【专题01】函数性质的综合运用专题训练-2025届高三数学二轮复习

【专题01】函数性质的综合运用【高考复习难点】 【知识点总结】 1.函数的单调性 1）. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增(如图①)； 2）. 如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减(如图②). 图① 图② 2. 复合函数单调性 ①f(x)，g(x)在公共区间上的单调性如下： y=f(x) y=g(x) y=f(x)+g(x) y=f(x)-g(x) 增 增 增 增 减 增 减 减 减 减 增 减 ②复合函数单调性的判断依据如下： 由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x))，其单调性的判断方法如下：同增异减 u=g(x) y=f(u) y=f(g(x)) 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 *利用函数的单调性解不等式：若已知函数的单调性，由的大小关系可以确定自变量的大小，进而解得不等式。 3.奇函数、偶函数的定义 1） 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数. 2） 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有-x∈I，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数. 注意：奇函数和偶函数的定义域都关于原点对称. 4.奇函数、偶函数的图象特征 1） 一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称. 2）一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称. *奇偶函数的运算性质 奇函数奇函数=奇函数； 偶函数偶函数=偶函数； 奇函数偶函数=奇函数； 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数 *复合函数的奇偶性 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 简记：遇偶则偶，全奇才奇。 5.【周期性和对称性】 6.函数的对称性 1、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称. 2、函数满足(T为常数)的充要条件是的图象关于直线对称. 3、函数满足的充要条件是图象关于直线对称. 4、若满足，则的图象关于原点对称. 5、若满足，则的图象关于点对称. 6、若满足，则的图象关于点对称. 【专项训练】 一、单选题 1．已知奇函数的定义域为，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列函数中，满足对任意的，都有 的是（    ） A． B． C． D． 3．已知、，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（    ） A． B． C． D． 5．设是偶函数，且对任意的、，有，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数的定义域为R，函数为奇函数，且，则的值为（    ） A． B． C．0 D．36 7．已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知当时，，若函数的定义域为，且有为奇函数，为偶函数，则所在的区间是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称，若 则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 11．已知函数的定义域为，其图象关于中心对称，若，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数满足，则满足的最大正整数的值为． 13．已知函数满足，.则. 14．设函数是定义域为的奇函数，且，都有.当时，，则函数在区间上有个零点. ( 4 ) ( 5 ) 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 ( 2 ) ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 1．A 【解答】因为是奇函数且定义域为，所以， 由，则， 所以，故函数是周期为4的函数， 所以. 故选：A. 2．A 【解答】对于A：若，则，， ，成立； 对于B：若，由，得， 取，得不成立； 对于C：若，由，得， 取，得不成立； 对于D：若，由，得， 取，得不成立. 故选：A 3．A 【解答】令，其中，该函数的定义域关于原点对称， 因为，即函数为奇函数， 因为函数、在上均为增函数， 所以，函数在上为增函数， 由可得，即， 则，即， 所以，“”“”， 所以，是的充要条件. 故选：A. 4．B 【解答】因为，所以的图像关于点对称， 又因为，则用替换得，， 所以的图像关于直线对称.由得，，则，所以是以为一个周期的周期函数. 又当时，，则在恒成立，即在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为方程的根即为的根，即为的图像与直线交点的横坐标，当时，在直线上对应点的纵坐标为， 所以由数形结合得，的图像与直线在区间上有个交点，所以由图像关于点对称，得方程所有根之和为. 故选：B. 5．D 【解答】对任意的、，有， 不妨设，则，，则， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数为偶函数，则该函数在上为减函数， 因为，则， 由知， 当时，，可得； 当时，，可得， 所以，不等式的解集为. 故选：D. 6．B 【解答】因为函数为奇函数， 所以有，又，所以， 得，则 即，所以 故选：B 7．D 【解答】对于A，因为，则函数关于直线对称， 由，则函数关于点对称， 所以，所以得， 则，故函数的周期为，且，故函数为偶函数， 因为函数在区间上单调递增，则函数的大致图象如下图： 令，由，所以， 且， 令，由，由得， 所以， 根据对称性，在单调递减，而，所以， 因为函数的周期为， 所以，故A不正确； 对于B，由于，，在单调递减， 所以，所以，故B不正确； 对于C，又，， 根据图象在上单调递增， 所以，故C不正确； 对于C，，且，因为， 所以，故， 因为在上单调递减，所以，故D正确． 故选：D． 8．C 【解答】因为为奇函数， 所以，即， 又因为为偶函数， 所以， 即， 所以， 故是以为周期的周期函数. 因为当时，， 所以 因为， 所以. 故选：C. 9．ACD 【解答】函数f(x)的定义域为R，其图象关于点中心对称， 对于A，，A正确； 对于B，，又，取，则，解得，B错误； 对于C，在中，取，得，因此，C正确； 对于D，由，得， 两式相加得，而， 则，即，因此， 即，而，所以，D正确. 故选：ACD 10．ABC 【解答】由， 令，，有，可得,故A正确； 令，则，则， 函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误， ，令， 则， 所以， 则， ， 所以，则周期为6，C正确． 由于为偶函数且周期为6，故，B正确， 故选：ABC 11．ACD 【解答】因为的图象关于中心对称，则,故A正确； 由，可得，则，取得， 在中取可得，则， 由，得，故B错误； 由，得 ①②， ②-①得，又，故C正确； 又由①，故D正确. 故选：ACD. 12．12 【解答】， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以所解不等式为： 当时，则， 可解得： 的最大值为12， 当时，符合要求， 当时，不符合要求， 因此的最大值为12， 故答案为：12 13．. 【解答】由函数满足， 取，可得， 令，可得， 即 则 . 故答案为：. 14．6 【解答】如图，因为函数是定义域为的奇函数，所以，且. 又，即，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以，所以4是函数的一个周期， 所以.易知函数在上单调递增， 且， 所以函数在区间上仅有1个零点，且零点在区间上. 由对称性，知函数在区间上有且仅有1个零点. 因为是定义域为的奇函数且是4是它的一个周期，所以， 所以函数的图象关于点中心对称，所以函数在区间上有且仅有2个零点. 因为函数在区间上没有零点，所以函数在区间上没有零点. 结合，得函数在区间上有6个零点. 故答案为：6. $$