在（2）情况下，若A种奶茶每杯利润为3元，B种奶茶每杯利润为1元，直接写出小俊每天获得的最大利润为　 　． 14、如图，矩形OBCD中，OB＝5，OD＝3，以O为原点建立平面直角坐标系，点B，点D分别在x轴、y轴上，点C在第一象限内，若平面内有一动点P，且满足S△POB＝S矩形OBCD． （1）求S△POB； （2）求直线OC的解析式； （3）当点P在矩形的对角线OC上，求点P的坐标； （4）当点P到O，B两点的距离之和PO+PB取最小值时，求点P的坐标． 15、如图1，正方形ABCD的边长为8cm，动点E从B点出发，在正方形的边上由B→A→D→C运动，设运动的时间为t（s），△BEC的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图2所示，请回答下列问题： （1）点E在BA上运动时间为 　 　s，在DC上运动的速度为 　 　cm/s，△BEC的面积S的最大值为 　 　cm2； （2）求点E在DC上运动时S与t的函数解析式； （3）当t为何值时，△BEC的面积为20cm2． 16、小明和小亮在学习中遇到了这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6cm，BC＝10cm，CD＝8cm，点P以每秒2个单位长的速度从B点向C点运动，点Q以每秒1个单位长的速度从A点向D点运动，两点同时出发，其中一点到达终点时，另一点也随之停止，连接PQ、PD，△PQD是否会出现等腰三角形的情况？ （1）小明用函数思想解决了此问题，他根据点P、点Q的不同位置，画出相应的图形，测量线段AQ、DQ、PQ、PD的长度，得到如所示表格中的几组对应值（测量结果保留一位小数）； AQ/cm 0 1 2 3 4 5 DQ/cm 6 5 4 3 2 1 PQ/cm 6.9 7.0 7.2 7.5 a 8.5 PD/cm 9.1 8.0 7.2 6.9 7.2 8.0 ①将线段AQ的长度作为自变量x，PQ、PD的长度都是关于x的函数，分别记为y1，y2，在图2中平面直角坐标系xOy中描出了各点，并画出了y2的函数图象，请画出y1的函数图象（0≤x≤5）； ②结合表格和图象解决问题：表格中a的值是 　 　（测量结果保留一位小数）；在点P、点Q移动的过程中，运动时间为 　 　秒时，△PQD为等腰三角形； （2）小亮通过几何推理计算也解决了此问题．请你用小亮的方法求当PQ＝PD时点P运动的时间？并直接写出此时PD的长． 17、为了加强中华传统文化教育，某校计划组织学生去参观广东革命历史博物馆．现有A、B两种客车可供选择．A种客车可载45人，B种客车可载33人．若租用2辆A种客车和3辆B种客车，共需1700元；若租用1辆A种客车和2辆B种客车，共需1000元． （1）每辆A种客车和每辆B种客车的租金各多少元？ （2）若学校安排5名教师带280名学生去革命历史博物馆，计划租用A、B两种客车共7辆，且要保证所有出行师生都有座位，则有几种租车方案？哪种方案租金最便宜？ 18、如图，已知四边形OABC为菱形，点B在x轴上，过点C的直线CD交x轴于点D．其中直线CD的解析式为y＝x+1，点B的坐标为（2，0），连接AC交x轴于点E． （1）求AC的长； （2）点P为x轴下方直线CD上一点，若△COP的面积为菱形OABC的面积一半，求点P的坐标． 19、定义“点P对图形Q的可视度”：在平面直角坐标系中，对于点P和图形Q，若图形Q上所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，点O对线段AB的可视度为∠AOB的度数． （1）如图2，已知点A（﹣3，1），B（2，1），C（0，2），D（1，3）．连接DA，DB，则∠ADB的度数为点D对△ABC的可视度．求证：∠ADB＝90°； （2）如图3，已知四边形ABCD为正方形，其中点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1）．直线与x轴交于点E，与y轴交于点F，其中点F对正方形ABCD的可视度为60°，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，在平面直角坐标系内是否存在点M，使以点A，B，E，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点M坐标；若不存在，请说明理由． 20、如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的四个顶点在坐标轴上，C，D两点的坐标分别是（6，0），（0，2），BE⊥AD于E，F是BC的中点，点P（a，b）在直线BE上． （1）求直线BE的解析式； （2）当DP+FP的值最小时，求点P的坐标； （3）当△DPF是等腰三角形，且ab＞0时，写出点P的坐标． 21、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴正半轴，点D在矩形的边BC上，AC与OD相交于点G，∠OAC＝∠COD＝30°，对角线AC解析式为：y＝kx+3． （1）求D点坐标和k的值； （2）平行于x轴的直线m，从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿OC方向移动，到达点C时停止，运动时间为t秒，平移过程中，直线m与线段OD、AC分别交于点E、F． ①记线段EF的长度为L，当点F在点E右边时，求L与t的函数关系式； ②当四边形CEFD为平行四边形时，求t的值，并说明此时的平行四边形是否为菱形； （3）在（2）的情况下，以EF为边向下作等边△EFP（点P在线段EF下方），△EFP与△AOC重叠部分的面积记为S． 填空：当t＝秒时，S的值 　 　；当E点落在GD中点时，S的值 　 　． 学科网（北京）股份有限公司 $$