1.1.2 空间向量的数量积运算（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

1.1.2 空间向量的数量积运算 高二上学期 1 1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法； 2、掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律； 3、能用数量积解决几何问题； 4、通过本节学习，提升直观想象、逻辑推理、数学运算等素养. 重点：空间向量夹角和数量积的概念及公式 难点：利用数量积解决几何问题 学习目标 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 思考：如何定义两个非零空间向量的夹角呢？ 1、定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作. 2、向量夹角范围： ＊当时，与同向； ＊当时，与反向. ＊当时，与垂直，记作. o B A 关键是起点相同！ 新知生成 3、向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量； ②“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. ③零向量与任一向量的数量积为____. ④__________. ⑤ ________. ⑥_________. ⑦ 0 新知生成 4、运算律： 注：结合律，不一定成立 消去律若，则，不一定成立 思考：(1)对于向量，由，你能得到吗？ (2)对于向量，由，能不能写成的形式? (3)对于向量，成立吗？为什么？ × × × 新知生成 1、判断正误： (1)向量与的夹角等于与的夹角. (2)若，则. (3)若，则的夹角为锐角. (4)若，且，则. (5)若均为非零向量，则是与共线的充要条件. × × × × × 2、已知向量 ，满足|| 1 解：， 习题演练 例1：棱长为2的正四面体中，分别是棱的中点，则________，________，________， 解：； ； 典例精析 例2：如图，在平行六面体中，，， 求：(1)； (2)的长； (3)的长； 解:(1) (2) (3) D' C' B' D A B C A' 典例精析 教材P8 练习 2、如图，正方体的棱长为1，设，， 求：(1)； (2)； (3) 解：(1)； (2)； (3) 教材P9 练习 3、如图，在平行六面体中，， ， 求：(1)； (2)的长； (3)的长； 解：(1)； (2)； (3) ； 教材P9 练习 4、如图，线段，在平面内，，,且，，，求，两点间的距离. 解： 所以 例3：如图，是平面内的两条相交直线，如果，， 求证：. m n g l 证明：在平面内作任意一条直线， 分别在直线上取非零向量. 因为直线与相交，所以向量不平行. 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序数对，使. 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 因为，(为什么？)，所以.所以. 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 典例精析 解：(1) ， (2) ，则，的夹角为60° 7、如图，正方体的棱长为， (1)求证 (2)和的夹角； 教材P8 练习 1、如图，在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为( ) (A)60° (B)90° (C)105° (D)75° 解：设，则， ， B 9、如图，在四面体中，，，求证：. (法1) (法2) 8、用向量方法证明：在平面内的一条直线，如果与这个平面的一条斜线在这个平面上的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直(三垂线定理). 已知：如图，分别是平面的垂线、斜线，是在平面的射影，且，求证：. 证明：如图，取直线上的方向向量，同时取向量，，， 因为，所以， 因为，且，所以， 所以， 从而， 所以. 练习：如图，在正方体中，分别是棱，，的中点.求证：平面. 证明：设正方体的棱长为 ∵ 所以同理可证 又平面平面， 所以平面 习题演练 ③求异面直线所成角：即求两向量的夹角或其补角(目标向量用已知模和夹角的向量表示,先求数量积,再除以模之积) ④证线线垂直：证明两向量的数量积为0(目标向量用已知模和夹角的向量表示) ②求线段长度：即求向量的模(目标向量用已知模和夹角的向量表示) ①求数量积：目标向量用已知模和夹角的同起点向量表示 ⑤证线面垂直：证明两次线线垂直. 归纳总结 一、向量的夹角 1、定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作. 2、范围： ＊当时，与同向； ＊当时，与反向. ＊当时，与垂直，记作. 课堂小结 二、向量的数量积 1、定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量； ②“”是一种运算符号，既不能省略，也不能用“×”代替. ③零向量与任一向量的数量积为____. ④__________. ⑤ ________. ⑥_________. ⑦ 0 课堂小结 2、运算律： 注：结合律，不一定成立 消去律若，则，不一定成立 新知生成 1、已知和是相互垂直的单位向量，则 A.1 B.2 C.3 D.4 解：∵且 ∴ 2、已知空间向量满足，，，， 则 解： 所以 习题演练 3、如图，在平行六面体中，， 60°，若，则的值为_____. 解：设，，，， 所以，， 又因为，60°， 所以 ， 即，即，解得或(舍) 即的值为. 习题演练 4、已知正三棱锥的底面的边长为2，是空间中任意一点，则的最小值为_____. 解:如图所示，设中点为，连接，设的中点为， 则， 所以 当与重合时，取最小值0，此时有最小值. 习题演练 5、已知正方体的棱长为4，分别是，，的中点，设是正方体表面上的一点，若， (1)求点的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值； 解:(1)点的轨迹是正六边形， 因为正方体的棱长为4， 所以正六边形的边长为， 所以轨迹面积 习题演练 5、已知正方体的棱长为4，分别是，，的中点，设是正方体表面上的一点，若， (1)求点的轨迹围成图形的面积； (2)求的最大值； 解：(2)如图，根据向量数量积的几何意义可得， 当点位于点时，最大 故 所以的最大值为. 习题演练 6、如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，， 底面.求证： 证明：由题意知则 由底面，知则 又 ∴ 即. 习题演练 7、在正四面体中，棱长为，分别是棱上的点，且，求 解：∵ ∴ 故即 习题演练 谢 谢 观 看 ！ 高二上学期 $$