1.5 平面上的距离（十二大题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第一册）

1．5 平面上的距离 课程标准 学习目标 （1）能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式，体会向量法和几何法各自的特点，发展逻辑推理、数学运算素养． （2）能用两点间距离公式解决问题，能通过具体例子解释用两点间距离公式解决问题的基本步骤，发展数学运算素养． （1）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用. （2）会用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 【即学即练1】（2024·高一·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 . 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 【即学即练2】（2024·高二·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 【即学即练3】（2024·高二·全国·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【即学即练4】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 题型一：中点公式 【典例1-1】（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【典例1-2】（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为 . 【方法技巧与总结】 两点、，且线段的中点坐标为，则， 【变式1-1】（2024·高二·江苏连云港·期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ． 【变式1-2】（2024·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 【变式1-3】（2024·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ． 【变式1-4】（2024·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为 . 题型二：两点距离公式 【典例2-1】（2024·高二·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【典例2-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【方法技巧与总结】 计算两点间距离的方法 （1）对于任意两点间的距离公式为． （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 【变式2-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【变式2-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高二·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型三：由顶点判断三角形的形状 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【典例3-2】（多选题）（2024·高一·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【方法技巧与总结】 利用两点间距离公式求出三角形的各边长，然后再判断． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 【变式3-3】（2024·高二·全国·期中）求函数的最大值． 题型四：由两点距离公式求最值问题 【典例4-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【方法技巧与总结】 将代数问题转化为几何问题. 【变式4-1】（2024·高二·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【变式4-3】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【变式4-4】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 题型五：点线距离公式 【典例5-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）点到直线的距离为 ． 【典例5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【方法技巧与总结】 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． （3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解． 【变式5-1】（2024·高二·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【变式5-3】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 题型六：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·新疆和田·期末）已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论． 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6-2】（2024·高二·北京·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是 ；的面积是 . 题型七：由点线距离求参数 【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A．(0,-2) B．(2,4) C．(0,-2)或(2,4) D．(1,1) 【方法技巧与总结】 根据点线距离公式建立方程求参数. 【变式7-1】（2024·高二·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 【变式7-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【变式7-3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 题型八：点关于直线对称 【典例8-1】（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求点关于直线对称的点 方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为，两个条件建立方程组解得点 方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得 【变式8-1】（2024·高二·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型九：直线关于直线对称 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【典例9-2】（2024·高二·北京·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【方法技巧与总结】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程． 【变式9-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【变式9-2】（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 【变式9-3】（2024·高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 题型十：平行线间距离公式 【典例10-1】（2024·高二·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【典例10-2】（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【方法技巧与总结】 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线， 且时，；当直线且时，．但必须注意两直线方程中的系数对应相等． 【变式10-1】（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【变式10-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【变式10-3】（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 题型十一：直线关于点对称 【典例11-1】（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【典例11-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【方法技巧与总结】 求直线l关于点中心对称的直线 求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）． 【变式11-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式11-2】（2024·高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【变式11-3】（2024·高三·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 . 题型十二：将军饮马问题 【典例12-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【典例12-2】（2024·高二·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【方法技巧与总结】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线上求一点，使这点到两定点、的距离之差最大的问题，若这两点、位于直线的同侧，则只需求出直线的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若、两点位于直线的异侧，则先求、两点中某一点（如A）关于直线的对称点，再求直线的方程，再求它们与直线的交点即可．对于在直线上求一点，使到平面上两点、的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 【变式12-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【变式12-2】（2024·高二·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式12-3】（2024·高二·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【变式12-4】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（    ） A． B． C． D．与m的取值有关 2．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 3．（2024·高二·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 4．（2024·高二·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）设，过定点的直线和过定点的直线交于点．则的值为（    ） A．5 B． C． D．与的取值有关 6．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 7．（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 8．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 9．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 10．（2024·高三·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 11．（2024·高二·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2024·高二·四川达州·阶段练习）已知点 在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 14．（2024·高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 . 15．（2024·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 16．（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 17．（2024·高二·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 18．（2024·高二·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 19．（2024·高二·广东清远·期末）设点到直线的距离为，则的最大值是 ． 20．（2024·高二·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 21．（2024·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）点到直线的距离的最大值为 . 22．（2024·高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 23．（2024·高二·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 24．（2024·高二·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 25．（2024·高二·安徽马鞍山·期中）与直线关于点对称的直线方程是 . 26．（2024·高二·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 27．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 28．（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 29．（2024·高二·广西玉林·阶段练习）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1．5 平面上的距离 课程标准 学习目标 （1）能用坐标法、向量方法推导平面上两点间距离公式，体会向量法和几何法各自的特点，发展逻辑推理、数学运算素养． （2）能用两点间距离公式解决问题，能通过具体例子解释用两点间距离公式解决问题的基本步骤，发展数学运算素养． （1）掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式、平行直线间的距离公式并会应用. （2）会用坐标法证明简单的平面几何问题． 知识点一：中点坐标公式 若两点、，且线段的中点坐标为，则，，则此公式为线段的中点坐标公式． 【即学即练1】（2024·高一·北京·期中）已知点，，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【解析】点，，所以线段中点的坐标为. 故答案为： 知识点二：两点间的距离公式 两点间的距离公式为． 知识点诠释： 此公式可以用来求解平面上任意两点之间的距离，它是所有求距离问题的基础，点到直线的距离和两平行直线之间的距离均可转化为两点之间的距离来解决．另外在下一章圆的标准方程的推导、直线与圆、圆与圆的位置关系的判断等内容中都有广泛应用，需熟练掌握． 【即学即练2】（2024·高二·新疆喀什·期中）已知，则（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】因为， 则, 故选： 知识点三：点到直线的距离公式 点到直线的距离为． 知识点诠释： （1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离； （2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程； （3）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等． 【即学即练3】（2024·高二·全国·假期作业）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】直线可化为，依题意得，整理得，所以或-1．当时，点的坐标为；当时，点的坐标为，故选C． 知识点四：两平行线间的距离 本类问题常见的有两种解法：①转化为点到直线的距离问题，在任一条直线上任取一点，此点到另一条直线的距离即为两直线之间的距离；②距离公式：直线与直线的距离为． 知识点诠释： （1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离； （2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式． 【即学即练4】（2024·高二·上海·期末）已知直线与直线互相平行，则它们之间的距离是 . 【答案】 【解析】由直线与直线互相平行，得， 则直线与直线的距离为：. 故答案为： 题型一：中点公式 【典例1-1】（2024·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线和的交点分别为， 设， 因为点是线段的中点，由中点公式可得， 解得，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【典例1-2】（2024·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】设点､， 由中点坐标公式得：， 解得：，， 由直线过点､， 直线的方程为：， 即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 两点、，且线段的中点坐标为，则， 【变式1-1】（2024·高二·江苏连云港·期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ． 【答案】 【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等, 故，解得,则点． 直线的方程为,即． 故答案为： 【变式1-2】（2024·北京西城·高二统考期末）设，则过线段的中点，且与垂直的直线方程为 . 【答案】 【解析】因为，所以线段的中点，且. 所以与垂直的直线的斜率为， 所以过线段的中点，与垂直的直线方程为，即. 故答案为： 【变式1-3】（2024·江苏连云港·高二期末）过点的直线被两平行直线与所截线段的中点恰在直线上，则直线的方程是 ． 【答案】 【解析】设线段的中点为,因为点到与的距离相等, 故，解得,则点． 直线的方程为,即． 故答案为： 【变式1-4】（2024·江苏·高二海安高级中学校考开学考试）直线l被两条直线l1：4x+y+3＝0和l2：3x﹣5y﹣5＝0截得的线段的中点为P（﹣1，2），则直线l的斜率为 . 【答案】 【解析】设直线l与的交点为，直线l与的交点为. 由已知条件，得直线l与的交点为， 联立， 即，解得， 所以，，， 直线l的斜率， 故答案为：. 题型二：两点距离公式 【典例2-1】（2024·高二·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】由题设，则. 故选：B 【典例2-2】（2024·高二·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【解析】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 【方法技巧与总结】 计算两点间距离的方法 （1）对于任意两点间的距离公式为． （2）对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 【变式2-1】（2024·高二·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）已知，则A，B两点间的距离为（    ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【解析】A，B两点间的距离为. 故选：B 【变式2-2】（2024·高二·江苏徐州·期中）已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知，， 解得，故， 则两点间的距离为. 故选：C 【变式2-3】（2024·高二·海南·期中）在平面直角坐标系中，原点到直线：与：的交点的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以，所以交点坐标为， 所以原点到交点的距离为， 故选：C. 【变式2-4】（2024·高二·辽宁沈阳·阶段练习）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对直线：，当时，则直线过定点， 对直线：，当时，则直线过定点， 当时，如上图，直线为，直线为， 则交点， 此时，，∴； 当时，如上图，直线的斜率为，直线的斜率为， ∵，∴，则是直角三角形， ∴， 又∵， 且， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最大值为. 故选：B. 题型三：由顶点判断三角形的形状 【典例3-1】（2024·高二·全国·课后作业）以点A(－3，0)，B(3，－2)，C(－1，2)为顶点的三角形是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．以上都不是 【答案】C 【解析】， ， ， ， 所以三角形是直角三角形. 故选：C 【典例3-2】（多选题）（2024·高一·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【解析】如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 【方法技巧与总结】 利用两点间距离公式求出三角形的各边长，然后再判断． 【变式3-1】（2024·高二·全国·课后作业）已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为 ；的面积为 . 【答案】 直角三角形 5 【解析】因为， ，， 所以，即是以A为直角顶点的直角三角形． 由于是以A为直角顶点的直角三角形，所以. 故答案为：直角三角形； 【变式3-2】（2024·高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 【解析】因为，所以， ，， 所以，所以是等边三角形． 【变式3-3】（2024·高二·全国·期中）求函数的最大值． 【解析】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 题型四：由两点距离公式求最值问题 【典例4-1】（2024·高二·陕西西安·阶段练习）可以转化为平面上点与点之间的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 设，，， 故表示的几何意义为的长， 如图所示，取点关于轴的对称点，连接， 则的长即为的最小值，即最小值为. 故选：B 【典例4-2】（2024·高二·四川南充·期末）设，其中.则的最小值为（    ） A．8 B．9 C． D． 【答案】B 【解析】设，则表示：， ，则直线的方程为，令，则， 所以直线与轴相交于点， 所以， 所以，当点P为时，等号成立，故的最小值为9. 故选：B. 【方法技巧与总结】 将代数问题转化为几何问题. 【变式4-1】（2024·高二·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式4-2】（2024·高二·山东济宁·期中）已知，，，为四个实数，且，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【解析】设，则， 所以 ， 而可看做轴上动点与两定点的距离和，如图， 由图可知当运动到时，最小，最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【变式4-3】（2024·高二·上海浦东新·期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ． 【答案】5 【解析】即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离； 即，几何意义为点与点的距离， 分别作关于轴的对称点，关于轴的对称点， 连接，则， ∴ ， 当且仅当分别为与轴，轴的交点时，等号成立， 故答案为：5. 【变式4-4】（2024·高二·辽宁·期中）已知，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设， 因为，则点在矩形内部，如图所示， 可得 ， 当且仅当为的交点时，等号成立， 故答案为：. 题型五：点线距离公式 【典例5-1】（2024·高一·广东佛山·阶段练习）点到直线的距离为 ． 【答案】 【解析】点到直线的距离为. 故答案为： 【典例5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】 【解析】由题意可知：到直线的距离是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 应用点到直线的距离公式应注意的三个问题 （1）直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． （2）点在直线上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用． （3）直线方程中，或公式也成立，但由于直线是特殊直线（与坐标轴垂直），故也可用数形结合求解． 【变式5-1】（2024·高二·湖北·期中）已知直线恒过定点，则点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】直线可化为， 令，解得，于是此直线恒过点. 由点到直线的距离公式得到直线的距离. 故答案为： 【变式5-2】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离为 . 【答案】 【解析】点到直线的距离. 故答案为： 【变式5-3】（2024·高二·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【解析】点到直线的距离. 故答案为：2. 题型六：面积问题 【典例6-1】（2024·高二·新疆和田·期末）已知点，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， 所以，即， 所以的面积为. 故选：A. 【典例6-2】（2024·高二·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内作等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，则，令，则， 所以，则， 故在等边中，点到直线的距离为， 因为和的面积相等， 所以点到直线的距离也为， 直线的方程化为一般式得， 则 ， 解得 或， 又因为P在第一象限，所以. 故选：C. 【方法技巧与总结】 利用两点间距离公式求出三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式求出这边上的高，从而求出三角形的面积，这是在解析几何中求三角形面积的常规方法，应熟练掌握，但应注意的是点到直线的距离公式中带有绝对值符号，因此在去掉绝对值符号时必须对它的正负性进行讨论． 【变式6-1】（2024·高二·全国·课后作业）以，，为顶点的三角形的面积等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意知：，直线的方程为，即，则到直线的距离为， 故三角形的面积为. 故选：A. 【变式6-2】（2024·高二·北京·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是 ；的面积是 . 【答案】 24 【解析】由，则边上的高的斜率3， 又经过点，故方程为，化简为； 又， 直线的方程为，整理为， 而点到的距离为， 则的面积为. 故答案为：，24 题型七：由点线距离求参数 【典例7-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点到直线的距离为1，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由点 到直线 的距离为1， 可得，解得， 又因为，所以. 故选：C. 【典例7-2】（2024·高二·全国·专题练习）已知点到直线的距离为，则点的坐标为（    ） A．(0,-2) B．(2,4) C．(0,-2)或(2,4) D．(1,1) 【答案】C 【解析】直线可化为， 由点到直线的距离公式得，解得或， 当时，点P的坐标为；当时，点P的坐标为， 故选：C 【方法技巧与总结】 根据点线距离公式建立方程求参数. 【变式7-1】（2024·高二·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【解析】由点到直线距离公式知，， 解得， 故选：A 【变式7-2】（2024·高二·安徽芜湖·阶段练习）点为y轴上一点，且点到直线的距离等于1，则点P的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或. 【答案】C 【解析】因为点为轴上一点，可设点， 又因为点到直线的距离等于1，可得， 整理得，即，解得或， 所以点的坐标为或. 故选：C. 【变式7-3】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）若点到直线的距离为4，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【解析】点到直线的距离为4， 可得，解得. 故选：D. 题型八：点关于直线对称 【典例8-1】（2024·高二·四川雅安·开学考试）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设所求对称点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为. 故选：D. 【典例8-2】（2024·高二·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 【方法技巧与总结】 求点关于直线对称的点 方法一：（一中一垂），即线段的中点M在对称轴上，若直线的斜率存在，则直线的斜率与对称轴的斜率之积为，两个条件建立方程组解得点 方法二：先求经过点且垂直于对称轴的直线（法线），然后由得线段的中点，从而得 【变式8-1】（2024·高二·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 【变式8-2】（2024·高二·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 题型九：直线关于直线对称 【典例9-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【解析】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【典例9-2】（2024·高二·北京·阶段练习）直线关于x轴对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设直线与直线关于轴对称，所以， 在中，令，则，所以直线与轴的交点为，即直线与轴的交点为， 所以直线的方程为，整理得. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 求一条直线关于另一条直线的对称直线的基本途径是把它转化为点关于直线对称的问题，即在其上取一点（或两点），求出它们关于直线的对称点坐标，再由两点式即可求得所求的直线方程． 【变式9-1】（2024·高二·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【解析】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 【变式9-2】（2024·高二·广东梅州·阶段练习）已知直线，它关于直线对称的直线方程为 . 【答案】 【解析】设对称的直线方程的点为，对称点为， 直线斜率为1， 则有，消去得， 故答案为： 【变式9-3】（2024·高二·全国·课后作业）如果直线与直线关于直线对称，那么 ， ． 【答案】 6 【解析】直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得， 直线上的点关于的对称点在上， 所以，解得. 故答案为：； 题型十：平行线间距离公式 【典例10-1】（2024·高二·上海杨浦·期末）平行直线及之间的距离是 ． 【答案】 【解析】平行直线及之间的距离. 故答案为： 【典例10-2】（2024·高二·上海·期中）设，若直线与直线之间的距离为，则的值为 ． 【答案】2或 【解析】由题意可得，解得或， 故答案为：2或 【方法技巧与总结】 求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线， 且时，；当直线且时，．但必须注意两直线方程中的系数对应相等． 【变式10-1】（2024·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，则 ，它们之间的距离为 . 【答案】 【解析】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线的方程可化简， 而直线，即直线， 它们之间的距离为， 故答案为：；. 【变式10-2】（2024·高二·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【解析】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 【变式10-3】（2024·高二·上海·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【解析】的方程可化为，由平行直线之间的距离公式可得 . 故答案为：. 题型十一：直线关于点对称 【典例11-1】（2024·高二·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【典例11-2】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【解析】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 【方法技巧与总结】 求直线l关于点中心对称的直线 求解方法是：在已知直线l上取一点关于点中心对称得，再利用，由点斜式方程求得直线的方程（或者由，且点到直线l及的距离相等来求解）． 【变式11-1】（2024·高二·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 【变式11-2】（2024·高二·全国·单元测试）直线关于点的对称直线方程是 ． 【答案】 【解析】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 【变式11-3】（2024·高三·河北廊坊·阶段练习）与直线关于点对称的直线的方程为 . 【答案】 【解析】直线关于点对称的直线的方程可设为，其中 又点到直线与到直线的距离相等 所以，即，所以或（舍）. 故所求直线方程为：. 故答案为：. 题型十二：将军饮马问题 【典例12-1】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为．若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设点关于直线的对称点为，与直线交于，且设饮马处为， 由轴对称性质得，，， 解得，，故， 即与重合时，将军饮马的总路程最短， 则最短路程为. 故选：C 【典例12-2】（2024·高二·上海奉贤·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ） A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是 B．将军在河边饮马的地点的坐标为 C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是 D．“将军饮马”走过的总路程为5 【答案】B 【解析】如图所示： 由题意可知在的同侧，设点关于直线的对称点为， 三点共线满足题意，点为使得总路程最短的“最佳饮水点”， 则，解得，即， 对于A，直线的斜率为，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是，即，故A正确； 对于B，联立，解得，即将军在河边饮马的地点的坐标为，故B正确； 对于C，由C选项分析可知点，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，故C错误； 对于D，，即“将军饮马”走过的总路程为，故D错误. 故选：B. 【方法技巧与总结】 由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线上求一点，使这点到两定点、的距离之差最大的问题，若这两点、位于直线的同侧，则只需求出直线的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若、两点位于直线的异侧，则先求、两点中某一点（如A）关于直线的对称点，再求直线的方程，再求它们与直线的交点即可．对于在直线上求一点，使到平面上两点、的距离之和最小的问题可用类似方法求解． 【变式12-1】（2024·高二·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【解析】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为： 【变式12-2】（2024·高二·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【解析】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 【变式12-3】（2024·高二·福建三明·阶段练习）2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分．唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则将军在河边饮马地点的坐标为 ． 【答案】 【解析】 由题可知在的同侧， 设点关于直线的对称点为， 则，解得即． 将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又， 所以直线的方程为， 设将军在河边饮马的地点为， 则即为与的交点， ，解得， 所以． 故答案为： 【变式12-4】（2024·高二·重庆九龙坡·阶段练习）直线分别交轴和于点，，为直线上一点，则的最大值是 ． 【答案】. 【解析】由直线分别交轴和于点，可得， 如图所示，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，即，则， 当且仅当三点共线时，等号成立， 即的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 1．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期中）设，过定点A的直线和过定点B的直线交于点P．线段AB中点为Q，则的值为（    ） A． B． C． D．与m的取值有关 【答案】A 【解析】由于经过的定点为，所以， 直线变形为，所以经过定点，故， 且两直线垂直，因此为直角三角形，所以， 故选：A 2．（2024·高二·山东枣庄·阶段练习）已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】 如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值. (原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时, 在直线上另取点,连接,则,) 不妨设点，则有：解得：即, 故 故选：C. 3．（2024·高二·四川内江·阶段练习）点到直线l：的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【解析】将直线l：变形可得， 解可得，所以直线过定点. 当时，点到直线l：的距离最大，最大值为. 又，直线的斜率为， 所以，，解得， 所以，直线的方程为， 整理可得. 故选：A. 4．（2024·高二·天津河西·期中）若是直线上的两点，那么间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意， ， 故选：A． 5．（2024·高二·广东东莞·阶段练习）设，过定点的直线和过定点的直线交于点．则的值为（    ） A．5 B． C． D．与的取值有关 【答案】A 【解析】直线过定点，直线过定点， 且直线和直线满足，故两直线垂直， 故. 故选：A. 6．（2024·高二·江苏淮安·阶段练习）两点间的距离为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两点间距离公式得. 故选：C 7．（2024·高二·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 8．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（ ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【解析】直线l：， 整理得， 由，可得， 故直线恒过点， 点到的距离， 故； 直线l：的斜率， 故，解得 故选：B. 9．（2024·高二·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【解析】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 10．（2024·高三·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 11．（2024·高二·北京丰台·期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动.设点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由直线，和围成,如图所示， 点在内（含边界）运动， 在轴上运动，作点关于轴的对称点，则， 的最小值为到直线的距离，即. 故选：B. 12．（2024·高二·四川达州·阶段练习）已知点 在直线上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为 表示到点和的距离之和. 又在直线上，关于的对称点为， 所以，所求最小值为：. 故选：C 13．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【解析】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 14．（2024·高二·全国·竞赛）已知，为实数，代数式的最小值是 . 【答案】10 【解析】设点， 则 ， 当且仅当分别为连线与两坐标轴的交点时，等号成立. 故答案为：10. 15．（2024·高一·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 16．（2024·高二·广东揭阳·期中）函数的最小值是 . 【答案】 【解析】函数， 即为点至和的距离之和， 点关于轴对称的点为， 所以, 由图形易得最小值为. 故答案为: . 17．（2024·高二·云南昆明·期中）在△ABC中，点，，，则的面积为 ． 【答案】/ 【解析】由两点式可得直线的方程为，即为， 再由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离， 且两点间的距离为， 所以的面积为. 故答案为： 18．（2024·高二·湖北·期末）点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【解析】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 19．（2024·高二·广东清远·期末）设点到直线的距离为，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】直线过定点， 则垂直于直线时，有最大值，为， 故答案为：． 20．（2024·高二·广东广州·期末）若点在直线上，则的最小值为 . 【答案】/0.8 【解析】表示点到点距离的平方，又点在直线上， 问题转化为求直线上点到定点距离的平方的最小值， ， 所以得最小值为. 故答案为：. 21．（2024·高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）点到直线的距离的最大值为 . 【答案】 【解析】易知直线，即其恒过定点， 所以点到该直线的距离的最大值为. 故答案为：. 22．（2024·高三·全国·课后作业）若直线与关于直线对称，则实数a= . 【答案】 【解析】直线过点， 点关于直线对称点为， 依题意可知点在直线上， 所以. 故答案为： 23．（2024·高二·新疆·期末）直线与直线平行，则它们之间的距离是 ． 【答案】1 【解析】由直线与直线平行， 可得，解之得， 此时直线可化为， 直线与直线平行， 则它们之间的距离是 故答案为：1 24．（2024·高二·广东·期末）已知两条平行线与之间的距离为1，则实数的值为 . 【答案】或2 【解析】直线，， 所以两平行线间的距离为，解得或， 故答案为：2或 25．（2024·高二·安徽马鞍山·期中）与直线关于点对称的直线方程是 . 【答案】 【解析】因为直线与直线关于点对称，所以，且点到两直线的距离相等， 设直线为，则，解得或（舍去）， 所以所求直线方程为. 故答案为：. 26．（2024·高二·江苏苏州·周测）直线恒过定点，则直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【解析】由得：，当时，，； 设直线关于点对称的直线方程为， ，解得：或（舍）， 直线关于点对称的直线方程为. 故答案为：. 27．（2024·高二·江苏泰州·阶段练习）已知点，，点在直线上，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图所示， 设点关于直线的对称点为，则， 解得，即， 所以，等号成立当且仅当点与点重合，其中点为与直线的交点. 故答案为：. 28．（2024·高二·江苏·单元测试）已知点，点分别是x轴和直线上的两个动点，则的最小值等于 ． 【答案】 【解析】如图，作点关于轴的对称点，则， 此时最小值即为到直线的距离，即， 所以的最小值为， 故答案为：. 29．（2024·高二·广西玉林·阶段练习）已知三个顶点坐标分别为，，. (1)试判断的形状； (2)求边上的中线所在直线的方程. 【解析】（1）因为，，， 所以的斜率，， 的斜率，， 则， 所以且，所以是以为直角的等腰直角三角形； （2）易求中点坐标，所以直线的斜率， 边上的中线为，化为一般式为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$