第19章 一次函数压轴题型 训练 2023—2024学年人教版数学八年级下册

压轴专项一：一次函数压轴（原卷版） 1、如图，已知函数y1＝﹣x+b，y2＝mx﹣1，其中y1的图象经过点（3，0）． （1）当y1＞0时，x的取值范围是 　 　； （2）当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，求m的取值范围； （3）若m＝1，，求A、B的值． 2、如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，直线l1：y＝2x﹣5是河岸，河在l1右侧，l1左侧的A（2，4）是一个河鲜冷藏仓库，B（0，1）是超市． （1）现计划在河岸l1上建立一座河鲜加工厂C，加工厂C从仓库A进货加工，再运输至超市B，请在图中找出加工厂C的位置，使进出货物的运输路径最短；（仅限在所给网格内作图，不需要说明作图理由） （2）若河的两岸互相平行，河宽为． ①在图中画出表示对面河岸的直线l2，并直接写出l2的解析式； ②l2上有一点D，纵坐标为6，l2右侧有一点E（9，3），线段DE是支流（宽度不计），支流有丰富多样的河鲜可以打捞．为支持河鲜产业发展，政府计划垂直于河的两岸造桥，渔民在支流处打捞河鲜后装上货车，运输河鲜到对岸的河鲜冷藏仓库A．请求出l2上的造桥位置F的坐标，以及支流DE上的打捞河鲜位置G的坐标，使运输路径最短． 3、阅读材料： 在数轴上，x＝2表示一个点；在平面直角坐标系中，x＝2表示一条直线；以二元一次方程x+y＝2的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝﹣x+2的图象，它也是一条直线． 如图1，在平面直角坐标系中，不等式x≤2表示一个平面区域，即直线x＝2及其左侧的部分；如图2，不等式y≤﹣x+2也表示一个平面区域，即直线y＝﹣x+2及其下方的部分． 请根据以上材料回答问题： （1）图3阴影部分（含边界）表示的是 　 　（填写不等式）表示的平面区域； （2）如图4，请求出表示阴影部分平面区域（含边界）的不等式组； （3）如图5，点A在x轴上，点B的坐标为（0，1），且∠ABO＝60°，点P为△ABO内部一点（含边界），过点P分别作PC⊥OA，PD⊥AB，PE⊥BO，垂足分别为C，D，E，若PC≤PE≤PD，则所有点P组成的平面区域的面积为 　 　． 4、数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其它函数”的关系问题．他们确定以函数y＝|x+1|为研究对象，通过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数y＝|x+1|的图象． ①列表： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 3 a 1 0 1 2 3 … 其中，表格中a的值为 　 　； ②描点，连线： 根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （2）观察函数y＝|x+1|的图象，回答下列问题： ①当x＝　 　时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为 　 　； ②当 　 　时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是 　 　； （4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是 　 　． 5、如图1，在平面直角坐标系中，直线l1交x轴于点A，交y轴于点B，点A坐标为（3，0），直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1． （1）求直线l1的解析式； （2）在x轴上是否存在一点E，使得△ACE是以AC为腰的等腰三角形？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，说明理由； （3）如图2，点D是x轴上一动点，过点D作x轴的垂线，分别交l1、l2于点M、N，当MN＝2时，求点D的坐标． 6、如图，已知直线l过点A（0，1）和B（1，0），P是x轴正半轴上的动点，OP的垂直平分线交l于点Q，交x轴于点M． （1）求直线l的解析式； （2）设OP＝t，△OPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式； （3）直线l1过点A且与x轴平行，当点Q在线段AB上时，问在l1上是否存在点C使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 7、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+6与x和y轴分别交于点B和点C，与直线OA相交于点A（4，2），动点M在线段OA和射线AC上运动． ①求点B和点C的坐标． ②求△OAC的面积． ③是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标，若不存在，说明理由． 8、如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线上有一个动点M，当点M的纵坐标为8时，连接OM，过点M作ME∥x轴，过点A作AE∥OM，交ME于点E． （1）求点M坐标： （2）试判断四边形AOME的形状，并说明理由； （3）点P从四边形AOME的顶点M出发沿ME，EA以每秒2个单位的速度运动，求△PBE的面积S与运动时间t的函数关系式． 9、如图，直线l1与x轴，y轴分别交于A（2，0），B两点，点P（﹣1，3）为直线l1上一点，另一直线l2：过点P，与x轴交于点C． （1）分别求出直线l1和l2的解析式，并直接写出点B和点C的坐标； （2）若动点Q从点C开始以每秒1个单位的速度向x轴正方向移动，设点Q的运动时间为t秒． ①当点Q在运动过程中，请求出△APQ的面积S与t的函数关系式； ②求出当t为多少时，△APQ的面积等于3． 10、如图，△OAB是边长为2的等边三角形，以O为原点建立平面直角坐标系，点B在x轴正半轴上，过点A的直线与x轴交于点E． （1）求点A的坐标； （2）求点E的坐标； （3）求证OA⊥AE． 11、如图，直线y＝x﹣12与x轴、y轴分别交于A、B两点，P为OB上一点，若将△ABP沿AP折叠，点B恰好落在x轴上的B'处． （1）求点B'的坐标； （2）求直线AP的解析式； （3）在平面内是否存在点Q，使得以A、P、B'、Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 12、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上． （1）求点A，B的坐标； （2）若C是x轴的负半轴上一点．且S△PAC＝S△AOB，求直线PC的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴于点M，是否存在点E，使得三角形EMQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 13、如图，直线y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点A（4，0）、B（0，4），点P在x轴上运动，连接PB，将△OBP沿直线BP折叠，点O的对应点记为O′． （1）求k、b的值； （2）若点O′恰好落在直线AB上，求△OBP的面积； （3）将线段PB绕点P顺时针旋转45°得到线段PC，直线PC与直线AB的交点为Q，在点P的运动过程中，是否存在某一位置，使得△PBQ为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 14、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3分别与x轴，y轴交于点A，B，点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上． （1）求点A，B的坐标； （2）若C是x轴的负半轴上一点，且S△PAC＝S△AOB，求直线PC的表达式； （3）在（2）的条件下，若E是直线AB上一动点，过点E作EQ∥x轴交直线PC于点Q，EM⊥x轴于点M，是否存在点E，使得三角形EMQ为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 15、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2：y＝kx+b与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，直线l1与直线l2交于点D（2，a）． （1）求直线l2的解析式； （2）若点E为直线l2上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G．设F（m，0），求△DEG的面积（用含m的式子表示）； （3）问在平面内是否存在点M，使得以点A、C、D、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 16、如图，平面直角坐标系中，A（0，4），C（8，0）．F为矩形OABC对角线AC的中点，过点F的直线分别与OC、AB交于点D、E． （1）求证：FD＝FE； （2）设OD＝m，△ADF的面积为S， ①求S与m的函数关系式； ②当DE⊥AC时，求S的值； （3）若点P在坐标轴上，平面内存在点Q，使以P、Q、A、C为顶点的四边形是矩形，请直接写出点Q的坐标． 17、如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x+5与y轴交于点A，直线l2与x轴、y轴分别交于点B（﹣4，0）和点C，且与直线l1交于点D（2，m）． （1）求直线l2的解析式； （2）若点E为线段BC上一个动点，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且与直线l1交于点G，当EG＝6时，求点G的坐标； （3）若在平面上存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点H的坐标． 18、图中折线表示一骑车人小明离学校的距离y（km）与离开学校时间x（h）的关系．小明匀速骑行2h到达图书馆，在图书馆阅读一段时间，然后返回学校；回学校途中，匀速骑行0.5h后减速，继续匀速骑行回到学校、请你根据相关信息，解答下列问题． （1）图书馆与学校距离是 　 　km，小明在图书馆阅读时长为 　 　h，小明前往图书馆的平均速度是 　 　km/h，当0≤x≤2时，y关于x的解析式为 　 　； （2）小明刚开始离开学校的时候，另一骑车人小华同时出发，从图书馆沿着相同路线以速度v1＝10km/h匀速前往学校，到达学校后马上骑车以速度v2匀速前往图书馆． ①请问小华速度v2为何范围时，小华与小明可以在5≤x≤5.5时相遇； ②当0≤x≤3时，请求出x为何值时小华与小明相距25km． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴专项一：一次函数压轴（解析版） 1、【分析】（1）由图象直接可得答案； （2）根据当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2，可得2m﹣1≥1，m≥1； （3）m＝1时，＝+，可得，故A的值为5，B的值为2． 【解答】解：（1）由图象可得，当y1＞0时，x的取值范围是x＜3， 故答案为：x＜3； （2）∵y1＝﹣x+b的图象经过点（3，0）． ∴y1＝﹣x+3， 把x＝2代入y1＝﹣x+3得y1＝1； ∵当x＞2时，对于x的每一个值，都有y1＜y2， ∴x＝2时，y2≥1，即2m﹣1≥1， ∴m≥1； （3）m＝1时，＝+， ∴＝， ∴， 解得， ∴A的值为5，B的值为2． 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解题的关键是列出相应的不等式或方程组解决问题． 2、【分析】（1）取格点N（6，2），连接BN交直线l1于C，C即为所求的点； （2）①过N（6，2）作直线l1的平行线l2，直线l2即为对面河岸；用待定系数法可得l2的解析式为y＝2x﹣10； ②结合①，过M作MG⊥DE于G，交直线l2于F，过F修桥，可满足题意． 【解答】解：（1）取格点N（6，2），连接BN交直线l1于C，如图： C即为所求的点； （2）①过N（6，2）作直线l1的平行线l2，如图： 直线l2即为对面河岸； 设直线l2解析式为y＝2x+b， 将（6，2）代入得：2＝12+b， 解得b＝﹣10， ∴l2的解析式为y＝2x﹣10； ②如图： ∵l2的解析式为y＝2x﹣10；D纵坐标为6， ∴D（8，6）， 由（1）知AM⊥直线l1，且， 又∵桥HF⊥l1， ∴AM∥HF，AM＝HF， ∴四边形AMFH是平行四边形， ∴AH＝MF ∴运输路径＝AH+HF+FG＝MF+FG+， ∴当M、F、G共线且垂直于DE时，运输路径最短， 由图知△NDE是等腰直角三角形， ∴NE⊥DE， 当F坐标为（7，4）时，NE∥MF， ∴MF⊥DE， 又∵ME＝MD＝5， 由等腰三角形三线合一知点G为DE中点， ∴； 答：F（7，4），，能使运输路径最短． 【点评】本题考查一次函数的应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形，平移变换，平行四边形等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 3、【分析】（1）求出经过（﹣2，0），（0，2）的直线为y＝x+2，可得图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域； （2）用待定系数法求出直线m解析式为y＝﹣x+3，直线n解析式为y＝3x+3，即得阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，满足条件的P在△OGK内（包括边界），再求出OK＝＝＝，列方程求得CG＝，用三角形面积公式可得答案． 【解答】解：（1）设经过（﹣2，0），（0，2）的直线为y＝kx+2， ∴﹣2k+2＝0， 解得k＝1， ∴经过（﹣2，0），（0，2）的直线为y＝x+2， 观察图象可知，图3阴影部分（含边界）表示的是y≥x+2表示的平面区域； 故答案为：y≥x+2； （2）设直线m解析式为y＝k1x+3，把（6，0）代入得： 6k1+3＝0， 解得k1＝﹣， ∴直线m解析式为y＝﹣x+3， 设直线n解析式为y＝k2x+3，将（﹣1，0）代入得： ﹣k2+3＝0， 解得k2＝3， ∴直线n解析式为y＝3x+3， 观察图象可知，阴影部分平面区域（含边界）的不等式组为； （3）作∠AOB的平分线交AB于R，∠OBA的平分线交OA于K，∠BAO的平分线交OB于T，BK，OR，AT交于G，如图： 满足条件的P在△OGK内（包括边界），即图中阴影部分， 在Rt△BOK中，∠OBK＝ABO＝30°， ∴OK＝＝＝． ∵∠EOG＝∠COG＝∠AOB＝45°， ∴OE＝GE，OC＝CG， ∵∠EOC＝∠GEO＝∠GCO＝90°， ∴四边形EOCG是正方形， 设OE＝OC＝CG＝EG＝x，则BE＝x， ∴BE+OE＝x+x＝1， ∴x＝， ∴CG＝， ∴S△OGK＝OK•CG＝××＝， 故答案为：． 【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，不等式（组），三角形面积等知识，解题的关键是数形结合思想的应用． 4、【分析】（1）把x＝﹣3代入解析式即可求得a＝2，描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线． （2）根据图象即可求得； （3）观察图象即可得到答案； （4）根据图象即可求得． 【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2， ∴a＝2． 函数图象如图所示． 故答案为：2； （2）观察函数y＝|x+1|的图象， ①当x＝﹣1时，函数y＝|x+1|有最小值，最小值为0； ②当x＞﹣1时，y随x的增大而增大； 故答案为：﹣1，x＞﹣1； （3）观察图象，不等式的解集是﹣3＜x＜0； 故答案为：﹣3＜x＜0； （4）若直线与y＝|x+1|有2个交点，则k的取值范围是﹣1＜k＜， 故答案为：﹣1＜k＜． 【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解决本题关键． 5、【分析】（1）先求得C（1，3），再运用待定系数法即可求得直线l1的解析式； （2）过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0），利用勾股定理可得AC＝＝＝，设E（x，0），则AE＝|x﹣3|，分两种情况：当AE＝AC时，当AC＝CE时，分别求出点E的坐标即可； （3）设D（m，0），则M（m，﹣m+），N（m，3m），分两种情况：当m＜1时，MN＝﹣m+﹣3m＝﹣m+，当m＞1时，MN＝3m﹣（﹣m+）＝m﹣，分别根据MN＝2建立方程求解即可得出答案． 【解答】解：（1）∵直线l2：y＝3x与直线l1相交于点C，点C的横坐标为1， ∴C（1，3）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、C（1，3）代入，得， 解得：， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+； （2）存在． 如图1，过点C作CH⊥x轴于点H，则H（1，0）， ∴AH＝3﹣1＝2，CH＝3， 在Rt△ACH中，AC＝＝＝， 设E（x，0），则AE＝|x﹣3|， 当AE＝AC时，|x﹣3|＝， 解得：x＝3﹣或3+， ∴E（3﹣，0）或（3+，0）； 当AC＝CE时， ∵CH⊥x轴，即CH⊥AE， ∴AH＝EH，即AE＝2AH＝4， ∴E（﹣1，0）； 综上所述，点E的坐标为（3﹣，0）或（3+，0）或（﹣1，0）； （3）设D（m，0），则M（m，﹣m+），N（m，3m）， 如图2，当m＜1时，MN＝﹣m+﹣3m＝﹣m+， ∵MN＝2， ∴﹣m+＝2， 解得：m＝， ∴D（，0）； 当m＞1时，MN＝3m﹣（﹣m+）＝m﹣， ∵MN＝2， ∴m﹣＝2， 解得：m＝， ∴D（，0）； 综上所述，点D的坐标为（，0）或（，0）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，等腰三角形性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，分类讨论思想等相关知识，解题的关键是进行正确的分类讨论． 6、【分析】（1）运用待定系数法即可求得直线l的解析式为y＝﹣x+1； （2）由题意可得M（t，0），Q（t，﹣t+1），再由三角形面积公式可得S＝OP•QM＝t•|﹣t+1|，再根据绝对值的性质可得：当0＜t＜2时，S＝t（﹣t+1）＝﹣t2+t；当t＞2时，S＝t（t﹣1）＝t2﹣t； （3）延长MQ交直线l1于点F，则F（t，1），可得FQ＝1﹣（﹣t+1）＝t，推出MP＝FQ，再由等腰直角三角形性质可得PQ＝QC，利用HL可证得Rt△PQM≌Rt△QCF，即可得出点C的坐标． 【解答】解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（0，1）、B（1，0）代入，得， 解得： ∴直线l的解析式为y＝﹣x+1； （2）∵OP＝t，OP的垂直平分线交l于点Q，交x轴于点M， ∴M（t，0），Q（t，﹣t+1）， ∴QM＝|﹣t+1|， ∴S＝OP•QM＝t•|﹣t+1|， 当0＜t＜2时， S＝t（﹣t+1）＝﹣t2+t； 当t≥2时， S＝t（t﹣1）＝t2﹣t； 综上所述，S＝； （3）存在，C（1，1）． 如图，延长MQ交直线l1于点F，则F（t，1）， ∴AF＝OM＝t， ∵Q（t，﹣t+1）， ∴FQ＝1﹣（﹣t+1）＝t， ∵M是OP的中点， ∴MP＝OM＝t， ∴MP＝FQ， ∵△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形， ∴PQ＝QC， ∴Rt△PQM≌Rt△QCF（HL）， ∴FC＝QM＝﹣t+1， ∴AC＝AF+FC＝t﹣t+1＝1， ∴C（1，1）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，等腰直角三角形性质，全等三角形的判定和性质等，要注意的是（2）中为保证线段的长度不为负数要分情况进行求解． 7、【分析】①利用待定系数法即可解决问题； ②利用三角形的面积公式计算即可； ③分两种情形讨论求解即可； 【解答】解：①设y＝0，则x＝6；设x＝0，则y＝6， 故点B的坐标为（6，0），点C的坐标为（0，6） ②S△OAC＝OC×xA＝×6×4＝12； ③存在点M使S△OMC＝S△OAC； 设M的坐标为（x，y）；OA的解析式是y＝mx，则4m＝2， 解得：m＝，则直线OA的解析式是：y＝x， ∵当S△OMC＝S△OAC时，即 ×OC×|x|＝×12， 又∵OC＝6，∴x＝±1， 当M在线段OA上时，x＞0，所以x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）； 当M在射线y＝﹣x+6上时，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）； x＝﹣1则y＝7，则M的坐标是（﹣1，7） 综上所述：M的坐标是：M（1，）或M（1，5）或（﹣1，7） 【点评】本题考查一次函数相交或平行问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 8、【分析】（1）当y＝8时，8＝﹣x+5，即可求得点M的坐标； （2）先证明四边形AOME是平行四边形，再根据两点间距离公式可得OM＝10＝OA，即可得出四边形AOME是菱形； （3）分两种情况：当0≤t≤5时，可得S＝﹣3t+15；当5＜t≤10时，可得S＝5t﹣25． 【解答】解：（1）当y＝8时，8＝﹣x+5， 解得：x＝﹣6， ∴M（﹣6，8）； （2）四边形AOME是菱形．理由如下： ∵ME∥x轴，AE∥OM， ∴四边形AOME是平行四边形， ∵直线与x轴交于点A， ∴A（10，0）， ∴OA＝10， ∵M（﹣6，8）， ∴OM＝＝10， ∴OM＝OA， ∴四边形AOME是菱形； （3）在y＝﹣x+5中，当x＝0时，y＝5， ∴B（0，5）， 由题意得：MP＝2t，ME＝AE＝OA＝10， 当0≤t≤5时，PE＝10﹣2t，如图，设ME交y轴于点F， 则F（0，8）， ∴BF＝8﹣5＝3， ∴S＝PE•BF＝（10﹣2t）×3＝﹣3t+15； 当5＜t≤10时，如图，过点B作BG⊥AE于点G， 由题意得：ME+EP＝2t， ∴EP＝2t﹣10， ∵S△AME＝S△AMO＝×10×8＝40，S△BEM＝×10×3＝15， ∴S△ABE＝S△AME﹣S△BEM＝40﹣15＝25， ∴AE•BG＝25，即×10BG＝25， ∴BG＝5， ∴S＝PE•BG＝（2t﹣10）×5＝5t﹣25， 综上所述，S＝． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，两点间距离公式、平行四边形和菱形的判定等，运用分类讨论思想解决问题是解本题的关键． 9、【分析】（1）分别待定系数法求得直线l1，l2的解析式，进而令x＝0或y＝0，得出B，C的坐标； （2）①由题意可知Cq＝t，P到x轴的距离为3，依题意AC＝2﹣（﹣7）＝9，分当Q在A、C之间时，当Q在A的右边时，分别根据三角形的面积公式即可求解； ②令S＝3可得代入①的解析式，列出方程，解方程即可求解． 【解答】解：（1）设直线l1的函数解析式为y＝kx+n，代入A（2，0）和P（﹣1，3）， 得：， 解得， ∴直线l1的函数解析式为y＝﹣x+2， 当x＝0时，y＝2， ∴B（0，2）， 将P（﹣1，3）代入，得：， 解得， ∴直线l2的函数解析式为； 当y＝0时，x＝﹣7， ∴C（﹣7，0）； （2）①由题意可知Cq＝t，P到x轴的距离为3， ∵A（2，0），C（﹣7，0）， ∴AC＝2﹣（﹣7）＝9， 当Q在A、C之间时，则AQ＝AC﹣CQ＝9﹣t， ∴； 当Q在A的右边时，则AQ＝CQ﹣AC＝t﹣9， ∴， ②令S＝3可得或， 解得t＝7或t＝11，即当t的值为7秒或11秒时△APQ的面积等于3． 【点评】本题考查了一次函数的综合应用，待定系数法求一次函数解析式，列函数关系式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形面积，数形结合，分类讨论是解题的关键． 10、【分析】（1）过A作AC⊥OB，垂足为C，根据等边三角形的性质求出OC，利用勾股定理求出AC，可得点A坐标； （2）将点A坐标代入解析式中求出m，再令y＝0，求出x的值，即可得到点E的坐标； （3）根据点A和点E坐标求出AE，OE，再根据勾股定理的逆定理得到方程，即可证明OA⊥AE． 【解答】（1）解：如图，过A作AC⊥OB，垂足为C， ∵△OAB是边长为2的等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴OC＝OB＝1， ∴AC＝＝， ∴点A的坐标为（1，）； （2）解：∵A（1，）， 代入中， 解得m＝， ∴y＝x+， 令y＝0，则x＝4． ∴E（4，0）； （3）∵E（4，0）， ∴OE＝4， ∵A（1，）． ∴AE＝＝2， ∵OA2+AE2＝22+（2）2＝16＝OE2， ∴∠OAE＝90°， 即OA⊥AE． 【点评】本题考查了一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练转化点的坐标和线段的长． 11、【分析】（1）根据函数解析式求出A点和B点的坐标，利用勾股定理求出AB的长，求出OB'的长度即可确定B'点的坐标； （2）设OP＝x，利用勾股定理求出x的值，再用待定系数法求出直线AP的解析式即可； （3）分情况根据平行四边形的性质求出Q点的坐标即可． 【解答】解：（1）∵直线y＝x﹣12与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴B（0，﹣12），A（9，0）， ∴OB＝12，OA＝9， ∴AB＝＝＝15， 由翻折知，AB＝AB'＝15， ∴OB'＝AB'﹣OA＝15﹣9＝6， ∴B'（﹣6，0）； （2）设OP＝x，则B'P＝BP＝12﹣x， ∵B'P2＝OP2+OB'2， ∴（12﹣x）2＝x2+62， 解得x＝， ∴P（0，﹣）， 设直线AP的解析式为y＝kx+b， 由题意得，， 解得， ∴直线AP的解析式为y＝x﹣； （3）存在， ∵A（9，0），P（0，﹣），B'（﹣6，0）， ∴以A、P、B'、Q为顶点的四边形是平行四边形分以下几种情况： 设Q（s，t）， ①当B'P为对角线时，根据对角线中点坐标可得， ， 解得， 即Q（﹣15，﹣）； ②当AP为对角线时，根据对角线中点坐标可得， ， 解得， 即Q'（15，﹣）； ③当B'A为对角线时，根据对角线中点坐标可得， ， 解得， 即Q''（3，）； 综上所述，符合条件的Q点的坐标为（﹣15，﹣）或（15，﹣）或（3，）． 【点评】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，平行四边形的性质等知识是解题的关键． 12、【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特点直接求解即可； （2）由题意可得P（1，2），设C（c，0），则S△PAC＝×2（3﹣c）＝××3×3，求出C点坐标，再由待定系数法求函数解析式即可； （3）设E（t，﹣t+3），则Q（﹣t+，﹣t+3），当三角形EMQ为等腰直角三角形时，EQ＝EM，则|t﹣|＝|t﹣3|，求出t即可求E点坐标． 【解答】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴B（0，3）， 令y＝0，则x＝3， ∴A（3，0）； （2）将点P（1，m）代入y＝﹣x+3， ∴m＝2， ∴P（1，2）， 设C（c，0），由（1）可得OA＝OB＝3， ∴S△AOB＝×3×3＝， ∵S△PAC＝S△AOB， ∴S△PAC＝＝×2（3﹣c）， ∴c＝﹣， ∴C（﹣，0）， 设直线PC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴y＝x+； （3）存在点E，使得三角形EMQ为等腰直角三角形， 设E（t，﹣t+3），则Q（﹣t+，﹣t+3）， ∴EQ＝|t﹣|，EM＝|t﹣3|， 当三角形EMQ为等腰直角三角形时，EQ＝EM， ∴|t﹣|＝|t﹣3|， 解得t＝﹣或t＝， ∴E（﹣，）或（，）． 【点评】本题是一次函数综合题，考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的判定及性质是解题的关键． 13、【分析】（1）用待定系数法直接求出； （2）分P在x轴的正半轴和负半轴：①当P在x轴的正半轴时，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根据三角形面积公式可得结论；②当P在x轴的负半轴时，同理可得结论； （3）分4种情况：分别以P、B、Q三点所成的角为顶角讨论： ①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，②当BP＝PQ时，如图3，③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称，根据图形和等腰三角形的性质可计算对应点P的坐标． 【解答】解：（1）∵点A（4，0）、B（0，4）在直线y＝kx+b上， ∴， 解得：k＝﹣1，b＝4； （2）存在两种情况： ①如图1，当P在x轴的正半轴上时，点O′恰好落在直线AB上，则OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°， ∵OB＝OA＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AB＝4，∠OAB＝45°， 由折叠得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP， ∴△OBP≌△O'BP（AAS）， ∴O'B＝OB＝4， ∴AO'＝4﹣4， Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8﹣8； ②如图所示：当P在x轴的负半轴时， 由折叠得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4， ∵∠BAO＝45°， ∴PO'＝PO＝AO'＝4+4， ∴S△BOP＝OB•OP＝＝8+8； （3）分4种情况： ①当BQ＝QP时，如图2，P与O重合，此时点P的坐标为（0，0）； ②当BP＝PQ时，如图3， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°， ∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB， ∴∠APB＝22.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AP＝AB＝4， ∴OP＝4+4， ∴P（4+4，0）； ③当PB＝PQ时，如图4，此时Q与C重合， ∵∠BPC＝45°， ∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°， △PCA中，∠APC＝22.5°， ∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°， ∴∠ABP＝∠APB， ∴AB＝AP＝4， ∴OP＝4﹣4， ∴P（4﹣4，0）； ④当PB＝BQ时，如图5，此时Q与A重合，则P与A关于y轴对称， ∴此时P（﹣4，0）； 综上，点P的坐标是（0，0）或（4+4，0）或（4﹣4，0）或（﹣4，0）． 【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式及等腰三角形的判定，并注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想解决问题． 14、【分析】（1）在y＝﹣x+3中，分别令y＝0，x＝0求解即可； （2）利用三角形面积公式求得S△AOB＝，将点P的坐标代入直线y＝﹣x+3中，求得P（1，2），设点C的坐标为（a，0），则AC＝3﹣a，由S△PAC＝S△AOB可得，解得a＝，于是C，再利用待定系数法即可求出直线PC的表达式为； （3）过点Q作QN⊥x轴于点N，设E（t，﹣t+3），则EM＝|﹣t+3|，根据平行于x轴的直线上的点纵坐标相等可得Q，由两点间的距离公式可得EQ＝，当△EMQ为等腰直角三角形时，EQ＝EM，以此列出方程，求解即可． 【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令y＝0，得0＝﹣x+3， 解得：x＝3， ∴A（3，0）， 在y＝﹣x+3中，令x＝0，得y＝3， ∴B（0，3）； （2）由（1）知，A（3，0），B（0，3）， ∴OA＝3，OB＝3， ∴S△AOB＝＝＝， ∵点P（1，m）在直线y＝﹣x+3上， ∴m＝﹣1+3＝2， ∴P（1，2）， 设点C的坐标为（a，0）， ∴AC＝3﹣a， ∵S△PAC＝S△AOB， ∴，即， 解得：a＝， ∴C， 设直线PC的表达式为y＝kx+b， 将点P（1，2），C代入，得， 解得：， ∴直线PC的表达式为； （3）存在点E，使得三角形EMQ为等腰直角三角形， 如图，过点Q作QN⊥x轴于点N， 设E（t，﹣t+3）， ∵EM⊥x轴， ∴EM＝|﹣t+3|， ∵EQ∥x， ∴点Q与点E的纵坐标相同， ∴， ∴， ∴Q， ∴EQ＝＝， 当△EMQ为等腰直角三角形时，EQ＝EM， ∴， 解得：t＝或t＝， ∴E 或． 【点评】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线与坐标轴为图形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、利用待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的性质，解题关键是利用待定系数法正确求出一次函数解析式，熟知等腰直角三角形的性质． 16、【分析】（1）证△EAF≌△DCF（ASA），即可得出结论； （2）①连接CE，证四边形AECD是平行四边形，则S平行四边形AECD＝CD•OA＝32﹣4m，再由面积关系得S△ADF＝S△ACD＝8﹣m即可； ②证四边形AECD是菱形，得AD＝CD，再由勾股定理得AD＝，则＝8﹣m，解得m＝3，即可得出结论； （3）分三种情况，①点P在x轴的负半轴上时，②点P在y轴的负半轴上时，③当点P与原点O重合时，分别由矩形的性质和勾股定理得出方程，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形OABC是矩形， ∴AB∥OC， ∴∠EAF＝∠DCF， ∵F为AC的中点， ∴AF＝CF， 在△EAF和△DCF中， ， ∴△EAF≌△DCF（ASA）， ∴FD＝FE； （2）解：①如图1，连接CE， 由（1）得：FD＝FE，AF＝CF， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵A（0，4）、C（8，0）， ∴OA＝4，OC＝8， ∴CD＝OC﹣OD＝8﹣m， ∴S平行四边形AECD＝CD•OA＝（8﹣m）×4＝32﹣4m， ∵AF＝CF， ∴S△ADF＝S△ACD＝×S平行四边形AECD＝××（32﹣4m）＝8﹣m， ∴S与m的函数关系式为：S＝8﹣m； ②∵DE⊥AC， ∴四边形AECD是菱形， ∴AD＝CD， 在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD＝＝， ∵CD＝8﹣m， ∴＝8﹣m， 解得：m＝3， ∴S＝8﹣m＝8﹣3＝5； （3）解：分三种情况： ①如图2，点P在x轴的负半轴上时， 设点P坐标为（a，0），则PC＝OC+OP＝8﹣a，AP2＝OP2+OA2＝a2+42， AC2＝OA2+OC2＝42+82＝80， ∵四边形APQC是矩形， ∴AP＝CQ，AP∥CD，∠PAC＝90°， ∴AP2+AC2＝PC2， ∴a2+42+80＝（8﹣a）2， 解得：a＝﹣2， ∴P（﹣2，0）， ∵点A（0，4）平移到点P（﹣2，0），横坐标平移减2，纵坐标平移减4， ∴点C（8，0）平移到点Q，横坐标平移减2，纵坐标平移减4，点Q坐标为（6，﹣4）； ②如图2，点P在y轴的负半轴上时， 设点P坐标为（0，b），则AP＝OA+OP＝4﹣b，PC2＝OP2+OC2＝b2+82， ∵四边形APQC是矩形， ∴AC＝QP，AC∥QP，∠ACP＝90°， ∴PC2+AC2＝AP2， ∴b2+82+80＝（4﹣b）2， 解得：b＝﹣16， ∴P（0，﹣16）， ∵点C（8，0）平移到点P（0，﹣16），横坐标平移减8，纵坐标平移减16， ∴点A（0，4）平移到点Q，横坐标平移减8，纵坐标平移减16，点Q坐标为（﹣8，﹣12）； ③当点P与原点O重合时，则点Q与点B重合， ∵四边形OABC是矩形，A（0，4）、C（8，0）， ∴点B坐标为（8，4）， ∴点Q坐标为（8，4）； 综上所述，点Q的坐标为（6，﹣4）或（﹣8，﹣12）或（8，4）． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、平移的性质、勾股定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． 17、【分析】（1）先求出点D的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）利用两条直线的解析式表示出G，E两点的坐标，进而得出线段GE的长，列出方程即可解答； （3）分三种情形解答，先求得经过点H的解析式，再联立，解方程组即可求解． 【解答】解：（1）∵当x＝2时，y＝﹣2+5＝3＝m， ∴D（2，3）． 设直线l2的解析式为y＝kx+b，由题意得： ， 解得：． ∴直线l2的解析式为y＝x+2． （2）∵EF⊥x轴， ∴G，E的横坐标相同． 设G（n，﹣n+5），则E（n，n+2）． ∵E为线段BC上一个动点， ∴﹣n+5＞0，n+2＞0， ∴FG＝﹣n+5，FE＝n+2． ∴EG＝FG﹣FE＝﹣n+3＝6． 解得：n＝﹣2． ∴G（﹣2，7）． （3）如图，当四边形AHCD为平行四边形时， 令x＝0，则y＝， ∴C（0，2）． ∵CH∥AD， ∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2． 令x＝0，则y＝﹣1×0+5＝5， ∴A（0，5）． ∵AH∥CD， ∴直线AH的解析式为：y＝x+5． ∴． 解得：． ∴H（﹣2，4）． 如图，当四边形AHDC为平行四边形时， ∵DH∥AC， ∴直线DH的解析式为x＝2， ∵AH∥DC， ∴直线AH的解析式为y＝x+5， ∴当x＝2时，y＝×2+5＝6， ∴H（2，6）． 当四边形ADHC为平行四边形时，如图， ∵DH∥AC， ∴直线DH的解析式为x＝2， ∵CH∥AD， ∴直线CH的解析式为：y＝﹣x+2， 当x＝2时，y＝﹣2+2＝0， ∴H（2，0）． 综上，存在点H，使得以点A，C，D，H为顶点的四边形是平行四边形，点H的坐标为：（2，0）或（2，6）或（﹣2，4）． 【点评】本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键． 18、【分析】（1）根据图象可求出图书馆与学校距离，小明在图书馆阅读时长，小明前往图书馆的平均速度，用待定系数法可求出当0≤x≤2时，y关于x的解析式； （2）①求出当x＝5时，小华与小明相遇和当x＝5.5时，小华与小明相遇速度的临界值即可； ②分当0≤x≤2时和当2＜x≤3时两种情况求解即可． 【解答】解：（1）由图象可知， 图书馆与学校距离是30km， 小明在图书馆阅读时长为5﹣2＝3h， 小明前往图书馆的平均速度是30÷2＝15km/h， 当0≤x≤2时，y关于x的解析式为y＝15x． 故答案为：30；3；15；y＝15x； （2）①小华从图书馆到学校时间为：＝3（h）， 当x＝5时，小华与小明相遇，v2（5﹣3）＝30， ∴v2＝15km/h， 当x＝5.5时，小华与小明相遇，v2（5.5﹣3）＝20， ∴v2＝8km/h， ∴8km/h≤v2≤15km/h； ②当0≤x≤3时，小明离校距离y与离校时间x的函数解析式为： y＝， ∵小华以速度v1＝10km/h匀速前往学校， ∴小华离校距离y与离校时间x的函数解析式为：y＝﹣10x+30， ∴小华与小明相距25km， 当0≤x≤2时，|15x+10x﹣30|＝25， ∴x1＝，x2＝（舍）， 当2＜x≤3时，30+10x﹣30＝25， ∴x＝， 综上所述：当0≤x≤3时，x＝或时，小华与小明相距25km． 【点评】本题考查了从函数图象获取信息，以及一次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$